2010年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）_高考一二三轮复习_数学_2027年高考数学专项复习更新中_2008年-2026年数学高考真题-G427_2008-2020年高考_2008-2020年_地方卷

绝密★启用前
  2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题满分56 分，每小题4 分）
1．已知集合A{1,3,m}，B{3,4}，A⋃B{1,2,3,4}，则m_______________．
2．不等式
的解集是_______________．
3．行列式
的值是_______________．
4．若复数z12i（i 为虚数单位），则
_______________．
5．将一个总体分为A、B、C 三层，其个体数之比为5:3:2．若用分层抽样方法抽取容量为100
的样本，则应从C 中抽取_______________个个体．
6．已知四棱锥P—ABCD 的底面是边长为6 的正方体，侧棱PA底面ABCD，且PA8，则该
四棱锥的体积是_______________．
7．圆C:x2y22x4y40 的圆心到直线3x4y40 的距离
d_______________．
8．动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x20 的距离相等，
则点P 的轨迹方程为_________．
9．函数f(x)log3(x3)的反函数的图像与y 轴的交点坐标是_____．
10．从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取2 张，则“抽出的2 张
均为红桃”的概率为____________（结果用最简分数表示）．
11．2010 年上海世博会园区每天9:00 开园，20:00 停止入园．在右边
的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园
总人数，a 表示整点报道前1 个小时内入园人数，则空白的执行
框内应填入_______________．
开始
T ←9,S←0
输出T,S
T≤19
T←T1
输入a
结束
否
是
12．在n 行n 列矩阵
中，
记位于第i 行第j 列的数为aij(i,j1,2,···,n)．
当n9 时，a11a22a33···a99_______________．
13．在平面直角坐标系中，双曲线Γ 的中心在原点，它的一个焦点坐标为
，
、
分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ 上的点P，若
(a、
bR)，则a、b 满足的一个等式是_______________．
14．将直线l1:xy10、l2:nxyn0、l3:xnyn0(nN*,n≥2)围成的三角形面积记为Sn，
则
_______________．
二、选择题（本大题满分20 分，每小题5 分）
15．满足线性约束条件
的目标函数zxy 的最大值是
（ 
）
A．1
B．
C．2
D．3
16．“
(kZ)”是“tanx1”成立的
（ 
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
17．若x0是方程lgxx2 的解，则x0属于区间
（     ）
A．(0,1)
B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75)
D．(1.75,2)
18．若ABC 的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则ABC
（ 
）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三
角形
三、解答题（本大题满分74 分）
19．（本题满分12 分）
已知
，化简：
．
20．（本题满分14 分）第1 小题满分7 分，第2 小题满分7 分．
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4 个
全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝．再用S 平方米塑料
片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．
(1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求
出该最大值（结果精确到0.01 平方米）；
(2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3 米的灯
笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架
等因素）．
21．（本题满分14 分）第1 小题满分6 分，第2 小题满分8
分．
已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Snn5an85,nN*．
(1) 证明：{an1}是等比数列；
(2) 求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn1>Sn成立的最小正整数n．
22．（本题满分16 分）第1 小题满分3 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满分8 分．
若实数x、y、m 满足|xm|<|ym|，则称x 比y 接近m．
(1) 若x21 比3 接近0，求x 的取值范围；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2bab2比a3b3接近
；
(3) 已知函数f(x)的定义域D{x|x≠k,kZ,xR}．任取xD，f(x)等于1sinx 和1sinx 中
接近0 的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性
（结论不要求证明）
23．（本题满分18 分）第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分8 分．
已知椭圆Γ 的方程为
，A(0,b)、B(0,b)和Q(a,0)为Γ 的三个顶点．
(1) 若点M 满足
，求点M 的坐标；
(2) 设直线l1:yk1xp 交椭圆Γ 于C、D 两点，交直线l2:yk2x 于点E．若
，
证明：E 为CD 的中点；
(3) 设点P 在椭圆Γ 内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l，使得l 与椭圆Γ 的
两个交点P1、P2满足
？令a10，b5，点P 的坐标是(8,1)．若椭圆Γ 上的点
P1、P2满足
，求点P1、P2的坐标．
2010 年高考数学（理科）上海试题
2010-6-7
班级_____ ，学号_____ ，姓名
_____________
一、填空题（本大题满分56 分，每小题4 分）
1．不等式
的解集是_______________．
2．若复数z12i（i 为虚数单位），则
_______________．
3．动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x20 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________．
4．行列式
的值是_______________．
5．圆C:x2y22x4y40 的圆心到直线3x4y40 的距离d_______________．
6．随机变量
的概率分布由下表给出：
则该随机变量
的均值是_______________．
7．2010 年上海世博会园区每天9:00 开园，20:00 停止入园．在右边
的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园
总人数，a 表示整点报道前1 个小时内入园人数，则空白的执行
框内应填入_______________．
