2010年海南省高考文科数学试题及答案_高考一二三轮复习_数学_2027年高考数学专项复习更新中_2008年-2026年数学高考真题-G427_2008-2020年高考_2008-2020年_地方卷_地方卷高考文科数学

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
文科数学
参考公式：
样本数据
1
2
,

n
x x
x 的标准差                   锥体体积公式
2
2
2
1
2
1 (
)
(
)
(
)
n
s
x
x
x
x
x
x
n












      
1
3
V
sh
其中x 为样本平均数                           其中S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式                                 球的表面积，体积公式
V
Sh

                                      
2
3
4
4
,
3
S
R V
R




 
其中S 为底面面积，h 为高                     其中R 为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
（1）已知集合
2,
,
|
4,
|
A
x x
x
R B
x
x
x
Z






，则A
B 

（A）（0，2）      （B）[0，2]      （C）|0，2|      （D）|0，1，2|
（2）a，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b 夹角的余弦值等于
 （A）8
65         （B）
8
65

       （C）16
65        （D）
16
65

（3）已知复数
2
3
(1
3 )
i
z
i



，则︱z︱=
(A) 1
4            （B）1
2         （C）1          （D）2
（4）曲线
2
y
2
1
x
x


在点（1,0）处的切线方程为
     （A）
1
y
x

                    （B）
1
y
x

     （C）
2
2
y
x


                   （D）
2
2
y
x


（5）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心
率为
      （A）
6                         （B）5
      （C）
6
2
                         （D）
5
2
（6）如图，质点p 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为
0p（
2 ，
2

），
角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为
(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面
积为
  （A）3a2             （B）6a2          （C）12a2          （D） 24a2
（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等
于
（A）5
4
（B）4
5
（C）6
5
（D）5
6
(9) 设偶函数f(x) 满足f(x)=2x-4 (x0 ），则




2
0
x f x 

=
   （A ）

2
4
x x
x


或
       （B ）


0
4            
x x
x


或
（C）

0
6            
x x
x


或
 （D）

2
2            
x x
x


或
（10）若sin a = - 4
5 ，a 是第一象限的角，则
sin(
)
4
a


=
（A）- 7 2
10     （B）7 2
10    （C）
2
 - 10    （D）
2
10
（11）已知
ABCD 的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在
ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是
（A）（-14，16）   （B）（-14，20）   （C）（-12，18）   （D）（-12，20）
（12）已知函数f(x)= 
lg 1 ,0
10
1
6,
0
2
x
x
x
x







若a，b，c 互不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则
abc 的取值范围是
（A）（1，10）  （B）(5，6)  （C）(10，12)  （D）(20，24)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题
考生都必须做答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。
（13）圆心在原点上与直线
2
0
x
y



相切的圆的方程为                   。
（14）设函数
( )
y
f x

为区间

0,1 上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有

0
1
f x

，可以用随机模拟方法近似计算由曲线
( )
y
f x

及直线
0
x 
，
1
x ，
0
y 
所围成部分的面积S，先产生两组（每组N 个）区间

0,1 上的均匀随机数
1,
2.....
n
x x
x 和
1,
2.....
n
y y
y ，由此得到N 个点（xi，yi）（i =1，2，…，N）.再数出其中满足
yi≤f(xi)(
1,2.....
)
i
N

的点数
1
N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为
___________
(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的
_______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥   ②四棱锥   ③三棱柱   ④四棱柱   ⑤圆锥   ⑥圆柱
 (16)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，
3
BC
BD

,
2
AD 
,
135
ADB



.若
2
AC
AB

，则BD=________ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12 分）
设等差数列
na
满足
3
5
a 
，
10
9
a
。
（Ⅰ）求
na
的通项公式； 
（Ⅱ）求
na
的前n 项和
n
S 及使得
n
S 最大的序号n 的值。
（18）（本小题满分12 分）
如图，已知四棱锥P
ABCD

的底面为等腰梯形，AB ∥CD , AC
BD

,垂足为H
PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC  平面PBD ；
（Ⅱ）若
6
AB 
,
APB
ADB


60°,求四棱锥P
ABCD

的体积。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（19）（本小题满分12 分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地
区调查了500 位老人，结果如下：
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有
关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要
志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
（20）（本小题满分12 分）
设
1
F ,
2
F 分别是椭圆E：
2x +
2
2
y
b =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过
1
F 的直线l 与E
相交于A、B 两点，且
2
AF ，AB ，
2
BF 成等差数列。
（Ⅰ）求AB
（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。
（21）本小题满分12 分）
设函数



2
1
x
x
f
x e
ax



（Ⅰ）若a= 1
2 ，求

x
f
的单调区间；
（Ⅱ）若当x ≥0 时

x
f
≥0，求a 的取值范围
（22）（本小题满分10 分）选修4—1：几何证明选讲
      如图：已知圆上的弧

AC
BD

，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于 
E 点，证明：
（Ⅰ）
ACE

=
BCD

。
      （Ⅱ）
2
BC =BE x CD。
（23）（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
      已知直线C1：
x
1
t cos
sin
y
t







