2009 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
本试卷满分150 分，考试时间120 分钟
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码
上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2 Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件A
B
，
互斥，那么
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
如果事件A
B
，
相互独立，那么
(
)
( )
( )
P A B
P A P B
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率
( )
(1
)
(
01,2
)
k
k
n k
n
n
P k
C P
P
k
n
，，，
以R 为半径的球体积：
3
4 π
3
V
R
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．直线
1
y
x
与圆
2
2
1
x
y
的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心
D．相离
2．已知复数z 的实部为1
，虚部为2，则5i
z
=（ ）
A．2
i
B．2
i
C．2
i
D．2
i
3．
2
8
2
(
)
x
x
的展开式中
4x 的系数是（ ）
A．16
B．70
C．560
D．1120
4．已知
1,
6,
(
)
2
a
b
a b
a
，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）
A．
6
B．
4
C．
3
D
．
2
5．不等式
2
3
1
3
x
x
a
a
对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．(
, 1]
[4,
)
B．(
, 2]
[5,
)
C．[1,2]
D．(
,1]
[2,
)
6．锅中煮有芝麻馅汤圆6 个，花生馅汤圆5 个，豆沙馅汤圆4 个，这三种汤圆的外部特征
完全相同。从中任意舀取4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到1 个的概率为（ ）
A．8
91
B．25
91
C．
3
3
sin
cos
2
4
2
4
x
x
D
．
60
91
7．设ABC
的三个内角
, ,
A B C ，向量
( 3sin
,sin
)
A
B
m
，
(cos , 3 cos
)
B
A
n
，若
1 cos(
)
A
B
m n
，则C =（ ）
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
8．已知
2
2
lim(
)
2
1
x
x
ax
b
x
，其中,a b
R
，则a
b
的值为（ ）
A．6
B．2
C．2
D．6
9．已知二面角
l
的大小为
0
50
，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面和平
面所成的角都是
0
25 的直线的条数为（ ）
A．2
B．3 C．4
D．5
10．已知以
4
T
为周期的函数
2
1
,
( 1,1]
( )
1
2 ,
(1,3]
m
x
x
f x
x
x
，其中
0
m
。若方程
3 ( )
f x
x
恰有5 个实数解，则
m
的取值范围为（ ）
A．
15 8
(
, )
3
3
B．
15
(
, 7)
3
C．4 8
( , )
3 3
D．4
( , 7)
3
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．把答案写在答题卡相应位置上．
11．若
3
A
x
R x
，
2
1
x
B
x
R
，则A
B
．
12．若
1
( )
2
1
x
f x
a
是奇函数，则
a
．
13．将4 名大学生分配到3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
种（用数字作答）．
14．设
1
2
a
，
1
2
1
n
n
a
a
，
2
1
n
n
n
a
b
a
，
*
n
N
，则数列
nb
的通项公式
nb =
．
15．已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
(
,0),
( ,0)
F
c
F c
，若双曲
线上存在一点P 使
1
2
2
1
sin
sin
PF F
a
PF F
c
，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问7 分，（Ⅱ）小问6 分．）
设函数
2
( )
sin(
)
2cos
1
4
6
8
x
x
f x
．
（Ⅰ）求
( )
f x
的最小正周期．
（Ⅱ）若函数
( )
y
g x
与
( )
y
f x
的图像关于直线
1
x
对称，求当
4
[0, ]
3
x
时
( )
y
g x
的最大值．
17．（本小题满分13 分，（Ⅰ）问7 分，（Ⅱ）问6 分）
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2 株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
2
3
和1
2
，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4 株大树中：
（Ⅰ）两种大树各成活1 株的概率；
（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．
18．（本小题满分13 分，（Ⅰ）问5 分，（Ⅱ）问8 分）
设函数
2
( )
(
0)
f x
ax
bx
k k
在
0
x
处取得极值，且曲线
( )
y
f x
在点(1,
(1))
f
处的切线垂直于直线
2
1
0
x
y
．
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若函数( )
( )
xe
g x
f x
，讨论( )
g x 的单调性．
19．（本小题满分12 分，（Ⅰ）问5 分，（Ⅱ）问7 分）
如题（19）图，在四棱锥S
ABCD
中，AD
BC
且AD
CD
；平面
CSD 平面ABCD ，
,
2
2
CS
DS CS
AD
；E 为BS 的中点，
2,
3
CE
AS
．求：
（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；
（Ⅱ）二面角
E
CD
A
的大小
20．（本小题满分12 分，（Ⅰ）问5 分，（Ⅱ）问7 分）
已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为
4 3
3
y
，离心率
3
2
e
，M 是椭圆上
的动点．
（Ⅰ）若
,
C D 的坐标分别是(0,
3),(0, 3)
，求MC MD
的最大
值；
（Ⅱ）如题（20）图，点A 的坐标为(1,0) ，B 是圆
2
2
1
x
y
上的点，
N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ
OM
ON
，
0
QA BA
．求线段QB 的中点P 的轨迹方程；
21．（本小题满分12 分，（Ⅰ）问5 分，（Ⅱ）问7 分）
设m 个不全相等的正数
1
2
,
,
,
(
7)
m
a a
a
m
依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若
2009
m
，且
1
2
1005
,
,
,
a a
a
是公差为d 的等差数列，而
1
2009
2008
1006
,
,
,
,
a a
a
a
是
公比为q
d
的等比数列；数列
1
2
,
,
,
m
a a
a
的前n 项和
(
)
n
S
n
m
满足：
3
2009
2007
1
15,
12
S
S
S
a
，求通项
(
)
na n
m
；
（Ⅱ）若每个数
(
)
na n
m
是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：
2
2
1
6
7
1
2
m
m
a
a
a
a
ma a a
；
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一、
选择题：每小题5 分，满分50 分 .