8．对于不等于1 的正数a，函数f(x)loga(x3)的反函数的图像都经
过点P，则点P 的坐标为_______________．
9．从一副混合后的扑克牌(52 张)中，随机抽取1 张，事件A 为“抽
得红桃K”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率
______________(结果用最简分数表示)．
10．在n 行n 列矩阵
中
aij(i,j1,2,···,n)．当n9 时，a11a22a33···a99_______________．
11．将直线l1：nxyn0、l2：xnyn0(nN*)、x 轴、y 轴围成的封闭区域的面积记为Sn，
则
_______________．
12．如图所示，在边长为4 的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD
相交于点O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD 折叠，使
OA、OB 重合，则以A(B)、C、D、O 为顶点的四面体的体积
是_______________．
13．如图所示，直线
与双曲线
的渐近线交于
、
两点，记
，
，任取双曲线
上的点
P，若
，
则a、b 满足的一个等式是_______________．
14．从集合
的子集中选出4 个不同的子集，
需同时满足以下两个条件：
7
8
9
10
x
0.3
P( =x)
0.2
0.35
0.15
开始
T ←9,S←0
输出T,S
T≤19
T←T1
输入a
结束
否
是
A
B
C
D
O
x
O
y
E1
E2
(1) 
都要选出；(2)对选出的任意两个子集A 和B，必有
或
．
那么，共有___________种不同的选择．
二、选择题（本大题满分20 分，每小题5 分）
15．“
(kZ)”是“tanx1”成立的
（ 
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．直线l 的参数方程是
，则l 的方向向量
可以是
（ 
）
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(2,1)
D．(1,2)
17．若x0是方程
的解，则x0属于区间
（     ）
A．
B．
C．
D．
18．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是
、
、
，则此人将
（ 
）
A．不能作出满足要求的三角形
B．作出一个锐角三角形
C．作出一个直角三角形
D．作出一个钝角三角形
三、解答题（本大题满分74 分）
19．（本题满分12 分）
已知
，化简：
．
20．（本题满分13 分）第1 小题满分5 分，第2 小题满分8 分．
已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Snn5an85,nN*．
(1) 证明：{an1}是等比数列；
(2) 求数列{Sn}的通项公式，并指出n 为何值时，Sn取得最小
值，并说明理由．
21．（本题满分14 分）第1 小题满分5 分，第2 小题满分8 分．
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4 个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁
丝．骨架将圆柱底面8 等分．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．
(1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01 平方
米）；
(2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3 米时，
求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表
示）．
22．（本题满分18 分）第1 小题满分3 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满分10 分．
若实数x、y、m 满足|xm|﹥|ym|，则称x 比y 远离m．
(1) 若x21 比1 远离0，求x 的取值范围；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3b3比a2bab2远离
；
(3) 已知函数f(x)的定义域
．任取xD，f(x)等于sinx 和
cosx 中远离0 的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）
23．（本题满分18 分）第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分9 分．
已知椭圆
的方程为
，点P 的坐标为(a,b)．
(1) 若直角坐标平面上的点M、A(0,b)、B(a,0)满足
，求点M 的坐标；
(2) 设直线l1:yk1xp 交椭圆Γ 于C、D 两点，交直线l2:yk2x 于点E．若
，
证明：E 为CD 的中点；
(3) 对于椭圆Γ 上的点Q(acos ,bsin )(0< <)，如果椭圆Γ 上存在不同的两点P1、P2
使
，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的 的取值范围．
文科参考答案
一、填空题
1．2；
2．(4,2)；
3．0.5；
4．62i；
5．20；
6．96；
7．3；
8．y28x；9．(0,2)；
10．
；11．S←Sa；12．45；13．4ab1；14．
．
二、选择题
15．C；
16．A；
17．C；
18．C．
三、解答题
19．原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．
20．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0<r<0.6)，S3(r0.4)20.48，
所以当r0.4 时，S 取得最大值约为1.51 平方米；
(2) 当r0.3 时，l0.6，作三视图略．
21．(1) 当n1 时，a114；当n≥2 时，anSnSn15an5an11，所以
，
又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；
(2) 由(1)知：
，得
，从而
(nN*)；
由Sn1>Sn，得
，
，最小正整数n15．
22．(1) x(2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有
，
，
因为
，
所以
，即a2bab2比a3b3接近
；
(3) 
,kZ，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，
函数f(x)在区间
单调递增，在区间
单调递减，kZ．
23．(1) 
；
(2) 由方程组
，消y 得方程
，
因为直线
交椭圆
于
、
两点，
所以>0，即
，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)，
则
，
由方程组
，消y 得方程(k2k1)xp，
又因为
，所以
，
故E 为CD 的中点；
(3) 因为点P 在椭圆Γ 内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ 内，可以求得直线OF 的斜率
k2，由
知F 为P1P2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率
，从而得
直线l 的方程．
，直线OF 的斜率
，直线l 的斜率
，
解方程组
，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）
一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内
直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。
1.已知集合


