2009 年普通高等学校招生全国
一考
（四川卷）
统
试
理科数学
第Ⅰ卷
本试卷共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
参考公式：
如果事件A
B
，
互斥，那么
球的表面积公式
2
4π
S
R
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
其中R 表示球的半径
如果事件A
B
，
相互独立，那么
球的体积公式
3
4 π
3
V
R
(
)
( )
( )
P A B
P A P B
其中R 表示球的半径
一、选择题：
1.
设集合
2
|
5 ,
|
4
21
0 ,
S
x x
T
x x
x
则S
T
Ａ.
| 7
5
x
x
Ｂ.
| 3
5
x
x
Ｃ.
| 5
3
x
x
Ｄ.
| 7
5
x
x
２.已知函数
2
2
log
(
2
)
( )
2
4 (
2
2
a
x
x
f x
x
x
x
x
当
时
在点
处
当
时）
连续，则常数a 的值是
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
３.复数
2
(1
2 )
3
4
i
i
的值是
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i
4.已知函数
( )
sin(
)(
)
2
f x
x
x
R
，下面结论错误的是
A.函数
( )
f x 的最小正周期为2 B.函数
( )
f x 在区间0, 2
上是增函数
C.函数
( )
f x 的图像关于直线
0
x
对称 D.函数
( )
f x 是奇函数
5.如图，已知六棱锥P
ABCDEF
的底面是正六边形，
,
2
PA
ABC PA
AB
平面
，则下
列结论正确的是
Ａ. PB
AD
Ｂ.平面PAB
PBC
平面
C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.
PD
ABC
直线
与平面
所成的角为45
6.已知, , ,
a b c d 为实数，且c
d
。则“a
b
”是“a
c
b
d
”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知双曲线
2
2
2
1(
0)
2
x
y
b
b
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，其一条渐近线方程为y
x
，点
0
( 3,
)
P
y
在该双曲线上，则
1
2
PF
PF
=
A. 12
B. 2
C .0 D. 4
8.如图，在半径为3 的球面上有
, ,
A B C 三点，
90 ,
ABC
BA
BC
，球心O 到平面ABC
的距离是3 2
2
，则B
C
、
两点的球面距离是
A.
3
B. C. 4
3
D.2
9.已知直线1 : 4
3
6
0
l
x
y
和直线2 :
1
l
x ，抛物线
2
4
y
x
上一动点P 到直线1l 和直
线2l 的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C.11
5
D. 37
16
P
F
E
D
C
B
A
A
B
C
O
10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3 吨、B 原料2 吨；生产每吨
乙产品要用A 原料1 吨、B 原料3 吨。销售每吨甲产品可获得利润5 万元，每吨乙产品可获得
利润3 万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 吨，B 原料不超过18 吨，那么该
企业可获得最大利润是
A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元
11.3 位男生和3 位女生共6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位
女生相邻，则不同排法的种数是
A. 360 B. 228 C. 216 D. 96
12.已知函数
( )
f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
(
1)
(1
) ( )
xf x
x f x
，则
5
( ( ))
2
f f
的值是
A.0 B. 1
2
C.1 D. 5
2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分．把答案填在题中横线上．
13.
6
1
(2
)
2
x
x
的展开式的常数项是 （用数字作答）
14.若⊙
2
2
1 :
5
O
x
y
与⊙
2
2
2 :(
)
20(
)
O
x
m
y
m
R
相交于A、B 两点，且两圆在点
A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是
15.如图，已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的各条棱长都相等，M 是侧 棱
1
CC 的中点，则异面直线
1
AB
BM
和
所成的角的大小是 。
16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射
:
,
f V
V a
V
，记
a 的象为
( )
f a 。若映射
:
f V
V
满足：对所有
,a b
V
及任意实数
,
都有
(
)
( )
( )
f
a
b
f a
f b
，则f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题：
A
B
C
A1
B1
C1
M
①设f 是平面M 上的线性变换，则
(0)
0
f
②对
,
( )
2
a
V
f a
a
设
，则f 是平面M 上的线性变换；
③若e 是平面M 上的单位向量，对
,
( )
a
V
f a
a
e
设
，则f 是平面M 上的线性变换；
④设f 是平面M 上的线性变换，,a b
V
，若,a b 共线，则
( ),
( )
f a
f b 也共线。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12 分）
在
ABC
中，
,
A B 为锐角，角
, ,
A B C 所对应的边分别为
, ,
a b c ，且
3
10
cos2
,sin
5
10
A
B
（I）求A
B
的值；
（II）若
2
1
a
b
，求, ,
a b c 的值。
18. （本小题满分12 分）
为振兴旅游业，四川省2009 年面向国内发行总量为2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发
行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了
一个有36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中3
4
是省外游客，其余是省内游客。在省外游
客中有1
3 持金卡，在省内游客中有2
3 持银卡。
（I）在该团中随机采访3 名游客，求恰有1 人持金卡且持银卡者少于2 人的概率；
（II）在该团的省内游客中随机采访3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布
