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绝密★启用前
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（56 分）
1、函数
的反函数为
。[from:www.x k100.com]
2、若全集
，集合
，则
。
3、设
为常数，若点
是双曲线
的一个焦点，则
。
4、不等式
的解为 。
5 、在极坐标系中，直线
与直线
的夹角大小为
。
6、在相距2 千米的
、两点处测量目标
，若
，则
、两点
之间的距离是 千米。
7、若圆锥的侧面积为
，底面积为
，则该圆锥的体积为 。
8、函数
的最大值为 。
9、马老师从课本上抄录一个随机变量
的概率分布律如下表
请小牛同学计算
的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但
?
!
?
3
2
1
P(ε=x)
x
能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案
。
10、行列式
（
）的所有可能值中，最大的是 。
11、在正三角形
中，
是
上的点，
，则
。
12、随机抽取9 个同学中，至少有2 个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天
数相同，结果精确到
）。
13、设
是定义在
上、以1 为周期的函数，若
在
上的值域为
，则
在区间
上的值域为 。
14、已知点
、
和
，记
的中点为
，取
和
中的一条，记
其端点为
、
，使之满足
；记
的中点为
，取
和
中的一条，记其端点为
、
，使之满足
；依次下去，得到
点
，则
。
二、选择题（20 分）
15、若
，且
，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（ ）
A
B
C
D
16、下列函数中，既是偶函数，又是在区间
上单调递减的函数为〖答〗（ ）
A
B
C
D
17 、设
是空间中给定的
5
个不同的点，则使
成立的点
的个数为〖答〗（ ）
A 0 B 1 C 5 D 10
18、设
是各项为正数的无穷数列，
是边长为
的矩形面积（
），则
为等比数列的充要条件为〖答〗（ ）
A
是等比数列。
B
或
是等比数列。
C
和
均是等比数列。
D
和
均是等比数列，且公比相同。
三、解答题（74 分）
19、（12 分）已知复数
满足
（为虚数单位），复数
的虚部为
，
是实数，求
。
20、（12 分）已知函数
，其中常数
满足
。
⑴ 若
，判断函数
的单调性；
⑵ 若
，求
时
的取值范围。
21、（14 分）已知
是底面边长为1 的正四棱柱，
是
和
的交点。
⑴ 设
与底面
所成的角的大小为
，二面角
的大小为
。
求证：
；
⑵ 若点
到平面
的距离为
，求正四棱柱
的高。
22、（18 分）已知数列
和
的通项公式分别为
，
（
），将
集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列
。
1
求
；
2
求证：在数列
中、但不在数列
中的项恰为
；
3
求数列
的通项公式。
23、（18 分）已知平面上的线段及点
，在上任取一点
，线段
长度的最小值称为点
到线段的距离，记作
。
⑴ 求点
到线段
的距离
；
⑵ 设是长为2 的线段，求点集
所表示图形的面积；
O1
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
⑶ 写出到两条线段
距离相等的点的集合
，其中
，
是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2 分，②6
分，③8 分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
①
。[
②
。
③
。
2011 年上海高考数学试题（理科）答案
一、填空题
1、
；2、
；3、
；4、
或
；5、
；6、
；7、
；
8、
；9、
；10、
；11、
；12、
；13、
；14、
。
二、选择题
15、
；16、
；17、
；18、
。
三、解答题
19、解：
………………（4 分）
设
，则
，………………（12 分）
∵
，∴
………………（12 分）
20
、
解
：
⑴
当
时
，
任
意
，
则
∵
，
，
∴
，函数
在
上是增函数。
当
时，同理，函数
在
上是减函数。
⑵
当
时，
，则
；
当
时，
，则
。
21、解：设正四棱柱的高为
。
⑴ 连
，
底面
于
，∴
与底面
所成的角为
，即
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
O1
∵
，
为
中点，∴
，又
，
∴
是二面角
的平面角，即
∴
，
。
⑵ 建立如图空间直角坐标系，有
设平面
的一个法向量为
，
∵
，取
得
∴ 点
到平面
的距离为
，则
。
22、⑴
；
⑵ ① 任意
，设
，则
，即
② 假设
（矛盾），∴
∴ 在数列
中、但不在数列
中的项恰为
。
⑶
，
z
y
x
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
O1
，
，
∵
∴ 当
时，依次有
，……
∴
。
23、解：⑴ 设
是线段
上一点，则
，
当
时
，
。
⑵ 设线段的端点分别为
，以直线
为
轴，
的中点为原点建立直角坐标系，
则
，点集
由如下曲线围成
，
其面积为
。
⑶ ① 选择
，
② 选择
。
③ 选择
。
1
-1
-1
1
y
x
O
B
A
[
D
B=C
A
1
2
2.5
y
x
-2
x
y
-1
1
3
A
B
C
D
O
O
D
C
B
A
3
1
-1
y
x
