文档文本内容
2010 年海南高考理科数学试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为
选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的
姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，
非选择题答案使用0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题
号涂黑。
参考公式：
样本数据
的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中
为底面面积，
为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。
k.Com]
其中
为底面面积，
为高 其中R 为球的半径
1
第I 卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
（1）已知集合
},
,则
(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}
(2)已知复数
，
是z 的共轭复数，则
=
A.
B.
C.1 D.2
(3)曲线
在点（-1，-1）处的切线方程为
（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2
(4)如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（
，-
），角速度为
1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为
2
（5）已知命题
：函数
在R 为增函数，
：函数
在R 为减函数，
则在命题
：
，
：
，
：
和
：
中，真命题是
（A）
，
（B）
，
（C）
，
（D）
，
3
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补
种2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为
（A）100 （B）200 （C）300 （D）400
（7 ）如果执行右面的框图，输入
，则输出的数等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设偶函数
满足
，则
4
(A)
(B)
(C)
(D)
（9）若
，
是第三象限的角，则
(A)
(B)
(C) 2
(D) -2
（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为
，顶点都在一个球面上，则该球的表面积
为
(A)
(B)
(C)
(D)
（11）已知函数
若
互不相等，且
则
的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
（12）已知双曲线
的中心为原点，
是
的焦点，过F 的直线与
相交于A，B 两点，
且AB 的中点为
,则
的方程式为
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须
做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。
5
（13）设
为区间
上的连续函数，且恒有
，可以用随机模拟方法近
似计算积分
，先产生两组（每组N 个）区间
上的均匀随机数
和
，由此得到N 个点
，再数出其中满足
的点数
，那么由随机模拟方案可得积分
的近似值为
。
（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
（15）过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0 相切于点B（2,1），则圆C 的方程为____
(16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=
DC，
ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为
，
则
BAC=_______
三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤
（17）（本小题满分12 分）
设数列
满足
（1）
求数列
的通项公式；
（2）
令
，求数列的前n 项和
(18)（本小题满分12 分）
如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB
CD,AC
BD，垂足为H，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD
中点
（1）
证明：PE
BC
（2）
若
APB=
ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值
(19)(本小题12 分)
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老
年人，结果如下：
是否需要志愿 性别
男
女
6
需要
40
30
不需要
160
270
（1）
估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）
能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）
根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老
年人的比例？说明理由
附：
（20）（本小题
满分12 分）
设
分别是椭圆
的左、右焦点，过
斜率为1 的直线与
相交于
两点，且
成等差数列。
（1）求
的离心率；
（2） 设点
满足
，求
的方程
（21）（本小题满分12 分）
设函数
。
（1）
若
，求
的单调区间；
（2）
若当
时
，求
的取值范围
请考生在第（22）、
（23）、
（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已经圆上的弧
，过C 点的圆切线与BA 的延长线交于E 点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）BC2=BF×CD。
7
（23）（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线C1
（t 为参数），C2
（
为参数），
（Ⅰ）当
=
时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O 做C1的垂线，垂足为
，P 为OA 中点，当
变化时，求P 点的轨迹的参数
方程，并指出它是什么曲线。
（24）（本小题满分10 分）选修4-5，不等式选项
设函数
（Ⅰ）画出函数
的图像
（Ⅱ）若不等式
≤
的解集非空，求a 的取值范围。
8
9
数学试题参考答案
一、选择题
（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B
（7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B
二、填空题
（13）
（14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）
（15）
（16）60°
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）由已知，当n≥1 时，
。
而
所以数列{
}的通项公式为
。
（Ⅱ）由
知
①
从而
②
①-②得
。
即
（18）解：
10
以
为原点，
分别为
轴，线段
的长为单位长， 建立空间直角坐标
系如图， 则
（Ⅰ）设
则
可得
因为
所以
（Ⅱ）由已知条件可得
设
为平面
的法向量
则
即
因此可以取
，
11
由
，
可得
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
（19）解：
（1）调查的500 位老年人中有70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮
助的老年人的比例的估算值为
（2）
。
由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地
区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老
年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样
方法更好．
（20.）解：
（I）由椭圆定义知
，又
，
得
的方程为
，其中
。
设
，
，则A、B 两点坐标满足方程组
化简的
12
则
因为直线AB 斜率为1，所以
得
故
所以E 的离心率
（II）设AB 的中点为
，由（I）知
，
。
由
，得
，
即
得
，从而
故椭圆E 的方程为
。
（21）解：
（1）
时，
，
.
