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绝密★启用前
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．真空题 （本大题满分56 分）本大题有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写
结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分 .
1．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数
=__________________ .
2．已知集合
，
，且
，则实数a 的取值范围是
______________________ .
3．若行列式
中，元素4 的代数余子式大于0，
则x 满足的条件是________________________ .
4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x
满足的关系式是____________________________ .
5．如图，若正四棱柱
的底面连长为2，高 为
4，则异面直线
与AD 所成角的大小是______________（结果用
反三角函数表示）.
6．函数
的最小值是_____________________ .
7．某学校要从5 名男生和2 名女生中选出2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量
表
示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望
____________（结果用最简分数表示）.
8.已知三个球的半径
，
，
满足
，则它们的表面积
，
，
，满足的
等量关系是___________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
9.已知
、
是椭圆
（
＞
＞0）的两个焦点，
为椭圆
上一点，且
.若
的面积为9，则=____________. w.w.w.zxxk.c.o.m
10.在极坐标系中，由三条直线
，
，
围成图形的
面积是________.
11. 当
，不等式
成立，则实数
的取值范围是
_______________.
12．已知函数
.项数为27 的等差数列
满足
，且公
差
.若
，则当=____________是，
.
13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若
以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点
，
，
，
，
，
为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为
发行站，使6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
14.将函数
的图像绕坐标原点逆时针方
向旋转角
，得到曲线
.若对于每一个旋转角，曲线
都是
一个函数的图像，则
的最大值为__________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
二．选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4 分，否则一律得零分。
15.
是“实系数一元二次方程
有虚根”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16.若事件
与
相互独立，且
，则
的值等于
（A）
（B）
（C）
（D）
17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感
染的标志为“连续10 天，每天新增疑似病例不超过7 人”。根据过去10 天甲、乙、丙、丁四
地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3
18.过圆
的圆心，作直线分别交x、y 正半轴于点A、B，
被圆分
成四部分（如图），若这四部分图形面积满足
则直线AB 有（
）
（A） 0 条 （B） 1 条 （C） 2 条 （D） 3 条
三．解答题（本大题满分78 分）本大题共5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定
区域内写出必要的步骤
19（本题满分14 分）
如图，在直三棱柱
中，
,
,求二面角
的大小。
20（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分。
有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（
），
表示
对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关。
（1）证明：当
时，掌握程度的增加量
总是下降；[来
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为
,
,
。当学习某学科知识6 次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
21．（本题满分16 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分8 分，第2 小题满分8 分。
已知双曲线
设过点
的直线l 的方向向量
（1）当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离；
（2）证明：当
>
时，在双曲线C 的右支上不存在点Q，使之到直线l 的距离为
。
22.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分6 分。
已知函数
的反函数。定义：若对给定的实数
，函数
与
互为反函数，则称
满足“
和性质”；若函数
与
互为反函数，则称
满足“
积性质”。
（1）判断函数
是否满足“1 和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2 和性质”的一次函数；
（3）设函数
对任何
，满足“
积性质”。求
的表达
式。
23.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满
分8 分。
已知
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列。
（1）若
，是否存在
，有
说明理由；
（2）找出所有数列
和
，使对一切
,
,并说明理由；
（3）若
试确定所有的
，使数列
中存在某个连续
项的和是数列
中的一项，请证明。
2009 年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：[
1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条
形码 .
2．本试卷共有23 道试题，满分150 分 .考试时间20 分钟 .
一．真空题 （本大题满分56 分）本大题有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写
结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分 .
4．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数
=__________________ .
1．【答案】i
【解析】设z＝a＋bi，则（a＋bi ）(1+i) =1-i，即a－b＋（a＋b）i＝1－i，由
，解
得a＝0，b＝－1，所以z＝－i，
＝i
5．已知集合
，
，且
，则实数a 的取值范围是
______________________ .
2．【答案】a≤1
【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a 必须在点1 上或在1 的左边，所以，有a≤1。
6．若行列式
中，元素4 的代数余子式大于0，
则x 满足的条件是________________________ .
3．【答案】
w.w.w.zxxk.c.o.m
【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：
4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x
满足的关系式是____________________________ .
4．【答案】
【解析】当x＞1 时，有y＝x－2，当x＜1 时有y＝
，所以，有分段函数。
5．如图，若正四棱柱
的底面连长为2，高 为
4，则异面直线
与AD 所成角的大小是______________（结果用
反三角函数表示）.
