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2010 年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）（2010•四川）设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，则A∩B 等于（ ）
A．{3，4，5，6，7，8} B．{3，6} C．{4，7} D．{5，8}
2．（5 分）（2010•四川）函数y=log2x 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）（2010•四川）抛物线y2=8x 的焦点到准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（5 分）（2010•四川）一个单位有职工800 人，期中具有高级职称的160 人，具有中级职称的
320 人，具有初级职称的200 人，其余人员120 人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样
的方法，从中抽取容量为40 的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）
A．12，24，15，9 B．9，12，12，7C．8，15，12，5D．8，16，10，6
5．（5 分）（2010•四川）函数f（x）=x2+mx+1 的图象关于直线x=1 对称的充要条件是（ ）
A．m=
2
﹣
B．m=2 C．m=
1
﹣
D．m=1
6．（5 分）（2010•四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，
，
，则
=（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
7．
（5 分）
（2010•四川）将函数y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所
得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=sin（2x﹣
）B．y=sin（2x﹣
）C．y=sin（x﹣
）D．y=sin（x﹣
）
8．（5 分）（2010•四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．
甲车间加工一箱原料需耗费工时10 小时可加工出7 千克A 产品，每千克A 产品获利40 元．
乙车间加工一箱原料需耗费工时6 小时可加工出4 千克B 产品，每千克B 产品获利50 元．甲、
乙两车间每天共能完成至多70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480
小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）
1
A．甲车间加工原料10 箱，乙车间加工原料60 箱
B．甲车间加工原料15 箱，乙车间加工原料55 箱
C．甲车间加工原料18 箱，乙车间加工原料50 箱
D．甲车间加工原料40 箱，乙车间加工原料30 箱
9．（5 分）（2010•四川）由1、2、3、4、5 组成没有重复数字且1、2 都不与5 相邻的五位数的个
数是（ ）
A．36
B．32
C．28
D．24
10．（5 分）（2010•四川）椭圆
的右焦点为F，其右准线与x 轴的交点
为A．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A．（0，
] B．
（0，]C．[
，1）D．[ ，1）
11．（5 分）（2010•四川）设a＞b＞0，则
的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（5 分）（2010•四川）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B，△BCD 是平面
α 内边长为R 的正三角形，线段AC、AD 分别与球面交于点M、N，那么M、N 两点间的球面
距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分16 分）
13．（4 分）（2010•四川）（x﹣）4的展开式中的常数项为
（用数字作答）
14．（4 分）（2010•四川）直线x
2y+5=0
﹣
与圆x2+y2=8 相交于A、B 两点，则|AB|= ．
15．（4 分）（2010•四川）如图，二面角α
l
β
﹣﹣的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB 与l 所成的
角为30°．则AB 与平面β 所成的角的正弦值是
．
2
16．（4 分）（2010•四川）设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x
y
﹣，
xy∈S，则称S 为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|（a，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；
②若S 为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S⊆T⊆C 的任意集合T 也是封闭集．
其中真命题是
．（写出所有真命题的序号）
三、解答题（共6 小题，满分74 分）
17．（12 分）（2010•四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字
样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同
学每人购买了一瓶该饮料．
（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．
18．
（12 分）
（2010•四川）在正方体ABCD
A′B′C′D′
﹣
中，点M 是棱AA′的中点，点O 是对角线
BD′的中点．
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M
BC′
B′
﹣
﹣
的大小．
19．
（12 分）
