文档文本内容
2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）复数（
）2=（ ）
A．﹣3
4i
﹣
B．﹣3+4i
C．3
4i
﹣
D．3+4i
2．（5 分）函数
的反函数是（ ）
A．y=e2x
1
﹣
1
﹣（x＞0）
B．y=e2x
1
﹣+1（x＞0）
C．y=e2x
1
﹣
1
﹣（x∈R）
D．y=e2x
1
﹣+1（x∈R）
3．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（5 分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ）
A．14
B．21
C．28
D．35
5．（5 分）不等式
＞0 的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3}
B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}
C．{x|
2
﹣＜x＜1，或x＞3}
D．{x|
2
﹣＜x＜1，或1＜x＜3}
6．（5 分）将标号为1，2，3，4，5，6 的6 张卡片放入3 个不同的信封中，若每个信
封放2 张，其中标号为1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A．12 种
B．18 种
C．36 种
D．54 种
7．（5 分）为了得到函数y=sin（2x﹣
）的图象，只需把函数y=sin（2x+
）的图
象（ ）
A．向左平移
个长度单位
B．向右平移
个长度单位
C．向左平移
个长度单位
D．向右平移
个长度单位
8．（5 分）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB，若
= ，= ，| |=1，| |
=2，则
=（ ）
第1页（共25页）
A．
+
B．
+
C．
+
D．
+
9．（5 分）已知正四棱锥S
ABCD
﹣
中，SA=2
，那么当该棱锥的体积最大时，它的
高为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
10．（5 分）若曲线y=
在点（a，
）处的切线与两个坐标围成的三角形的面
积为18，则a=（ ）
A．64
B．32
C．16
D．8
11．（5 分）与正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等
的点（ ）
A．有且只有1 个
B．有且只有2 个
C．有且只有3 个
D．有无数个
12．（5 分）已知椭圆T：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F 且斜率
为k（k＞0）的直线与T 相交于A，B 两点，若
=3
，则k=（ ）
A．1
B．
C．
D．2
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）已知a 是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣
，则tanα= ．
14．（5 分）若（x﹣
）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= ．
15．（5 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为
的直线
与l 相交于A，与C 的一个交点为B，若
，则p= ．
16．（5 分）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆
N 的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33，sinB=
，cos∠ADC=
，求
AD．
第2页（共25页）
18．（12 分）已知数列{an}的前n 项和Sn=（n2+n）•3n．
（Ⅰ）求
；（Ⅱ）证明：
+
+…+
＞3n．
19．
（12 分）如图，直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D 为BB1的中点，E 为
AB1上的一点，AE=3EB1．
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB1与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB1与CD 的夹角为45°，求二面角A1
AC
﹣
1
B
﹣
1的大小．
20．（12 分）如图，由M 到N 的电路中有4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能
通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件
相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率．
第3页（共25页）
21．（12 分）已知斜率为1 的直线l 与双曲线C：
相交于
B、D 两点，且BD 的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D 三点的圆与
x 轴相切．
22．（12 分）设函数f（x）=1
e
﹣
x
﹣．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1 时，f（x）≥
；
（Ⅱ）设当x≥0 时，f（x）≤
，求a 的取值范围．
第4页（共25页）
2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）复数（
）2=（ ）
A．﹣3
4i
﹣
B．﹣3+4i
C．3
4i
﹣
D．3+4i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整
理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．
【解答】解：（
）2=[
]2=（1
2i
﹣）2=
3
4i
﹣﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和
技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．
2．（5 分）函数
的反函数是（ ）
A．y=e2x
1
﹣
1
﹣（x＞0）
B．y=e2x
1
﹣+1（x＞0）
C．y=e2x
1
﹣
1
﹣（x∈R）
D．y=e2x
1
﹣+1（x∈R）
【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】从条件中
中反解出x，再将x，y 互换即得．解答本题
首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y 换位，2、解：
解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
【解答】解：由原函数解得
第5页（共25页）
x=e 2y
1
﹣+1，
∴f
1
﹣（x）=e 2x
1
﹣+1，
又x＞1，∴x
1
﹣＞0；
∴ln（x
1
﹣）∈R∴在反函数中x∈R，
故选：D．
【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф
（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y 的位置；
（3）求出反函数的定义域（一般可通过求
原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
3．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z 的几何意义求最值，只
需求出直线z=2x+y 过可行域内的点B 时，从而得到m 值即可．
【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，
可得直线与y=x 与3x+2y=5 的交点为最优解点，
∴即为B（1，1），当x=1，y=1 时zmax=3．
故选：C．
【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
第6页（共25页）
4．（5 分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ）
A．14
B．21
C．28
D．35
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【分析】由等差数列的性质求解．
【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，
∴a1+a2+…+a7=
=7a4=28