(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C
(7) C (8) D (9) B (10) B.
二．填空题：每小题5 分，满分25 分 .
(11) (0,3) (12) 1
2
(13) 36 (14)
1
2n (15) (1,
2
1
)
三．解答题：满分75 分 .
(16)（本小题13 分）
解：（Ⅰ）
( )
f x =sin
cos
cos
sin
cos
4
6
4
6
4
x
x
x
=
3
3
sin
cos
2
4
2
4
x
x
= 3sin(
)
4
3
x
故
( )
f x 的最小正周期为T =
2
4
=8
(Ⅱ）在
( )
y
g x
的图象上任取一点( , ( ))
x g x
，它关于
1
x
的对称点(2
, ( ))
x g x
.
由题设条件，点(2
, ( ))
x g x
在
( )
y
f x
的图象上，从而
( )
(2
)
3sin[
(2
)
]
4
3
g x
f
x
x
= 3sin[
]
2
4
3
x
= 3 cos(
)
4
3
x
当
3
0
4
x
时，
2
3
4
3
3
x
，因此
( )
y
g x
在区间
4
[0, ]
3
上的最大值为
max
3
3 cos 3
2
g
.
(17)（本小题13 分）
解：设
kA 表示甲种大树成活k 株，k＝0，1，2
lB 表示乙种大树成活l 株，l＝0，1，2
则
kA ，
lB 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有
2
2
2
1
(
)
( ) ( )
3
3
k
k
k
k
P A
C
,
2
2
1
1
(
)
( ) ( )
2
2
l
l
l
l
P B
C
.
据此算得
0
1
(
)
9
P A
,
1
4
(
)
9
P A
,
2
4
(
)
9
P A
.
0
1
(
)
4
P B
,
1
1
(
)
2
P B
,
2
1
(
)
4
P B
.
(Ⅰ) 所求概率为
2
1
1
1
4
1
2
(
)
(
)
(
)
9
2
9
P A
B
P A
P B
.
(Ⅱ) 的所有可能值为0，1，2，3，4，且
0
0
0
0
1
1
1
(
0)
(
)
(
)
(
)
9
4
36
P
P A
B
P A
P B
,
0
1
1
0
1
1
4
1
1
(
1)
(
)
(
)
9
2
9
4
6
P
P A
B
P A
B
,
0
2
1
1
2
0
1
1
4
1
4
1
(
2)
(
)
(
)
(
)
9
4
9
2
9
4
P
P A
B
P A
B
P A
B
= 13
36
,
1
2
2
1
4
1
4
1
1
(
3)
(
)
(
)
9
4
9
2
3
P
P A
B
P A
B
.
2
2
4
1
1
(
4)
(
)
9
4
9
P
P A
B
.
