2009 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至9 页，共
150 分。考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共40 分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B
铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母
为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。
一、本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．设集合
2
1
{ |
2},
{
1}
2
A
x
x
B
x x
，则A
B
（ ）
A．{
1
2}
x
x
B．
1
{ |
1}
2
x
x
C．{ |
2}
x x
D．{ |1
2}
x
x
【答案】A
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的
考查.
∵
1
{ |
2},
2
A
x
x
2
{
1}
| 1
1
B
x x
x
x
，
∴
{
1
2}
A
B
x
x
，故选A.
2．已知向量
(1,0),
(0,1),
(
),
a
b
c
ka
b k
R d
a
b
，如果//
c
d ，那么
A．
1
k
且c 与d 同向 B．
1
k
且c 与d 反向
C．
1
k 且c 与d 同向 D．
1
k 且c 与d 反向
【答案】D
.w【解析】.k.s.5.u.c 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运
算的考查.
∵a
1,0
，b
0,1
，若
1
k
，则cab
1,1
，dab
1, 1
，
显然，a 与b 不平行，排除A、B.
若
1
k ，则cab
1,1
，dab
1,1
，
即c // d 且c 与d 反向，排除C，故选D
3．若
4
(1
2)
2( ,
a
b
a b
为有理数），则a
b
（ ）
A．33
B．29
C．23
D．19
【答案】B
.w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵
4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
4
4
4
4
4
1
2
2
2
2
2
2
C
C
C
C
C
1
4 2
12
8 2
4
17
12 2
，
由已知，得17
12 2
2
a
b
，∴
17 12
29
a
b
.故选B.
.k.s.5.u.c 4．为了得到函数
3
lg 10
x
y
的图像，只需把函数
lg
y
x
的图像上所有的点（
）
A．向左平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度
B．向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度
C．向左平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
D．向右平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
【答案】C
.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A．
lg
3
1
lg10
3
y
x
x
，
B．
lg
3
1
lg10
3
y
x
x
，
C．
3
lg
3
1
lg 10
x
y
x
，
D．
3
lg
3
1
lg 10
x
y
x
.
故应选C.
5．用数字1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A．8
B．24
C．48
D．120
【答案】C
.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考
查.
2 和4 排在末位时，共有
1
2
2
A
种排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有
3
4
4 3 2
24
A
种排法，
于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有2 24
48
（个）.故选C.
6．“
6
”是“
1
cos2
2
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
.w【解析】本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.
属于基础知识、基本运算的考查.
当
6
时，
1
cos2
cos 3
2
，
反之，当
1
cos2
2
时，有
2
2
3
6
k
k
k
Z
，
或
2
2
3
6
k
k
k
Z
，故应选A.
7．若正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面边长为1，
1
AB 与底面ABCD 成60°角，则
1
1
AC 到底
面ABCD 的距离为 ( )
A．
3
3
B．1
C．
2
D．3
【答案】D
.w【解析】.k 本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等
概念.
属于基础知识、基本运算的考查.
依题意，
1
60
B AB
，如图，
1
1 tan 60
3
BB
，故选D.
8 ．设D 是正
1
2
3
PP P
及其内部的点构成的集合，点
0P 是
1
2
3
PP P
的中心，若集合
0
{
|
,|
| |
|,
1,2,3}
i
S
P P
D PP
PP
i
，则集合S 表示的平面区域是 ( )
A．三角形区域
B．四边形区域
C．五边形区域
D．六边形区域
【答案】D
【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁
移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
大光明 如图，
A、B、C、D、E、F 为各边三等分点，答案是集合S 为六
边形ABCDEF，其中，
0
2
1,3
i
P A
P A
PA i
即点P 可以是点A.
第Ⅱ卷（110 分）
注意事项：
1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。把答案填写在题中横线上。
9．若
4
sin
,tan
0
5
，则cos .
【答案】
3
5
【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。
由已知，在第三象限，∴
2
2
4
3
cos
1 sin
1
5
5
，∴应填
3
5
.
10．若数列{
}
na
满足：1
1
1,
2
(
)
n
n
a
a
a n
N
，则
5a ；前8 项的
和
8S
.（用数字作答）
【答案】16 255
.w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本
运算的考查.
1
2
1
3
2
4
3
5
4
1,
2
2,
2
4,
2
8,
2
16
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，
易知
8
8
2
1
255
2 1
S
，∴应填255.
11．若实数,x y 满足
2
0,
4,
5,
x
y
x
x
则s
x
y
的最大值为 .
