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2008 年重庆市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（5 分）（2008•重庆）复数
=（ ）
A．1+2i
B．1
2i
﹣
C．
1
﹣
D．3
2．（5 分）（2008•重庆）设m，n 是整数，则“m，n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5 分）（2008•重庆）圆O1：x2+y2
2x=0
﹣
和圆O2：x2+y2
4y=0
﹣
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
4．（5 分）（2008•重庆）已知函数
的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）（2008•重庆）已知随机变量ζ 服从正态分布N（3，σ2），则P（ζ＜3）=（ ）
A．
B．
C．
D．
6．
（5 分）
（2008•重庆）若定义在R 上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R 有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定
正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）为偶函数
C．f（x）+1 为奇函数
D．f（x）+1 为偶函数
7．（5 分）（2008•重庆）若过两点P1（﹣1，2），P2（5，6）的直线与x 轴相交于点P，则点P 分有向线段
所成的比λ
的值为
（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
8．
（5 分）
（2008•重庆）已知双曲线
的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率
，则双
曲线方程为（ ）
A．
﹣
=1
B．
C．
D．
9．（5 分）（2008•重庆）如图，体积为V 的大球内有4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个
交点，4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4 个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为
大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．V1＞V2
D．V1＜V2
10．（5 分）（2008•重庆）函数
的值域是（ ）
A．[﹣
]
B．[
1
﹣，0]
C．[﹣
]
D．[﹣
]
二、填空题（共6 小题，每小题4 分，满分24 分）
11．（4 分）（2008•重庆）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，则（A B
∪）∩（∁UC）=
_________
．
12．
（4 分）
（2008•重庆）已知函数f（x）=
，点在x=0 处连续，则
=
_________
．
13．（4 分）（2008•重庆）已知
（a＞0），则
=
_________
．
14．（4 分）（2008•重庆）设Sn是等差数列{an}的前n 项和，a12=
8
﹣，S9=
9
﹣，则S16=
_________
．
15．（4 分）（2008•重庆）直线l 与圆x2+y2+2x
4y+a=0
﹣
（a＜3）相交于两点A，B，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方
程为
_________
．
16．
（4 分）
（2008•重庆）某人有4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6 个点A、B、C、A1、B1、C1
上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有
_________
种（用数字作答）．
三、解答题（共6 小题，满分76 分）
17．（13 分）（2008•重庆）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB+cot C 的值．
2
18．（13 分）（2008•重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由
前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满
6 局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：
（Ⅰ）打满3 局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ 的分别列与期望Eξ．
19．（13 分）（2008•重庆）如图，在△ABC 中，B=90°，AC=
，D、E 两点分别在AB、AC 上．使
，DE=3．现将
△ABC 沿DE 折成直二角角，求
（Ⅰ）异面直线AD 与BC 的距离；
（Ⅱ）二面角A
EC
B
﹣
﹣
的大小（用反三角函数表示）．
20．（13 分）（2008•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1））
处的切线垂直于y 轴．
（Ⅰ）用a 分别表示b 和c；
（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g（x）=
f
﹣（x）e
x
﹣的单调区间．
21．（12 分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足：|PM|+|PN|=6．
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若
，求点P 的坐标．
22．（12 分）（2008•重庆）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=
an+2（n∈N*）．
（Ⅰ）若a2= ，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；
（Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2
对n≥2 恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式．
3
2008 年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（5 分）（2008•重庆）复数
=（ ）
A．1+2i
B．1
2i
﹣
C．
1
﹣
D．3
考点：复数代数形式的混合运算．1706460
分析：利用复数i 的幂的运算，化简复数的分母，即可．
解答：
解：
故选A．
点评：本题考查复数代数形式的运算，复数的幂的运算，是基础题．
2．（5 分）（2008•重庆）设m，n 是整数，则“m，n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．1706460
专题：计算题．
分析：先判断p⇒q 与q⇒p 的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根
据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
解答：解：m，n 均为偶数，则m+n 为偶数，
即m，n 均为偶数”⇒“m+n 是偶数”为真命题
但m+n 为偶数推不出m，n 为偶数，如m=1，n=1．
“m，n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的充分而不必要条件
故选A
点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若
p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命
题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不
必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与
命题q 的关系．
3．（5 分）（2008•重庆）圆O1：x2+y2
2x=0
﹣
和圆O2：x2+y2
4y=0
﹣
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
考点：圆与圆的位置关系及其判定．1706460
专题：计算题．
分析：求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．
解答：解：圆O1：x2+y2
2x=0
﹣
，即（x
1
﹣）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1
圆O2：x2+y2
4y=0
﹣
，即x2+（y
2
﹣）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2
|O
∵
1O2|=
，故|r1
r
﹣2|＜|O1O2|＜|r1+r2|
∴两圆的位置关系是相交．
故选 B
点评：本题考查圆与圆的位置关系，是基础题．
4．（5 分）（2008•重庆）已知函数
的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
考点：函数的值域．1706460
专题：计算题．
分析：函数问题定义域优先，本题要先确定好自变量的取值范围；然后通过函数的单调性分别确定出m 与n 即可．
解答：解：根据题意，对于函数
，
有
，
所以当x=
1
﹣时，y 取最大值
，
当x=
3
﹣或1 时y 取最小值m=2∴
故选C．
点评：任何背景下，函数问题定义域优先，建函数模型是求解函数最值问题有效手段之一．
5．（5 分）（2008•重庆）已知随机变量ζ 服从正态分布N（3，σ2），则P（ζ＜3）=（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1706460
专题：计算题．
分析：由正态分布的图象规律知，其在x=μ 左侧一半的概率为，故得P（ζ＜3）的值．
解答：解：ζ 服从正态分布N（3，σ2），曲线关于x=3 对称，
，
故选D．
点评：本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
6．
（5 分）
（2008•重庆）若定义在R 上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R 有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定
正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）为偶函数
C．f（x）+1 为奇函数
D．f（x）+1 为偶函数
考点：函数奇偶性的判断．1706460
专题：计算题．
分析：对任意x1，x2∈R 有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R
有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1 进行赋值研究即可
解答：解：∵对任意x1，x2∈R 有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
∴令x1=x2=0，得f（0）=
1
﹣
∴令x1=x，x2=
x
﹣，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，
f
∴（x）+1=
f
﹣（﹣x）﹣1=
[f
﹣（﹣x）+1]，
f
∴（x）+1 为奇函数．
故选C
点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
5
7．（5 分）（2008•重庆）若过两点P1（﹣1，2），P2（5，6）的直线与x 轴相交于点P，则点P 分有向线段
所成的比λ
的值为
（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
考点：线段的定比分点．1706460
专题：计算题．
分析：
本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法一般是，由定比分点坐标公式
转化为λ=
=
，将已知的点的坐标代入，易得一个方程组，解方程组，即可求解．
解答：
解：由定比分点坐标公式
得
