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1
2008 年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分70 分）
1．（5 分）（2008•江苏）若函数
最小正周期为
，则ω=
_________
．
2．（5 分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具），先后抛掷
两次，则出现向上的点数之和为4 的概率是
_________
．
3．（5 分）（2008•江苏）若将复数
表示为a+bi（a，b∈R，i 是虚数单位）的形式，则a+b=
_________
．
4．（5 分）（2008•江苏）若集合A={x|（x
1
﹣）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z 中有
_________
个元素．
5．（5 分）（2008•江苏）已知向量和的夹角为120°，
，则
=
_________
．
6．（5 分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E 是
到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是
_________
．
7．
（5 分）
（2008•江苏）某地区为了解70
80
﹣
岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50 位老人进行调查，
下表是这50 位老人睡眠时间的频率分布表：
序号i 分组
（睡眠时间）
组中值
（Gi）
频数
（人数）
频率（Fi）
1
[4，5）
4.5
6
0.12
2
[5，6）
5.5
10
0.20
3
[6，7）
6.5
20
0.40
4
[7，8）
7.5
10
0.20
5
[8，9]
8.5
4
0.08
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为
_________
．
2
8．（5 分）（2008•江苏）设直线y= x+b 是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b 的值为
_________
．
9．（5 分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点
P（0，p）在线段AO 上的一点（异于端点），这里a，b，c，p 均为非零实数，设直线BP，CP 分别与边AC，AB 交于点E，
F，某同学已正确求得直线OE 的方程为
，请你完成直线OF 的方程：
_________
．
10．（5 分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第3 个数
为
_________
．
11．（5 分）（2008•江苏）设x，y，z 为正实数，满足x
2y+3z=0
﹣
，则
的最小值是
_________
．
12．（5 分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
的焦距为2c，以O 为圆心，a 为半径
作圆M，若过
作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为
_________
．
13．（5 分）（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=
BC 的三角形ABC 的面积的最大值是
_________
．
14．（5 分）（2008•江苏）f（x）=ax3
3x+1
﹣
对于x∈[
1
﹣，1]总有f（x）≥0 成立，则a=
_________
．
二、解答题（共12 小题，满分90 分）
3
15．
（15 分）
（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆
于A，B 两点．已知A，B 两点的横坐标分别是
，
．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β 的值．
16．（15 分）（2008•江苏）如图，在四面体ABCD 中，CB=CD，AD BD
⊥
，点E，F 分别是AB，BD 的中点．求证：
（1）直线EF∥面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．
17．（15 分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A，B 及CD 的中点P 处．
AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B 等距的一点O 处，建造
一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y 表示成θ 的函数；
（ii）设OP=x（km），将y 表示成x 的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
18．（15 分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过
三个交点的圆记为C．
（1）求实数b 的取值范围；
（2）求圆C 的方程；
（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．
19．（15 分）（2008•江苏）（1）设a1，a2，…，an是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某
一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当n=4 时，求
的数值；
（ii）求n 的所有可能值．
4
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，bn，其中任意三项（按原
来的顺序）都不能组成等比数列．
20．（15 分）（2008•江苏）已知函数
，
（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定
义为：对每个给定的实数x，
（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x 成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；
（2）设a，b 是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长
度之和为
（闭区间[m，n]的长度定义为n
m
﹣）
21．（2008•江苏）如图，△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E，∠BAC 的平分线与BC 交于点D．求
证：ED2=EB•EC．
22．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x2+y2=1 在矩阵
对应的变换作用下得到曲线F，求F 的方程．
23．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点P（x，y）是椭圆
上的一个动点，求S=x+y 的最大值．
24．（2008•江苏）设a，b，c 为正实数，求证：
．
25．（2008•江苏）记动点P 是棱长为1 的正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的对角线BD1上一点，记
．当∠APC 为钝
角时，求λ 的取值范围．
26．（2008•江苏）请先阅读：
在等式cos2x=2cos2x
1
﹣（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x
1
﹣）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•（﹣
sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn
0+Cn
1x+Cn
2x2+…+Cn
nxn（x∈R，正整数n≥2），证明：
．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）
；
5
（ii）
；
（iii）
．
6
2008 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分70 分）
1．（5 分）
考点：三角函数的周期性及其求法．4664233
专题：计算题．
分析：根据三角函数的周期公式，即T=
可直接得到答案．
解答：解：.