（2010•四川）
（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ
sinαsinβ
﹣
；
②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
3
（Ⅱ）已知
，
求cos（α+β）．
20．（12 分）（2010•四川）已知等差数列{an}的前3 项和为6，前8 项和为﹣4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（4
a
﹣n）qn
1
﹣（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n 项和Sn．
21．（12 分）（2010•四川）已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x= ，不在x 轴上的动点P
与点F 的距离是它到直线l 的距离的2 倍．设点P 的轨迹为E，过点F 的直线交E 于B、C 两
点，直线AB、AC 分别交l 于点M、N．
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F，并说明理由．
22．（14 分）（2010•四川）设
（a＞0 且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（1）求g（x）；
（2）当x∈[2，6]时，恒有
成立，求t 的取值范围；
（3）当0＜a≤时，试比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4 的大小，并说明理由．
4
2010 年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）（2010•四川）设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，则A∩B 等于（ ）
A．{3，4，5，6，7，8} B．{3，6} C．{4，7} D．{5，8}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【分析】根据交集的定义和运算法则进行计算．
【解答】解：∵集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，
又∵集合A 与集合B 中的公共元素为5，8，
A∩B={5
∴
，8}，
故选D．
【点评】此题考查简单的集合的运算，集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，学
习过程中我们应从基础出发．
2．（5 分）（2010•四川）函数y=log2x 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】对数函数的图像与性质．菁优网版权所有
【分析】函数y=log2x 为对数函数，又底数大于1，可选答案．
【解答】解：函数y=log2x 为对数函数，且2＞1
故选C．
【点评】本题考查对数函数的图象问题，属基本题．
3．（5 分）（2010•四川）抛物线y2=8x 的焦点到准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先根据抛物线的方程求出p 的值，即可得到答案．
【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．
故选C．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．
5
4．（5 分）（2010•四川）一个单位有职工800 人，期中具有高级职称的160 人，具有中级职称的
320 人，具有初级职称的200 人，其余人员120 人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样
的方法，从中抽取容量为40 的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）
A．12，24，15，9 B．9，12，12，7C．8，15，12，5D．8，16，10，6
【考点】分层抽样方法．菁优网版权所有
【分析】先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．
【解答】解：因为
=
，故各层中依次抽取的人数分别是
=8，
=16，
=10，
=6，
故选D．
【点评】本题主要考查分层抽样方法．
5．（5 分）（2010•四川）函数f（x）=x2+mx+1 的图象关于直线x=1 对称的充要条件是（ ）
A．m=
2
﹣
B．m=2 C．m=
1
﹣
D．m=1
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+mx+1 的对称轴为x=﹣
⇔﹣=1⇒m=
2
﹣．
答案：A．
【点评】本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题．
6．（5 分）（2010•四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，
，
，则
=（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．菁优网版权所有
【分析】先求出|
|=4，又因为
=|
|=2
=4，可得答案．
【解答】解：由
=16，得|
|=4，
∵
=|
|=4，
而
∴
=2
故选C．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属基础题．
7．
（5 分）
（2010•四川）将函数y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所
得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
6
A．y=sin（2x﹣
）B．y=sin（2x﹣
）C．y=sin（x﹣
）D．y=sin（x﹣
）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】分析法．
【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2 倍时w 变为原来的