λ=
=
不妨设点P（x，0），
则
，
故答案选A
点评：
由定比分点坐标公式
转化可得：λ=
=
，将已知的点的坐标代入，易得一个方程
组，解方程组，即可求解．
8．
（5 分）
（2008•重庆）已知双曲线
的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率
，则双
曲线方程为（ ）
A．
﹣
=1
B．
C．
D．
考点：双曲线的标准方程．1706460
分析：首先由焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y=± x，可得=k；然后根据双曲线的离心率e= =
k，可消
去k 得a、b、c 的关系式；再结合双曲线的性质a2+b2=c2，即可整理出答案．
解答：解：因为双曲线的一条渐近线为y=kx（k＞0），所以=k，
又
，所以c=
b，
6
且有a2+b2=c2，所以a2=4b2，
所以双曲线的方程为
．
故选C．
点评：本题考查双曲线的标准方程与性质．
9．（5 分）（2008•重庆）如图，体积为V 的大球内有4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个
交点，4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4 个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为
大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．V1＞V2
D．V1＜V2
考点：组合几何体的面积、体积问题．1706460
专题：计算题；压轴题；探究型．
分析：根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．
解答：解：设大球的半径为R，则小球的半径为：，
由题意可得：V=
=
所以
＞0
即：V2＞V1
故选D．
点评：本题考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．
10．（5 分）（2008•重庆）函数
的值域是（ ）
A．[﹣
]
B．[
1
﹣，0]
C．[﹣
]
D．[﹣
]
考点：同角三角函数间的基本关系；函数的值域．1706460
专题：压轴题．
分析：根据特殊值代入法进行逐一排除．
解答：
解：特殊值法，sinx=0，cosx=1 则f（x）=
淘汰A，
令
得
当时sinx=
1
﹣时
所以矛盾f（x）≠
淘汰C，
同理，令
得cosx=
，当sinx=1 时，cosx= ，不满足条件，
淘汰D，
故选B．
点评：主要考查对任意角x 满足sin2x+cos2x=1．
7
二、填空题（共6 小题，每小题4 分，满分24 分）
11．（4 分）（2008•重庆）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，则（A B
∪）∩（∁UC）=
{2
，
5}
．
考点：交、并、补集的混合运算．1706460
专题：计算题．
分析：先求出（A B
∪）和（CUC），再求它们的交集即可．
解答：解：∵A B={2
∪
，3，4，5），
又∁UC={1，2，5}
∴（A B
∪）∩（∁UC）={2，5}
故填{2，5}．
点评：本题考查了交集、并集、补集的运算，属于基础题．
12．（4 分）（2008•重庆）已知函数f（x）=
，点在x=0 处连续，则
= ．
考点：极限及其运算．1706460
专题：计算题．
分析：
由函数f（x）=
在点x=0 处连续，可得
，解可得a=3．由此能求出
的值．
解答：解：
（2x+3）=
=3，
f（0）=a 点在x=0 处连续，
所以
，
即a=3，
故
．
故答案为：．
点评：本题考查函数的极限和运算，解题时要认真审题，仔细解答．
13．（4 分）（2008•重庆）已知
（a＞0），则
=
3
．
考点：指数式与对数式的互化；换底公式的应用．1706460
专题：计算题．
分析：将已知的等式两边同时进行次乘方，得到a 的值，再把a 的值代入要求的式子，利用对数的运算性质计算结
果．
解答：
解：已知
（a＞0），
∴
，
故答案为 3．
点评：本题考查根指数的转化运算，以及利用对数的运算性质求对数式的值，体现了代入得思想．
14．（4 分）（2008•重庆）设Sn是等差数列{an}的前n 项和，a12=
8
﹣，S9=
9
﹣，则S16= ﹣
72
．
8
考点：等差数列的前n 项和．1706460
专题：计算题．
分析：根据等差数列的性质，a1+a9=2a5，结合题意，由S9可得a5的值，而由等差数列的性质有a1+a16=a5+a12，将S16=
（a1+a16）×16 中的（a1+a16）用 （a5+a12）代换并计算可得答案．
解答：解：S9= （a1+a9）×9=
9
﹣，又有a1+a9=2a5，
可得，a5=
1
﹣，
由等差数列的性质可得，a1+a16=a5+a12，
则S16= （a1+a16）×16= （a5+a12）×16=
72
﹣
．
点评：本题考查等差数列的前n 项和，注意解题时，结合等差数列的有关性质来分析，寻找切入点．
15．（4 分）（2008•重庆）直线l 与圆x2+y2+2x
4y+a=0
﹣
（a＜3）相交于两点A，B，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方
程为
x
y+1=0
﹣
．
考点：直线的一般式方程；直线与圆相交的性质．1706460
专题：计算题；压轴题．
分析：求出圆心的坐标，再求出弦中点与圆心连线的斜率，然后再求出弦所在直线的斜率，由点斜式写出其方程，化
为一般式．
解答：解：由已知，圆心O（﹣1，2），
设直线l 的斜率为k，弦AB 的中点为P（0，1），PO 的斜率为kop，则
=
1
﹣
l
PO
∵⊥
，∴k•kop=k•（﹣1）=
1 k=1
﹣∴
由点斜式得直线AB 的方程为：y=x+1
故答案为：x
y+1=0
﹣
点评：考查求直线的方程，本题已知弦中点的坐标，再根据弦与弦心距对应直线垂直求斜率k．
16．
（4 分）
（2008•重庆）某人有4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6 个点A、B、C、A1、B1、C1
上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有
216
种
（用数字作答）．
考点：分步乘法计数原理．1706460