5．【答案】
【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD 所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B，
由勾股定理，得A1B＝2
，tan∠A1D1B＝
，所以，∠A1D1B＝
。
6．函数
的最小值是_____________________ .
6．【答案】
【解析】
，所以最小值为：
7．某学校要从5 名男生和2 名女生中选出2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量
表
示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望
____________（结果用最简分数表示）.
7．【答案】
【解析】
可取0，1，2，因此P（
＝0）＝
， P（
＝1）＝
，
P（
＝2）＝
，
＝0×
＝
8.已知三个球的半径
，
，
满足
，则它们的表面积
，
，
，满足的
等量关系是___________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
8、【答案】
【解析】
，
，同理：
，即R1＝
，R2＝
，R3＝
，由
得
9.已知
、
是椭圆
（
＞
＞0）的两个焦点，
为椭圆
上一点，且
.若
的面积为9，则=____________. w.w.w.zxxk.c.o.m
9．【答案】3
【解析】依题意，有
，可得4c2＋36＝4a2，即a2－
c2＝9，故有b＝3。
10.在极坐标系中，由三条直线
，
，
围成图形的面积是
________.
10、【答案】
w.w.w.zxxk.c.o.m
【解析】化为普通方程，分别为：y＝0，y＝
x，x＋y＝1，画出三条直线的图象
如右图，可求得A（
，
），B（1,0），三角形AOB 的面积为：
＝
11.当
，不等式
成立，则实数的取值范围是_______________.
11、【答案】k≤1
【解析】作出
与
的图象，要使不等式
成立，由图可知须k≤1。
12．已知函数
.项数为27 的等差数列
满足
，且公
差
.若
，则当=____________是，
.
12．【答案】14
【解析】函数
在
是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原
点对称，因为
，
所以
，所以当
时，
.
13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若
以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点
，
，
，
，
，
为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为
发行站，使6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
13．【答案】（3，3）
【解析】设发行站的位置为
，零售点到发行站的距离为
，
这六个点的横纵坐标的平均值为
，
，记
A（2，），画出图形可知，发行站的位置应该在点A 附近，代入附近的点的坐标进行比较可
知，在（3,3）处z 取得最小值。
14. 将函数
的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角
，得到曲线
.若对于每一个旋转角，曲线
都是一个函数的图像，则
的最大
值为__________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
14．【答案】
【解析】由
得：（x－3）2＋（y＋2）2＝13，
，它的图象是以
（3，－2）为圆心，
为半径的一段圆弧，
设过原点且与曲线C 相切的直线为y＝kx，当θ＝0 时，k＝－
＝
，此时直线的倾斜角为β，即tanβ＝
，当切线与y 轴重合时，曲线
上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图
象，旋转角为90°－β，则tan（90°－β）＝
，即θ＝
二．选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4 分，否则一律得零分。
15.
是“实系数一元二次方程
有虚根”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
15、【答案】A
【解析】△＝
－4＜0 时，－2＜＜2，因为
是“－2＜＜2”的必要不充分条
件，故选A。
16.若事件
与
相互独立，且
，则
的值等于
（A）
（B）
（C）
（D）
16、【答案】B
【解析】
＝
＝
17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感
染的标志为“连续10 天，每天新增疑似病例不超过7 人”。根据过去10 天甲、乙、丙、丁四
地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3
17、【答案】D w.w.w.zxxk.c.o.m
【解析】根据信息可知，连续10 天内，每天的新增疑似病例不能有超过7 的数，选项A 中，中
位数为4，可能存在大于7 的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙
述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7 的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于
7 的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.