列及数学期望E。
19（本小题满分12 分）
如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角
三角形，
,
,
45
AB
AE FA
FE
AEF
（I）求证：EF
BCE
平面
；
（II）设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一
点M ，使得PM
BCE
平面
？若存在，请指出点M 的
位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（III）求二面角F
BD
A
的大小。
A
B
C
D
E
F
P
20（本小题满分12 分）
已知椭圆
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，离心率
2
2
e
，右准线方程为
2
x
。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点
1F 的直线l 与该椭圆交于
,
M N 两点，且
2
2
2 26
3
F M
F N
，求直线l 的方程。
21. （本小题满分12 分）
已知
0,
1
a
a
且
函数
( )
log (1
)
x
a
f x
a
。
（I）求函数
( )
f x 的定义域，并判断
( )
f x 的单调性；
（II）若
( )
*,
lim
;
f n
n
n
a
n
N
a
a
求
（III）当a
e
（e 为自然对数的底数）时，设
( )
2
( )
(1
)(
1)
f x
h x
e
x
m
，若函数( )
h x 的极
值存在，求实数m 的取值范围以及函数( )
h x 的极值。
22. （本小题满分14 分）
设数列
na
的前n 项和为
n
S ，对任意的正整数n ，都有
5
1
n
n
a
S
成立，记
*
4
(
)
1
n
n
n
a
b
n
N
a
。
（I）求数列
nb
的通项公式；
（II）记
*
2
2
1(
)
n
n
n
c
b
b
n
N
，设数列
nc
的前n 项和为
nT ，求证：对任意正整数n 都有
3
2
nT
；
（III）设数列
nb
的前n 项和为
n
R 。已知正实数满足：对任意正整数,
n
n R
n
恒成立，求
的最小值。
2009 年普通高等学校招生全国
一考
（四川卷）
统
试
理科数学参考答案
（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B
(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A
（13） -20 （14）4 （15）90 （16）①②③
1.设集合
则
Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。
解析：由题
，故选择C。
２.已知函数
连续，则常数
的值是
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
解析：由题得
，故选择B。
３.复数
的值是
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－ Ｄ.
【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
解析：
，故选择A。
4.已知函数
，下面结论错误的是
A.函数
的最小正周期为
B.函数
在区间
上是增函数
C.函数
的图像关于直线
对称 D.函数
是奇函数
【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）
解：
，其中A、C 显然正确，故选择D。
5. 如图，已知六棱锥
的底面是正六边形，
，则下列结论正确的是
Ａ.
Ｂ.平面
、C. 直线
∥平面
Ｄ.
【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）
解：由三垂线定理，因AD 与AB 不相互垂直，排除A；作
于
，
因面
面ABCDEF，而AG 在面ABCDEF 上的射影在AB 上，而AB 与BC 不相互垂
直，故排除B；由
，而EF 是平面PAE 的斜线，故排除C，故选择D。
6.已知
为实数，且
。则“
”是“
”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）
解析：
推不出
；但
，故选择B。
7.已知双曲线
的左右焦点分别为
，其一条渐近线方程为
，点
在该双曲线上，则
=
A.
B.
C .0 D. 4
【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）
解析：由题知
，故
，
∴
，故选择C。
8.如图，在半径为3 的球面上有
三点，
，球心
到平面
的距离是
，则
两点的球面距离是
P
F
E
D
C
B
A
A
B
C
O
A.
B.
C.
D.
【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）
解析：由知截面圆的半径
，故
，所以
两点的球面距离为
，故选择B。
9.已知直线
和直线
，抛物线
上一动点
到直线
和直
线
的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C.
D.
【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。
解析：直线
为抛物线
的准线，由抛物线的定义知，P 到
的距离等于P 到
抛物线的焦点
的距离，故本题化为在抛物线
上找一个点
使得
到点
和直线
的距离之和最小，最小值为
到直线
的距离，即
，故选择A。
10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3 吨、B 原料2 吨；生产每吨
乙产品要用A 原料1 吨、B 原料3 吨。销售每吨甲产品可获得利润5 万元，每吨乙产品可获得
利润3 万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 吨，B 原料不超过18 吨，那么该
企业可获得最大利润是
A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元
【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）
解析：设甲、乙种两种产品各需生产、
吨，可使利润最大，故本题即
已知约束条件
，求目标函数
的最大值
可求出最优解为
，故
，故选择D。
11.3 位男生和3 位女生共6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位
女生相邻，则不同排法的种数是
A. 360 B. 228 C. 216 D. 96
【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。
解析：6 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有
种，
其中男生甲站两端的有
，符合条件的排法故共有
12.已知函数
是定义在实数集
上的不恒为零的偶函数，且对任意实数
都有
，则
的值是
A.0 B.