专题：压轴题．
分析：由题意知分3 步进行，为A、B、C 三点选三种颜色灯泡共有A4
3种选法；在A1、B1、C1中选一个装第4 种颜色
的灯泡，有3 种情况；为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A 同色，则C1只能选B 点颜色；
若B1与C 同色，则C1有A、B 处两种颜色可选．故为B1、C1选灯泡共有3 种选法，即剩下的两个灯有3 种情
况，根据计数原理得到结果．
解答：解：每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3 步进行，
第一步，A、B、C 三点选三种颜色灯泡共有A4
3种选法；
第二步，在A1、B1、C1中选一个装第4 种颜色的灯泡，有3 种情况；
第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A 同色，则C1只能选B 点颜色；
若B1与C 同色，则C1有A、B 处两种颜色可选．
故为B1、C1选灯泡共有3 种选法，得到剩下的两个灯有3 种情况，
则共有A4
3×3×3=216 种方法．
故答案为：216
点评：本题用到两个计数原理，用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完
成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．
三、解答题（共6 小题，满分76 分）
9
17．（13 分）（2008•重庆）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB+cot C 的值．
考点：正弦定理；余弦定理．1706460
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据余弦定理求得a，b 和c 的关系式，再利用c=3b 消去b，进而可得答案．
（Ⅱ）对原式进行化简整理得
由正弦定理和（Ⅰ）的结论求得结果．
解答：
解：（Ⅰ）由余弦定理得
．
∴
．
（Ⅱ）
，
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
．
故
．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常使用的方法，应熟练
掌握．
18．（13 分）（2008•重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由
前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满
6 局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：
（Ⅰ）打满3 局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ 的分别列与期望Eξ．
考
点：
离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．1706460
专
题：
计算题．
分
析：
（1）打满3 局比赛还未停止即在三局比赛中没有人连胜两局，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利
（2）ξ 的所有可能值为2，3，4，5，6，分别求出ξ 取每一个值的概率，列出分布列即可．
解
答：
解：令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3 局比
赛还未停止的概率为
．
（Ⅱ）ξ 的所有可能值为2，3，4，5，6，且
，
．
，
故有分布列
ξ
2
3
4
5
6
P
10
从而
（局）．
点
评：
本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．
19．（13 分）（2008•重庆）如图，在△ABC 中，B=90°，AC=
，D、E 两点分别在AB、AC 上．使
，DE=3．现将
△ABC 沿DE 折成直二角角，求
（Ⅰ）异面直线AD 与BC 的距离；
（Ⅱ）二面角A
EC
B
﹣
﹣
的大小（用反三角函数表示）．
考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．1706460
专题：计算题．
分析：（1）先依据公垂线的定义，证明DB 为异面直线AD 与BC 的公垂线，再求DB 之长，注意到它是AB 长的
倍，故先求出AB 的长即可；
（2）过D 作DF CE
⊥
，交CE 的延长线于F，先证得∠AFD 为二面角A
BC
B
﹣
﹣
的平面角，再利用直角三角形
中的边角关系求出其正切值即得．
解答：解：（Ⅰ）在图1 中，因
，故BE BC
∥
．又因B=90°，从而AD DE
⊥
．
在图2 中，因A
DE
B
﹣
﹣
是直二面角，AD DE
⊥
，故AD⊥底面DBCE，
从而AD DB
⊥
．而DB BC
⊥
，故DB 为异面直线AD 与BC 的公垂线．
下求DB 之长．在图1 中，由
，得
又已知DE=3，从而
．
．因
．
（Ⅱ）在第图2 中，过D 作DF CE
⊥
，交CE 的延长线于F，连接AF．由（1）知，
AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF FC
⊥
，故∠AFD 为二面角A
BC
B
﹣
﹣
的平面
角．在底面DBCE 中，∠DEF= BCE
∠
，
，
因此
．从而在Rt
DFE
△
中，DE=3，
．
在
．
因此所求二面角A
EC
B
﹣
﹣
的大小为arctan ．
11
点评：本小题主要考查直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．
20．（13 分）（2008•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1））
处的切线垂直于y 轴．
（Ⅰ）用a 分别表示b 和c；
（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g（x）=
f
﹣（x）e
x
﹣的单调区间．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．1706460