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质．
5．（5 分）不等式
＞0 的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3}
B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}
C．{x|
2
﹣＜x＜1，或x＞3}
D．{x|
2
﹣＜x＜1，或1＜x＜3}
【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】解
，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．
【解答】解：
⇔
⇔（x
3
﹣）（x+2）（x
1
﹣）＞0
利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1 或x＞3，
故选：C．
【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题．
6．（5 分）将标号为1，2，3，4，5，6 的6 张卡片放入3 个不同的信封中，若每个信
封放2 张，其中标号为1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A．12 种
B．18 种
C．36 种
D．54 种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
第7页（共25页）
【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3 个信封中选一个放1，2 有3 种不同
的选法，再从剩下的4 个数中选两个放一个信封有C4
2，余下放入最后一个信
封，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，
∵先从3 个信封中选一个放1，2，有
=3 种不同的选法；根据分组公式，其他四
封信放入两个信封，每个信封两个有
=6 种放法，
∴共有3×6×1=18．
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键
是注意到第二步从剩下的4 个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步
骤，先平均分组，再排列．
7．（5 分）为了得到函数y=sin（2x﹣
）的图象，只需把函数y=sin（2x+
）的图
象（ ）
A．向左平移
个长度单位
B．向右平移
个长度单位
C．向左平移
个长度单位
D．向右平移
个长度单位
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】先将2 提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．
【解答】解：y=sin（2x+
）=sin2（x+
），y=sin（2x﹣
）=sin2（x﹣
），
所以将y=sin（2x+
）的图象向右平移
个长度单位得到y=sin（2x﹣
）的图象，
故选：B．
第8页（共25页）
【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x 来说的．
8．（5 分）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB，若
= ，= ，| |=1，| |
=2，则
=（ ）
A．
+
B．
+
C．
+
D．
+
【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有
【分析】由△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理
我们易得到
，我们将
后，将各向量用，表示，即可得到
答案．
【解答】解：∵CD 为角平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，
即若AD 为三角形ABC 的内角A 的角平分线，则AB：AC=BD：CD
9．（5 分）已知正四棱锥S
ABCD
﹣
中，SA=2
，那么当该棱锥的体积最大时，它的
高为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大
第9页（共25页）
值时，高的值．
【解答】解：设底面边长为a，则高h=
=
，所以体积V=
a2h=
，
设y=12a4﹣
a6，则y′=48a3
3a
﹣
5，当y 取最值时，y′=48a3
3a
﹣
5=0，解得a=0 或a=4
时，当a=4 时，体积最大，
此时h=
=2，
故选：C．
【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．
10．（5 分）若曲线y=
在点（a，
）处的切线与两个坐标围成的三角形的面
积为18，则a=（ ）
A．64
B．32
C．16
D．8
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】欲求参数a 值，必须求出在点（a，
）处的切线方程，只须求出其斜率的
值即可，故先利用导数求出在x=a 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可
求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形
的面积公式．从而问题解决．
【解答】解：y′=﹣
，∴k=﹣
，
切线方程是y﹣
=﹣
（x
a
﹣），
第10页（共25页）
令x=0，y=
，令y=0，x=3a，
∴三角形的面积是s=
•3a•
=18，
解得a=64．
故选：A．
【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积
公式，考查考生的计算能力．
11．（5 分）与正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等
的点（ ）
A．有且只有1 个
B．有且只有2 个
C．有且只有3 个
D．有无数个
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D 上任一点都满足要求，然后想办法
证明结论．
【解答】解：在正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，
并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D 上任取一点P，
因为
=（1，1，1），
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，
则PF 是点P 到直线A1D1的距离．
所以PF=
；
同理点P 到直线AB、CC1的距离也是
．
所以B1D 上任一点与正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的
距离都相等，
所以与正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点
有无数个．
第11页（共25页）
故选：D．
【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．
12．（5 分）已知椭圆T：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F 且斜率
为k（k＞0）的直线与T 相交于A，B 两点，若
=3
，则k=（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据
求得y1和y2关系根据离心率设
，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表
示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．
【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
，∴y1=
3y
﹣
2，
∵
，设
，b=t，
∴x2+4y2
4t
﹣
2=0 ①，
设直线AB 方程为
，代入①中消去x，可得
，
∴
，
，
第12页（共25页）
解得
，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求
考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运
用．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）已知a 是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣
，则tanα=