故答案为：10
点评：本小题考查三角函数的周期公式，即T=
．
2．（5 分）
考点：古典概型及其概率计算公式．4664233
专题：计算题．
分析：分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．
解答：解析：基本事件共6×6 个，
点数和为4 的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3 个，
故
．
故填：
．
点评：本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）= ．
3．（5 分）
考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．4664233
专题：计算题．
分析：利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．
解答：
解：．∵
，
a=0
∴
，b=1，
因此a+b=1
故答案为1
点评：本小题考查复数的除法运算．
4．（5 分）
考点：交集及其运算．4664233
分析：先化简集合A，即解一元二次不等式（x
1
﹣）2＜3x+7，再与Z 求交集．
解答：解：由（x
1
﹣）2＜3x+7 得x2
5x
6
﹣
﹣＜0，∴A=（﹣1，6），因此A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有6 个元素．
故答案是 6
点评：本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．
5．（5 分）
考点：向量的模．4664233
专题：计算题．
分析：根据向量的数量积运算公式得
，化简后把已知条件代入求值．
解答：解：由题意得，
7
=
，
∴
=7．
故答案为：7．
点评：本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“
”进行求解．
6．（5 分）
考点：古典概型及其概率计算公式．4664233
专题：计算题．
分析：本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），满足条件的事
件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果．
解答：解析：本小题是一个几何概型，
∵试验包含的所有事件是区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），面积是42=16，
满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×12
根据几何概型概率公式得到
∴
故答案为：
．
点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积
之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．
7．（5 分）
考点：频率分布表；工序流程图（即统筹图）．4664233
专题：图表型．
分析：观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值，再结合直方图中数据
即可求解．
解答：解：由流程图知：
S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5
=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08
=6.42，
故填：6.42．
点评：本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须
认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．
8．（5 分）
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．4664233
专题：计算题．
分析：欲实数b 的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可
求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．
解答：解：y′=（lnx）′= ，令= 得x=2，
∴切点为（2，ln2），代入直线方程y= x+b，
ln2=
∴
×2+b，∴b=ln2
1
﹣．
故答案为：ln2
1
﹣
点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能
8
力．属于基础题．
9．（5 分）
考点：直线的一般式方程；归纳推理．4664233
专题：转化思想．
分析：本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE 的方程为
，分析A（0，a），B
（b ，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线OF 的方程为：
．
解答：解：由截距式可得直线AB：
，
直线CP：
，
两式相减得
，
显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，
又原点O 也满足此方程，
故为所求直线OF 的方程．
故答案为：
．
点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物
的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
10．（5 分）
考点：归纳推理；等比数列的前n 项和．4664233
专题：压轴题；规律型．
分析：观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n 行的最后一个数，即为前n
项数据的个数，故我们要判断第n 行（n≥3）从左向右的第3 个数，可先判断第n
1
﹣行的最后一个数，然后递
推出最后一个数据．
解答：解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．
前n
1
﹣行共有正整数1+2+…+（n
1
﹣）个，
即
个，
因此第n 行第3 个数是全体正整数中第
+3 个，
即为
．
点评：归纳推理的一般步骤是：
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确表
达的一般性命题（猜想）．
11．（5 分）
考点：基本不等式．4664233
分析：
由x
2y+3z=0
﹣
可推出
，代入
中，消去y，再利用均值不等式求解即可．
解答：解：∵x
2y+3z=0
﹣
，
∴
，
∴
=
，当且仅当x=3z 时取“=”．
故答案为3．
点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．
12．（5 分）
考点：椭圆的简单性质．4664233
专题：计算题；压轴题．
分析：抓住△OAP 是等腰直角三角形，建立a，c 的关系，问题迎刃而解．
解答：解：设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，
9
故
，
解得
，
