2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟。考试结束后,
将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写
在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3．第Ⅱ卷必须用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上;
如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。
参考公式：
柱体的体积公式V=Sh，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B).
事件A 在一次试验中发生的概率是
,那么
次独立重复试验中事件A
恰好发生
次的概率:
.
第Ⅰ卷(共60 分)
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（1）集合
,
,若
,则
的值为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（2）复数
等于
（A）
B）
C）
D）
（3）将函数
的图象向左平移
个单位, 再向上平移1 个单位,所得图象的函数解
析式是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4） 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5） 已知α，β 表示两个不同的平面，m 为平面α 内的一条直线，则“
”是“
”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6） 函数
的图像大致为
(7）设P 是△ABC 所在平面内的一点，
，则
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
2
2
侧( 左) 视图
2
2
2
正( 主) 视图
A
B
C
P
第7 题图
(A）
(B）
(C）
(D）
(８）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测
后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产
品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，
100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净
重小于100 克的个数是36，则样本中净重大于或等于98 克并
且小于104 克的产品的个数是
(A）90 (B）75 (C） 60 (D）45
(9） 设双曲线
的一条渐近线与抛物线y=x +1 只
有一个公共点，则双曲线的离心率为
(A）
(B） 5 (C）
(D）
(10） 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=
，则f（2009）的值为
(A）-1 (B） 0 (C）1 (D） 2
（11）在区间[-1，1]上随机取一个数x，
的值介于0 到
之间的概率为( ).
（A）
（B）
（C）
（D）
（12） 设x，y 满足约束条件
，
若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为
12，则
的最小值为( ).
（A）
（B）
（C）
（D） 4
96 98 100 102 104
106
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
克
频率/ 组距
第8 题图
x
2
2
y
O
-2
z=ax+by
3x-y-6=0
x-y+2=0
第Ⅱ卷（共90 分）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分。
（13）不等式
的解集为 .
（14）若函数f(x)=a -x-a(a>0 且a
1)有两个零
点，则实数a 的取值范围是
.
（15）执行右边的程序框图，输入的T=
.
（16 ）已知定义在R 上的奇函数
，满足
,且在区间[0,2]上是增函数,若
方程f(x)=m(m>0)在区间
上有四个不同的根
,
则
三、解答题：本大题共6 分，共74 分。
（17）(本小题满分12 分)设函数f(x)=cos(2x+
)+sin x.
(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(2) 设A,B,C 为
ABC 的三个内角，若cosB=
，f(
)=－
，且C 为锐角，求sinA.
开始
S=0,T=0,n=0
T>S
S=S+5
n=n+2
T=T+n
输出T
结束
是
否
（18）（本小题满分12 分）
如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,
AA =2, E、E 、F 分别是棱AD、AA 、AB 的中点。
（1）
证明：直线EE //平面FCC ；
（2）
求二面角B-FC -C 的余弦值。
(19)(本小题满分12 分)
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3 次；在A 处每投进一球得3
分，在B 处每投进一球得2 分；如果前两次得分之和超过3 分即停止投篮，否则投第三次，某
同学在A 处的命中率q 为0.25，在B 处的命中率为q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都
在B 处投，用
表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
0
2
3
4
5
p
0.03 P1
P2
P3
P4
（1）
求q 的值；
（2）
求随机变量
的数学期望E
;
（3）
试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3 分与选择上述方式投篮得分超过3 分的
概率的大小。
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
（20）（本小题满分12 分）
等比数列{
} 的前n 项和为
，已知对任意的
，点
，均在函数
且
均为常数)的图像上.
（1）求r 的值；
（11）当b=2 时，记
证明：对任意的
，不等式
成立
（21）（本小题满分12 分）
两县城A 和B 相距20km，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧
上选择一点C 建造垃圾
处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城
A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的
总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方
成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为
k ,当垃圾处理厂建在
的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.
（I）将y 表示成x 的函数；
（Ⅱ）讨论（I）中函数的单调性，并判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城
A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14 分）
设椭圆E:
（a,b>0）过M（2，
） ，N(
,1)两点，O 为坐标原点，
（I）求椭圆E 的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
2009 年高考数学山东理科解析
一、选择题
1．
【答案】D
【解题关键点】因为
.所以
,选D.
2．
【答案】C
【解题关键点】因为
，故选C.
3．
【答案】B
【解题关键点】由题意知：平移后的函数解析式为
，
，选B.
4．
【答案】C
【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的体
积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为2，高为2，所以
圆柱的体积为
，正四棱锥的测棱长为2，底面正方形的对角线为2，所以此正四棱锥的体
积
,为故选C.
5．
【答案】B
【解题关键点】由
为平面
内的一条直线且
得出
；但是，反过来，若
且
为平面
内的一条直线，则不一定有
，还可能有
与平面
相交但不垂直、
、
.故选B.
6．
【答案】A
【解题关键点】排除法：因为当
时，函数
无意义，故排除
,故选A.
7．
【答案】B
【解题关键点】因为
，所以点
为
的中点，.即有
，故选B.
8．
【答案】A
【解题关键点】因为样品中产品净重小于100 克的个数为36，所以样本容量为
，所以样本中产品净重大于或等于98 克并且小于104 克的个数为
，故选A.