倍进行横向变换．
【解答】解：将函数y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动
个单位长度，所得函数图象的
解析式为y=sin（x﹣
）
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（
x﹣
）．
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．
8．（5 分）（2010•四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．
甲车间加工一箱原料需耗费工时10 小时可加工出7 千克A 产品，每千克A 产品获利40 元．
乙车间加工一箱原料需耗费工时6 小时可加工出4 千克B 产品，每千克B 产品获利50 元．甲、
乙两车间每天共能完成至多70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480
小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）
A．甲车间加工原料10 箱，乙车间加工原料60 箱
B．甲车间加工原料15 箱，乙车间加工原料55 箱
C．甲车间加工原料18 箱，乙车间加工原料50 箱
D．甲车间加工原料40 箱，乙车间加工原料30 箱
【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数
【解答】解：设甲车间加工原料x 箱，
乙车间加工原料y 箱，
则
目标函数z=280x+200y
结合图象可得：当x=15，y=55 时z 最大．
故选B．
【点评】在解决线性规划问题是，我们常寻找边界点，代入验证确定最值
9．（5 分）（2010•四川）由1、2、3、4、5 组成没有重复数字且1、2 都不与5 相邻的五位数的个
数是（ ）
A．36
B．32
C．28
D．24
7
【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】依题意，分①5 在两端与②5 不在两端两种情况，进而分析1、2 两个数的情况数目，
由分类计数的加法原理计算可得答案．
【解答】解：如果5 在两端，则1、2 有三个位置可选，
排法为2×A3
2A2
2=24 种，
如果5 不在两端，则1、2 只有两个位置可选，首先排5，有
=3 种，然后排1 和2，有
A2
2A2
2=12 种，
3×A2
2A2
2=12 种，
共计12+24=36 种；
故选A．
【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受限制的特殊元素与分类讨论的方法的使
用．
10．（5 分）（2010•四川）椭圆
的右焦点为F，其右准线与x 轴的交点
为A．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A．（0，
] B．
（0，]C．[
，1）D．[ ，1）
【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP 的垂直平分线过点F，即F 点到P 点与A 点的
距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得的范围即离心率e 的范围．
【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP 的垂直平分线过点F，即F 点到P 点与A
点的距离相等
而|FA|=
|PF|∈[a
c
﹣，a+c]
于是
∈[a
c
﹣，a+c]
即ac
c
﹣2≤b2≤ac+c2
∴
又e∈（0，1）
8
故e∈
．
【点评】本题主要考查椭圆的基本性质．属基础题．
11．（5 分）（2010•四川）设a＞b＞0，则
的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；转化思想．
【分析】将
变形为
，然后前两项和后
两项分别用均值不等式，即可求得最小值．
【解答】解：
=
≥4
当且仅当
取等号
即
取等号．
∴
的最小值为4
故选：D
【点评】本题考查凑成几个数的乘积为定值，利用基本不等式求出最值．
12．（5 分）（2010•四川）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B，△BCD 是平面
α 内边长为R 的正三角形，线段AC、AD 分别与球面交于点M、N，那么M、N 两点间的球面
距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】球面距离及相关计算．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON 的余弦，再代入求解，即可求出MN
的两点距离．
【解答】解：由已知，AB=2R，BC=R，
9
故tan BAC=
∠
cos BAC=
∠
连接OM，则△OAM 为等腰三角形
AM=2AOcos BAC=
∠
，
同理AN=
，且MN CD
∥
而AC=
R，CD=R
故MN：CD=AM：AC
MN=
，
连接OM、ON，有OM=ON=R
于是cos MON=
∠
所以M、N 两点间的球面距离是
．
故选A．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题．
二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分16 分）
13．（4 分）（2010•四川）（x﹣）4的展开式中的常数项为
24
（用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有
【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1 项，令x 的指数为0 得常数项．
【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1=
=（﹣2）rC4
rx4
2r
﹣
令4
2r=0
﹣
得r=2
得常数项为C4
2（﹣2）2=24．
故答案为24．
【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