1,3,
A
m

，


3,4
B 
，


1,2,3,4
A
B 

则m   
  2        
 
 。
解析：考查并集的概念，显然m=2
2.不等式2
0
4
x
x



的解集是     

2
4
|



x
x
    。
解析：考查分式不等式的解法2
0
4
x
x



等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2
3.行列式
cos
sin
6
6
sin
cos
6
6




的值是    
 
 0.5
          
 
 。
解析：考查行列式运算法则
cos
sin
6
6
sin
cos
6
6




=
2
1
3
cos
6
π
sin
6
π
sin
6
π
cos
6
π
cos




4.若复数
1 2
z
i

（i 为虚数单位），则z z
z


     
i2
6 
      。
解析：考查复数基本运算z z
z


i
i
i
i
2
6
2
1
)
2
1
)(
2
1(






5.将一个总数为A 、B  、C 三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100
的样本，则应从C 中抽取       
 
 20
      
 
 个个体。
解析：考查分层抽样应从C 中抽取
20
10
2
100


6.已知四棱椎P
ABCD

的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA 底面ABCD ，且
8
PA 
，
则该四棱椎的体积是    
 
 96
          
 
 。
解析：考查棱锥体积公式
96
8
36
3
1




V
7.圆
2
2
:
2
4
4
0
C x
y
x
y





的圆心到直线3
4
4
0
x
y



的距离d   
  3        
 
 。
解析：考查点到直线距离公式
圆心（1,2）到直线3
4
4
0
x
y



距离为
3
5
4
2
4
1
3





8.动点P 到点
(2,0)
F
的距离与它到直线
2
0
x 

的距离相等，则P 的轨迹方程为   y28x  
。
解析：考查抛物线定义及标准方程
定义知P 的轨迹是以
(2,0)
F
为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为y28x
9. 函数
3
( )
log (
3)
f x
x


的反函数的图像与y 轴的交点坐标是  
(0,2)     。
解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数
3
( )
log (
3)
f x
x


的反函数为
3
3 

x
y
，另x=0，有y=-2
法二：函数
3
( )
log (
3)
f x
x


图像与x 轴交点为（-2,0），利用对称性可
知，函数
3
( )
log (
3)
f x
x


的反函数的图像与y 轴的交点为（0，-2）
10. 从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取2 张，则“抽出的2 张均
为红桃”的概率
为      3
51      （结果用最简分数表示）。
解析：考查等可能事件概率
“抽出的2 张均为红桃”的概率为
51
3
2
52
2
13 
C
C
11. 2010 年上海世博会园区每天9:00 开园，20:00 停止入园。在右边的框图中，S 表示上海世
博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1 个小时内入园人数，则空
白的执行框内应填入    S←Sa     。
解析：考查算法
12.在n 行m 列矩阵
1
2
3
2
1
2
3
4
1
1
3
4
5
1
2
1
2
3
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

































