2009 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
数学（理工农医类）
第I 卷
一，选择题：（本大题共12 题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题
目要求的。
（1）
已知集合
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 复数
（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2
（3）对变量x, y 有观测数据理力争（
，
）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测
数据（
，
）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（
A）变量x 与y 正
相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
（4）双曲线
-
=1 的焦点到渐近线的距离为
（A）
（B）2 （C）
（D）1
（5）有四个关于三角函数的命题：
：
x
R,
+
=
:
x、y
R, sin(x-y)=sinx-siny
1
:
x
,
=sinx
: sinx=cosy
x+y=
其中假命题的是
（A）
，
（B）
，
（C）
，
（D）
，
（6）设x,y 满足
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
（7）等比数列
的前n 项和为
，且4
，2
，
成等差数列。若
=1，则
=
（A）7 （B）8 （C）15 （D）16
（8） 如图，正方体
的棱线长为1，线段
上有两个动点E，F，且
，则下列结论中错误的
是
（A）
（B）
（C）三棱锥
的体积为定值
（D）异面直线
所成的角为定值
（9 ）已知O ，N ，P 在
所在平面内，且
，且
，则点O，N，
P 依次是
的
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
（10）如果执行右边的程序框图，输入
，那么输出的各个数的合等于
2
（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5
（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c
）为
（A）48+12
（B）48+24
（C）36+12
（D）36+24
（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值
设f（x）=min{
, x+2,10-x} (x
0),则f（x）的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
第II 卷
二、填空题；本大题共4 小题，每小题5 分。
（13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A，B 两点。
若AB 的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.
（14 ）已知函数y=sin （
x+
）（
>0, -
<
）的图像如图所示，则
=________________
（15）7 名志愿者中安排6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3 人，则不同的安
3
排方案共有________________种（用数字作答）。
（16）等差数列{
}前n 项和为
。已知
+
-
=0，
=38,则m=_______
三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12 分）
为了测量两山顶M，N 间的距离，飞机沿水平方向在A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在同一个
铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：
①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N 间的距离
的步骤。
（18）（本小题满分12 分）
某工厂有工人1000 名， 其中250 名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750 名工人参
加过长期培训(称为B 类工人），现用分层抽样方法（按A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共
抽查100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽插结果分别如下表1 和表2.
表1：
生产能力分
组
人数
4
8
5
3
表2：
生产能力分组
人数
6
y
36
18
（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体
间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接
回答结论）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4
（ii）分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均
数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（19）（本小题满分12 分）
如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的
倍，P 为侧棱SD 上
的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D 的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC 的值；
若不存在，试说明理由。
（20）（本小题满分12 分）
已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的
距离分别是7 和1.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，
=λ，求点M 的轨迹
方程，并说明轨迹是什么曲线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
5
（21）（本小题满分12 分）
已知函数
（I）
如
，求
的单调区间；
（II）
若
在
单调增加，在
单调减少，证明
＜6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
请考生在第（22）、
（23）、
（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作
答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图，已知
的两条角平分线
和
相交于H，
，F 在
上，
且
。
（I）
证明：B,D,H,E 四点共圆：
（II）
证明：
平分
。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（23）（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程。
6
已知曲线C ：
（t 为参数）， C ：
（为参数）。
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 上的点P 对应的参数为
，Q 为C 上的动点，求
中点
到直线
（t 为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（24）（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲
如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距
离，y 表示C 到A 距离4 倍与C 道B 距离的6 倍的和.
（1）将y 表示成x 的函数；
（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2009 年普通高校招生全国统一考试
理数数学试题参考答案
一．选择题
(1) A (2) D (3) C (4) A (5) A (6) B
(7) C (8) D (9) C (10) B (11) A (12) C
二．填空题
(13)
(14)
(15) 140 (16) 10
三．解答题
7
(17) 解：
方案一：①需要测量的数据有：A
点到M，N 点的俯角
；B 点到M，
N 的俯角
；A，B 的距离 d （如图）
所示） . ……….3 分
②第一步：计算AM . 由正弦定理
；
第二步：计算AN . 由正弦定理
；
第三步：计算MN. 由余弦定理
.
方案二：①需要测量的数据有：
A 点到M，N 点的俯角
，
；B 点到M，N 点的府角
，
；A，B 的距离 d （如图所
示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理
；
第二步：计算BN . 由正弦定理
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第三步：计算MN . 由余弦定理
(18)
解：
（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为
，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相
互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
.
（Ⅱ）（i）由题意知A 类工人中应抽查25 名，B 类工人中应抽查75 名.
故
，得
，
，得
.
频率分布直方图如下
8
从直方图可以判断：B 类工人中个体间的关异程度更小 .
（ii）
，
，
A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的
平均数的会计值分别为123，133.8 和131.1 .
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（19）解法一：
（Ⅰ）连BD，设AC 交BD 于O，由题意
。在正方形ABCD 中，
，所以
,得
.
(Ⅱ)设正方形边长
，则
。
又
，所以
,
连
，由（Ⅰ）知
,所以
, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
且
,所以
是二面角
的平面角。
由
,知
,所以
,
即二面角
的大小为
。
（Ⅲ）在棱SC 上存在一点E，使
由（Ⅱ）可得
，故可在
上取一点
,使
,过
作
的平行线与
的交点即为
。连BN 。在
中知
，又由于
, 故平面
9
，得
,由于
,故
.
解法二：
（Ⅰ）；连
,设
交于
于
，由题意知
.以O 为坐标原点，
分别为
轴、
轴、
轴正方向，建立坐标系
如图。
设底面边长为
，则高
。
于是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故
从而
(Ⅱ)由题设知，平面
的一个法向量
，平面
的一
个法向量
，设所求二面角为
，则
,所求二面角的大
小为
（Ⅲ）在棱
上存在一点
使
.
由（Ⅱ）知
是平面
的一个法向量，
且
设
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
10
则
而
即当
时，
而
不在平面
内，故
（20）解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为
，由已知得
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以椭圆
的标准方程为
（Ⅱ）设
，其中
。由已知
及点
在椭圆
上可得
。
整理得
，其中
。
（i）
时。化简得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以点
的轨迹方程为
，轨迹是两条平行于
轴的线段。
（ii）
时，方程变形为
，其中
当
时，点
的轨迹为中心在原点、实轴在
轴上的双曲线满足
的
部分。
当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭圆满足
的部分；
当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭圆；
（21）解：
（Ⅰ）当
时，
，故
11
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当
当
从而
单调减少.
(Ⅱ)
由条件得：
从而
因为
所以
将右边展开，与左边比较系数得，
故
又
由此可得
于是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（22）解：
（Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD，CE 是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B,D,H,E 四点共圆.
（Ⅱ）连结BH,则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B,D,H,E 四点共圆，
12
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF=30°.
所以CE 平分∠DEF. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（23）解：
（Ⅰ）
为圆心是（
，半径是1 的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3 的椭圆.
（Ⅱ）当
时，
为直线
从而当
时，
（24）解：
（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，x 满足
{
解不等式组，其解集为【9，23】
所以
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
13