14．（4 分）（2010•四川）直线x
2y+5=0
﹣
与圆x2+y2=8 相交于A、B 两点，则|AB|=
2
．
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
10
【分析】可以直接求出A、B 然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．
【解答】解：圆心为（0，0），半径为2
，
圆心到直线x
2y+5=0
﹣
的距离为d=
，
故
，
得|AB|=2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．
15．（4 分）（2010•四川）如图，二面角α
l
β
﹣﹣的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB 与l 所成的
角为30°．则AB 与平面β 所成的角的正弦值是
．
【考点】平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】过点A 作平面β 的垂线，垂足为C，在β 内过C 作l 的垂线．垂足为D，连接AD，从而
∠ADC 为二面角α
l
β
﹣﹣的平面角，连接CB，则∠ABC 为AB 与平面β 所成的角，在直角三
角形ABC 中求出此角即可．
【解答】解：过点A 作平面β 的垂线，垂足为C，
在β 内过C 作l 的垂线．垂足为D
连接AD，有三垂线定理可知AD l
⊥，
故∠ADC 为二面角α
l
β
﹣﹣的平面角，为60°
又由已知，∠ABD=30°
连接CB，则∠ABC 为AB 与平面β 所成的角
设AD=2，则AC=
，CD=1
AB=
=4
sin ABC=
∴
∠
；
故答案为
．
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象
能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
11
16．（4 分）（2010•四川）设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x
y
﹣，
xy∈S，则称S 为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|（a，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；
②若S 为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S⊆T⊆C 的任意集合T 也是封闭集．
其中真命题是 ①② ．（写出所有真命题的序号）
【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集；复数的基本概念．菁优网版权所有
【专题】计算题；综合题；压轴题；新定义．
【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y 可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，
即可判断③的错误．S={0}，T={0，1}，推出﹣1 不属于T，判断④是错误的．
【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b 为整数，i
为虚数单位）}为封闭集，①正确．
当S 为封闭集时，因为x
y
﹣∈S，取x=y，得0∈S，②正确
对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误
取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0
1=
1
﹣
﹣不属于T，故T 不是封闭集，④错误．
【点评】本题考查复数的基本概念，集合的子集，集合的包含关系判断及应用，是中档题．
三、解答题（共6 小题，满分74 分）
17．（12 分）（2010•四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字
样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同
学每人购买了一瓶该饮料．
（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．
【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）先求出甲、乙、丙没中奖的概率，因此事件为相互独立事件，代入公式求解；
（Ⅱ）先求出此事件的对立事件，再由对立事件的公式进行求解．
【解答】解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，则P（A）=P（B）=P（C）= ，
甲、乙、丙没中奖的事件分别为、、，则P（）P=（）=P（）= ，
（Ⅰ）由于“三位同学都没有中奖”是三个相互独立事件，
P
∴（
）=P（）P（）P（）=
答：三位同学都没有中奖的概率为
；
（Ⅱ）“三位同学中至少有两位没有中奖”的对立事件为“至少有两位中奖”
1
P
∴﹣（•B•C+A• •C+A•B• +A•B•C）
=1
3×
﹣
答：三位同学至少两位没有中奖的概率为
．
12
【点评】本小题主要考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，考查运用所学知识与方法解决
实际问题的能力．
18．
（12 分）
（2010•四川）在正方体ABCD
A′B′C′D′
﹣
中，点M 是棱AA′的中点，点O 是对角线
BD′的中点．
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M
BC′
B′
﹣
﹣
的大小．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【分析】解法一：（1）由题意及图形，利用正方体的特点及异面直线间的公垂线的定义可以求
证；
（2）由题意及图形，利用三垂线定理，求出所求的二面角的平面角，然后再在三角形中求出角
的大小．
解法二：（1）由题意及正方体的特点可以建立如图示的空间直角坐标系，利用向量的知识证
明两条直线垂直；
（2）由题意及空间向量的知识，抓好两平面的法向量与二面角之间的关系进而可以求出二面