中，
记位于第i 行第j 列的数为
( ,
1,2
, )
ij
a i j
n


。当
9
n 
时，
11
22
33
99
a
a
a
a



 45  
。
解析：
11
22
33
99
a
a
a
a



1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为( 5,0) ，
1
(2,1)
e 
、
2
(2, 1)
e 

分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点P ，若
1
2
OP
ae
be




（a 、b
R

），则a 、b 满足的一个等式是  4ab1         。
解析：因为
1
(2,1)
e 
、2
(2, 1)
e 

是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为
x
y
2
1


，
又
1
,2
,
5




b
a
c
双曲线方程为
1
4
2
2

y
x
，
1
2
OP
ae
be




=
)
,
2
2
(
b
a
b
a


，
1
)
(
4
)
2
2
(
2
2





b
a
b
a
，化简得4ab1
14.将直线
1 :
1
0
l
x
y


、
2 :
0
l
nx
y
n



、
3 :
0
l
x
ny
n


（
*
n
N

，
2
n 
）围成的
三角形面积记为
n
S ，则lim
n
n
S

       1
2     。
解析：B
)
1
,
1
(


n
n
n
n
 所以BO⊥AC，
n
S =
)1
(
2
1
)
2
2
2
1
(
2
2
1







n
n
n
n
所以lim
n
n
S

1
2
二．选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答
题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分。
15.满足线性约束条件
2
3,
2
3,
0,
0
x
y
x
y
x
y










的目标函数z
x
y


的最大值是    [答]（  ）
（A）1.         （B）3
2
.       （C）2.          （D）3.
解析：当直线z
x
y


过点B(1,1)时，z 最大值为2
16.“


2
4
x
k
k
Z





”是“ tan
1
x 
”成立的          [答]（  ）
（A）充分不必要条件.         （B）必要不充分条件.
（C）充分条件.               （D）既不充分也不必要条件.
解析：
1
4
tan
)
4
2
tan(






k
，所以充分；但反之不成立，如
1
4
5
tan


17.若
0x 是方程式 lg
2
x
x


的解，则
0x 属于区间          [答]（  ）
（A）（0，1）.   （B）（1，1.25）.   （C）（1.25，1.75）  （D）（1.75，2）
解析：
0
4
1
4
7
lg
)
4
7
(
)
75
.1(
,2
lg
)
(







f
f
x
x
x
f
由
构造函数
       
0
2
lg
)
2
(


f
知
0x 属于区间（1.75，2）
18.若△ABC 的三个内角满足sin
:sin
:sin
5:11:13
A
B
C 
，则△ABC
（A）一定是锐角三角形.         （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形.          (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由sin
:sin
:sin
5:11:13
A
B
C 
及正弦定理得a:b:c=5:11:13
      由余弦定理得
0
11
5
2
13
11
5
cos
2
2
2






c
，所以角C 为钝角
三、解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12 分）
已知0
2
x



，化简：
2
lg(cos
tan
1 2sin
)
lg[ 2 cos(
)]
lg(1 sin 2 )
2
2
x
x
x
x
x







.
解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．
20.（本大题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分7 分，第2 小题满分7 分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4 个全等的矩
形骨架，总计耗用9.6 米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱
的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01 平方米）;
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3 米的灯笼，请作
出
用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 
解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0<r<0.6)，
S3(r0.4)20.48，
所以当r0.4 时，S 取得最大值约为1.51 平方米；
(2) 当r0.3 时，l0.6，作三视图略．
21.(本题满分14 分)本题共有2 个小题，第一个小题满分6 分，第2 个小题满分8 分。
已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
5
85
n
n
S
n
a