（t 为参数），C2：
x
cos
sin
y







（为参数），
（Ⅰ）当= 3

时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O 做C1的垂线，垂足为A，P 为OA 中点，当变化时，求P 点的轨迹的参数方
程，并指出它是什么曲线。
（24）（本小题满分10 分）选修4—5：不等式选讲
        设函数f(x)= 2
4
x 
 + 1。
       （Ⅰ）画出函数y= f(x)的图像：
       （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求n 的取值范围
2010 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学参考答案
一：选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是最符合题目要求的。
  （1）D       (2) C        (3)  B       (4) A          (5) D       (6) 
C   
  (7) B        (8) D         (9) B        (10) A         (11)B  
(12)C
二：填空题：本大题共4 小题，每小题五分，共20 分。
（13）x2+y2=2          (14)
1
N
N            (15)①②③⑤          (16)2+ 5
三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）解：
      （Ⅰ）由an = a1 +（n-1）d 及a3=5，a10=-9 得
        
1
1
2
5
9
9
{
a
d
a
d




解得
1 9
2
{
a
d


数列{an}的通项公式为an=11-2n。                    ……..6 分
        （Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=na1+ (
1)
2
n n 
d=10n-n2。
               因为Sn=-(n-5)2+25.
          所以当n=5 时，Sn取得最大值。                       ……12 分
     (18)解：
          （Ⅰ）因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高。
           所以ACPH,又ACBD,PH,BD 都在平面PBD 内,且PHBD=H.
           所以AC平面PBD.
           故平面PAC平面PBD.                             ……..6
分
         （Ⅱ）因为ABCD 为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,AB= 6 .
           所以HA=HB= 3 .
           因为APB=ADB=600
                所以PA=PB= 6 ,HD=HC=1.
          可得PH= 3 .
          等腰梯形ABCD 的面积为S= 1
2 AC x BD = 2+ 3 .      ……..9 分
          所以四棱锥的体积为V= 1
3 x（2+ 3 ）x 3 = 3
2 3
3

   ……..12 分
（19）解：
（Ⅰ）调查的500 位老年人中有70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人
中需要帮助的老年人的比例的估计值为70
14%
500 
.   ……4 分
（Ⅱ） 
2
2
500 (40 270
30 160)
9.967
200 300 70 430
k









由于9.967
6.635

，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与
性别有关.                             …………………8 分
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本
数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此
在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采
用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.    ……12 分
（20）解：
   （Ⅰ）由椭圆定义知
2
2
F
+
F




        又2 AB = AF
F
AB










得
   （Ⅱ）L 的方程式为y=x+c，其中
2
1
c
b


        设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B 两点坐标满足方程组
        
2
2
2
y=x+c
x
1
y
b




  
        化简得
2
2
2
(1
)
2
1
2
0.
b
x
cx
b




则
2
1
2
1
2
2
2
2
1 2
,
.
1
1
c
b
x
x
x x
b
b







因为直线AB 的斜率为1，所以
2
1
x
x




      即   
2
1
4
2
3
x
x



 .
则
2
2
4
2
1
2
1
2
2 2
2
2
8
4(1
)
4(1 2
)
8
(
)
4
9
(1
)
1
1
b
b
b
x
x
x x
b
b
b











解得  
2
2
b 
.         
（21）解：
（Ⅰ）
1
2
a 
时，
2
1
( )
(
1)
2
x
f x
x e
x



，
'( )
1
(
1)(
1)
x
x
x
f
x
e
xe
x
e
x






。
当


, 1
x
时
'( )
f
x ;当


1,0
x
时，'( )
0
f
x 
;当


0,
x
时，'( )
0
f
x 
。
故
( )
f x 在

, 1

，

0,单调增加，在（-1，0）单调减少。
（Ⅱ）
( )
(
f x
x x

ex-1-ax）。令( )
g x x（ex-1-ax），则
'( )
x
g x
e
a


。
若
1
a ，则当


0,
x
时，'( )
g x ，( )
g x 为增函数，而(0)
0
g

，从而当x≥0
时( )
g x ≥0，即
( )
f x ≥0.
若a ，则当


0,ln
x
a

时，
'( )
g x ，
( )
g x 为减函数，而
(0)
0
g

，从而当


0,ln
x
a

时( )
g x ＜0，即
( )
f x ＜0.
    综合得a 的取值范围为

,1

（22）解: （Ⅰ）因为
= 
,
所以
BCD
ABC


.
又因为EC 与圆相切于点C ，故
ACE
ABC


所以
ACE
BCD


.                               ……5 分
（Ⅱ）因为
ECB
CDB


,
EBC
BCD


,
所以∆BDC∽∆ECB，故BC
CD
BE
BC

.
即    
2
BC
BE
CD


.                                 ……10 分
（23）解：
（I）当
3


时，C1的普通方程为
3(
1)
y
x


，C2的普通方程为
2
2
1
x
y

.
联立方程组
2
2
3(
1),
1,
y
x
x x
y





解得C1与C2的交点为（1,0），1
3
( ,
)
2
2

（II）C1的普通方程为sin
cos
sin
0
x
y






.
A 点坐标为
2
(sin
,
cos sin )
a
a
a

，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为
2
1 sin
2
1 sin cos
2
x
a
y
a
a





    （a 为参数）
P 点轨迹的普通方程为
2
2
1
1
(
)
4
16
x
y



故P 点轨迹是圆心为
1
( ,0)
4
，半径为
1
4 的圆
（24）解：
（Ⅰ）由于

x
f
=
2
5,
2
3,
2.
x
x
x
x





则函数

x
y
f

的图像如图所示。
                                                          ……5 分
（Ⅱ）由函数

x
y
f

与函数y
ax

的图像可知，当且仅当a ≥
1
2

或
2
a 时，函数

x
y
f

与函数y
ax

的图像有交点。故不等式

x
f
ax

的解集非空时，a 的取值范
围为

1
, 2
,
2








。
                                                          ……10 分