当
时，
；当
时，
.故
在
单调减
少，在
单调增加
（II）
由（I）知
，当且仅当
时等号成立.故
13
，
从而当
，即
时，
，而
，
于是当
时，
.
由
可得
.从而当
时，
，
故当
时，
，而
，于是当
时，
.
综合得
的取值范围为
.
（22）解：
（I）因为
,
所以
.
又因为
与圆相切于点
，故
，
所以
.
（II）因为
,
所以
∽
，故
，
即
.
(23)解：
（Ⅰ）当
时，
的普通方程为
，
的普通方程为
。联立方
程组
，解得
与
的交点为（1,0）
。
（Ⅱ）
的普通方程为
。
14
A 点坐标为
，
故当
变化时，P 点轨迹的参数方程为：
P 点轨迹的普通方程为
。
故P 点轨迹是圆心为
，半径为
的圆。
（24） 解：
（Ⅰ）由于
则函数
的图像如图所示。
15
（Ⅱ）由函数
与函数
的图像可知，当且仅当
或
时，函数
与函数
的图像有交点。故不等式
的解集非空时，的取值范围为
。
选择填空解析：
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）（2010•海南）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，
，则A∩B=（ ）
A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2] D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先化简集合A 和B，注意集合B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．
【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|
2≤x≤2}
﹣
，
故A∩B={0，1，2}．
应选D．
【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数
等知识，属于基础题．
16
2．（5 分）（2010•海南）已知复数
，是z 的共轭复数，则
=（ ）
A．
B．C．1 D．2
【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】因为
，所以先求|z|再求
的值．
【解答】解：由
可得
．
另解：
故选A．
【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一
些运算性质可以简化运算．
3．（5 分）（2010•海南）曲线y=
在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x
1
﹣
C．y=
2x
3
﹣
﹣D．y=
2x
2
﹣
﹣
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】常规题型；计算题．
【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在
x=
1
﹣处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=
，
y′=
∴
，
所以k=y′|x=
1
﹣=2，得切线的斜率为2，所以k=2；
所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：
y+1=2×（x+1），即y=2x+1．
故选A．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等
基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
4．（5 分）（2010•新课标）如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（
，﹣
），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ ）
17
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案．
【解答】解：通过分析可知当t=0 时，点P 到x 轴距离d 为
，于是可以排除答案A，D，
再根据当
时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B，
故应选C．
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．
5．（5 分）（2010•海南）已知命题p1：函数y=2x
2
﹣
x
﹣在R 为增函数，p2：函数y=2x+2
x
﹣在R 为
减函数，则在命题q1：p1 p
∨2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（ ）
A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4
【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．菁优网版权所有
【专题】简易逻辑．
【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1 p
∨2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣
p2）为真命题．
【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2xln2﹣
ln2=ln2（
），
当x∈[0，+∞）时，
，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；
同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．
由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．
故选C．
【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，
p1 p
∨2就是真命题．
18
6．
（5 分）
（2010•海南）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的
种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（ ）
A．100 B．200
C．300
D．400
【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n 次独立重复试验的模型．菁优网版权所有
【专题】计算题；应用题．
【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，即不发芽率
为0.1，故没有发芽的种子数ξ 服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2 个，故
补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．
【解答】解：由题意可知播种了1000 粒，没有发芽的种子数ξ 服从二项分布，即ξ～B（1000，
0.1）．
而每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X
故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．
故选B．
【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于
基础性题目．
7．（5 分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A．
B．C．D．
【考点】设计程序框图解决实际问题．菁优网版权所有
【专题】操作型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是
累加并输出S=
的值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
19
该程序的作用是累加并输出S=
的值．
S=
∵
=1﹣=
故选D．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方
法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分