．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据诱导公式tan（π+α）=tanα 得到tan2α，然后利用公式tan（α+β）=
求出tanα，因为α 为第二象限的角，判断取值即可．
【解答】解：由tan（π+2a）=﹣
得tan2a=﹣
，又tan2a=
=﹣
，
解得tana=﹣
或tana=2，
又a 是第二象限的角，所以tana=﹣
．
故答案为：
．
【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查
考生的计算能力．
14．（5 分）若（x﹣
）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=
1
．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
第13页（共25页）
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项，令x 的指数为3 得展开式中x3
的系数，列出方程解得．
【解答】解：
展开式的通项为
=（﹣a）rC9
rx9
2r
﹣
令9
2r=3
﹣
得r=3
∴展开式中x3的系数是C9
3（﹣a）3=
84a
﹣
3=
84
﹣
，
∴a=1．
故答案为1
【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．
15．（5 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为
的直线
与l 相交于A，与C 的一个交点为B，若
，则p=
2
．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设直线AB 的方程与抛物线方程联立消去y 得3x2+（﹣6
2p
﹣
）x+3=0，进而
根据
，可知M 为A、B 的中点，
可得p 的关系式，解方程即可求得p．
【解答】解：设直线AB：
，代入y2=2px 得3x2+（﹣6
2p
﹣
）x+3=0，
又∵
，即M 为A、B 的中点，
∴xB+（﹣
）=2，即xB=2+
，
得p2+4P
12=0
﹣
，
解得p=2，p=
6
﹣（舍去）
故答案为：2
【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．
16．（5 分）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆
N 的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=
3
．
第14页（共25页）
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形
MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．
【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4，
∴小圆N 的半径为
，
∵小圆N 中弦长AB=4，作NE 垂直于AB，
∴NE=
，同理可得
，在直角三角形ONE 中，
∵NE=
，ON=3，
∴
，
∴
，
∴MN=3．
故填：3．
解法二：如下图：设AB 的中点为C，则OC 与MN 必相交于MN 中点为E，因为
OM=ON=3，
故小圆半径NB 为
C 为AB 中点，故CB=2；所以NC=
，
∵△ONC 为直角三角形，NE 为△ONC 斜边上的高，OC=
第15页（共25页）
∴MN=2EN=2•CN•
=2×
×
=3
故填：3．
【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知
识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33，sinB=
，cos∠ADC=
，求
AD．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【分析】先由cos∠ADC=
确定角ADC 的范围，因为∠BAD=∠ADC
B
﹣所以可求其
正弦值，最后由正弦定理可得答案．
【解答】解：由cos∠ADC=
＞0，则∠ADC＜
，
又由知B＜∠ADC 可得B＜
，
由sinB=
，可得cosB=
，
又由cos∠ADC=
，可得sin∠ADC=
．
第16页（共25页）
从而sin∠BAD=sin（∠ADC
B
﹣）=sin∠ADCcosB
cos
﹣
∠ADCsinB=
=
．
由正弦定理得
，
所以AD=
=
．
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中
频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17 或18 题，属于送分题，估计以
后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵
活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．
18．（12 分）已知数列{an}的前n 项和Sn=（n2+n）•3n．
（Ⅰ）求
；（Ⅱ）证明：
+
+…+
＞3n．
【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）由题意知
，由
此可知答案．
（2）由题意知，
=
=
，由此
可知，当n≥1 时，
．
第17页（共25页）
【解答】解：（1 ）
，所以
=
；
（2）当n=1 时，
；
当n＞1 时，
=
=
=
所以，n≥1 时，
．
【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用．
19．
（12 分）如图，直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D 为BB1的中点，E 为
AB1上的一点，AE=3EB1．
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB1与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB1与CD 的夹角为45°，求二面角A1
AC
﹣
1
B
﹣
1的大小．
第18页（共25页）
【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）欲证DE 为异面直线AB1与CD 的公垂线，即证DE 与异面直线AB1与
CD 垂直相交即可；
（2）将AB1平移到DG，故∠CDG 为异面直线AB1与CD 的夹角，作HK⊥AC1，K 为垂
足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH 为二面角A1
AC
﹣
1
B
﹣
1
的平面角，在三角形B1KH 中求出此角即可．
【解答】解：（1）连接A1B，记A1B 与AB1的交点为F．
因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，
又AE=3EB1，所以FE=EB1，
又D 为BB1的中点，
故DE∥BF，DE⊥AB1．
作CG⊥AB，G 为垂足，由AC=BC 知，G 为AB 中点．
又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，
故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．
所以DE 为异面直线AB1与CD 的公垂线．
（2）因为DG∥AB1，故∠CDG 为异面直线AB1与CD 的夹角，∠CDG=45°
设AB=2，则AB1=
，DG=
，CG=
，AC=
．
作B1H⊥A1C1，H 为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作
HK⊥AC1，K 为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH 为二面
角A1
AC
﹣
1
B
﹣
1的平面角．
B1H=
，C1H=
，AC1=
，HK=
tan∠B1KH=
，
∴二面角A1
AC
﹣
1
B
﹣
1的大小为arctan
．
第19页（共25页）
【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象
与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点
它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要
手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统
几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序
化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．
