2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据
的方差
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分。
1.若复数
，其中是虚数单位，则复数
的实部为______
2.已知向量
和向量
的夹角为
，
，则向量
和向量
的数量积
__________
.
3. 函数
的单调减区间为
_____
4.
函
数
为
常
数
，
在闭区间
上的图象如图所示，则
_______ .
5.现有5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，
2.8，2.9，若从中一次随机抽取2 根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为________ .
6.某校甲、乙两个班级各有5 名编号为1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投10 次，投中的次数如下表：
学生
1 号
2 号
3 号
4 号
5 号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为
________ .
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的
________ .
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为
1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的
体积比为________ .
9.在平面直角坐标系
中，点P 在曲线
上，
且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的
坐标为________.
1
1
2
3
3
O
x
y
开始
0
S
1
T
2
S
T
S
10
S
2
T
T
W
S
T
输出
结束
Y
N
10.已知
，函数
，若实数
满足
，则
的大小关系为
_______
.
11.已知集合
，
，若
则实数
的取值范围是
，其中
________ .
12.设
和
为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若
内的两条相交直线分别平行于
内的两条直线，
则
平行于
；
（2）若
外一条直线与
内的一条直线平行，则和
平行；
（3）设
和
相交于直线，
若
内有一条直线垂直于，则
和
垂直；（4）直线与
垂直的充分必要条件是与
内的两条直线
垂直.
上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）.
13．如图，在平面直角坐标系
中，
为椭圆
的四个顶点，
为其右焦点，直线
与直线
相交于点T，线段
与椭圆的交点
恰为线段
的中点，则该椭圆的离心率为________.
14 ．设
是公比为
的等比数列，
，令
若数列
有连续四项在集合
中，则
________
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分。
15．（本小题满分14 分） 设向量
（1）若
与
垂直，求
的值；（2）求
的最大值;（3）若
，求证：
∥
.
16．（本小题满分14 分）
如图，在直三棱柱
中，
分别是
的中
点，点
在
上，
x
y
A1
B2
A2
O
T
M
求证：(1)
∥
（2）
17 ．（本小题满分14 分） 设
是公差不为零的等差数列，
为其前
项和，满足
（1）求数列
的通项公式及前
项和
；（2）试求所有的正整数
，使得
为数列
中的项.
18．（本小题满分16 分）
在平面直角坐标系
中，已知圆
和圆
（1）若直线过点
，且被圆
截得的弦长为
，求直线的方程；（2）设P 为平面上的点，
满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线
，它们分别与圆
和圆
相交，且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截
得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.
19.(本小题满分16 分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为
元，如果他卖出该产品的单价为
元，则他的满
意度为
；如果他买进该产品的单价为
元，则他的满意度为
.如果一个人对两种交易(卖出或
买进)的满意度分别为
和
，则他对这两种交易的综合满意度为
.
现假设甲生产A、B 两种产品的单件成本分别为12 元和5 元，乙生产A、B 两种产品的单件成本分别为3
元和20 元，设产品A、B 的单价分别为
元和
元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为
，乙卖出A
与买进B 的综合满意度为
求
和
关于
、
的表达式；当
时，求证：
=
；
x
y
O
1
1
.
.
设
，当
、
分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
记(2)中最大的综合满意度为
，试问能否适当选取
、
的值，使得
和
同时成立，但
等号不同时成立？试说明理由。
求
和
关于
、
的表达式；当
时，求证：
=
；
设
，当
、
分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
记(2)中最大的综合满意度为
，试问能否适当选取
、
的值，使得
和
同时成立，但
等号不同时成立？试说明理由。
20．(本小题满分16 分)设
为实数，函数
.若
，求
的取值范围；
求
的最小值；设函数
，直接写出(不需给出演算步骤)不等式
的
解集.
数学Ⅱ（附加题）
参考公式：
21.[选做题]在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10 分，共计20 分。请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD 中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
[解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查
推理论证能力。
满分10 分。
证明：由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由
△ABC≌△BAD 得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。
B. 选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵
的逆矩阵.
[解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10 分。
解：设矩阵A 的逆矩阵为
则
即
故
解得：
，
从而A 的逆矩阵为
.
C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为
（为参数，
）.
求曲线C 的普通方程。
[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10 分。
解：因为
所以
故曲线C 的普通方程为：
.
D. 选修4 - 5：不等式选讲
设
≥
＞0,求证：
≥
.
[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10 分。
证明：
因为
≥
＞0,所以
≥0，
＞0，从而
≥0，
即
≥
.
[必做题]第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤。
22.（本题满分10 分）
在平面直角坐标系
中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F
在
轴上。
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA 垂直的直线的方程；
（3）设过点
的直线交抛物线C 于D、E 两点，ME=2DM，记D 和
E
两
点间的距离为
，求
关于
的表达式。
[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，
考查
运算求解能力。满分10 分。
23. （本题满分10 分）
对于正整数
≥2，用
表示关于
的一元二次方程
有实数根的有序数组
的组数，其
中
（
和
可以相等）；对于随机选取的
（
和
可以相等），记
为关
于
的一元二次方程
有实数根的概率。
（1）求
和
；
（2）求证：对任意正整数
≥2，有
.
