2010 年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析
数学Ⅰ试题
参考公式：
锥体的体积公式: V 锥体=
Sh，其中S 是锥体的底面积，h 是高。
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______ ▲
_ ____.
2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i（其中i 为虚数单位），则z 的模为______ ▲
_ ____.
3、盒子中有大小相同的3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概
率是_ ▲
__.
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
了100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质
量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率
分布直方图如图所示，则其抽样的100 根中，有
_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x
R)是偶函数，则实数
a=_______
▲
____
_____
6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
上一点M，点M 的横坐标是3，则M 到双曲
线右焦点的距离是___▲_______
1
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4 页，包含填空题（第1 题——第14 题）、解答题（第15 题——第20 题）。本卷满分160
分，考试时间为120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的
规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5
毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲
_______
8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak
2)处的切线与x 轴交点的横坐标为ak+1,k 为正整数，a1=16，
则a1+a3+a5=____▲
_____
9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0 的距
离为1，则实数c 的取值范围是______▲
_____
10、定义在区间
上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P，过点P 作
PP1⊥x 轴于点P1，直线PP1与y=sinx 的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲
_____
。
11、已知函数
,则满足不等式
的x 的范围是__▲
___
。
12、设实数x,y 满足3≤
≤8，4≤
≤9，则
的最大值是 ▲ 。
13、在锐角三角形ABC，A、B、C 的对边分别为a、b、c，
，则
=____▲
____
_。
14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
,则S 的最小值是____▲
____
。
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14 分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
2
(2)设实数t 满足(
)·
=0，求t 的值。
16、（本小题满分14 分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，
AB∥DC，∠BCD=900。
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A 到平面PBC 的距离。
17、（本小题满分14 分）
某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度
h=4m，仰角∠ABE=
，∠ADE=
。
(1)该小组已经测得一组
、
的值，tan
=1.24，tan
=1.20，请据此算出H 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离
d（单位：m），使
与
之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的
实际高度为125m，试问d 为多少时，
-
最大？
18、（本小题满分16 分）
在平面直角坐标系
中，如图，已知椭圆
的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设
过点T（
）的直线TA、TB 与椭圆分别交于点M
、
，其中m>0,
。
（1）设动点P 满足
,求点P 的轨迹；
3
（2）设
，求点T 的坐标；
（3）设
,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
19、（本小题满分16 分）
设各项均为正数的数列
的前n 项和为
，已知
，数列
是公差为的等
差数列。
（1）求数列
的通项公式（用
表示）；
（2）设为实数，对满足
的任意正整数
，不等式
都成
立。求证：的最大值为
。
20、（本小题满分16 分）
设
是定义在区间
上的函数，其导函数为
。如果存在实数和函数
，其中
对任意的
都有
>0，使得
，则称
函数
具有性质
。
(1)设函数
，其中为实数。
(i)求证：函数
具有性质
； (ii)求函数
的单调区间。
(2)已知函数
具有性质
。给定
设
为实数，
，
，且
，
若|
|<|
|，求
的取值范围。
数学Ⅱ（附加题）
4
21.[选做题]本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若
多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A．选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10 分）
AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交
AB 延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
B．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10 分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k 为非零实数，矩阵M=
,N=
，点A、B、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，
△A1B1C1的面积是△ABC 面积的2 倍，求k 的值。
C．选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10 分）
设a、b 是非负实数，求证：
。
[必做题]第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10 分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率
为90%，二等品率为10%。生产1 件甲产品，若是一等品则获得利润4 万元，若是二等品则亏
损1 万元；生产1 件乙产品，若是一等品则获得利润6 万元，若是二等品则亏损2 万元。设生
产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：万元）为生产1 件甲产品和1 件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；
（2）求生产4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率。
5
B
O
C
A
D
23、（本小题满分10 分）
已知△ABC 的三边长都是有理数。
（1）求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA 是有理数。
6
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______ ▲
_ ____.
[解析] 考查集合的运算推理。3
B, a+2=3, a=1.
2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i（其中i 为虚数单位），则z 的模为______ ▲
_ ____.