，
*
n
N

(1)证明：

1
na 
是等比数列；
(2)求数列

n
S
的通项公式，并求出使得
1
n
n
S
S

成立的最小正整数n .
解析：(1) 当n1 时，a114；当n≥2 时，anSnSn15an5an11，所以
1
5
1
(
1)
6
n
n
a
a 


，
又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；
(2) 由(1)知：
1
5
1
15
6
n
na








，得
1
5
1 15
6
n
na








，从而
1
5
75
90
6
n
n
S
n











(nN*)；
由Sn1>Sn，得
1
5
2
6
5
n







，
5
6
2
log
1
14.9
25
n 

，最小正整数n15．
22.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满
分8 分。
若实数x 、y 、m 满足x
m
y
m



，则称x 比y 接近m .
（1）若
2
1
x 比3 接近0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：
2
2
a b
ab

比
3
3
a
b

接近2ab ab ；
（3）已知函数
( )
f x 的定义域


,
,
D x x
k
k
Z x
R




.任取x
D

，( )
f x 等于1 sin x

和1 sin x

中接近0 的那个值.写出函数
( )
f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最
小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) x(2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有
2
2
2
a b
ab
ab ab


，
3
3
2
a
b
ab ab


，
因为
2
2
3
3
2
|
2
|
|
2
|
(
)(
)
0
a b
ab
ab ab
a
b
ab ab
a
b a
b









，
所以
2
2
3
3
|
2
| |
2
|
a b
ab
ab ab
a
b
ab ab





，即a2bab2比a3b3接近2ab ab ；
(3) 
1
sin ,
(2
,2
)
( )
1 | sin
|,
1
sin ,
(2
,2
)
x
x
k
k
f x
x x
k
x
x
k
k


















,kZ，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，
函数f(x)在区间[
,
)
2
k
k




单调递增，在区间(
,
]
2
k
k



单调递减，kZ．
23（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分8 分.
已知椭圆的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




，
(0, )
A
b 、
(0,
)
B
b

和
( ,0)
Q a
为的三个顶
点.
（1）若点M 满足
1 (
)
2
AM
AQ
AB





，求点M 的坐标；
（2 ）设直线
1
1
:
l
y
k x
p


交椭圆于C 、D 两点，交直线
2
2
:
l
y
k x

于点E . 若
2
1
2
2
b
k
k
a


，证明：E 为CD 的中点；
（3）设点P 在椭圆内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆的两
个交点
1P 、
2P 满足
1
2
PP
PP
PQ





1
2
PP
PP
PQ




？令
10
a 
，
5
b 
，点P 的坐标是
（-8，-1），若椭圆上的点
1P 、
2P 满足
1
2
PP
PP
PQ




，求点
1P 、
2P 的坐标.
解析：(1) 
( ,
)
2
2
a
b
M

；
(2) 由方程组
1
2
2
2
2
1
y
k x
p
x
y
a
b






，消y 得方程
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
(
)
2
(
)
0
a k
b
x
a k px
a
p
b





，
因为直线
1
1
:
l
y
k x
p


交椭圆于C 、D 两点，
所以>0，即
2
2
2
2
1
0
a k
b
p



，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)，
则
2
1
2
1
0
2
2
2
1
2
0
1
0
2
2
2
1
2
x
x
a k p
x
a k
b
b p
y
k x
p
a k
b














，
由方程组
1
2
y
k x
p
y
k x






，消y 得方程(k2k1)xp，
又因为
2
2
2
1
b
k
a k

，所以
2
1
0
2
2
2
2
1
1
2
2
0
2
2
2
1
a k p
p
x
x
k
k
a k
b
b p
y
k x
y
a k
b














，
故E 为CD 的中点；
(3) 因为点P 在椭圆Γ 内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ 内，可以求得直线OF 的斜率k2，
由
1
2
PP
PP
PQ





知F 为P1P2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率
2
1
2
2
b
k
a k

，从而得直线l 的
方程．
1
(1,
)
2
F

，直线OF 的斜率
2
1
2
k 
，直线l 的斜率
2
1
2
2
1
2
b
k
a k


，
解方程组
2
2
1
1
2
1
100
25
y
x
x
y








，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．