角的大小
【解答】解：法一（1）连接AC，取AC 中点K，
则K 为BD 的中点，连接OK
因为M 是棱AA′的中点，点O 是BD′的中点
所以AM
所以MO
由AA′ AK
⊥
，得MO AA′
⊥
因为AK BD
⊥
，AK BB′
⊥
，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK BD′
⊥
所以MO BD′
⊥
又因为OM 是异面直线AA′和BD′都相交
故OM 为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（2）取BB′中点N，连接MN，
则MN⊥平面BCC′B′
过点N 作NH BC′
⊥
于H，连接MH
则由三垂线定理得BC’ MH
⊥
从而，∠MHN 为二面角M
BC′
B′
﹣
﹣
的平面角
MN=1，NH=Bnsin45°=
13
在Rt
MNH
△
中，tan MHN=
∠
故二面角M
BC′
B′
﹣
﹣
的大小为arctan2
．
法二：
以点D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D
xyz
﹣
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）
（1）因为点M 是棱AA′的中点，点O 是BD′的中点
所以M（1，0，），O（，，）
，
=（0，0，1），
=（﹣1，﹣1，1）
=0，
+0=0
所以OM AA′
⊥
，OM BD′
⊥
又因为OM 与异面直线AA′和BD′都相交
故OM 为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（2）设平面BMC'的一个法向量为
=（x，y，z）
=（0，﹣1，），
=（﹣1，0，1）
即
取z=2，则x=2，y=1，从而
=（2，1，2）
取平面BC′B′的一个法向量为
=（0，1，0）
cos
由图可知，二面角M
BC′
B′
﹣
﹣
的平面角为锐角
故二面角M
BC′
B′
﹣
﹣
的大小为arccos ．
14
【点评】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空间
想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．
19．
（12 分）
（2010•四川）
（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ
sinαsinβ
﹣
；
②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
（Ⅱ）已知
，
求cos（α+β）．
【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数．
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【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间
距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[
﹣（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．
（Ⅱ）
，求出角A 的正弦，再由
，用cosC=
cos
﹣
（A+B）求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy 内做单位圆O，
并作出角α、β 与﹣β，使角α 的始边为Ox，
交⊙O 于点P1，终边交⊙O 于P2；角β 的始边为OP2，
终边交⊙O 于P3；角﹣β 的始边为OP1，终边交⊙O 于P4．
则P1（1，0），P2（cosα，sinα）
P3（cos（α+β），sin（α+β）），
P4（cos（﹣β），sin（﹣β））
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）﹣1]2+sin2（α+β）=[cos（﹣β）﹣cosα]2+[sin（﹣β）﹣sinα]2
展开并整理得：2
2cos
﹣
（α+β）=2
2
﹣（cosαcosβ
sinαsinβ
﹣
）
cos
∴
（α+β）=cosαcosβ
sinαsinβ
﹣
；（4 分）
②由①易得cos（
﹣α）=sinα，sin（
﹣α）=cosα
sin（α+β）=cos[
﹣（α+β）]=cos[（
﹣α）+（﹣β）]
=cos（
﹣α）cos（﹣β）﹣sin（
﹣α）sin（﹣β）
=sinαcosβ+cosαsinβ；（6 分）
15
（Ⅱ）∵α∈（π，
），cosα=﹣
sinα=
∴
﹣
β
∵∈（
，π），tanβ=﹣
cosβ=
∴
﹣
，sinβ=
cos（α+β）=cosαcosβ
sinαsinβ
﹣
=（﹣）×（﹣
）﹣（﹣）×
=
．
【点评】本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知
识及运算能力．
20．（12 分）（2010•四川）已知等差数列{an}的前3 项和为6，前8 项和为﹣4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（4
a
﹣n）qn
1
﹣（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n 项和Sn．
【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）设{an}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3 项和前8 项的和，求的a1
和d，进而根据等差数列的通项公式求得an．
（2）根据（1）中的an，求得bn，进而根据错位相减法求得数列{bn}的前n 项和Sn．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，
由已知得
解得a1=3，d=
1
﹣
故an=3+（n
1
﹣）（﹣1）=4
n
﹣；
（2）由（1）的解答得，bn=n•qn
1
﹣，于是
Sn=1•q0+2•q1+3•q2+…+n•qn
1
﹣．
若q≠1，将上式两边同乘以q，得
