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2009 年北京市普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至9
页，共150 分。考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共40 分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B
铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母
为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。
一、本大题每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数
对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量
不共线，
如果
，那么
A．
且
与
同向 B．
且
与
反向
C．
且
与
同向 D．
且
与
反向
3．为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像上所有的点
A．向左平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度
B．向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度
C．向左平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
D．向右平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
4．若正四棱柱
的底面边长为1，
与底面
成60°角，则
到底面
的距离为
A．
B．1 C．
D．
5．“
”是“
”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若
为有理数），则
A．45 B．55 C．70 D．80
7．用0 到9 这10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为
1
A．324 B．328 C．360 D．648
8．点
在直线
上，若存在过
的直线交抛物线
于
两点，且
，则称点
为“
点”，那么下列结论中正确的是
A．直线上的所有点都是“
点”
B．直线上仅有有限个点是“
点”
C．直线上的所有点都不是“
点”
D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“
点”
第Ⅱ卷（共110 分）
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。把答案填在题中横线上。
9．
___________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
10．若实数
满足
则
的最小值为__________。
11．设
是偶函数，若曲线
在点
处的切线的斜率为1，则该曲线在点
处的切线的斜率为______________。
12．椭圆
的焦点为
，点
在椭圆上，若
，则
_________；
的小大为____________。
13．若函数
则不等式
的解集为____________。
14．已知数列
满足：
则
________；
=____________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
三 、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13 分）
在
中，角
的对边分别为
，
。
2
（I）求
的值；
（Ⅱ）求
的面积。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
16．（本小题共14 分）
如图，在三棱锥
中，
底面
，
点
，
分别在棱
上，且
（I）求证：
平面
；
（Ⅱ）当
为
的中点时，求
与平面
所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点
使得二面角
为直二面角？并说
明理由。
17．（本小题共13 分）
某学生在上学路上要经过4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红
灯的概率都是
，遇到红灯时停留的时间都是2min。
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间
的分布列及期望。
18．（本小题共13 分）
3
设函数
（I）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数
的单调区间；
（Ⅲ）若函数
在区间
内单调递增，求
的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
19．（本小题共14 分）
已知双曲线
的离心率为
，右准线方程为
（I）求双曲线
的方程；
（Ⅱ）设直线是圆
上动点
处的切线，与双曲线
交于
不同的两点
，证明
的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20．（本小题共13 分）
已知数集
具有性质
；对任意的
，
与
两数中至少有一个属于
。
（I）分别判断数集
与
是否具有性质
，并说明理由；
（Ⅱ）证明：
，且
4
（Ⅲ）证明：当
时，
成等比数列。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A
9．
10．
11．
12．
13．
14．1，0
三 、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.（Ⅰ）∵A、B、C 为△ABC 的内角，且
，
∴
，
∴
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
又∵
，
∴在△ABC 中，由正弦定理，得
∴
.
∴△ABC 的面积
.
16．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又
，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC，
∴
，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
5
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP 为等腰直角三角形，∴
，
∴在Rt△ABC 中，
，∴
.
∴在Rt△ADE 中，
，
∴
与平面
所成的角的大小为
.
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE
平面PAC，PE
平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP 为二面角
的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴
.
∴在棱PC 上存在一点E，使得AE⊥PC，这时
，
故存在点E 使得二面角
是直二面角.
17（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A 等价于
事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A
的概率为
.
（Ⅱ）由题意可得，
可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.
事件“
”等价于事件“该学生在路上遇到
次红灯”（
0，1，2，3，4），
∴
，
∴即
的分布列是
0
2
4
6
8
∴
的期望是
.
18．（Ⅰ）
,
6
曲线
在点
处的切线方程为
（Ⅱ）由
，得
，
若
，则当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
若
，则当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若
，则当且仅当
，即
时，函数
在
内
单调递增；
若
，则当且仅当
，即
时，函数
在
内单调递增，
综
上可知，函数
在区间
内单调递增时，的取值范围是
.
19．（Ⅰ）由题意，得
，解得
，∴
，
∴所求双曲线
的方程为
.