C.1 D.
【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）
解析：令
，则
；令
，则
由
得
，所以
，故选择A。
13.
的展开式的常数项是 （用数字作答）
【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）
解析：由题知
的通项为
，令
得
，故常
数项为
。
14.若⊙
与⊙
相交于A、B 两点，且两圆在点
A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 w
【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。
解析：由题知
，且
，又
，所以有
，∴
。
15.如图，已知正三棱柱
的各条棱长都相等，
是侧 棱
的中点，则异面直线
所成的角的大小是
。
【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。
解析：不妨设棱长为2，选择基向量
，则
，故填写
。
法2：取BC 中点N，连结
，则
面
，∴
是
在面
上的射影，由几
何知识知
，由三垂线定理得
，故填写
。
16．设
是已知平面
上所有向量的集合，对于映射
，记的象为
。若
映射
满足：对所有
及任意实数
都有
，则
称为平面
上的线性变换。现有下列命题：
①设
是平面
上的线性变换，则
②对
设
，则
是平面
上的线性变换；
③若是平面
上的单位向量，对
设
，则
是平面
上的线性变换；
④设
是平面
上的线性变换，
，若
共线，则
也共线。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
【考点定位】本小题考查新定义，创新题。
解析：令
，由题有
，故①正确；
由题
，
，即
，故②正确；
由题
，
，即
，故③不正确；
由题
，
，即
也共
线，故④正确；
三、解答题
（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理
等基础知识及基本运算能力。
A
B
C
A1
B1
C1
M
解：（Ⅰ）
A
、B 为锐角，
10
sin
10
B
，
2
3 10
cos
1 sin
10
B
b
又
2
3
cos2
1 2sin
5
A
A
，
5
sin
5
A
，
2
2 5
cos
1 sin
5
A
A
，
2 5
3 10
5
10
2
cos(
)
cos
cos
sin
sin
5
10
5
10
2
A
B
A
B
A
B
0
A
B
4
A
B
…………………………………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
3
4
C
,
2
sin
2
C
.
由正弦定理sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
得
5
10
2
a
b
c
，即
2
a
b
，
5
c
b
2
1
a
b
Q
，
2
2
1
b
b
，
1
b
2,
5
a
c
……………………………………12 分
（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考
察运用概率只是解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27 人，其中9 人持金卡；省内游客有9 人，其中6 人持
银卡。设事件B 为“采访该团3 人中，恰有1 人持金卡且持银卡者少于2
人”，
事件
1A 为“采访该团3 人中，1 人持金卡，0 人持银卡”，
事件
2
A 为“采访该团3 人中，1 人持金卡，1 人持银卡”。
1
2
( )
(
)
(
)
P B
P A
P A
1
2
1
1
1
9
21
9
6
21
3
3
36
36
C C
C C C
C
C
9
27
34
170
36
85
所以在该团中随机采访3 人，恰有1 人持金卡且持银卡者少于2 人的概率是36
85
。
…………………………………………………………6 分
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3
3
3
3
9
1
(
0)
84
C
P
C
,
1
2
6
3
3
9
3
(
1)
14
C C
P
C
2
1
6
3
3
9
15
(
2)
28
C C
P
C
，
3
6
3
9
15
(
3)
21
C
P
C
，
所以的分布列为
0
1
2
3
P
1
84
3
14
15
28
5
21
所以
1
3
15
5
0
1
2
3
2
84
14
28
21
E
， ……………………12 分
（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角
等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和
数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的
能力。
解法一：
（Ⅰ）因为平面ABEF ⊥平面ABCD , BC 平面
ABCD ，
平面ABEF 平面ABCD
AB
，
所以BC ⊥平面ABEF
所以BC ⊥EF .
因为
ABE
为等腰直角三角形，
AB
AE
，
所以
45
AEB
又因为
45
AEF
，
所以
45
45
90
FEB
，
即EF ⊥BE
B
,
所以EF ⊥平面BCE 。 ……………………………………4 分
（Ⅱ）存在点M ,当M 为线段AE 的中点时，PM∥平面BCE
取BE 的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝1
2 AB ∥＝PC
所以PMNC 为平行四边形，所以PM∥CN
A
B
C
D
E
F
G
M
N
P
H
因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，
所以PM∥平面BCE ……………………………………8 分
（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA 的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD
作GH⊥BD 于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH
因此，∠AEF 为二面角F-BD-A 的平面角
因为FA=FE, ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=
2
2
.