【答案】9
【解析】.s.5.u 本题主要考查线性规划方面的基础知.
属于基础知识、基本运算的考查.
如图，当
4,
5
x
y
时，
4
5
9
s
x
y
为最大值.
故应填9.
12 ．已知函数
3 ,
1,
( )
,
1,
x
x
f x
x
x
若
( )
2
f x
，则
x .
.w.w.k.s.5【答案】
3
log 2
.w【解析】5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值. 属于基础知识、基本
运算的考查.
由
3
1
log 2
3
2
x
x
x
，
1
2
2
x
x
x
无解，故应填
3
log 2 .
13．椭圆
2
2
1
9
2
x
y
的焦点为
1
2
,
F F ，点P 在椭圆上，若
1
|
| 4
PF
，则
2
|
|
PF ；
1
2
F PF
的大小为 .
【答案】2, 120
.w【解析】u.c 本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.
属于基础知识、基本运算的考查.
∵
2
2
9,
3
a
b
，
∴
2
2
9
2
7
c
a
b
，
∴
1
2
2 7
F F
，
又
1
1
2
4,
2
6
PF
PF
PF
a
，∴
2
2
PF
，
又由余弦定理，得
2
2
2
1
2
2
4
2 7
1
cos
2 2 4
2
F PF
，
∴
1
2
120
F PF
，故应填2, 120
.
14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k
A
，如果
1
k
A
且
1
k
A
，那么称k 是A
的一个“孤立元”，给定
{1,2,3,4,5,6,7,8,}
S
，由S 的3 个元素构成的所有集合中，不含
“孤立元”的集合共有 个.
【答案】6
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决
问题的能力. 属于创新题型.
什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集
合中有与k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：
因此，符合题意的集合是：
1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 , 4,5,6 , 5,6,7 , 6,7,8 共6 个.
故应填6.
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共12 分）
已知函数
( )
2sin(
)cos
f x
x
x
.
（Ⅰ）求
( )
f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求
( )
f x 在区间
,
6 2
上的最大值和最小值.
【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的
最值等基础知识，主要考查基本运算能力．
（Ⅰ）∵
2sin
cos
2sin
cos
sin 2
f x
x
x
x
x
x
，
∴函数
( )
f x 的最小正周期为.
（Ⅱ）由
2
6
2
3
x
x
，∴
3
sin 2
1
2
x
，
∴
( )
f x 在区间
,
6 2
上的最大值为1，最小值为
3
2
.
16．（本小题共14 分）
如图，四棱锥P
ABCD
的底面是正方形，
PD
ABCD
底面
，点E 在棱PB 上.
（Ⅰ）求证：平面AEC
PDB
平面
；
（Ⅱ）当
2
PD
AB
且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，
考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC BD
⊥
，
∵PD
ABCD
底面
，
∴PD AC
⊥
，
∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC
PDB
平面
.
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O，
∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，
∴O，E 分别为DB、PB 的中点，
OE//PD
∴
，
1
2
OE
PD
，
又∵PD
ABCD
底面
，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE 中，
1
2
2
2
OE
PD
AB
AO
，
∴
45
AEO
，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45
.
【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D
xyz
，
设
,
,
AB
a PD
h
则
,0,0 ,
, ,0 ,
0, ,0 ,
0,0,0 ,
0,0,
A a
B a a
C
a
D
P
h ，
（Ⅰ）∵
, ,0 ,
0,0,
,
, ,0
AC
a a
DP
h
DB
a a
，
∴
0,
0
AC DP
AC DB
，
∴AC DP
⊥
，AC⊥BD，
∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC
PDB
平面
.
（Ⅱ）当
2
PD
AB
且E 为PB 的中点时，
1
1
2
0,0, 2
,
,
,
2
2
2
P
a
E
a
a
a
，
设AC
BD
O
，则
1
1
(
,
,0)
2
2
O
a
a
，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O，
∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，
∵
1
1
2
2
,
,
,
0,0,
2
2
2
2
EA
a
a
a
EO
a
，
∴
2
cos
2
EA EO
AEO
EA
EO
，
∴
45
AEO
，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45
.
17．（本小题共13 分）
某学生在上学路上要经过4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的
概率都是
1
3 ，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率
知识解决实际问题的能力.
（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A 等于事件
“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概
率为
1
1
1
4
1
1
3
3
3
27
P A
.
（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 为事件B，这名学生在上
学路上遇到k 次红灯的事件
0,1,2
k
B
k
.
则由题意，得
4
0
2
16
3
81
P B
，
1
3
2
2
1
2
1
4
2
4
1
2
32
1
2
24
,
3
3
81
3
3
81
P B
C
P B
C
.
