文档文本内容
绝密★启用前
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一.填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填
写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。
1．函数f(x)=x3+1 的反函数f-1(x)=_____________.
2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，
则实数a 的取值范围是__________________.
3. 若行列式
中，元素4 的代数余子式大于0，则x 满足的条件是
___________ _______.
4. 某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是
________________.
5.如图，若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD
所成角的大小是___________________ w.w.w.zxxk.c.o.m (结果用反三角函数值表示).
6. 若球O1 、O2 表示面积之比
，则它们的半径之比
=_____________. w.w.w.zxxk.c.o.m
7.已知实数x、y 满足
则目标函数z=x-2y 的最小值是
___________. w.w.w.zxxk.c.o.m
8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体
体积是 。w.w.w.zxxk.c.o.m
9．过点A（1，0）作倾斜角为
的直线，与抛物线
交于
两点，则
=
。w.w.w.k.
s.5.u.c.o.m
10.函数
的最小值是 。
11.若某学校要从5 名男生和2 名女生中选出3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者
中男女生均不少于1 名的概率是 （结果用最简分数表示）。
12.已知
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆
上的一点，且
。若
的面积为9，则
. w.w.w.zxxk.c.o.m
13.已知函数
。项数为27 的等差数列
满足
且公差
,若
，则当k= 时，
。
14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格
点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），
（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5 个零售点沿街道发行
站之间路程的和最短。
二。、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答
案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4 分，否则一律得零分。
15．已知直线
平行，则K 得值是（
）w.w.w.zxxk.c.o.m
（A） 1 或3 （B）1 或5 （C）3 或5 （D）1 或2
16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3 和4，过直角顶点的侧棱长为
4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）
17．点P（4，－2）与圆
上任一点连续的中点轨迹方程是 [答]（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体
感染的标志为“连续10 天，每天新增疑似病例不超过7 人”. 根据过去10 天甲、乙、
丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 [答]（ ）
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .
（C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 .
三．解答题（本大题满分78 分）本大题共5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定
区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分14 分）
已知复数
（a、b
）(I 是虚数单位)是方程
的根 . 复数
（
）满足
，求 u 的取值范围 . w.w.w.zxxk.c.o.m
20．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分
已知ΔABC 的角A、B、C 所对的边分别是a、b、c，设向量
，
，
.
（1）
若
//
，求证：ΔABC 为等腰三角形；w.w.w.zxxk.c.
o.m
（2）
若
⊥
，边长c = 2，角C =
，求ΔABC 的面积 .
21．（本题满分16 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分10 分 .有时可用
函数
w.w.w.zxxk.c.o.m
描述学习某学科知识的掌握程度.其中
表示某学科知识的学习次数（
），
表示
对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.
（1）证明：当x
7 时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；w.w.w.zxxk.c.o.m
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,
(127,133］.当学习某学科知识6 次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
22.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分4 分，第3 小题满
分8 分.
已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为F
，一条渐近线m:
,设过点A
的直线l 的方向向量
。
（1）求双曲线C 的方程；w.w.w.zxxk.c.o.m
（2）若过原点的直线
，且a 与l 的距离为
，求K 的值；
（3）证明：当
时，在双曲线C 的右支上不存在点Q，使之到直线l 的距离为
.
23.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满
分8 分.
已知
是公差为d 的等差数列，
是公比为q 的等比数列
（1）若
，是否存在
，有
？请说明理由；
（2）若
（a、q 为常数，且aq
0）对任意m 存在k，有
，试求a、q 满足的充
要条件；
（3）若
试确定所有的p,使数列
中存在某个连续p 项的和式数列中
的一项，请证明. w.w.w.zxxk.c.o.m
上海 数学试卷（文史类）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上
条形码。
2．本试卷共有23 道试题，满分150 分，考试时间120 分钟。
一.填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填
写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。
1．函数f(x)=x3+1 的反函数f-1(x)=_____________.