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c 与a 的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（﹣1，f（﹣1））处
的切线垂直于y 轴，得到切线的斜率为0，即f′（﹣1）=0，代入导函数得到b 与a 的关系式，解出b 即可．
（Ⅱ）把第一问中的b 与c 代入bc 中化简可得bc 是关于a 的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc
的最小值并求出此时的a、b 和c 的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将
f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0 求出x 的值，利用x 的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到
g（x）的增减区间．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c 得到f'（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y 轴，故f'（﹣1）=0，
即﹣2a+b=0，因此b=2a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
故当
时，bc 取得最小值﹣．
此时有
．
从而
，g（x）=
f
﹣（x）e
x
﹣=（x2+ x﹣）e
x
﹣，
所以
令g'（x）=0，解得x1=
2
﹣，x2=2．
当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣2）上为减函数；
当x∈（﹣2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）；单调递增区间为（﹣2，2）．
点评：本题是一道综合题，要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究曲线上某点的切线方程．做题
时注意复合函数的求导法则．
21．（12 分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足：|PM|+|PN|=6．
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若
，求点P 的坐标．
考点：椭圆的标准方程；轨迹方程；椭圆的应用．1706460
专题：综合题；压轴题．
分析：（1）先根据题意求出a，b，c 的值，再代入到椭圆方程的标准形式中，可得到答案．
（2）先将
转化为|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|
2
﹣的形式，再由余弦定理得到|MN|
2=|PM|2+|PN|2
2|PM|•|PN|cosMPN
﹣
，二者联立后再由点P 在椭圆方程上可得到最后答案．
解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M、N 为焦点，长轴长2a=6 的椭圆．
12
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=
，
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）由
，得|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|
2
﹣．①
因为cosMPN≠1，P 不为椭圆长轴顶点，故P、M、N 构成三角形．
在△PMN 中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|2=|PM|2+|PN|2
2|PM|•|PN|cosMPN
﹣
．②
将①代入②，得42=|PM|2+|PN|2
2
﹣（|PM|•|PN|
2
﹣）．
故点P 在以M、N 为焦点，实轴长为
的双曲线
上．
由（Ⅰ）知，点P 的坐标又满足
，
所以由方程组
解得
即P 点坐标为
或
点评：本题主要考查椭圆的标准方程．椭圆的标准方程、离心率、第二定义、准线方程、a，b，c 的基本关系等都是高
考的考点，要熟练掌握．
22．（12 分）（2008•重庆）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=
an+2（n∈N*）．
（Ⅰ）若a2= ，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；
（Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2
对n≥2 恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式．
考
点：
数列的应用．1706460
专
题：
压轴题；归纳猜想型．
分
析：（Ⅰ）由题意可知
，
由此可猜想|an|的通项为an=2（﹣2）n
1
﹣（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n 项和，则bn=2Sn．由题设知x1=1 且
；
．由此入手能够求出a2的值及数列{bn}的通项公式．
解
答：解：（Ⅰ）因a1=2，a2=2
2
﹣，故
，
由此有a1=2（﹣2）0，a2=2（﹣2）2，a3=2（﹣2）2，a4=2（﹣2）3，、
故猜想|an|的通项为an=2（﹣2）n
1
﹣（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n 项和，则bn=2Sn．
由题设知x1=1 且
；①
13
．②
因②式对n=2 成立，有
．③
下用反证法证明：
．
由①得
．
因此数列|xn+1+2xn|是首项为x2+2，公比为的等比数列．
故
．④
又由①知
，
因此是
是首项为
，公比为﹣2 的等比数列，
所以
．⑤
由④﹣⑤得
．⑥
对n 求和得
．⑦
由题设知
．
．
即不等式22k+1＜
对k∈N*恒成立．但这是不可能的，矛盾．
因此x2≤，结合③式知x2= ，因此a2=2*2=
．
将x2= 代入⑦式得
Sn=2﹣
（n∈N*），
所以bn=
=
（n∈N*）
点
评：
本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题．仔细解答，避免出错．
14