（Ⅱ）点
在圆
上，
圆在点
处的切线方程为
，化简得
由
及
得
，
∵切线与双曲线C 交于不同的两点A、B，且
，
∴
，且
，
7
设A、B 两点的坐标分别为
，
则
，∵
，
且
，
.
∴
的大小为
..w.k.s.5.u.c.o.m
20．（Ⅰ）由于
与
均不属于数集
，∴该数集不具有性质P.
由于
都属于数集
，
∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵
具有性质P，∴
与
中至少有一个属于A，
由于
，∴
，故
.
从而
，∴
∵
， ∴
，故
.
由A 具有性质P 可知
.
又∵
， ∴
，
从而
，∴
.
8
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，有
，即
，
∵
，∴
，∴
，由A 具有性质P 可知
.
由
，得
，且
，∴
，∴
，
即
是首项为1，公比为
成等比数列.
解析
一、本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．在复平面内，复数
对应的点位于 （ ）
9
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.
∵
，∴复数
所对应的点为
，故选B.
2．已知向量a、b 不共线，c
a
b
R),d
a
b,如果c
d，那么 （ ）
A．
且c 与d 同向 B．
且c 与d 反向
C．
且c 与d 同向 D．
且c 与d 反向
【答案】D
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
取a
，b
，若
，则c
a
b
，d
a
b
，
显然，a 与b 不平行，排除A、B.
若
，则c
a
b
，d
a
b
，
即c
d 且c 与d 反向，排除C，故选D.
3．为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像上所有的点 （ ）
A．向左平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度
B．向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度
C．向左平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
D．向右平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
【答案】C
【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A．
，
B．
，
C．
，
D．
.
故应选C.
4．若正四棱柱
的底面边长为1，
与底面
成60°角，则
到底面
的距离为 （ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、
10
直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4 题解答图）
属于基础知识、基本运算的考查.
依题意，
，如图，
，故选D.
5．“
”是“
”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、
基本运算的考查.
当
时，
，
反之，当
时，有
，
或
，故应选A.
6．若
为有理数），则
（ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
【答案】C
【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵
，
由已知，得
，∴
.故选C.
7．用0 到9 这10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
【答案】B
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知
识、基本运算的考查.
首先应考虑“0”是特殊元素，当0 排在末位时，有
（个），
当0 不排在末位时，有
（个），
于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有
（个）.故选B.
8．点
在直线
上，若存在过
的直线交抛物线
于
两点，且
11
，则称点
为“
点”，那么下列结论中正确的是 （ ）
A．直线上的所有点都是“
点”
B．直线上仅有有限个点是“
点”
C．直线上的所有点都不是“
点”
D．直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“
点”
【答案】A
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及
学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题
的能力. 属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解，如图，
设
，
则
，
∵
，
∴
消去n,整理得关于x 的方程
（1）
∵
恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.
2009 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110 分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数
12
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。把答案填在题中横线上。
9．
_________.
W【答案】
【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、
基本运算的考查.
，故应填
.
10 ．若实数
满足
则
的最小值为__________.
【答案】
【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知.
属于基础知识、基本运算的考查.
如图，当
时，
为最小值.
故应填
.
11．设
是偶函数，若曲线
在点
处的切线的斜率为1，则该曲线在
处的切线的斜率为_________.
【答案】
【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算
的考查.
取
，如图，采用数形结合法，
易得该曲线在
处的切线的斜率为
.
故应填
.
12．椭圆
的焦点为
，点
在椭圆上，
13
若
，则
_________；
的小大为__________.
【答案】
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属
于基础知识、基本运算的考查.
∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
又由余弦定理，得
，
∴
，故应填
.
13．若函数
则不等式
的解集为____________.
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考
查.
（1）由
.
（2）由
.
∴不等式
的解集为
，∴应填
.
14．已知数列
满足：
则
________；
=_________.
14
【答案】1，0
【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得
，
.
∴应填1，0.
三 、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13 分）
在
中，角
的对边分别为
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的面积.
