绝密★启用前
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定
位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得
分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（56 分）：
1．计算：
（为虚数单位）。
2．若集合
，
，则
。
3．函数
的值域是 。
4．若
是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值
表示）。
5．在
的二项展开式中，常数项等于 。
6．有一列正方体，棱长组成以1 为首项、
为公比的等比数列，体积分别记为
，则
。[
7．已知函数
（为常数）。若
在区间
上是增函数，则的取值范围是
。
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为
的半圆面，则该圆锥的体积为 。
9．已知
是奇函数，且
，若
，则
。
10．如图，在极坐标系中，过点
的直线与极轴的夹角
，
若将的极坐标方程写成
的形式，则
。
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选
择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。
12．在平行四边形
中，
，边
、
的长分别为2、1，若
、
分别是边
、
上的点，且满足
，则
的取值范围是 。
13．已知函数
的图象是折线段
，其中
、
、
，
函数
（
）的图象与轴围成的图形的面积为 。
14．如图，
与
是四面体
中互相垂直的棱，
，若
，
且
，其中、为常数，则四面体
的体积的最
大值是 。[来
二、选择题（20 分）：
15．若
是关于的实系数方程
的一个复数根，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．在
中，若
，则
的形状是（ ）[来
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
17．设
，
，随机变量
取值
的概率均
为
，随机变量
取值
的概率也均为
，
若记
分别为
的方差，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小关系与
的取值有关
18．设
，
，在
中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
三、解答题（74 分）：
19．（6+6=12 分）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
[来
底面
，
是
的中点，已知
，
，
，求：
（1）三角形
的面积；
（2）异面直线
与
所成的角的大小。
20．（6+8=14 分）已知函数
．
（1）若
，求的取值范围；
（2）若
是以2 为周期的偶函数，且当
时，有
，求函数
（
）的反函数。
21．（6+8=14 分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向
为
轴正方向建立平面直角坐标系（以1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12 海
里
处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
；②定位后救援船即刻沿
直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为
．
（1）当
时，写出失事船所在位置
的纵坐标．若此时两船恰好会合，求
救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22．（4+6+6=16 分）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
：
．
（1）过
的左顶点引
的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形
的面积；
（2）设斜率为1 的直线交
于
、
两点，若与圆
相切，求证：
；
（3）设椭圆
：
，若
、
分别是
、
上的动点，且
，求证：
到直
线
的距离是定值。
23．（4+6+8=18 分）对于数集
，其中
，
，
定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，
则称
具有性质
．例如
具有性质
．
（1）若
，且
具有性质
，求的值；
（2）若
具有性质
，求证：
，且当
时，
；
（3）若
具有性质
，且
、
（为常数），求有穷数列
的通项公
式。
2012 上海高考数学试题（理科）答案与解析
一．填空题
1．计算：3-i =
1+i
（i 为虚数单位）.
【答案】1-2i
【解析】3-i
(3-i)(1-i)
2-4i
=
=
=1-2i
1+i
(1+i)(1-i)
2
.
【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数
化即可.
2．若集合
}
0
1
2
|
{
x
x
A
，
}
2
|
1
||
{
x
x
B
，则
B
A
.
【答案】
3,
2
1
【解析】根据集合A 2
1
0
x
，解得
1
2
x
，由
1
2,
, 1
3
x
x
得到
，所以
3,
2
1
B
A
.
【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.
解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.
3．函数
1
sin
cos
2
)
(
x
x
x
f
的值域是 .
【答案】
2
3
,
2
5
【解析】根据题目
2
2
sin
2
1
2
cos
sin
)
(
x
x
x
x
f
，因为
1
2
sin
1
x
，所以
2
3
)
(
2
5
x
f
.
【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.
考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.
4．若
)1,2
(
n
是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值
表示）.
【答案】
2
arctan
【解析】设直线的倾斜角为，则
2
arctan
,2
tan
.
【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的
倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.
5．在
6)
2
(
x
x
的二项展开式中，常数项等于 .
【答案】160
【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是
3
3
3
4
6
2
C
(
)
160
T
x
x
.
【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档
题.
6．有一列正方体，棱长组成以1 为首项、2
1 为公比的等比数列，体积分别记为
，
，
，
，
n
V
V
V
2
1
，则
)
(
lim
2
1
n
n
V
V
V
.
【答案】7
8
【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，2
1
为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以
1 为首项，8
1 为公比的等比数列，因此，
7
8
8
1
1
1
)
(
lim
2
1
n
n
V
V
V
.