[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2。
3、盒子中有大小相同的3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概
率是_ ▲
__.
[解析]考查古典概型知识。
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
了100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质
量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率
分布直方图如图所示，则其抽样的100 根中，有
_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x
R)是偶函数，则实数a=_______
▲
____
_____
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
上一点M，点M 的横坐标是3，则M 到双曲
线右焦点的距离是___▲_______
[解析]考查双曲线的定义。
，为点M 到右准线
的距离，=2，MF=4。
7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲
_______
7
[解析]考查流程图理解。
输出
。
8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak
2)处的切线与x 轴交点的横坐标为ak+1,k 为正整数，a1=16，
则a1+a3+a5=____▲
_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak
2)处的切线方程为：
当
时，解得
，
所以
。
9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0 的距
离为1，则实数c 的取值范围是______▲
_____
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0 的距离小于1，
，
的取值范围是（-13，13）。
10、定义在区间
上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P，过点P 作
PP1⊥x 轴于点P1，直线PP1与y=sinx 的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲
_____
。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx 的值，
且其中的x 满足6cosx=5tanx，解得sinx=
。线段P1P2的长为
11、已知函数
,则满足不等式
的x 的范围是__▲
___
。
[解析] 考查分段函数的单调性。
12、设实数x,y 满足3≤
≤8，4≤
≤9，则
的最大值是 ▲ 。
[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
8
，
，
，
的最大值是27。
13、在锐角三角形ABC，A、B、C 的对边分别为a、b、c，
，则
=____▲
____
_。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B 和边a、b 具有轮换性。
当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：
，
，
，
，
= 4。
（方法二）
，
由正弦定理，得：上式=
14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
,则S 的最小值是____▲
____
。
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为
，则：
（方法一）利用导数求函数最小值。
9
，
，
当
时，
递减；当
时，
递增；
故当
时，S 的最小值是
。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令
，则：
故当
时，S 的最小值是
。
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14 分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(3)求以线段AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(4)设实数t 满足(
)·
=0，求t 的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14 分。
（1）（方法一）由题设知
，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为
、
。
10
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E 为B、C 的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D 的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=
、AD=
；
（2）由题设知：
=(－2,－1)，
。
由(
)·
=0，得：
，
从而
所以
。
或者：
，
16、（本小题满分14 分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，
AB∥DC，∠BCD=900。
(3)求证：PC⊥BC；
(4)求点A 到平面PBC 的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间
想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14 分。
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC
平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PD
DC=D，PD、DC
平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC
平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC 的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E 到平面PBC 的距离相等。
又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2 倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD 于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC 于F。
易知DF=
，故点A 到平面PBC 的距离等于
。
（方法二）体积法：连结AC。设点A 到平面PBC 的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
11
从而AB=2，BC=1，得
的面积
。
由PD⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积
。
因为PD⊥平面ABCD，DC
平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以
。
由PC⊥BC，BC=1，得
的面积
。
由
，
，得
，
故点A 到平面PBC 的距离等于
。
17、（本小题满分14 分）
某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度
h=4m，仰角∠ABE=
，∠ADE=
。
(3)该小组已经测得一组
、
的值，tan
=1.24，tan
=1.20，请据此算出H 的值；
(4)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离
d（单位：m），使
与
之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的
实际高度为125m，试问d 为多少时，
-
最大？
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1）
，同理：
，
。
AD—AB=DB，故得
，解得：
。
因此，算出的电视塔的高度H 是124m。
（2）由题设知
，得
，
12
，（当且仅当
时，取等
号）
故当
时，
最大。
因为
，则
，所以当
时，
-
最大。
故所求的
是
m。
18、（本小题满分16 分）
在平面直角坐标系
中，如图，已知椭圆
的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设
过点T（
）的直线TA、TB 与椭圆分别交于点M
、
，其中m>0,
。
（1）设动点P 满足
,求点P 的轨迹；
（2）设
，求点T 的坐标；
（3）设
,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算
求解能力和探究问题的能力。满分16 分。
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由
，得
化简得
。
故所求点P 的轨迹为直线
。
（2）将
分别代入椭圆方程，以及
得：M（2，
）、N（
，
）
13
直线MTA 方程为：
，即
，
直线NTB 方程为：
，即
。
联立方程组，解得：
，
所以点T 的坐标为
。
（3）点T 的坐标为
直线MTA 方程为：
，即
，
直线NTB 方程为：
，即
。
分别与椭圆
联立方程组，同时考虑到
，
解得：
、
。
（方法一）当
时，直线MN 方程为：
令
，解得：
。此时必过点D（1，0）；
当
时，直线MN 方程为：
，与x 轴交点为D（1，0）。