【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础
知识，主要考查基本运算能力．
（Ⅰ）∵A、B、C 为△ABC 的内角，且
，
∴
，
∴
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
又∵
，
∴在△ABC 中，由正弦定理，得
∴
.
∴△ABC 的面积
.
16．（本小题共14 分）
如图，在三棱锥
中，
底面
，
点
，
分别在棱
上，且
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）当
为
的中点时，求
与平面
所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点
使得二面角
为直二面角？并说明理由.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空
间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
15
又
，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC，
∴
，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP 为等腰直角三角形，∴
，
∴在Rt△ABC 中，
，∴
.
∴在Rt△ADE 中，
，
∴
与平面
所成的角的大小为
.
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE
平面PAC，PE
平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP 为二面角
的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴
.
∴在棱PC 上存在一点E，使得AE⊥PC，这时
，
故存在点E 使得二面角
是直二面角.
【解法2】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系
，
设
，由已知可得
.
（Ⅰ）∵
，
∴
，∴BC⊥AP.
又∵
，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC，∴E 为PC 的中点，
16
∴
，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，
∵
，
∴
.
∴
与平面
所成的角的大小为
.
（Ⅲ）同解法1.
17．（本小题共13 分）
某学生在上学路上要经过4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红
灯的概率都是
，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间
的分布列及期望.
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机
变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A 等价
于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件
A 的概率为
.
（Ⅱ）由题意可得，
可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.
事件“
”等价于事件“该学生在路上遇到
次红灯”（
0，1，2，3，
4），
∴
，
∴即
的分布列是
0
2
4
6
8
∴
的期望是
.
17
18．（本小题共13 分）
设函数
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数
的单调区间；
（Ⅲ）若函数
在区间
内单调递增，求
的取值范围.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查
综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）
,
曲线
在点
处的切线方程为
（Ⅱ）由
，得
，
若
，则当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
若
，则当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若
，则当且仅当
，即
时，函数
在
内
单调递增；
若
，则当且仅当
，即
时，函数
在
内单调递增，
综
上可知，函数
在区间
内单调递增时，的取值范围是
.
19．（本小题共14 分）
已知双曲线
的离心率为
，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线
的方程；
（Ⅱ）设直线是圆
上动点
处的切线，与双曲线
18
交于不同的两点
，证明
的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得
，
解得
，
∴
，
∴所求双曲线
的方程为
.
（Ⅱ）点
在圆
上，
圆在点
处的切线方程为
，
化简得
由
及
得
，
∵切线与双曲线C 交于不同的两点A、B，且
，
∴
，且
，
设A、B 两点的坐标分别为
，
则
，
∵
，
且
，
19
.
∴
的大小为
..w.k.s.5.u.c.o.m
【解法2】
（Ⅰ）同解法1
（Ⅱ）点
在圆
上，
圆在点
处的切线方程为
，
化简得
.
由
及
得
①
②
∵切线与双曲线C 交于不同的两点A、B，∴
，
设A、B 两点的坐标分别为
，
则
，
∴
，
∴
的大小为
.
（∵
且
，∴
，从而当
时，
方程①和方程②的判别式均大于零）.
20．（本小题共13 分）
20
已知数集
具有性质
：对任意的
，
与
两数中至少有一个属于
.
（Ⅰ）分别判断数集
与
是否具有性质
，并说明理由；
（Ⅱ）证明：
，且
；
（Ⅲ）证明：当
时，
成等比数列..k.s.5.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学
思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
（Ⅰ）由于
与
均不属于数集
，∴该数集不具有性质P.
由于
都属于数集
，
∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵
具有性质P，∴
与
中至少有一个属于A，
由于
，∴
，故
.
从而
，∴
∵
， ∴
，故
.
由A 具有性质P 可知
.
又∵
，
∴
，
从而
，
∴
.
21
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，有
，即
，
∵
，
∴
，∴
，
由A 具有性质P 可知
.
由
，得
，且
，∴
，
∴
，
即
是首项为1，公比为
成等比数列.
22
