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2009 年高考数学浙江理科试卷含详细解答
一、选择题（本大题共10 小题，共0 分）
1．（2009 浙江理1）设
，
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
2．（2009 浙江理2）已知
是实数，则“
且
”是“
且
”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．（2009 浙江理3）设
（是虚数单位），则
( )
A.
B.
C.
D.
4．（2009 浙江理4）在二项式
的展开式中，含
的项的系数是( ).
A.
B.
C.
D.
5．（2009 浙江理5）在三棱柱
中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点
是侧面
的中心，则
与平面
所成角的大小是( )
A.
B.
C.
D.
6．（2009 浙江理6）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是( )
A.
B.
C.
D.
7．
（2009 浙江理7）设向量
，满足：
，
，
.以
，，
的模为边长构成三
角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为( ).
A.
B.
C.
D.
8．（2009 浙江理8）已知
是实数，则函数
的图象不可能是( )
A.
B.
C.
D.
9．（2009 浙江理9）过双曲线
的右顶点
作斜率为
的直线，该直线与
双曲线的两条渐近线的交点分别为
.若
，则双曲线的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
10．（2009 浙江理10）对于正实数
，记
为满足下述条件的函数
构成的集合：
且
，有
.下列结论中正确的是( )
A.若
，
，则
B.若
，
，且
，则
C.若
，
，则
D.若
，
，且
，则
二、填空题（本大题共7 小题，共0 分）
11．（2009 浙江理11）设等比数列
的公比
，前
项和为
，则
.
12．（2009 浙江理12）若某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则此几何体的体积是
.
13．（2009 浙江理13）若实数
满足不等式组
则
的最小值是
14．（2009 浙江理14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网
销售电价表如下：
若某家庭5 月份的高峰时间段用电量为
千瓦时，低谷时间段用电量为
千瓦时，则按
这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）.
15．（2009 浙江理15）观察下列等式：
，
，
，
，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于
，
.
16．（2009 浙江理16）甲、乙、丙
人站到共有
级的台阶上，若每级台阶最多站
人，同一级台阶上
的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）.
17．（2009 浙江理17）如图，在长方形
中，
，
，
为
的中点，
为线段
（端点除外）上一动点.现将
沿
折起，使平面
平面
.在平面
内过
点
作
，
为垂足.设
，则的取值范围是 .
三、解答题（本大题共5 小题，共0 分）
18．（2009 浙江理18）在
中，角
所对的边分别为
，且满足
，
.（I）求
的面积；（II）若
，求
的值。
19．（2009 浙江理19）在
这
个自然数中，任取
个数.
（I）求这
个数中恰有个是偶数的概率；
（II）设
为这
个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为
，则有两组相邻的数
和
，
此时
的值是
）.求随机变量
的分布列及其数学期望
.
20．（2009 浙江理20）如图，平面
平面
，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
分别为
，
，
的中点，
，
.
（I）设
是
的中点，证明：
平面
；
（II）证明：在
内存在一点
，使
平面
，并求点
到
，
的距离.
21．（2009 浙江理21）已知椭圆
：
的右顶点为
，过
的焦点且垂
直长轴的弦长为1。
（I）求椭圆
的方程；
（II）设点
在抛物线
：
上，
在点
处的切线与
交于点
当线段
的中点与
的中点的横坐标相等时，求
的最小值。
22．（2009 浙江理22）已知函数
，
，其中
.
（I）设函数
.若
在区间
上不单调，求
的取值范围；
（II）设函数
是否存在
，对任意给定的非零实数
，存在惟一
的非零实数
（
），使得
成立？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
1【答案】B
2【答案】C
【解题关键点】对于“
且
”可以推出“
且
”，反之也是成立的
3【答案】D
【解题关键点】对于
4【答案】B
【解题关键点】对于
，对于
，则
的项
的系数是
5【答案】C
【解题关键点】取BC 的中点E，则
面
，
，因此
与平面
所成角
即为
，设
，则
，
，即有
.