综上知有分布列
0
1
2
3
4
P
1/36
1/6
13/36
1/3
1/9
从而，的期望为
1
1
13
1
1
0
1
2
3
4
36
6
36
3
9
E
7
3
（株）
18、（本小题13 分）
解（Ⅰ）因
2
( )
(
0),
( )
2
f x
ax
bx
k k
f
x
ax
b
故
又
( )
f x 在x=0 处取得极限值，故
( )
0,
f
x
从而
0
b
由曲线y=
( )
f x 在（1，f（1））处的切线与直线
2
1
0
x
y
相互垂直可知
该切线斜率为2，即
(1)
2,
f
有2a=2, 从而a=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2
( )
(
0)
xe
g x
k
x
k
2
2
2
(
2
)
( )
(
0)
(
)
xe
x
x
k
g x
k
x
k
令
2
( )
0,
2
0
g x
x
x
k
有
（1）当
4
4
0,
k
即当k>1时，g( x) >0在R上恒成立，
故函数g( x) 在R上为增函数
（2）当
4
4
0,
k
即当k=1时，
2
2
2
(
1)
( )
0(
0)
(
)
xe
x
g x
x
x
k
K=1 时，g（x）在R 上为增函数
（3）
4
4
0,
k
即当0<k<1时，方程
2
2
0
x
x
k
有两个不相等实根
1
2
1
1
,
1
1
x
k x
k
当
(
,1
1
)
( )
0,
( )
,1
1
)
x
k
g x
g x
k
是
故
在（
上为增函数
当
1
1
,1
1
x
k
k
（
）时，
( )
0,
g x
故( )
1
1
,1
1
g x
k
k
在（
）上为减函数
1
1
x
k
（
，+ ）时，
( )
0,
g x
故( )
1
1
g x
k
在（
，+ ）上为增函数
（19）（本小题12 分）
解法一：
（Ⅰ）因为AD//BC,且
,
BC
BCS
平面
所以
//
,
AD
BCS
平面
从而A 点到平面BCS 的距离等
于D 点到平面BCS 的距离。
因为平面
,
CSD
ABCD
AD
CD
平面
，
故AD
CSD
平面
,从而AD
SD
，由AD//BC，
得
BC
DS
,又由CS
DS
知DS
BCS
平面
，从而DS 为点A 到平面BCS 的距离，因
此在Rt ADS
中
2
2
3 1
2
DS
AS
AD
(Ⅱ)如答（19）图1，过E 电作
,
EG
CD
交CD 于点G，又过G 点作GH
CD
,交AB 于H，故
EGH
为二面角E
CD
A
的平面角，记为，过E 点作EF//BC,交CS 于点F,连结GF,因
平面
,
,
ABCD
CSD GH
CD
GH
GF
平面
易知
,故
2
EGF
.
由于E 为BS 边中点，故
1
1
2
CF
CS
,在Rt CFE
中，
2
2
2 1
1
EF
CE
CF
,因EF
CSD
平面
，又EG
CD
故由三垂线定理的逆定理得FG
CD
, 从而又可得
,
CGF
CSD
:
因此GF
CF
DS
CD
而在Rt CSD
中，
2
2
4
2
6,
1
1
2
6
3
CD
CS
SD
CF
GF
DS
CD
故
在Rt FEG
中，tan
3
EF
EGF
FG
可得
3
EGF
，故所求二面角的大小为
6
解法二：
（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，
设
(
,
,
)
A
A
A
A x
y
z
，因平面
,
,
COD
ABCD AD
CD
AD
COD
平面
故
平面
即点A 在xoz 平面上，因此
0
1
A
A
y
z
AD
uuuv
，
又
2
2
21
3,
2
2 01
A
A
x
AS
x
A
uuv
从而（
，，）
因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS 与平面
yOx 重合，从而点A 到平面BCS 的距离为
2
A
x
.
(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E 为BS 的中点.
ΔBCS 为直角三角形 ,
知
2
2 2
BS
CE
uuv
uuv
设B(0,2,
B
Z )，
B
Z ＞0，则
A
Z ＝2，故B（0，2，2），所
以E（0，1，1） .
在CD 上取点G，设G（
1
1
,
,0
x y
），使GE⊥CD .
由
1
1
( 2, 2,0),
(
,
1,1),
0
CD
GE
x
y
CD GE
uuuv
uuuv
uuuv uuuv
故
1
1
2
2(
1)
0
x
y
①
又点G 在直线CD 上，即
//
CG
CD
uuuv
uuuv，由CG
uuuv =（
1
1
,
2,0
x y
），则有
1
1
2
2
2
x
y
②
联立①、②，解得G＝
2 4
(
,
,0)
3
3
,
故GE
uuuv=
2
2
(
,
,1)
3
3
.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A 的平面角为向量GE
uuuv与向量DA
uuuv所
成的角，记此角为 .
因为GE
uuuv = 2 3
3
，
(0,0,1),
1,
1
DA
DA
GE DA
uuuv
uuuv
uuuv uuuv
,所以
3
cos
2
GE DA
GE
DA
uuuv uuuv
uuuv uuuv
故所求的二面角的大小为 6
.
(20)（本小题12 分）
解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a ＞b＞ 0 ）.
设
2
2
c
a
b
，由准线方程
4 3
3
y
得.由
3
2
e
得
3
2
c
a
，解得 a = 2 ,c =
3 ，从而 b = 1，椭圆方程为
2
2
1
4
y
x
.
