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2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。
第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3.本卷共10 小题，每小题5 分，共50 分。
参考公式：
如果时间A，B 互斥，那么
球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
.
如果事件A，B 相互独立，那么
其中R 表示球的半径.
P（A·B）=P（A）·P（B）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合
，
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：因为
，所以
，选A．
（2）设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为
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（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
解析：如图，由图象可知目标函数
过点
时
取得最大值，
，选D．
（3）函数
（
）的反函数是
（A）
（
） （B）
（
）
（C）
（
） （D）
（
）
解析：当
时，
，解
得
，选A．
（4）若等差数列
的前5 项和
，且
，则
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
解析：
，所以
，选
B．
（5）设
是两条直线，
是两个平面，则
的一个充分条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：选C，A、B、D 的反例如图．
（6）把函数
（
）的图象上所有
点向左平行移动
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标
不变），得到的图象所表示的函数是
（A）
，
（B）
，
（C）
，
（D）
，
解析：选C,
．
（7）设椭圆
（
，
）的右焦点与抛物线
的焦点相同，离心率为
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，则此椭圆的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：抛物线的焦点为
，椭圆焦点在
轴上，排除A、C，由
排除D，选B．
（8）已知函数
，则不等式
的解集是
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：依题意得
，选A．
（9）设
，
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：
，因为
，所以
，选D．
（10）设
，若对于任意的
，都有
满足方程
，这
时
的取值集合为
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：易得
，在
上单调递减，所以
，故
，选B．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3．本卷共12 小题，共100 分。
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题4 分，共24 分.把答案填在题中横线上.）
（11）一个单位共有职工200 人，其中不超过45 岁的有120 人，超过45 岁的有80 人．为了调
查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25 的样本，应抽取超
过45 岁的职工________________人．
解析：依题意知抽取超过45 岁的职工为
．
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（12）
的二项展开式中，
的系数是________________（用数字作答）．
解析：
，
，所以系数为10．
（13）若一个球的体积为
，则它的表面积为________________．
解析：由
得
，所以
．
（14）已知平面向量
，
．若
，则
_____________．
解析：因为
，所以
．
（15）已知圆C 的圆心与点
关于直线
对称．直线
与圆C 相
交于
两点，且
，则圆C 的方程为_______________________．
解析：圆心的坐标为
，所以
，圆的方程为
．
（16）有4 张分别标有数字1，2，3，4 的红色卡片和4 张分别标有数字1，2，3，4 的蓝色卡片，
从这8 张卡片中取出4 张卡片排成一行．如果取出的4 张卡片所标数字之和等于10，则不同
的排法共有________________种（用数字作答）．
解析：数字之和为10 的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．
所以共有
种不同排法．
三、解答题（本题共6 道大题，满分76 分）
（17）（本小题满分12 分）
已知函数
（
）的最小值正周期是
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求函数
的最大值，并且求使
取得最大值的
的集合．
（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数
的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12 分．
（Ⅰ）解：
由题设，函数
的最小正周期是
，可得
，所以
．
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
．
当
，即
时，
取得最大值1，所以函数
的最大值是
，此时的集合为
．
（18）（本小题满分12 分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
与
，且乙投球2 次均未
命中的概率为
．
（Ⅰ）求乙投球的命中率
；
（Ⅱ）求甲投球2 次，至少命中1 次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2 次，求两人共命中2 次的概率．
（18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率
知识解决实际问题的能力．满分12 分．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得
解得
或
（舍去），所以乙投球的命中率为
．
解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得
，于是
或
（舍去），故
．
所以乙投球的命中率为
．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知
．
故甲投球2 次至少命中1 次的概率为
解法二：
由题设和（Ⅰ）知
故甲投球2 次至少命中1 次的概率为
（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，
甲、乙两人各投球2 次，共命中2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不
中；甲两次均不中，乙中2 次。概率分别为
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，
，
所以甲、乙两人各投两次，共命中2 次的概率为
．
（19）（本小题满分12 分）
如图，在四棱锥
中，底面
是矩形．已知
．
（Ⅰ）证明
平面
；
（Ⅱ）求异面直线
与
所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
（19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、
二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论
证能力．满分12 分．
（Ⅰ）证明：在
中，由题设
可得
于是
.在矩形
中，
.又
，
所以
平面
．
（Ⅱ）解：由题设，
，所以
（或其补角）是异面直线
与
所成的角.
在
中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知
平面
，
平面
，
所以
，因而
，于是
是直角三角形，
故
．
所以异面直线
与
所成的角的大小为
．
（Ⅲ）解：过点P 做
于H，过点H 做
于
E，连结PE
因为
平面
，
平面
，所以
.又
，
因而
平面
，故HE 为PE 再平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知，
，从而
是二面角
的平面角。
由题设可得，
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于是再
中，
所以二面角
的大小为
．
（20）（本小题满分12 分）
在数列
中，
，
，且
（
）．
（Ⅰ）设
（
），证明
是等比数列；
（Ⅱ）求数列
的通项公式；
（Ⅲ）若
是
与
的等差中项，求
的值，并证明：对任意的
，
是
与
的
等差中项．
（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前
项和公式，考
查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12 分．
（Ⅰ）证明：由题设
（
），得
，即
，
．
又
，
，所以
是首项为1，公比为
的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）
，
，
……
，（
）．
将以上各式相加，得
（
）．
所以当
时，
上式对
显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当
时，显然
不是
与
的等差中项，故
．
由
可得
，由
得
， ①
整理得
，解得
或
（舍去）．于是
．
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另一方面，
，
．
由①可得
，
．
所以对任意的
，
是
与
的等差中项．
（21）（本小题满分14 分）
已知函数
（
），其中
．
（Ⅰ）当
时，讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）若函数
仅在
处有极值，求
的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求的取值范围．
（21）本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考
查综合分析和解决问题的能力．满分14 分．
（Ⅰ）解：
．
当
时，
．
令
，解得
，
，
．
当
变化时，
，
的变化情况如下表：
0
2
－
0
＋
0
－
0
＋
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以
在
，
内是增函数，在
，
内是减函数．
（Ⅱ）解：
，显然
不是方程
的根．
为使
仅在
处有极值，必须
成立，即有
．
解些不等式，得
．这时，
是唯一极值．
因此满足条件的
的取值范围是
．
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（Ⅲ）解：由条件
，可知
，从而
恒成立．
当
时，
；当
时，
．
因此函数
在
上的最大值是
与
两者中的较大者．
为使对任意的
，不等式
在
上恒成立，当且仅当
，即
，在
上恒成立．
所以
，因此满足条件的
的取值范围是
．
（22）（本小题满分14 分）
已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
．
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若以
为斜率的直线与双曲线C 相交于两个不同的点M，N，且线段MN 的垂直
平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求的取值范围．
（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比
分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．
满分14 分．
（Ⅰ）解：设双曲线
的方程为
（
）．由题设得
，解得
，所以双曲线方程为
．
（Ⅱ）解：设直线
的方程为
（
）．点
，
的坐标
满足方程组
将①式代入②式，得
，整理得
．
此方程有两个一等实根，于是
，且
．整
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理得
． ③
由根与系数的关系可知线段
的中点坐标
满足
，
．
从而线段
的垂直平分线方程为
．
此直线与
轴，
轴的交点坐标分别为
，
．由题设可得
．整理得
，
．
将上式代入③式得
，整理得
，
．
解得
或
．
所以
的取值范围是
．
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