6【答案】A
【解题关键点】对于
，而对于
，则
，
后面是
，不符合条件时输出的
.
7【答案】B
【解题关键点】对于半径为1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆
的位置稍一右移或其他的变化，能实现4 个交点的情况，但5 个及5 个以上的交点不能实现.
8【答案】D
【解题关键点】对于振幅大于1 时，三角函数的周期为
，而D 不符合要求，
它的振幅大于1，但周期反而大于了
.
9【答案】C
【解题关键点】对于
，则直线方程为
，直线与两渐近线的交点为B，C，
，
则有
，因
.
10【答案】C
【解题关键点】对于
，即有
，令
，有
，不妨设
，
，即有
，因此有
，因此有
.
11【答案】15
【解题关键点】对于
12【答案】18
【解题关键点】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为
，上面的长方体体积为
，因此其几何体的体积为18
13【答案】4
【解题关键点】通过画出其线性规划，可知直线
过点
时，
14【答案】
【解题关键点】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为
；对于低峰部
分为
，二部分之和为
15【答案】
【解题关键点】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有
，二项指数
分别为
，因此对于
，
16【答案】336
【解题关键点】对于7 个台阶上每一个只站一人，则有
种；若有一个台阶有2 人，另一个是1 人，则
共有
种，因此共有不同的站法种数是336 种.
17【答案】
【解题关键点】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，
，随着F 点到C
点
时
，
因
平
面
，
即
有
，
对
于
，又
，因此有
，则有
，因此的取值
范围是
18 【答案】解析：（I ）因为
，
，又由
，得
，
（II ）对于
，又
，
或
，由余弦定理得
，
19【答案】（I）记“这3 个数恰有一个是偶数”为事件A，则
；
（II）随机变量
的取值为
的分布列为
0
1
2
P
所以
的数学期望为
20【答案】证明：（I）如图，连结OP，以O 为坐标原点，分别以OB、OC、OP 所在直线为
轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系
O
，则
，由题意得，
因
，因此
平面BOE 的法向量为
，
得
，又直线
不在平面
内，
因此有
平面
（II）
x
y
z
设点M 的坐标为
，则
，因为
平面BOE，所以有
，因
此有
，即点M 的坐标为
，在平面直角坐标系
中，
的内部区
域满足不等式组
，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在
内存在一点
，
使
平面
，由点M 的坐标得点
到
，
的距离为
。
21【答案】解析：（I）由题意得
所求的椭圆方程为
，
（II）不妨设
则抛物线
在点P 处的切线斜率为
，直线
MN 的方程为
，将上式代入椭圆
的方程中，得
，即
，因为直线MN 与椭圆
有两个不同的交点，所以有
，
设线段MN 的中点的横坐标是
，则
，
设线段PA 的中点的横坐标是
，则
，由题意得
，即有
，其中的
或
；
当
时有
，因此不等式
不成立；
因此
，当
时代入方程
得
，将
代入不等式
成立，因此
的最小值为1.
22 【答案】解析：（I ）因
，
，因
在区间
上不单调，所以
在
上有
实数解，且无重根，由
得
，
令
有
，
记
则
在
上单调递减，在
上单调递增，所以有
，于是
，得
，而当
时有
在
上有两个相等
的实根
，故舍去，所以
；
（II）当
时有
；
当
时有
，因为当
时不合题意，因此
，
下面讨论
的情形，记A
，B=
（ⅰ）当
时，
在
上单调递增，
所以要使
成立，只能
且
，因此有
，（ⅱ）当
时，
在
上单调递减，所以要使
成立，只能
且
，因此
，综合（ⅰ）
（ⅱ）
；
当
时A=B，则
，即
使得
成立，因为
在
上单调递增，所以
的值是唯一的；
同理，
，即存在唯一的非零实数
，要使
成立，所以
满足题
意.