FG=AF·sinFAG= 1
2
在Rt△FGH 中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+ 1
2
= 3
2
,
GH=BG·sinGBH= 3
2
·
2
2
= 3 2
4
在Rt△FGH 中，tanFHG= FG
GH
=
2
3
故二面角F-BD-A 的大小为arctan
2
3
. ………………………………12 分
解法二:
(Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE 两两垂直,以A 为坐标原点,建立 如图
所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
从而，
1 1
(0,
, )
2 2
F
.
所以
1 1
(0,
, )
2 2
EF
,
(0, 1,1)
BE
,
(1,0,0)
BC
.
1
1
0
0
2
2
EF
BE
,
0
EF
BC
.
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
A
B
C
D
E
F
M
P
x
z
y
因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M 为AE 中点时,PM∥平面BCE.
M ( 0,0, 1
2
), P ( 1, 1
2
,0 ).
从而PM
=
1 1
( 1,
, )
2 2
,
于是PM
· EF
=
1 1
( 1,
, )
2 2
·
1
1
(0,
,
)
2
2
=0
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM 不在平面BCE 内，
故PMM∥平面BCE. ………………………………8 分
(Ⅲ)设平面BDF 的一个法向量为
1n
，并设
1n
=（x,y,z）.
1
1 0
BD
（，，）
uuuv
，
3 1
0
2 2
BF
（，
，）
uuuv
1
1
n
0
n
0
BD
BF
uv uuuv
g
uv uuuv
g
即
x
y
0
3
1
y
z
0
2
2
取y=1，则x=1，z=3。从而
1
n
113
（，，）。
取平面ABD 的一个法向量为
2
n
（0，0，1）。
1
2
2
1
2
n n
3
3 11
cos(n ,n )
11
11 1
n
n
1
uv uuv
uuv uuv
g
uv uuv
g
。
故二面角F—BD—A 的大小为arccos 3 11
11
。……………………………………12 分
（20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及
推理运算能力。
解：（Ⅰ）有条件有
2
c
2
a
2
a
2
c
{
，解得a
2
c=1
，
。
2
2
b
a
c
1
。
所以，所求椭圆的方程为
2
2
x
y
1
2
。…………………………………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1( 1,0)
F
、
2 1 0
F（，）。
若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x=-1.
将x=-1 代入椭圆方程得
2
y
2
。
不妨设
2
( 1,
)
2
M
、
2
1
2
N
（
，
），
2
2
2
2
( 2,
)
( 2,
)
( 4,0)
2
2
F M
F N
uuuuv
uuuv
.
2
2
4
F M
F N
uuuuv
uuuv
,与题设矛盾。
直线l 的斜率存在。
设直线l 的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。
设
1
1
(x
y )
M
，
、
2
2
(
,
)
N x
y
，
联立
2
2
x
y
1
2
y=k(x+1)
{
，消y 得
2
2
2
2
(1
2
)
4
2
2
0
k
x
k x
k
。
由根与系数的关系知
2
1
2
2
4
1
2
k
x
x
k
，从而
1
2
1
2
2
2
(
2)
1
2
k
y
y
k x
x
k
，
又
2
1
1
(
1,
)
F M
x
y
，
2
2
2
(
1,
)
F N
x
y
，
2
2
1
2
1
2
(
2,
)
F M
F N
x
x
y
y
。
2
2
2
2
2
1
2
1
2
(
2)
(
)
F M
F N
x
x
y
y
2
2
2
2
2
8
2
2
(
)
(
)
1
2
1
2
k
k
k
k
4
2
4
2
4(16
9
1)
4
4
1
k
k
k
k
4
2
2
4
2
4(16
9
1)
2 26
(
)
4
4
1
3
k
k
k
k
。
化简得
4
2
40
23
17
0
k
k
,解得
2
2
17
1
40
k
k
或者
1.
1
1
k
l
y
x
y
x
所求直线的方程为
或者
（21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运
算能力。
解：（Ⅰ）由题意知1
0
x
a
当0
1
( )
0
1
( )
0
a
f x
a
f x
时，
的定义域是（，
）；当
时，
的定义域是（
，）
ln
log
1
1
a
a
e
g
x
x
x
x
-a
a
f ( x) =
a
a
当0
1
(0,
).
