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2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷
一、选择题：
（1）是虚数单位，计算
（A）－1 （B）1
（C）
（D）
（2）下列四个图像所表示的函数，在点
处连续的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）
（A）0
（B）1
（C） 2
（D）4
（4）函数
的图像关于直线
对称的充要条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，
则
（A）8
（B）4
（C） 2
（D）1
B
C
D
A
N
M
O
（6）将函数
的图像上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所得各点的横坐
标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原
料需耗费工时10 小时可加工出7 千克A 产品，每千克A 产品获利40 元，乙车间加工一
箱原料需耗费工时6 小时可加工出4 千克B 产品，每千克B 产品获利50 元．甲、乙两车
间每天共能完成至多70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 小
时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10 箱，乙车间加工原料60 箱
（B）甲车间加工原料15 箱，乙车间加工原料55 箱
（C）甲车间加工原料18 箱，乙车间加工原料50 箱
（D）甲车间加工原料40 箱，乙车间加工原料30 箱
（8）已知数列
的首项
，其前
项的和为
，且
，则
（A）0
（B）
（C） 1
（D）2
（9）椭圆
的右焦点
，其右准线与
轴的交点为A，在椭圆上存在点
P 满足线段AP 的垂直平分线过点
，则椭圆离心率的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）由1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与5 相邻的六位偶数的个数是
（A）72
（B）96
（C） 108
（D）144
（11）半径为
的球
的直径
垂直于平面
，垂足为
，
是平面
内边长为
的正三角形，线段
、
分别与球面交于点M，N，那么M、N 两点间的球面距离是
（A）
A
B
（B）
（C）
（D）
（12）设
，则
的最小值是
（A）2
（B）4
（C）
（D）5
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分．把答案填在题中横线上．
（13）
的展开式中的第四项是__________．
（14）直线
与圆
相交于A、B 两点，则
________．
（15）如图，二面角
的大小是60°，线段
．
，
与所成的角为30°．则
与平面
所成
的角的正弦值是_________．
（16）设S 为复数集C 的非空子集．若对任意
，都有
，则称S 为封
闭集。下列命题：
①集合
（
为整数，为虚数单位）为封闭集；
②若S 为封闭集，则一定有
；
③封闭集一定是无限集；
D
A
B
C
D
M
O
A
B
C
④若S 为封闭集，则满足
的任意集合
也是封闭集．
其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6 小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12 分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶
盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该
饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ 的分布列及数学期望Eξ．
（18）（本小题满分12 分）
已知正方体
的棱长为1，点
是棱
的中点，点
是对角线
的中点．
（Ⅰ）求证：
为异面直线
和
的公垂线；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积．
（19）（本小题满分12 分）
（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式
；
②由
推导两角和的正弦公式
．
（Ⅱ）已知△ABC 的面积
，且
，求
．
（20）（本小题满分12 分）
已知定点
，定直线
，不在
轴上的动点
与点
的距离是它
到直线的距离的2 倍．设点
的轨迹为
，过点
的直线交
于
两点，直线
分别交于点
（Ⅰ）求
的方程；
（Ⅱ）试判断以线段
为直径的圆是否过点
，并说明理由．
（21）（本小题满分12 分）
已知数列
满足
，且对任意
都有
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）设
证明：
是等差数列；
（Ⅲ）设
，求数列
的前
项和
．
（22）（本小题满分14 分）
设
（
且
），
是
的反函数．
（Ⅰ）设关于
的方程
在区间
上有实数解，求的取值
范围；
（Ⅱ）当
（
为自然对数的底数）时，证明：
；
（Ⅲ）当
时，试比较
与4 的大小，并说明理由．
参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5 分，满分60 分。
1—6：ADCACC
1—12：BBDCAB
二、填空题：本题考查基础知识和和基本运算。每小题4 分，满分16 分。
（13）
（14）
（15）
（16）①②
三、解答题
（17）本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查
运用所学知识与方法解决实际问题的能力。
∥
=
解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是
…………（6 分）
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3。
0
1
2
3
P
…………（12 分）
（18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，
并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。
（Ⅰ）连结AC，取AC 的中点K，则K 为BD 的中点，连结OK。
因为点M 是棱
的中点，点O 是
的中点，
所以
OK
所以MO AK
。……（4 分）
（Ⅱ）取
，
从而，
∥
=
∥
=
故二面角
……………………（9 分）
（Ⅲ）易知，
…………（12 分）
解法二
以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（Ⅰ）因为点M 是棱
所以
………………（4 分）
（Ⅱ）设平面
即
故二面角
………………（9 分）
（Ⅲ）易知，
即
取
点M 到平面OBC 的距离
………………（12 分）
（19）本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运
算能力。
解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系
内作单位圆O ，并作出角
交⊙O 于点P1，终边交⊙O 于点P2；角
的始边为OP2，终边交⊙O 于点P3，角
的始边为OP2，终边交⊙O 于点P4。
则
展开并整理，得
…………（4 分）
②由①易得，
…………（6 分）
（Ⅱ）由题意，设
、C 的对边分别为b、c，则
…………（12 分）
（20）本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及
推理运算能力。
解：（Ⅰ）设
化简得
………………（4 分）
（Ⅱ）①当直线BC 与轴不生直时，设BC 的方程为
与双曲线方程
因为
因此
②当直线BC 与轴垂直时，其方程为
AB 的方程为
同理可得
综上，
故以线段MN 为直径的圆过点F。………………（12 分）
（21）本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与
解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意，令
再令
………………（2 分）
（Ⅱ）
所以，数列
………………（5 分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知
则
另由已知（令
可得，
那么，
于是，
当
当
两边同乘可得
上述两式相减即得
=
=
所以
综上所述，
（22）本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整
合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意，得
故
由
得
列表如下：
2
（2，5）
5
（5，6）
6
＋
0
－
5
极大值
25
所以
所以t 的取值范围为[5，32]………………………………（5 分）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
综上，总有
……………………………………（14 分）