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知
识较综合.
7．已知函数
|
|
)
(
a
x
e
x
f
（a 为常数）.若
)
(x
f
在区间
)
,1[ 上是增函数，则a 的取值范围是
.
【答案】
1,
【解析】根据函数
,
( )
,
x a
x a
x a
e
x
a
f x
e
e
x
a
看出当
a
x
时函数增函数，而已知函数
)
(x
f
在
区间
,1
上为增函数，所以a 的取值范围为：
1,
.
【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的
运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，
难度适中.
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为
2
的半圆面，则该圆锥的体积为 .
【答案】
3
3
【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，根据条件得到
2
2
1
2
l
，解得母线长
2
l
，
1
,
2
2
r
l
r
所以该圆锥的体积为：
3
3
1
2
3
1
S
3
1
2
2
h
V圆锥
.
【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他
的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.
9．已知
2
)
(
x
x
f
y
是奇函数，且
1
)1(
f
，若
2
)
(
)
(
x
f
x
g
，则
)1
(
g
.
【答案】1
【解析】因为函数
2
)
(
x
x
f
y
为奇函数，所以
,3
)1(
,1
)1(
,2
)1(
)1(
g
f
f
g
所以，
又
1
2
3
2
)1
(
)1
(
,3
)1
(
f
g
f
.
( 1)
(1).
f
f
【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数
)
(x
f
y
为奇函数，所以
有
)
(
)
(
x
f
x
f
这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.
10．如图，在极坐标系中，过点
)
0,2
(
M
的直线l 与极轴的夹角
6
，
若将l 的极坐标方程写成
)
(
f
的形式，则
)
(
f
.
【答案】
)
6
sin(
1
【解析】根据该直线过点
)
0,2
(
M
，可以直接写出代数形式的方程为：
)
2
(
2
1
x
y
，将此化成
极坐标系下的参数方程即可 ，化简得
)
6
sin(
1
)
(
f
.
【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，
复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档
题，难度适中.
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选
择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.
【答案】3
2
【解析】一共有27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18 种，所以根据古典
概型得到此种情况下的概率为3
2
.
【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于
中档题.
12．在平行四边形ABCD 中，
3
A
，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边
BC 、CD 上的点，且满足
|
|
|
|
|
|
|
|
CD
CN
BC
BM
，则
AN
AM
的取值范围是 .
【答案】
5,2
【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，
因为
1
,2
AD
AB
，所以
5
1
(0,0), (2,0),
( ,1)
( ,1).
2
2
A
B
C
D
设
1
5
1
5
5 1
5
1
5
1
( ,1)(
),
,
- ,
-
,
(2
,(
)sin
).
2
2
2
2
4 2
8
4
4
2
3
N x
x
BM
CN
CN
x
BM
x
M
x
x
则
根据题意，有
)
8
3
2
3
5
,
4
8
21
(
),
1,
(
x
x
AM
x
AN
.
所以
8
3
2
3
5
)
4
8
21
(
x
x
x
AN
AM
2
5
2
1
x
，所以2
5.
AM
AN
6
4
2
2
4
6
10
5
5
10
A
D
C
B
M
N
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实
注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.
13．已知函数
)
(x
f
y
的图象是折线段ABC ，其中
)
0,0
(
A
、
)
5,
2
1
(
B
、
)
0,1(
C
，
函数
)
(x
xf
y
（
1
0
x
）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .
【答案】4
5
【解析】根据题意得到，
1
10 ,0
2
( )
1
10
10,
1
2
x
x
f x
x
x
从而得到
2
2
1
10
,0
2
( )
1
10
10 ,
1
2
x
x
y
xf x
x
x
x
所以围成的面积为
4
5
)
10
10
(
10
1
2
1
2
2
1
0
dx
x
x
xdx
S
，所以围成的图形的面积为4
5
.
【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的
运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后
的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.
14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，
2
BC
，若
c
AD
2
，
且
a
CD
AC
BD
AB
2
，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最
大值是 .
【答案】
1
3
2
2
2
c
a
c
【解析】据题
a
CD
AC
BD
AB
2
，也就是说，线段
CD
AC
BD
AB
与线段
的长度
是定值，因为棱AD 与棱BC 互相垂直，当
ABD
BC
平面
时，此时有最大值，此时最大值为：
1
3
2
2
2
c
a
c
.
【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件
构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.