1．【答案】
【解析】由y＝x3+1，得x＝
，将y 改成x，x 改成y 可得答案。
2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，
则实数a 的取值范围是__________________.
2．【答案】a≤1 [来
【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a 必须在点1 上或在1 的左边，所以，有a≤1。
3. 若行列式
中，元素4 的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___________
_______.
3．【答案】
【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：
[
4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是
________________.
4．【答案】
【解析】当x＞1 时，有y＝x－2，当x＜1 时有y＝
，所以，有分段函数。
5.如图，若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD 所成角
的大小是___________________ w.w.w.zxxk.c.o.m (结果用反三角函数值表示).
5．【答案】
【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD 所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B，
由勾股定理，得A1B＝2
，tan∠A1D1B＝
，所以，∠A1D1B＝
。
6.若球O1、O2表示面积之比
，则它们的半径之比
=_____________. w.w.w.zxxk.c.o.m
6．【答案】2
【解析】由
＝4，得
＝2。
7.已知实数x、y 满足
则目标函数z=x-2y 的最小值
是___________. w.w.w.zxxk.c.o.m
7．【答案】－9
【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：
－z，画直线
及其平行线，当此直线经过点A 时，
－z 的值最大，z 的值最小，A 点坐标为（3,6），所以，z 的最小值为：3－2×6＝－9。
8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体
体积是 。w.w.w.zxxk.c.o.m
8．【答案】
【解析】几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高也为2，体积V＝
＝
9．过点A（1，0）作倾斜角为
的直线，与抛物线
交于
两点，则
=
。w.w.w.k.
s.5.u.c.o.m
9．【答案】
【解析】直线方程为y＝x－1，代入抛物线
，得：x2－4x＋1＝0，
＋
＝4，
＝
1，则
＝
＝
＝
10.函数
的最小值是 。
10．【答案】
【解析】
，所以最小值为：
11.若某学校要从5 名男生和2 名女生中选出3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者
中男女生均不少于1 名的概率是 （结果用最简分数表示）。
11．【答案】
w.w.w.zxxk.c.o.m
【解析】因为只有2 名女生，所以选出3 人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：
，概率为:：
，所以，均不少于1 名的概率为：1－
。
12.已知
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆
上的一点，且
。若
的面积为9，则
. w.w.w.zxxk.c.o.m
12．【答案】3
【解析】依题意，有
，可得4c2＋36＝4a2，即a2－
c2＝9，故有b＝3。
13.已知函数
。项数为27 的等差数列
满足
且公差
,若
，则当k= 时，
。
13．【答案】14
【解析】函数
在
是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原
点对称，因为
，w.w.w.zxxk.c.o.m
所以
，所以当
时，
.
14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格
点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），
（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5 个零售点沿街道发行
站之间路程的和最短。
14．【答案】（3，3）
【解析】设发行站的位置为
，零售点到发行站的距离为
，
这六个点的横纵坐标的平均值为
，
，记
A（2，），画出图形可知，发行站的位置应该在点A 附近，代入附近的点的坐标进行比较可
知，在（3,3）处z 取得最小值。
二。、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答
案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4 分，否则一律得零分。
15．已知直线
平行，则K 得值是（
）w.w.w.zxxk.c.o.m
（A） 1 或3 （B）1 或5 （C）3 或5 （D）1 或2
15、【答案】C
【解析】当k＝3 时，两直线平行，当k≠3 时，由两直线平行，斜率相等，得：
＝k－3，解
得：k＝5，故选C。
16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3 和4，过直角顶点的侧棱长为
4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）
16、【答案】B
【解析】从正面看，应看到直角边为3 的顶点，而高为4，故正视图应为B。
17．点P（4，－2）与圆
上任一点连续的中点轨迹方程是 [答]（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
17、【答案】A
【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ 的中点为A（x，y），则
，解得：
，代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：
18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体
感染的标志为“连续10 天，每天新增疑似病例不超过7 人”. 根据过去10 天甲、乙、
丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 [答]（ ）
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .
（C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 .
18、【答案】D
【解析】根据信息可知，连续10 天内，每天的新增疑似病例不能有超过7 的数，选项A 中，中
位数为4，可能存在大于7 的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙
述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7 的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于
7 的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.
三．解答题（本大题满分78 分）本大题共5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定
区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分14 分）
已知复数
（a、b
）(I 是虚数单位)是方程
的根 . 复数
（
）满足
，求 u 的取值范围 . w.w.w.zxxk.c.o.m
19.解：原方程的根为
w.w.w.zxxk.c.o.m
20．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分 .
已知ΔABC 的角A、B、C 所对的边分别是a、b、c，设向量
，
，
.
（3）
若
//
，求证：ΔABC 为等腰三角形；w.w.w.zxxk.c.
o.m
（4）
若
⊥
，边长c = 2，角C =
，求ΔABC 的面积 .
20 题。证明：（1）
即
，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，
为等腰三角形
解（2）由题意可知
由余弦定理可知，
w.w.w.zxxk.c.o.m
21．（本题满分16 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分10 分 .有时可用
函数
w.w.w.zxxk.c.o.m
描述学习某学科知识的掌握程度.其中
表示某学科知识的学习次数（
），
表示
对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.
（1）证明：当x
7 时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；w.w.w.zxxk.c.o.m
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,
(127,133］.当学习某学科知识6 次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
21 题。证明（1）当
时，
[来
而当
时，函数
单调递增，且
故函数
单调递减
w.w.w.zxxk.c.o.m
当
时，掌握程度的增长量
总是下降
(2)有题意可知
整理得
解得
…….13 分
由此可知，该学科是乙学科……………..14 分
22.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分4 分，第3 小题满
分8 分.
已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为F
，一条渐近线m:
,设过点A
的直线l 的方向向量
。
（4）求双曲线C 的方程；w.w.w.zxxk.c.o.m
（5）若过原点的直线
，且a 与l 的距离为
，求K 的值；
（6）证明：当
时，在双曲线C 的右支上不存在点Q，使之到直线l 的距离为
.
22．【解】（1）设双曲线
的方程为
，解额
双曲线
的方程为
（2）直线
，直线
由题意，得
，解得
（3）【证法一】设过原点且平行于的直线
则直线与
的距离
当
时，
又双曲线
的渐近线为
w.
双曲线
的右支在直线
的右下方，
双曲线
右支上的任意点到直线的距离大于
。
故在双曲线
的右支上不存在点
，使之到直线的距离为
【证法二】假设双曲线
右支上存在点
到直线的距离为
，
则
由（1）得
设
，
当
时，
；
将
代入（2）得
，w.w.w.zxxk.c.o.m
方程
不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线
的右支上不存在点
，使之到直线的距离为
23.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满
分8 分.
已知
是公差为d 的等差数列，
是公比为q 的等比数列
（1）若
，是否存在
，有
？请说明理由；
（2）若
（a、q 为常数，且aq
0）对任意m 存在k，有
，试求a、q 满足的充
要条件；
（3）若
试确定所有的p,使数列
中存在某个连续p 项的和式数列中
的一项，请证明. w.w.w.zxxk.c.o.m
23．【解】（1）由
得
，
整理后，可得
、
，
为整数
不存在
、
，使等式成立。
（2）当
时，则
即
，其中
是大于等于
的整数
反之当
时，其中
是大于等于
的整数，则
，
显然
，其中
、
满足的充要条件是
，其中
是大于等于
的整数
（3）设
当
为偶数时，
式左边为偶数，右边为奇数，w.w.w.zxxk.c.o.m
当
为偶数时，
式不成立。
由
式得
，整理得
当
时，符合题意。
当
，
为奇数时，
由
，得
[
当
为奇数时，此时，一定有
和
使上式一定成立。
当
为奇数时，命题都成立。w.w.w.zxxk.c.o.m