1
0,
0,
x
x
a
x
a
a
时，
因为
故f ( x) <0, 所以f ( x) 是减函数
当
1
(
,0),
1
0,
0,
( )
0,
( )
x
x
a
x
a
a
f
x
f x
时，
因为
故
所以
是减函数….（4 分）
（Ⅱ）因为
( )
( )
log (1
),
1
n
f n
n
a
f n
a
a
a
所以
由函数定义域知1
n
a
>0,因为n 是正整数，故0<a<1.
所以
( )
1
1
lim
lim
f n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
（Ⅲ）
2
2
)
(
1)(
0),
( )
(
2
1)
x
x
h x
e
x
m
x
h x
e
x
x
m
（
所以
令
2
( )
0,
2
1
0,
0
0
h x
x
x
m
m
即
由题意应有
，即
①
当m=0 时，
( )
0
h x
有实根
1
x ，在
1
x 点左右两侧均有
( )
0
h x
故无极值
②
当0
1
m
时，
( )
0
h x
有两个实根
1
2
1
,
1
x
m x
m
当x 变化时，
( )
h x
、( )
h x 的变化情况如下表所示：
x
1
(
,
)
x
1x
1
2
( ,
)
x x
2x
2
(
,0)
x
( )
h x
+
0
-
0
+
( )
h x
↗
极大值
↘
极小值
↗
( )
h x
的极大值为
1
2
(1
)
m
e
m
，( )
h x 的极小值为
1
2
(1
)
m
e
m
③
当
1
m
时，
( )
0
h x
在定义域内有一个实根，
1
x
m
同上可得( )
h x 的极大值为
1
2
(1
)
m
e
m
综上所述，
0
m（，
）时，函数( )
h x 有极值；
当0
1
m
时( )
h x 的极大值为
1
2
(1
)
m
e
m
，( )
h x 的极小值为
1
2
(1
)
m
e
m
当
1
m
时，( )
h x 的极大值为
1
2
(1
)
m
e
m
（22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、
分析与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）当
1
n
时，
1
1
1
1
5
1,
4
a
a
a
又
1
1
5
1,
5
1
n
n
n
n
a
a
a
a
Q
1
1
1
1
5
,
4
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
即
数列
na
成等比数列，其首项
1
1
4
a
，公比是
1
4
q
1
(
)
4
n
na
1
4
(
)
4
1
1 (
)
4
n
n
n
b
……………………………………..3 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
5
4
( 4)
1
n
n
b
2
2
1
2
2
1
5
5
25 16
4
1
4
1
(16
1)(16
4)
n
n
n
n
n
n
n
n
c
b
b
=
2
2
25 16
25 16
25
(16 )
3 16
4)
(16 )
16
n
n
n
n
n
n
又
1
2
1
13
4
3,
,
3
3
b
b
c
当
1
3
1
2
n
T
时，
当
2
3
4
1
1
1
2
25 (
)
3
16
16
16
n
n
n
T
K
时，
.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
5
4
( 4)
1
n
n
b
一方面，已知
n
R
n
恒成立，取n 为大于1 的奇数时，设
*
2
1(
)
n
k
k
N
则
1
2
2
1
n
k
R
b
b
b
K
1
2
3
2
1
1
1
1
1
4
5 (
)
4
1
4
1
4
1
4
1
k
n
K K
1
2
3
2
2
1
1
1
1
1
1
4
5 [
(
)
(
)]
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
k
k
n
K K
>4
1
n
4
1,
4
1
n
n
R
n
n
即（
）
对一切大于1 的奇数n 恒成立
4,
4
1
n
否则，（
）
只对满足
1
4
n
的正奇数n 成立，矛盾。
另一方面，当
4
时，对一切的正整数n 都有
4
n
R
n
事实上，对任意的正整数k，
2
1
2
2
2
1
5
5
8
1
( 4)
1
(
)
1
4
5
20
8
16
1
16
4
15 16
40
8
8
(16
1)(16
4)
k
k
k
k
k
k
k
k
k
b
b
当n 为偶数时，设
*
2 (
)
n
m m
N
则
1
2
3
4
2
1
2
(
)
(
)
(
)
n
m
m
R
b
b
b
b
b
b
K
<8
4
m
n
当n 为奇数时，设
*
2
1(
)
n
m
m
N
则
1
2
3
4
2
3
2
2
2
1
(
)
(
)
(
)
n
m
m
m
R
b
b
b
b
b
b
b
K
<8(
1)
4
8
4
4
m
m
n
对一切的正整数n，都有
4
n
R
n
综上所述，正实数的最小值为4………………………….14 分