二、选择题（20 分）
15．若
i2
1
是关于x 的实系数方程
0
2
c
bx
x
的一个复数根，则（ ）
A．
3
,2
c
b
B．
3
,2
c
b
C．
1
,2
c
b
D．
1
,2
c
b
【答案】 B
【解析】根据实系数方程的根的特点1
2i
也是该方程的另一个根，所以
b
i
i
2
2
1
2
1
，即
2
b
，
c
i
i
3
)
2
1
)(
2
1(
，故答案选择B.
【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，
注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.
16．在ABC
中，若
C
B
A
2
2
2
sin
sin
sin
，则ABC
的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】由正弦定理，得
,
sin
2
,
sin
2
,
sin
2
C
R
c
B
R
b
A
R
a
代入得到
2
2
2
a
b
c
，
由余弦定理的推理得
2
2
2
cos
0
2
a
b
c
C
ab
，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选
择C
【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，
如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档
题.
17．设
4
4
3
2
1
10
10
x
x
x
x
，
5
5
10
x
，随机变量
1
取值
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
、
、
、
、
的概率
均为
2.0
，随机变量
2
取值
2
2
2
2
2
1
5
5
4
4
3
3
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
、
、
、
、
的概率也均为
2.0
，
若记
2
1
D
D 、
分别为
2
1
、
的方差，则（ ）
A．
2
1
D
D
B．
2
1
D
D
C．
2
1
D
D
D．
1
D
与
2
D
的大小关系与
4
3
2
1
x
x
x
x
、
、
、
的取值有关
【答案】 A
【解析】 由随机变量
2
1,
的取值情况，它们的平均数分别为：
1
1
2
3
4
5
1 (
),
5
x
x
x
x
x
x
，
2
3
3
4
4
5
5
1
1
2
2
1
1
,
5
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
且随机变量
2
1,
的概率都为
2.0
，所以有
1
D
＞
2
D
. 故选择A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，
本题属于中档题.
18．设
25
sin
1
n
n
an
，
n
n
a
a
a
S
2
1
，在
100
2
1
,
,
,
S
S
S
中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】D
[解析] 对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.
当26≤k≤49 时,令
,则
,画出k终边如右,
其终边两两关于x 轴对称,即有
,
所以
+
++
+
+0
+
+
+
x
y
2
12
13
…
24
23
26
27
49
48
38
37
…
…
…
=
+
++
+
+
+
,其中k=26,27,,49,此时
,
所以
,又
,所以
,
从而当k=26,27,,49 时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0.
对于k 从51 到100 的情况同上可知Sk都是正数. 综上,可选D.
[评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类
讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此
为攻题之关键.
三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）
19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，
PA⊥底面ABCD，E 是PC 的中点.已知AB=2，
AD=2
2 ，PA=2.求：
（1）三角形PCD 的面积；（6 分）
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6 分）
[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，
从而CD⊥PD. ……3 分
因为PD=
3
2
)
2
2
(
2
2
2
，CD=2，
所以三角形PCD 的面积为
3
2
3
2
2
2
1
. ……6 分
（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(2, 0, 0)，C(2, 2
2 ,0)，E(1,
2 , 1)，
)1
,
2
,1(
AE
，
)
0
,
2
2
,0
(
BC
. ……8 分
设AE 与BC 的夹角为，则
2
2
2
2
2
4
|
||
|
cos
BC
AE
BC
AE
，= 4
.
由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4
……12 分
[解法二]取PB 中点F，连接EF、AF，则
EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线
BC 与AE 所成的角 ……8 分
在AEF
中，由EF=
2 、AF=
2 、AE=2
知AEF
是等腰直角三角形，
所以∠AEF= 4
.
因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4
……12 分
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．
综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于
《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查
空间想象能力，属于中档题．
20．已知函数
)1
lg(
)
(
x
x
f
.
（1）若
1
)
(
)
2
1(
0
x
f
x
f
，求x 的取值范围；（6 分）
（2）若
)
(x
g
是以2 为周期的偶函数，且当
1
0
x
时，有
)
(
)
(
x
f
x
g
，求函数
)
(x
g
y
])
2
,1[
(
x
的反函数.（8 分）
[解]（1）由
0
1
0
2
2
x
x
，得
1
1
x
.
A
B
C
D
P
E
x
y
z
A
B
C
D
P
E
F
由
1
lg
)1
lg(
)
2
2
lg(
0
1
2
2
x
x
x
x
得
10
1
1
2
2
x
x
. ……3 分
因为
0
1
x
，所以
10
10
2
2
1
x
x
x
，
3
1
3
2
x
.