所以直线MN 必过x 轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若
，则由
及
，得
，
此时直线MN 的方程为
，过点D（1，0）。
14
若
，则
，直线MD 的斜率
，
直线ND 的斜率
，得
，所以直线MN 过D 点。
因此，直线MN 必过
轴上的点（1，0）。
19、（本小题满分16 分）
设各项均为正数的数列
的前n 项和为
，已知
，数列
是公差为的等
差数列。
（1）求数列
的通项公式（用
表示）；
（2）设为实数，对满足
的任意正整数
，不等式
都成
立。求证：的最大值为
。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析
及论证的能力。满分16 分。
（1）由题意知：
，
，
化简，得：
，
当
时，
，适合
情形。
故所求
（2）（方法一）
15
，
恒成立。
又
，
，
故
，即的最大值为
。
（方法二）由
及
，得
，
。
于是，对满足题设的
，
，有
。
所以的最大值
。
另一方面，任取实数
。设
为偶数，令
，则
符合条件，
且
。
于是，只要
，即当
时，
。
所以满足条件的
，从而
。
因此的最大值为
。
20、（本小题满分16 分）
设
是定义在区间
上的函数，其导函数为
。如果存在实数和函数
，其中
对任意的
都有
>0，使得
，则称
函数
具有性质
。
(1)设函数
，其中为实数。
(i)求证：函数
具有性质
； (ii)求函数
的单调区间。
16
(2)已知函数
具有性质
。给定
设
为实数，
，
，且
，
若|
|<|
|，求
的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、
分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16 分。
（1）(i)
∵
时，
恒成立，
∴函数
具有性质
；
(ii)（方法一）设
，
与
的符号相同。
当
时，
，
，故此时
在区间
上递增；
当
时，对于
，有
，所以此时
在区间
上递增；
当
时，
图像开口向上，对称轴
，而
，
对于
，总有
，
，故此时
在区间
上递增；
（方法二）当
时，对于
，
所以
，故此时
在区间
上递增；
当
时，
图像开口向上，对称轴
，方程
的两根为：
，而
当
时，
，
，故此时
在区间
上递减；同理得：
在区间
上递增。
17
综上所述，当
时，
在区间
上递增；
当
时，
在
上递减；
在
上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又
对任意的
都有
>0，
所以对任意的
都有
，
在
上递增。
又
。
当
时，
，且
，
综合以上讨论，得：所求
的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，
的导函数
，其中函数
对于任意
的
都成立。所以，当
时，
，从而
在区间
上单调递增。
①当
时，有
，
，得
，同理可得
，所以由
18
的单调性知
、
，
从而有|
|<|
|，符合题设。
②当
时，
，
，于是由
及
的单调性知
，所以|
|≥|
|，与题设不符。
③当
时，同理可得
，进而得|
|≥|
|，与题设不
符。
因此综合①、②、③得所求的
的取值范围是（0，1）。
数学Ⅱ（附加题）
21.[选做题]本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若
多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
D．选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10 分）
AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交
AB 延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证
能力。
（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
（方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。
因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900。
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。
19
B
O
C
A
D
即2OB=OB+BC，得OB=BC。
故AB=2BC。
E．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10 分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k 为非零实数，矩阵M=
,N=
，点A、B、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，
△A1B1C1的面积是△ABC 面积的2 倍，求k 的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10 分。
解：由题设得
由
，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（
，-2）。
计算得△ABC 面积的面积是1，△A1B1C1的面积是
，则由题设知：
。
所以k 的值为2 或-2。
F．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10 分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ 与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切，求实数a 的值。
[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10 分。
解：
，圆ρ=2cosθ 的普通方程为：
，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 的普通方程为：
，
又圆与直线相切，所以
解得：
，或
。
G．选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10 分）
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设a、b 是非负实数，求证：
。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10 分。
（方法一）证明：
因为实数a、b≥0，
所以上式≥0。即有
。
（方法二）证明：由a、b 是非负实数，作差得
当
时，
，从而
，得
；
当
时，
，从而
，得
；
所以
。
[必做题]第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤。
23、（本小题满分10 分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率
为90%，二等品率为10%。生产1 件甲产品，若是一等品则获得利润4 万元，若是二等品则亏
损1 万元；生产1 件乙产品，若是一等品则获得利润6 万元，若是二等品则亏损2 万元。设生
产各种产品相互独立。
（3）记X（单位：万元）为生产1 件甲产品和1 件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；
（4）求生产4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率。
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[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10 分。
解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。
由此得X 的分布列为：
X
10
5
2
-3
P
0.72
0.18
0.08
0.02
（2）设生产的4 件甲产品中一等品有
件，则二等品有
件。
由题设知
，解得
，
又
，得
，或
。
所求概率为
答：生产4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率为0.8192。
24、（本小题满分10 分）
已知△ABC 的三边长都是有理数。
（2）求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA 是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、
解决问题的能力。满分10 分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为
，
，∵
是有理数，
是有理数，分母
为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴
必为有理数，∴cosA 是有理数。
（2）①当
时，显然cosA 是有理数；
当
时，∵
，因为cosA 是有理数， ∴
也是有理数；
②假设当
时，结论成立，即coskA、
均是有理数。
当
时，
，
，
，
解得：
∵cosA，
，
均是有理数，∴
是有理数，
∴
是有理数。
即当
时，结论成立。
22
综上所述，对于任意正整数n，cosnA 是有理数。
（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知
是有理数。
（2）用数学归纳法证明cosnA 和
都是有理数。
①当
时，由（1）知
是有理数，从而有
也是有理数。
②假设当
时，
和
都是有理数。
当
时，由
，
，
及①和归纳假设，知
和
都是有理数。
即当
时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA 是有理数。
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