故答案为
．
点评：本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力．
13．（5 分）
考点：三角形中的几何计算．4664233
专题：计算题；压轴题．
分析：设BC=x，根据面积公式用x 和sinB 表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x 表示出sinB，代入三角形的面
积表达式，进而得到关于x 的三角形面积表达式，再根据x 的范围求得三角形面积的最大值．
解答：解：设BC=x，则AC=
x，
根据面积公式得S
ABC
△
= AB•BCsinB
= ×2x
，
根据余弦定理得cosB=
=
=
，
代入上式得
S
ABC
△
=x
=
，
由三角形三边关系有
，
解得2
2
﹣＜x＜2
+2．
故当x=2
时，S
ABC
△
取得最大值2
．
点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定
义域等问题．
14．（5 分）
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．4664233
专题：计算题；压轴题．
分析：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0
等三种情形，当x=0 时，不论a 取何值，f（x）≥0 都成立；当x＞0 时有a≥
，可构造函数g（x）=
，
然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0 时的a 的范围，从而可得a 的值．
解答：解：若x=0，则不论a 取何值，f（x）≥0 都成立；
当x＞0 即x∈（0，1]时，f（x）=ax3
3x+1≥0
﹣
可化为：a≥
设g（x）=
，则g′（x）=
，
10
所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[ ，1]上单调递减，
因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；
当x＜0 即x∈[
1
﹣，0）时，f（x）=ax3
3x+1≥0
﹣
可化为：a≤
，
g（x）=
在区间[
1
﹣，0）上单调递增，
因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．
答案为：4
点评：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求
函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0 的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解
答．
二、解答题（共12 小题，满分90 分）
15．（15 分）
考点：两角和与差的正切函数．4664233
分析：（1）先由已知条件得
；再求sinα、sinβ 进而求出tanα、tanβ；
最后利用tan（α+β）=
解之．
（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β 的范围确定角的值．
解答：解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知
，
因为α 为锐角，则sinα＞0，从而
同理可得
，
因此
．
所以tan（α+β）=
；
（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=
，
又
，故
，
所以由tan（α+2β）=
1
﹣得
．
点评：本题主要考查正切的和角公式与转化思想．
16．（15 分）
考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．4664233
专题：证明题．
分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD 内找一条直线和直线EF 平行即可，根据中位线可知EF AD
∥
，EF⊄
面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；
（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知
BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．
解答：证明：（1）∵E，F 分别是AB，BD 的中点．
EF
∴
是△ABD 的中位线，∴EF AD
∥
，
EF
∵
⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；
（2）∵AD BD
⊥
，EF AD
∥
，∴EF BD
⊥
，
CB=CD
∵
，F 是BD 的中点，∴CF BD
⊥
11
又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，
BD
∵
⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD
点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的
掌握能力．
17．（15 分）
考点：在实际问题中建立三角函数模型．4664233
分析：（1）（i）根据题意知PQ 垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y 的函数关系
式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．
（ii）已知OP，可得出OQ 的表达式，由勾股定理推出OA，易
得y 的函数关系式．
（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系
式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．
解答：解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
则
，故
，又OP=10
10tanθ
﹣
，
所以
，
所求函数关系式为
②若OP=x（km），则OQ=10
x
﹣，所以OA=OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令y′=0 得sin
，因为
，所以θ=
，
当
时，y′＜0，y 是θ 的减函数；当
时，y′＞0，y 是θ 的增函数，所以当θ=
时，
．这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边
km 处．
点评：本小题主要考查函数最值的应用．
①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求
最值的方法和技巧．
②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用
求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数
在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．