由
3
1
3
2
1
1
x
x
得
3
1
3
2
x
. ……6 分
（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此
)
3
lg(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
(
x
x
f
x
g
x
g
x
g
y
. ……10 分
由单调性可得
]
2
lg
,0
[
y
.
因为
y
x
10
3
，所以所求反函数是
x
y
10
3
，
]
2
lg
,0
[
x
. ……14 分
【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指
数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴
正方向建立平面直角坐标系（以1 海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12 海
里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
2
49
12 x
y
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.
（1）当
5.0
t
时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 分）
[解]（1）
5.0
t
时，P 的横坐标xP=
2
7
7
t
，代入抛物线方程
2
49
12 x
y
中，得P 的纵坐标yP=3. ……2 分
由|AP|=
2
949 ，得救援船速度的大小为949 海里/时. ……4 分
由tan∠OAP=
30
7
12
3
2
7
，得∠OAP=arctan 30
7 ，故救援船速度的方向
为北偏东arctan 30
7 弧度. ……6 分
（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为
)
12
,
7
(
2t
t
.
由
2
2
2
)
12
12
(
)
7
(
t
t
vt
，整理得
337
)
(
144
2
1
2
2
t
t
v
.……10 分
因为
2
2
1
2
t
t
，当且仅当t =1 时等号成立，
所以
2
2
25
337
2
144
v
，即
25
v
.
因此，救援船的时速至少是25 海里才能追上失事船. ……14 分
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线
1
2
:
2
2
1
y
x
C
.
（1）过
1
C 的左顶点引
1
C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成
的三角形的面积；（4 分）
（2）设斜率为1 的直线l 交
1
C 于P、Q 两点，若l 与圆
1
2
2
y
x
相切，求证：
OP⊥OQ；（6 分）
（3）设椭圆
1
4
:
2
2
2
y
x
C
. 若M、N 分别是
1
C 、
2
C 上的动点，且OM⊥ON，
求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6 分）
[解]（1）双曲线
1
:
2
1
2
1
2
y
C
x
，左顶点
)
0
,
(
2
2
A
，渐近线方程：
x
y
2
.
过点A 与渐近线
x
y
2
平行的直线方程为
)
(
2
2
2
x
y
，即
1
2
x
y
.
解方程组
1
2
2
x
y
x
y
，得
2
1
4
2
y
x
. ……2 分
x
O
y
P
A
所以所求三角形的面积1 为
8
2
2
1
|
||
|
y
OA
S
. ……4 分
（2）设直线PQ 的方程是
b
x
y
.因直线与已知圆相切，
故
1
2
|
|
b
，即
2
2
b
. ……6 分
由
1
2
2
2
y
x
b
x
y
，得
0
1
2
2
2
b
bx
x
.
设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则
1
2
2
2
1
2
1
b
x
x
b
x
x
.
又2，所以
2
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
2
b
x
x
b
x
x
y
y
x
x
OQ
OP
0
2
2
)1
(
2
2
2
2
b
b
b
b
b
，
故OP⊥OQ. ……10 分
（3）当直线ON 垂直于x 轴时，
|ON|=1，|OM|=
2
2 ，则O 到直线MN 的距离为3
3 .
当直线ON 不垂直于x 轴时，
设直线ON 的方程为
kx
y
（显然
2
2
|
|
k
），则直线OM 的方程为
x
y
k
1
.
由
1
4
2
2
y
x
kx
y
，得
2
2
2
4
2
4
1
2
k
k
k
y
x
，所以
2
2
4
1
2|
|
k
k
ON
.
同理
1
2
1
2
2
2
|
|
k
k
OM
. ……13 分
设O 到直线MN 的距离为d，因为
2
2
2
2
2
|
||
|
)
|
|
|
(|
ON
OM
d
ON
OM
，
所以
3
1
3
3
|
|
1
|
|
1
1
2
2
2
2
2
k
k
ON
OM
d
，即d= 3
3 .
综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16 分
【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准
方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲
线，它的离心率为
2 ，它的渐近线为
x
y
，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解
题时间，本题属于中档题 ．
23．对于数集
}
,
,
,
,1
{
2
1
nx
x
x
X
，其中
nx
x
x
2
1
0
，
2
n
，定义向量集
}
,
),
,
(
|
{
X
t
X
s
t
s
a
a
Y
. 若对于任意
Y
a
1
，存在
Y
a
2
，使得
0
2
1
a
a
，则称X
具有性质P. 例如
}
2
,1
,1
{
X
具有性质P.