18.过圆
的圆心，作直线分别交x、y 正半轴于点A、B，
被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足
则直线AB 有（ ）
（A） 0 条 （B） 1 条 （C） 2 条 （D） 3 条
18、【答案】B
【解析】由已知，得：
，第II，IV 部分的面积是
定值，所以，
为定值，即
为定值，当直线AB 绕
着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有
一条，故选B。
三．解答题（本大题满分78 分）本大题共5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定
区域内写出必要的步骤
19（本题满分14 分）
如图，在直三棱柱
中，
,
,求二面角
的大小。
19，【解】如图，建立空间直角坐标系
则A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2），
B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） ……2 分
设AC 的中点为M，∵BM⊥AC, BM⊥CC1;
∴BM⊥平面A1C1C,即
=(1,1,0)是平面A1C1C 的一个法向量。……5 分
设平面
的一个法向量是
=（x，y，z），
=（-2，2，-2），
=（-2，0，0） ……7 分
设法向量
的夹角为
，二面角
的大小为
，显然
为锐角
…………………….14 分
20（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分。
有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（
），
表示
对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关。
（3）证明：当
时，掌握程度的增加量
总是下降；[来
（4）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为
,
,
。当学习某学科知识6 次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
20.证明（1）当
而当
，函数
单调递增，且
>0……..3 分
故
单调递减
当
，掌握程度的增长量
总是下降……………..6 分
（2）由题意可知0.1+15ln
=0.85……………….9 分
整理得
解得
…….13 分
由此可知，该学科是乙学科……………..14 分
w.w.w.zxxk.c.o.m
21．（本题满分16 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分8 分，第2 小题满分8 分。
已知双曲线
设过点
的直线l 的方向向量
（3）当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离；
（4）证明：当
>
时，在双曲线C 的右支上不存在点Q，使之到直线l 的距离为
。
21.（1）双曲线C 的渐近线
直线l 的方程
………………..6 分
w.w.w.zxxk.c.o.m
直线l 与m 的距离
……….8 分
（2）设过原点且平行与l 的直线
则直线l 与b 的距离
当
w.w.w.zxxk.c.o.m
又双曲线C 的渐近线为
双曲线C 的右支在直线b 的右下方，
双曲线
右支上的任意点到直线的距离为
。
故在双曲线
的右支上不存在点
，使之到直线的距离为
。
[ 证法二] 双曲线
的右支上存在点
到直线的距离为
，
则
由（1）得
，
设
当
，
0………………………………..13 分
将
代入（2）得
（*）
方程（*）不存在正根，即假设不成立
w.w.w.zxxk.c.o.m
故在双曲线C 的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为
…………….16 分
22.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分6 分。
已知函数
的反函数。定义：若对给定的实数
，函数
与
互为反函数，则称
满足“
和性质”；若函数
与
互为反函数，则称
满足“
积性质”。
（4）判断函数
是否满足“1 和性质”，并说明理由；
（5）求所有满足“2 和性质”的一次函数；
（6）设函数
对任何
，满足“
积性质”。求
的表达
式。
22（1）解，函数
的反函数是
w.w.w.zxxk.c.o.m
而
其反函数为
故函数
不满足“1 和性质”
（2）设函数
满足“2 和性质”，
…….6 分
而
得反函数
………….8分
由“2 和性质”定义可知
=
对
恒成立
即所求一次函数为
………..10 分
（3）设
，
，且点
在
图像上，则
在函数
图象上，
故
，可得
， ．．．．．．12 分
，w.w.w.zxxk.c.o.m
令
，则
。
，即
。 ．．．．．．14 分
综上所述，
，此时
，其反函数就是
，
而
，故
与
互为反函数 。 ．．．．．．16 分
23.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满
分8 分。
已知
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列。
（4）若
，是否存在
，有
说明理由；
（5）找出所有数列
和
，使对一切
,
,并说明理由；
（6）若
试确定所有的
，使数列
中存在某个连续
项的和是数列
中的一项，请证明。
23．[解法一]（1）由
，得
， ．．．．．．2 分
整理后，可得
，
、
，
为整数，
不存在
、
，使等式成立。 ．．．．．．5 分
（2）若
，即
， （*）
（ⅰ）若
则
。
当{
}为非零常数列，{
}为恒等于1 的常数列，满足要求。 ．．．．．．7 分
（ⅱ）若
，（*）式等号左边取极限得
，（*）式等号右边的极限只有
当
时，才能等于1。此时等号左边是常数，
，矛盾。
综上所述，只有当{
}为非零常数列，{
}为恒等于1 的常数列，满足要求。．．．．．．10 分
【解法二】设
则
（i）
若d=0，则
（ii）
若
（常数）即
，则d=0，矛盾
综上所述，有
， 10 分
（3）
设
.
，
. 13 分
取
15 分
由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,
故当且仅当p=3s,s
N 时，命题成立.
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若p 为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数
故此等式不成立，所以，p 一定为奇数。
当p=1 时，则am+1=bk,即4m+5=3k，
而3k=(4-1)k
=
当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1 分
当p=3 时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,
也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1
由已证可知，当k-1 为偶数即k 为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2 分
当p=5 时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk
也即5（4m+13）=3k,而3k不是5 的倍数，所以，当p=5 时，所要求的m 不存在
故不是所有奇数都成立. 2 分