析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②
建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
8．（5 分）（2010•海南）设偶函数f（x）满足f（x）=2x
4
﹣（x≥0），则{x|f（x
2
﹣）＞0}=（ ）
A．{x|x＜﹣2 或x＞4} B．{x|x＜0 或x＞4}
C．{x|x＜0 或x＞6}
D．{x|x＜﹣2 或x＞2}
【考点】偶函数；其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x
4
﹣（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|
4
﹣，根据偶函数的性质
将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．
【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x
4
﹣（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|
4
﹣，
则f（x
2
﹣）=f（|x
2|
﹣）=2|x
2|
﹣
4
﹣，要使f（|x
2|
﹣）＞0，只需2|x
2|
﹣
4
﹣＞0，|x
2|
﹣＞2
解得x＞4，或x＜0．
应选：B．
【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利
用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．
9．（5 分）（2010•海南）若
，α 是第三象限的角，则
=（ ）
A．
B．C．2 D．﹣2
【考点】半角的三角函数；弦切互化．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】将欲求式
中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α 与待求式中角
的差别，注意消除它们之间的不同．
【解答】解：由
，α 是第三象限的角，
∴可得
，
则
，
20
应选A．
【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识
以及相应的运算能力．
10．（5 分）（2010•海南）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为（ ）
A．πa2
B．
C．
D．5πa2
【考点】球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就
是球心，则其外接球的半径为
，
球的表面积为
，
故选B．
【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空
间形象能力．
11．（5 分）（2010•海南）已知函数
，若a，b，c 互不相等，且f
（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（ ）
A．（1，10）B．
（5，6）C．（10，12）D．（20，24）
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的
图像与性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；压轴题；数形结合．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选C．
【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．
21
12．（5 分）（2010•海南）已知双曲线E 的中心为原点，P（3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E
相交于A，B 两点，且AB 的中点为N（﹣12，﹣15），则E 的方程式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】已知条件易得直线l 的斜率为1，设双曲线方程，及A，B 点坐标代入方程联立相减得
x1+x2=
24
﹣
，根据
=
，可求得a 和b 的关系，再根据c=3，求得a 和b，进而可得答
案．
【解答】解：由已知条件易得直线l 的斜率为k=kPN=1，
设双曲线方程为
，
A（x1，y1），B（x2，y2），
则有
，
两式相减并结合x1+x2=
24
﹣
，y1+y2=
30
﹣
得
=
，
从而=
=1
即4b2=5a2，
又a2+b2=9，
解得a2=4，b2=5，
故选B．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．
（5 分）
（2010•海南）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机
模拟方法近似计算积分
，先产生两组（每组N 个）区间[0，1]上的均匀随机数
x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N 个点（xi，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f
22
（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分
的近似值为
．
【考点】模拟方法估计概率；定积分在求面积中的应用；几何概型．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】要求∫
f（x）dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．
【解答】解：由题意可知
得
，
故积分
的近似值为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．
14．（5 分）（2010•海南）正视图为一个三角形的几何体可以是 三棱锥、三棱柱、圆锥（其他
正确答案同样给分） （写出三种）
【考点】简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】阅读型．
【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为
线段的情形，即可回答本题．
【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱
锥等等．
故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．
【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．
15．
（5 分）
（2010•海南）过点A（4，1）的圆C 与直线x
y=1
﹣
相切于点B（2，1），则圆C 的方程
为 （
x
3
﹣
）
2 +y
2 =2
．
【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心
到直线的距离等于半径，求得圆的方程．
【解答】解：设圆的方程为（x
a
﹣）2+（y
b
﹣）2=r2，
则
，
解得
，故所求圆的方程为（x
3
﹣）2+y2=2．
故答案为：（x
3
﹣）2+y2=2．
【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．
16．（5 分）（2010•海南）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD= DC，∠ADB=120°，AD=2，若
△ADC 的面积为
，则∠BAC=
60°
．
23
【考点】余弦定理的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC 的面积求得DC，进而根据三角形ABC 的面积
求得BD 和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC 中利用余弦定理求得
cos BAC
∠
，求得∠BAC 的值．
【解答】解：由△ADC 的面积为
可得
解得
，则
．
AB2=AD2+BD2
2AD•BD•cos120°=
﹣
，
，
则
=
．
故∠BAC=60°．
【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问
题的能力以及相应的运算能力．
24