（1）若x＞2，且
}
,2
,1
,1
{
x
，求x 的值；（4 分）
（2）若X 具有性质P，求证：1X，且当xn＞1 时，x1=1；（6 分）
（3）若X 具有性质P，且x1=1，x2=q（q 为常数），求有穷数列
nx
x
x
,
,
,
2
1
的通
项公式.（8 分）
[解]（1）选取
)
2
,
(
1
x
a
，Y 中与
1a 垂直的元素必有形式
)
,1
(
b
. ……2 分
所以x=2b，从而x=4. ……4 分
（2）证明：取
Y
x
x
a
)
,
(
1
1
1
.设
Y
t
s
a
)
,
(
2
满足
0
2
1
a
a
.
由
0
)
(
1
x
t
s
得
0
t
s
，所以s 、t 异号.
因为-1 是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，
故1X. ……7 分
假设
1
kx
，其中
n
k
1
，则
nx
x
1
0
1
.
选取
Y
x
x
a
n
)
,
( 1
1
，并设
Y
t
s
a
)
,
(
2
满足
0
2
1
a
a
，即
0
1
n
tx
sx
，
则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1.
若s =-1，则2，矛盾；
若t =-1，则
n
n
x
s
sx
x
1
，矛盾.
所以x1=1. ……10 分
（3）[解法一]猜测
1
i
i
q
x
，i=1, 2, …, n. ……12 分
记
}
,
,
,1
,1
{
2
k
k
x
x
A
，k=2, 3, …, n.
先证明：若
1
kA
具有性质P，则
kA 也具有性质P.
任取
)
,
(
1
t
s
a
，s 、t
kA .当s 、t 中出现-1 时，显然有
2
a 满足
0
2
1
a
a
；
当
1
s
且
1
t
时，s 、t ≥1.
因为
1
kA
具有性质P，所以有
)
,
(
1
1
2
t
s
a
，
1s 、1t
1
kA
，使得
0
2
1
a
a
，
从而
1s 和1t 中有一个是-1，不妨设
1s =-1.
假设1t
1
kA
且1t
kA ，则
1
1
kx
t
.由
0
)
,1
(
)
,
(
1
kx
t
s
，得
1
1
k
k
x
tx
s
，与
s
kA 矛盾.所以1t
kA .从而
kA 也具有性质P. ……15 分
现用数学归纳法证明：
1
i
i
q
x
，i=1, 2, …, n.
当n=2 时，结论显然成立；
假设n=k 时，
}
,
,
,1
,1
{
2
k
k
x
x
A
有性质P，则
1
i
i
q
x
，i=1, 2, …, k；
当n=k+1 时，若
}
,
,
,
,1
,1
{
1
2
1
k
k
k
x
x
x
A
有性质P，则
}
,
,
,1
,1
{
2
k
k
x
x
A
也有性质P，所以
}
,
,
,
,1
,1
{
1
1
1
k
k
k
x
q
q
A
.
取
)
,
(
1
1
q
x
a
k
，并设
)
,
(
2
t
s
a
满足
0
2
1
a
a
，即
0
1
qt
s
xk
.由此可得s 与t 中
有且只有一个为-1.
若
1
t
，则1，不可能；
所以
1
s
，
k
k
k
q
q
q
qt
x
1
1
，又
1
1
k
k
q
x
，所以
k
k
q
x
1
.
综上所述，
1
i
i
q
x
1
i
i
q
x
，i=1, 2, …, n. ……18 分
[解法二]设
)
,
(
1
1
1
t
s
a
，
)
,
(
2
2
2
t
s
a
，则
0
2
1
a
a
等价于
2
2
1
1
s
t
t
s
.
记
|}
|
|
|,
,
|
{
t
s
X
t
X
s
B
t
s
，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于
原点对称. ……14 分
注意到-1 是X 中的唯一负数，
}
,
,
,
{
)
0
,
(
3
2
nx
x
x
B
共有n-1 个数，
所以
)
,0
(
B
也只有n-1 个数.
由于
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
n
，已有n-1 个数，对以下三角数阵
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
n
1
1
3
1
2
1
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
……
1
2
x
x
注意到
1
2
1
1
1
x
x
x
x
x
x
n
n
，所以
1
2
2
1
1
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
，从而数列的通项公式为
1
1
1
)
(
1
2
k
k
x
x
k
q
x
x
，k=1, 2, …, n. ……18 分
【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予
题，通过定义“ X 具有性质P ”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合
的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．