[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10 分。
参考答案
1.【答案】20
【解析】略
2.【答案】3
【解析】
3
2
3
3
2
a b
3.【答案】( 1,11)
【解析】
2
( )
3
30
33
3(
11)(
1)
f
x
x
x
x
x
，由(
11)(
1)
0
x
x
得单调减区间为
( 1,11)
。
4.【答案】3
【解析】
3
2T
，
2
3
T
，所以
3
，
5.【答案】0.2
【解析】略
6.【答案】
2
5
【解析】略
7.【答案】22
【解析】略
8.【答案】1：8
【解析】略
9.【答案】( 2,15)
【解析】略
10.【答案】m
n
【解析】略
11.【答案】4
【解析】由
2
log
2
x
得0
4
x
，
(0,4]
A
；由A
B
知
4
a
，所以c 4。
12.【答案】（1）（2）
【解析】略
13.【答案】
2 7
5
e
【解析】用, ,
a b c 表示交点T，得出M 坐标，代入椭圆方程即可转化
解得离心率.
14.【答案】9
【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.
15.【解析】由a 与
2
b
c 垂直，
(
2 )
2
0
a
b
c
a b
a c
，
即4sin(
)
8cos(
)
0
，tan(
)
2
；
(sin
cos
,4cos
4sin
)
b
c
2
2
2
|
|
sin
2sin
cos
cos
b
c
2
2
16cos
32cos
sin
16sin
17
30sin
cos
17
15sin2
，最大值为32，所以|
|
b
c 的最大值为4 2 。
由tan
tan
16
得sin
sin
16cos
cos
，即4cos
4cos
sin
sin
0
，
所以a ∥b .
16.【解析】证明：（1）因为E,F 分别是
1
1
A B,AC 的中点，所以EF // BC ，又EF 面ABC，
x
y
A1
B2
A2
O
T
M
BC 面ABC，所以EF ∥
ABC
平面
；
（2）因为直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
，所以
1
1
1
1
BB
A B C
面
，
1
1
BB
A D
，又
1
1
A D
B C
，所以
1
1
1
A D
B C C
面B
，又
1
1
A D
A FD
面
，所以
1
1
1
A FD
BB C C
平面
平面
。
17.（1）设公差为d ，则
2
2
2
2
2
5
4
3
a
a
a
a
，由性质得
4
3
4
3
3 (
)
(
)
d a
a
d a
a
，因为
0
d
，所【解析】
以
4
3
0
a
a
，即
1
2
5
0
a
d
，又由
7
7
S
得
1
7
6
7
7
2
a
d
，解得
1
5
a
，
2
d
所以
na
的通项公式为
2
7
na
n
，前n 项和
2
6
n
S
n
n
。
（2）
1
2
2
7
2
5
2
3
m
m
m
a a
( m
)( m
)
a
( m
)
，令2
3
m
t
，
1
2
4
2
m
m
m
a a
(t
)(t
)
a
t
8
6
t
t
，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
因为t 是奇数，所以t 可取的值为1
，当
1
t
，
2
m
时，
8
6
3
t
t
，2 5
7
3
，是数列
na
中的项；
1
t ，
1
m
时，
8
6
15
t
t
，数列
na
中的最小项是5
，不符合。
所以满足条件的正整数
2
m
。
18.【解析】(1)
0
y
或
7 (
4)
24
y
x
，
(2)P 在以C1C2 的中垂线上，且与C1、C2 等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P 坐标为
3 13
(
,
)
2 2
或
5
1
( ,
)
2
2
。
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
D
19.【解析】(1)
=
,
=
,
12
5
3
20
A
B
A
B
A
B
A
B
m
m
m
m
h
h
m
m
m
m
乙
甲
(
[3,12],
[5,20])
A
B
m
m
当
3
5
A
B
m
m
时，
2
3
5
=
,
3
5
(
20)(
5)
12
5
B
B
B
B
B
B
B
m
m
m
h
m
m
m
m
甲
2
3
5
=
,
3
20
(
5)(
20)
3
5
B
B
B
B
B
B
B
m
m
m
h
m
m
m
m
乙
显然
=
h
h乙
甲
(2)当
3
5
A
B
m
m
时，
2
2
1
1
=
,
20
5
1
1
(
20)(
5)
(1
)(1
)
100(
)
25
1
B
B
B
B
B
B
B
m
h
m
m
m
m
m
m
甲
由
1
1
1
[5,20]
[
, ]
20 5
B
B
m
m
得
，故当
1
1
20
B
m
即
20,
12
B
A
m
m
时，甲乙两人同时取到最大的综合
满意度为
10
5
20.【解析】（1）若
(0)
1
f
，则
2
0
|
| 1
1
1
a
a a
a
a
（2）当x
a
时，
2
2
( )
3
2
,
f x
x
ax
a
2
2
min
( ),
0
2
,
0
( )
2
( ),
0
,
0
3
3
f a a
a
a
f x
a
a
f
a
a
当x
a
时，
2
2
( )
2
,
f x
x
ax
a
2
min
2
(
),
0
2
,
0
( )
( ),
0
2
,
0
f
a a
a
a
f x
f a a
a
a
综上
2
2
min
2
,
0
( )
2
,
0
3
a
a
f x
a
a
(3)
( ,
)
x
a
时，( )
1
h x
得
2
2
3
2
1
0
x
ax
a
，
2
2
2
4
12(
1)
12
8
a
a
a
当
6
6
2
2
a
a
或
时，
0,
( ,
)
x
a
；
当
6
6
2
2
a
时，
0,
得
2
2
3
2
3
2
(
)(
)
0
3
3
a
a
a
a
x
x
x
a
1）
2
6
(
,
)
2
2
a
时，
( ,
)
x
a
2）
2
2
[
,
]
2
2
a
时，
2
3
2
[
,
)
3
a
a
x
3）
6
2
(
,
]
2
2
a
时，
2
2
3
2
3
2
( ,
]
[
,
)
3
3
a
a
a
a
x
a