18．（15 分）
考点：二次函数的图象；圆的标准方程．4664233
专题：计算题．
分析：（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b 不等于0，然后抛物线与x 轴有两个
交点即令f（x）=0 的根的判别式大于0 即可求出b 的范围；
（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0 得到与f（x）=0 一样的方程；令x=0
得到方程有一个根是b 即可求出圆的方程；
（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x0
2+y0
2+2x0
y
﹣0+b（1
y
﹣0）=0，因为x0，y0不依赖于b 得
取值，所以得到1
y
﹣0=0 即y0=1，代入x0
2+y0
2+2x0
y
﹣0=0 中即可求出定点的坐标．
解答：解：．（1）令x=0，得抛物线与y 轴交点是（0，b）；
令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0 且△＞0，解得b＜1 且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0 得x2+Dx+F=0 这与x2+2x+b=0 是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0 得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=
b
1
﹣﹣．
所以圆C 的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．
（3）圆C 必过定点，证明如下：
假设圆C 过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C 的方程，
并变形为x0
2+y0
2+2x0
y
﹣0+b（1
y
﹣0）=0（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b 都成立，必须有1
y
﹣0=0，结合（*）式得x0
2+y0
2+2x0
y
﹣0=0，解得
12
经检验知，（﹣2，1）均在圆C 上，因此圆C 过定点．
点评：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．
19．（15 分）
考
点：
等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质．4664233
专
题：
探究型；分类讨论；反证法．
分
析：
（1）根据题意，对n=4，n=5 时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推
广到n≥4 的所有情况．
（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可．
解
答：
解：（1）①当n=4 时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出
d=0．
若删去a2，则a3
2=a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d）化简得a1+4d=0，得
若删去a3，则a2
2=a1•a4，即（a1+d）2=a1•（a1+3d）化简得a1
d=0
﹣
，得
综上，得
或
．
②当n=5 时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项．
若删去a3，则a1•a5=a2•a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）•（a1+3d）化简得3d2=0，因为d≠0，所以a3不能删去；
当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an
2
﹣，an
1
﹣，an中，由于不能删去首项或末项，
若删去a2，则必有a1•an=a3•an
2
﹣，这与d≠0 矛盾；
同样若删去an
1
﹣也有a1•an=a3•an
2
﹣，这与d≠0 矛盾；
若删去a3，，an
2
﹣中任意一个，则必有a1•an=a2•an
1
﹣，这与d≠0 矛盾．（或者说：当n≥6 时，无论删去哪一项，剩余
的项中必有连续的三项）
综上所述，n=4．
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d 的n 项等差数列b1，b2，bn，其中bx+1，by+1，bz+1（0≤x＜y＜z≤n﹣
1）为任意三项成等比数列，则b2
y+1=bx+1•bz+1，即（b1+yd）2=（b1+xd）•（b1+zd），化简得（y2
xz
﹣
）d2=（x+z
2y
﹣
）
b1d（*）
由b1d≠0 知，y2
xz
﹣
与x+z
2y
﹣
同时为0 或同时不为0
当y2
xz
﹣
与x+z
2y
﹣
同时为0 时，有x=y=z 与题设矛盾．
故y2
xz
﹣
与x+z
2y
﹣
同时不为0，所以由（*）得
因为0≤x＜y＜z≤n
1
﹣，且x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而
为有理数．
于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要
为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．
例如n 项数列1，
，
，，
满足要求．
点
评：
本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力．
20．（15 分）
考点：指数函数综合题．4664233
专题：计算题；压轴题；分类讨论．
分析：（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）对所有实数成立，等价于f1（x）≤f2（x）对所有实
数x 成立等价于
，即
对所有实数x 均成立，分析
容易得证；再证必要性：
对所有实数x 均成立等价于
，即|p1
p
﹣2|≤log32，
（2）分两种情形讨论：①当|p1
p
﹣2|≤log32 时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调
增区间的长度；②当|p1
p
﹣2|＞log32 时，a，b 是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），根据图象
和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度．
解答：解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）这又等价于
13
，即
对所有实数x 均成立．（*）
由于|x
p
﹣1|
|x
p
﹣﹣2|≤|（x
p
﹣1）﹣（x
p
﹣2）|=|p1
p
﹣2|（x∈R）的最大值为|p1
p
﹣2|，
故（*）等价于
，即|p1
p
﹣2|≤log32，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i）当|p1