qSn=1•q1+2•q2+3•q3+…+n•qn．
将上面两式相减得到
（q
1
﹣）Sn=nqn﹣（1+q+q2+…+qn
1
﹣）
16
=nqn﹣
于是Sn=
若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=
所以，Sn=
．
【点评】本小题主要考查数列的基础知识和划归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析
与解决问题的能力．
21．（12 分）（2010•四川）已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x= ，不在x 轴上的动点P
与点F 的距离是它到直线l 的距离的2 倍．设点P 的轨迹为E，过点F 的直线交E 于B、C 两
点，直线AB、AC 分别交l 于点M、N．
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F，并说明理由．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题；证明题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）设P（x，y），欲求点P 的轨迹方程，只须求出x，y 之间的关系式即可，结合题中
条件：“动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2 倍”利用距离公式即得；
（Ⅱ）先分类讨论：①当直线BC 与x 轴不垂直时；②当直线BC 与x 轴垂直时，对于第①种情
形，设BC 的方程为y=k（x
2
﹣），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y 得到关于x 的一元
二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题．对于
第②种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则
化简得x2﹣
=1（y≠0）；
（Ⅱ）①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y=k（x
2
﹣）（k≠0）
与双曲线x2﹣
=1 联立消去y 得（3
k
﹣2）x2+4k2x﹣（4k2+3）=0
由题意知3
k
﹣2≠0 且△＞0
17
设B（x1，y1），C（x2，y2），则
y1y2=k2（x1
2
﹣）（x2
2
﹣）=k2[x1x2
2
﹣（x1+x2）+4]=k2（
+4）=
因为x1、x2≠
1
﹣，所以直线AB 的方程为y=
（x+1）
因此M 点的坐标为（
）
，
同理可得
因此
=
=0
②当直线BC 与x 轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）
AB 的方程为y=x+1，因此M 点的坐标为（
），
同理可得
因此
=0
综上
=0，即FM FN
⊥
故以线段MN 为直径的圆经过点F．
【点评】本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法
及推理运算能力．
22．（14 分）（2010•四川）设
（a＞0 且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（1）求g（x）；
（2）当x∈[2，6]时，恒有
成立，求t 的取值范围；
（3）当0＜a≤时，试比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4 的大小，并说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；不等式的证明．菁优网版权所有
18
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y 互换，即得反函
数的解析式．
（2）先分离参数t，t＜（x
1
﹣）2（7
x
﹣）转化为求右边函数式的最小值即可，对于高次函数的最
值问题，可利用导数研究解决；
（3）欲比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4 的大小，分而解决之，先比较f（k）与某一式子的大小
关系，利用二项式定理可得：f（k）≤1+
=1+
=1+
，从而问题解决．
【解答】解：（1）由题意得：ax=
＞0
故g（x）=
，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3 分）
（2）由
得
①当a＞1 时，
＞0
又因为x∈[2，6]，所以0＜t＜（x
1
﹣）2（7
x
﹣）
令h（x）=（x
1
﹣）2（7
x
﹣）=
x
﹣3+9x2
15x+7
﹣
，x∈[2，6]
则h'（x）=
3x
﹣
2+18x
15=
3
﹣
﹣（x
1
﹣）（x
5
﹣）
列表如下：
x
2 （2，5） 5
（5，6）6
h'（x）
+
0
﹣
h（x） 5 递增
极大值32 递减
25
所以h（x）最小值=5，
所以0＜t＜5
②当0＜a＜1 时，0＜
又因为x∈[2，6]，所以t＞（x
1
﹣）2（7
x
﹣）＞0
令h（x）=（x
1
﹣）2（7
x
﹣）=
x
﹣3+9x2
15x+7
﹣
，x∈[2，6]
由①知h（x）最大值=32，x∈[2，6]
所以t＞32
综上，当a＞1 时，0＜t＜5；当0＜a＜1 时，t＞32；（9 分）
（3）设a=
，则p≥1
当n=1 时，f（1）=1+ ≤3＜5
当n≥2 时
设k≥2，k∈N*时
则f（k）=
19
所以f（k）≤1+
=1+
=1+
从而f（2）+f（3）+…+f（n）≤n
1+
﹣
＜n+1
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜f（1）+n+1≤n+4
综上，总有f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜n+4．（14 分）
【点评】本小题考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查划归，分类整合等
数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．
20