由于事件B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，
∴事件B 的概率为
0
1
2
8
9
P B
P B
P B
P B
.
18．（本小题共14 分）
设函数
3
( )
3
(
0)
f x
x
ax
b a
.
（Ⅰ）若曲线
( )
y
f x
在点(2,
(2))
f
处与直线
8
y
相切，求,a b 的值；
（Ⅱ）求函数
( )
f x 的单调区间与极值点.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分
析和解决问题的能力．
（Ⅰ）
'
2
3
3
f
x
x
a
,
∵曲线
( )
y
f x
在点(2,
(2))
f
处与直线
8
y
相切，
∴
' 2
0
3 4
0
4,
24.
8
6
8
2
8
f
a
a
b
a
b
f
（Ⅱ）∵
'
2
3
0
f
x
x
a
a
,
当
0
a
时，
'
0
f
x
，函数
( )
f x 在
,
上单调递增，此时函数
( )
f x 没有极值点.
当
0
a
时，由
'
0
f
x
x
a
，
当
,
x
a
时，
'
0
f
x
，函数
( )
f x 单调递增，
当
,
x
a
a
时，
'
0
f
x
，函数
( )
f x 单调递减，
当
,
x
a
时，
'
0
f
x
，函数
( )
f x 单调递增，
∴此时x
a
是
( )
f x 的极大值点，x
a
是
( )
f x 的极小值点.
19．（本小题共14 分）
已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为3 ，右准线方程为
3
3
x
。
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）已知直线
0
x
y
m
与双曲线C 交于不同的两点A，B，且线段AB 的中点在圆
2
2
5
x
y
上，求m 的值
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系
等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得
2
3
3
3
a
c
c
a
，解得
1,
3
a
c
，
∴
2
2
2
2
b
c
a
，∴所求双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x
.
（Ⅱ）设A、B 两点的坐标分别为
1
1
2
2
,
,
,
x y
x
y
，线段AB 的中点为
0
0
,
M x
y
，
由
2
2
0
1
2
x
y
m
y
x
得
2
2
2
2
0
x
mx
m
（判别式
0
）,
∴
1
2
0
0
0
,
2
2
x
x
x
m y
x
m
m
,
∵点
0
0
,
M x
y
在圆
2
2
5
x
y
上，
∴
2
2
2
5
m
m
，∴
1
m .
20．（本小题共13 分）
设数列{
}
na
的通项公式为
(
,
0)
na
pn
q n
N
P
. 数列{ }
nb
定义如下：对于正整数
m ，
m
b 是使得不等式
na
m
成立的所有n 中的最小值.
（Ⅰ）若
1
1
,
2
3
p
q
，求
3b ；
（Ⅱ）若
2,
1
p
q
，求数列{
}
m
b
的前2m 项和公式；
（Ⅲ）是否存在p 和q，使得
3
2(
)
m
b
m
m
N
？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不
存在，请说明理由.
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论
等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
（Ⅰ）由题意，得
1
1
2
3
na
n
，
解
1
1
3
2
3
n
，得
20
3
n
.
∴
1
1
3
2
3
n
成立的所有n 中的最小正整数为7，即
3
7
b
.
（Ⅱ）由题意，得
2
1
na
n
，
对于正整数m，由
na
m
，得
1
2
m
n
.
根据
m
b 的定义可知
当
2
1
m
k
时，
*
m
b
k k
N
；
当
2
m
k
时，
*
1
m
b
k
k
N
.
∴
1
2
2
1
3
2
1
2
4
2
m
m
m
b
b
b
b
b
b
b
b
b
1
2
3
2
3
4
1
m
m
2
1
3
2
2
2
m m
m m
m
m
.
（Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn
q
m
及
0
p
得
m
q
n
p
.
∵
3
2(
)
m
b
m
m
N
,根据
m
b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有
3
1
3
2
m
q
m
m
p
，
即
2
3
1
p
q
p
m
p
q
对任意的正整数m 都成立.
当3
1
0
p （或3
1
0
p
）时，得
3
1
p
q
m
p
（或
2
3
1
p
q
m
p
），这与上述结论矛盾！
当3
1
0
p
，即
1
3
p
时，得
2
1
0
3
3
q
q
，
解得
2
1
3
3
q
.（经检验符合题意）
∴ 存在p 和q，使得
3
2(
)
m
b
m
m
N
；p 和q 的取值范围分别是
1
3
p
，
2
1
3
3
q
.