p
﹣2|≤log32 时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]）
则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b 易知
，
再由
的单调性可知，
函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度
为
（参见示意图）
（ii）|p1
p
﹣2|＞log32 时，不妨设p1＜p2，，则p2
p
﹣1＞log32，于是
当x≤p1时，有
，从而f（x）=f1（x）；
当x≥p2时，有
从而f（x）=f2（x）；当p1＜x＜p2时，
，及
，由方程
解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为
（1）
显然
，
这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知
综上可知，在区间[a，b]上，
（参见示意图）
故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0
p
﹣1）+（b
p
﹣2），由
于f（a）=f（b），即
，得p1+p2=a+b+log32（2）
故由（1）、（2）得
综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为
．
点评：考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明
方法．
14
21．（2008•江苏）
考点：与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．4664233
分析：根据已知EA 是圆的切线，AC 为过切点A 的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD 是等腰三
角形，再根据切割线定理即可证得．
解答：证明：因为EA 是圆的切线，AC 为过切点A 的弦，
所以∠CAE= CBA
∠
．
又因为AD 是ÐBAC 的平分线，所以∠BAD= CAD
∠
所以∠DAE= DAC+ EAC= BAD+ CBA= ADE
∠
∠
∠
∠
∠
所以，△EAD 是等腰三角形，所以EA=ED．
又EA2=EC•EB，
所以ED2=EB•EC．
点评：此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB 和EC 的乘积．
22．（2008•江苏）
考点：圆的标准方程；矩阵变换的性质．4664233
专题：计算题．
分析：由题意先设椭圆上任意一点P（x0，y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x0′，y0′），得到两点的关系式，再
由点P 在椭圆上代入化简．
解答：解：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，
则点P（x0，y0）在矩阵A 对应的变换下变为点P′（x0′，y0′）
则有
，即
，所以
又因为点P 在椭圆上，故4x0
2+y0
2=1，从而（x0′）2+（y0′）2=1
所以，曲线F 的方程是x2+y2=1
点评：本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．
23．（2008•江苏）
考点：椭圆的参数方程．4664233
专题：计算题；转化思想．
分析：先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即
可求出所求．
解答：
解：因椭圆
的参数方程为
（ϕ 为参数）
故可设动点P 的坐标为
，其中0≤ϕ＜2π．
因此
所以，当
时，S 取最大值2．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
24．（2008•江苏）
考点：平均值不等式；不等式的证明．4664233
专题：证明题．
分析：
先根据平均值不等式证明
，再证
．
解答：
证明：因为a，b，c 为正实数，由平均不等式可得
，
即
，
15
所以，
，
而
，
所以，
点评：
本题考查平均值不等式的应用，n 个正数的算术平均数
大于或等于它们的几何平均数
．
25．（2008•江苏）
考点：用空间向量求直线间的夹角、距离．4664233
专题：计算题；压轴题．
分析：
由题意易知∠APC 不可能为平角，则∠APC 为钝角等价于
，即
，再将
用关于λ 的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可
解答：解：由题设可知，以
、
、
为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系D
xyz
﹣
，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由
，得
，所以
显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于
，则等价于
即（1
λ
﹣）（﹣λ）+（﹣λ）（1
λ
﹣）+（λ
1
﹣）2=（λ
1
﹣）（3λ
1
﹣）＜0，得
因此，λ 的取值范围是
点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题．
26．（2008•江苏）请先阅读：
考点：微积分基本定理；二项式定理；类比推理．4664233
专题：证明题；综合题；压轴题．
分析：（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．
（2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式．
（ii）对二项式的定理的两边对x 求导数，再对得到的等式对x 两边求导数，给x 赋值﹣1 化简即得证．
（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．
解答：证明：（1）在等式（1+x）n=Cn
0+Cn
1x+Cn
2x2++Cn
nxn两边对x 求导得n（1+x）n
1
﹣=Cn
1+2Cn
2x++（n
1
﹣）Cn
n
1
﹣xn﹣
2+nCn
nxn
1
﹣
16
移项得
（*）
（2）（i）在（*）式中，令x=
1
﹣，整理得
所以
（ii）由（1）知n（1+x）n
1
﹣=Cn
1+2Cn
2x+…+（n
1
﹣）Cn
n
1
﹣xn
2
﹣+nCn
nxn
1
﹣，n≥3
两边对x 求导，得n（n
1
﹣）（1+x）n
2
﹣=2Cn
2+3•2Cn
3x+…+n（n
1
﹣）Cn
nxn
2
﹣
在上式中，令x=
1
﹣，得0=2Cn
2+3•2Cn
3（﹣1）+…+n（n
1
﹣）Cn
2（﹣1）n
2
﹣
即
，
亦即
（1）
又由（i）知
（2）
由（1）+（2）得
（iii）将等式（1+x）n=Cn
0+Cn
1x+Cn
2x2+…+Cn
nxn两边在[0，1]上对x 积分
由微积分基本定理，得
所以
点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．