20．（12 分）如图，由M 到N 的电路中有4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能
通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件
相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率
乘法公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3 至少
有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．
（Ⅱ）根据题意，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过，根据电路图，可得
B=A4+（1
A
﹣
4）A1A3+（1
A
﹣
4）
（1
A
﹣
1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计
第20页（共25页）
算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过Ti为事件Ai，i=1、2、3、4，
A 表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，
易得A1，A2，A3相互独立，且
，
P（）=（1
p
﹣）3=1
0.999=0.001
﹣
，
计算可得，p=0.9；
（Ⅱ）根据题意，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过，
有B=A4+（1
A
﹣
4）A1A3+（1
A
﹣
4）（1
A
﹣
1）A2A3，
则P（B）=P（A4+（1
A
﹣
4）A1A3+（1
A
﹣
4）（1
A
﹣
1）A2A3）
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.9891．
【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确
事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．
21．（12 分）已知斜率为1 的直线l 与双曲线C：
相交于
B、D 两点，且BD 的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D 三点的圆与
x 轴相切．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD 两
点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b
的关系式即求得离心率．
（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a 的代数式表示，即可求得a，则A 点
坐标可得（1，0），由于A 在x 轴上所以，只要证明2AM=BD 即证得．
第21页（共25页）
【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：y=x+2，代入C 的方程，并化简，
得（b2
a
﹣
2）x2
4a
﹣
2x
a
﹣
2b2
4a
﹣
2=0，
设B（x1，y1），D（x2，y2），则
，
，①
由M（1，3）为BD 的中点知
．
故
，即b2=3a2，②
故
，
∴C 的离心率
．
（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：3x2
y
﹣2=3a2，A（a，0），F（2a，0），
．
故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，
，
，
|BF|•|FD|=（a
2x
﹣
1）（2x2
a
﹣）=
4x
﹣
1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8．
又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．
解得a=1，或
（舍去），
故
=6，
连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x 轴，
因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A、B、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，
所以过A、B、D 三点的圆与x 轴相切．
第22页（共25页）
【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题
的能力．
22．（12 分）设函数f（x）=1
e
﹣
x
﹣．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1 时，f（x）≥
；
（Ⅱ）设当x≥0 时，f（x）≤
，求a 的取值范围．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥
整理成ex≥1+x，组成新函数g
（x）=ex
x
1
﹣﹣，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值
g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a 分a＜0 和a≥0 两种情况进行讨论．
当a＜0 时根据x 的范围可直接得到f（x）≤
不成立；当a≥0 时，令h（x）
=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出
最值，求a 的范围．
【解答】解：（1）当x＞﹣1 时，f（x）≥
当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex
x
1
﹣﹣，则g'（x）=ex
1
﹣
当x≥0 时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
第23页（共25页）
当x≤0 时g'（x）≤0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0 处达到最小值，因而当x∈R 时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x
所以当x＞﹣1 时，f（x）≥
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0 时，若x＞﹣
，则
＜0，f（x）≤
不成立；
当a≥0 时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则
f（x）≤
当且仅当h（x）≤0
因为f（x）=1
e
﹣
x
﹣，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）﹣1=af（x）﹣axf（x）+ax
f
﹣（x）
（i）当0≤a≤
时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x）
=（2a
1
﹣）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤
；
（ii）当a＞
时，由y=x
f
﹣（x）=x
1
﹣+e
x
﹣，
y′=1
e
﹣
x
﹣，x＞0 时，函数y 递增；x＜0，函数y 递减．
可得x=0 处函数y 取得最小值0，即有x≥f（x）．
h'（x）=af（x）﹣axf（x）+ax
f
﹣（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=（2a
1
ax
﹣﹣
）f（x）
当0＜x＜
时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞
综上，a 的取值范围是[0，
]
【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知
识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能
力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢
固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估
第24页（共25页）
计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值
解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点
之所在．
第25页（共25页）