9．
【答案】D
【解题关键点】由题意知：双曲线
的一条渐近线为
，由方程组
消去y，得
有唯一解，所以
，所以
，故选D.
10．
【答案】C
【解题关键点】由已知得
所以函数
的值以6 为周期重复性出现，所以
，故选C
11．
【答案】A
【解题关键点】当
时，在区间
上，只有
或
，
即
，根据几何概型的计算方法，这个概率值是
.
12．
【答案】A
【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知：
当直线
过直线
与直线
的交点
时，目标函数
取最大值12，即
，即
，
而
，当且仅
当
时取等号，故选A .
二、填空题
13．
【答案】
【解题关键点】原不等式等价于
，两边平方并整理得：
，解得
.
14．
【答案】
【解题关键点】函数
=
(
且
)有两个零点，方程
有两个不相等的实数根，即两个函数
与
的图像有两个不同的交点，当
时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当
时，两个函数的图像有
两个交点，满足题意.
15．
【答案】30
【解题关键点】由框图知，S=5,n=2,T=2;
S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.
16．
【答案】
【解题关键点】因为定义在
上的奇函数，满足
，所以
，
所以，由
为奇函数，所以函数图像关于直线
对称且
，由
知
，所以函数是以8 为周期的周期函数，又因为
在
区间
上是增函数，所以
在区间
上也是增函数，如下图所示，那么方程
在区间
上有四个不同的根
，不妨设
，
由对称性知，
，
，所以
.
三、解答题
17．
【答案】（I）
，
当
时，函数
的最大值为
，最小正周期为
.
（II）
=
=－
，得到
，又
为锐角，故
，
故
.
18．
【答案】解法一：（I）在在直四棱柱
中，取
的中点
，连结
，
由于
，所以
平面
，因此平面
即为平面
，连结
，
，由于
，
所以四边形
为平行四边形，因此
，又因为
、
分别是棱
、
的
中点，所以
，所以
，又因为
平面
，
平面
，所
以直线
平面
.
（II）因为
是棱
的中点，所以
为正三角
形，取
的中点
，则
，又因为直四棱柱
中，
平面
，所以
，所以
，过
在平面
内作
，垂
足为
，连接
，则为
二面角
的一个平面角，在
为正三角形
中，
，在
中，
～
，∵
∴
，在
中，
，
，所以二面角
的余弦值为
.
解法二:（I）因为
是棱
的中点
所以
，为正三角形，因为
为
等腰梯形,所以
,取
的中点
,
连接
,则
,所以
，
以
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直
角坐标系如图所示,
则
（0,0,0），
，
，
，
，
，
，所以
,
,
设平面
的法
向量为
则
所以
取
, 则
,所以
,所以直线
平面
.
（II ）
, 设平面
的法向量为
, 则
所以
，取
，则
，
,
，
所以
,由图可知二面角
为锐角,所以二
面角
的余弦值为
.
19．
【答案】（I）设该同学在
处投中为事件
,在
处投中为事件
,则事件
,
相互独立,且
,
,
,
.
根据分布列知:
=0 时
=0.03,所以
,
.
（
II
）
当
=2
时
,
=
，
(
)
，
(
)
当
=3 时,
=
；
当
=4 时,
=
；
当
=5 时,
=
所以随机变量
的分布列为
随机变量
的数学期望
.
（III）该同学选择都在
处投篮得分超过3 分的概率为
；
该同学选择（I）中方式投篮得分超过3 分的概率为0.48+0.24=0.72.
因此该同学选择都在
处投篮得分超过3 分的概率大于该同学选择第一次在
处投以后都
在
处投得分超过3 分的概率.
20．
【答案】（I）由题意知：
.当
时，
，由于
且
，所以当
时，{
}是以
为公比的等比数列，又
，，即
，解得
.
（II）
当
时，
，
又
当
时
，
，
适
合
上
式
，
，
，
下面有数学归纳法来证明不等式：
证明：（1）当
时，左边
右边，不等式成立.
（2）假设当
时，不等式成立，即
，
当
时
，
左
边
，
所以当
时,不等式也成立.
由（1）、（2）可得当
时，不等式
恒成立，所以对任意
的
，不等式
成立.
21．
【答案】（I）如右图,由题意知
,
,
当垃圾处理厂建在弧
的中点时，垃圾处理厂到
、
的距离都相等，且为
，所以
有
，
解得
，
（II）
,
令
，得
，解得
，即
，
又因为
，所以函数
在
上是减函数，在
上是增函数，
当
时，y 取得最小值，
所以在弧
上存在一点，且此点到城市
的距离为
，使建在此处的垃圾
处理厂对城市
、
的总影响度最小.
【解题关键点】
【结束】
22．
【答案】（I）
椭圆
:
过
（2，
），
(
,1)两点，
，解得
，所以椭圆
的方程为
.
（II）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，
只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为
，则当直线
的斜率存在时，设
该圆的切线方程为
，解方程组
得
,即
,
则
,即
,
要使
,需使
,即
,所以
,
所以
又
, 所以
, 所以
, 即
或
，因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为
,
,
,所求的圆为
,此时圆的切
线
都满足
或
,而当切线的斜率不存在时切线为
与椭圆
的两个交点为
或
满足
,
，
当
时,
，
当
时
，
因为
所以
,故
当AB 的斜率不存在时,
.
综上，存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
,
且
的取值范围是
.