又易知C，D 两点是椭圆
2
2
1
4
y
x
的焦点，所
以,
2
4
MC
MD
a
从而
2
2
(
)
2
4
2
MC
MD
MC
MD
，当且
仅当MC
MD
，即点M 的坐标为( 1,0)
时上式取等
号，MC
MD
的最大值为4 .
（II）如图（20）图，设M(
,
), (
,
)
m
m
B
B
x
y
B x
y
(
,
)
Q
Q
Q x
y
.因为
(
,0),
N
N x
OM
ON
OQ
，故
2
,
,
Q
N
Q
M
x
x
y
y
2
2
2
(2
)
4
y
Q
Q
M
x
y
x
y
①
因为
0,
QA BA
(1
) (1
)
(1
)(1
)
0,
Q
Q
N
n
Q
N
Q
N
x
y
x
y
x
x
y y
所以
1
Q
N
Q
N
N
Q
x x
y y
x
x
. ②
记P 点的坐标为(
,
)
P
P
x
y
，因为P 是BQ 的中点
所以 2
,2
P
Q
P
P
Q
P
x
x
x
y
y
y
由因为
2
2
1
N
N
x
y
，结合①，②得
2
2
2
2
1 ((
)
(
) )
4
P
P
Q
N
Q
N
x
y
x
x
y
y
2
2
2
2
1 (
2(
))
4
Q
N
Q
n
Q
N
Q
N
x
x
y
y
x x
y y
1 (5
2(
1))
4
Q
N
x
x
3
4
P
x
故动点P 的估计方程为
2
2
1
(
)
1
2
x
y
（21）（本小题12 分）
解：（I）因
1
2009
2008
1006
,
,
,
,
a a
a
a
是公比为d 的等比数列，从而
2
2000
1
2008
1
,
a
a d a
a d
由
2009
2008
1
2008
2009
1
12
12
S
S
a
a
a
a
得
，故
解得
3
d
或
4
d （舍去）。因此
3
d
又
3
1
3
3
15
S
a
d
。解得
1
2
a
从而当
1005
n
时，
1
(
1)
2
3(
1)
3
1
na
a
n
d
n
n
当1006
2009
n
时，由
1
2009
2008
1006
,
,
,
,
a a
a
a
是公比为d 的等比数列得
2009 (
1)
2010
1
1
(1006
2009)
n
n
na
a d
a d
n
因此
2009
3
1,
1005
2 3
,1006
2009
n
n
n
n
a
n
（II）由题意
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1 1
1
2
(1
),
,
n
n
n
m
m
m
a
a
a
n
m a
a
a
a
a a
得
1
1
1 1
1
2
(1
),
n
n
n
m
m
m
a
a
a
n
m
a
a
a
a
a a
①
②
③
有①得
2
1
3
4
5
6
3
1
2
2
1
1
,
,
,
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
④
由①，②，③得
2
1
2
1
2
(
)
n
n
a a
a
a a
a
，
故
1
2
1
n
a a
a
. ⑤
又
2
1
3
1
1
1
1 (1
3)
r
r
r
r
r
r
r
a
a
a
r
m
a
a
a
a
，故有
6
3
1
(1
6)
r
r
r
a
a
r
m
a
.⑥
下面反证法证明：
6
m
k
若不然，设
6
,
1
5
m
k
p
p
其中
若取
1
p 即
6
1
m
k
，则由⑥得
6
1
1
m
k
a
a
a
，而由③得
1
1
1
2
2
,
,
m
a
a
a
a
a
a
故
得
2
1,
a
由②得
1
6
6
1
1
,
,
m
m
k
m
a
a
a
a
a
a
从而
而
1
6
1
2
2
,
1,
a
a
a
a
a
故
由④及⑥可推得
1
na （1
n
m
）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5 均可得
1
na （1
n
m
）与题设矛盾,因此
6
m
k
为6 的倍数
由均值不等式得
2
1
1
2
3
6
1
2
1
2
1
2
1
1
(
)
(
)
(
)
6
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
K
由上面三组数内必有一组不相等（否则
1
2
3
1
a
a
a
，从而
4
5
1
m
a
a
a
K
与题设矛
盾），故等号不成立，从而
1
2
3
6
6
a
a
a
a
K
又
6
m
k
，由④和⑥得
2
2
2
2
2
2
7
7
12
6
5
6
2
2
1
6
2
2
2
1
2
2
2
1
(
)
(
)
(
)
(
)
m
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
K
K
K
K
K
２
３
２
３
＝（k-1)
１
１
１
＝（k-1)
＋
＋
６( k-1)
因此由⑤得
2
2
1
2
3
6
7
1
2
3
6
6(
1)
6
m
m
a
a
a
a
a
a
k
k
m
ma a a
a
K
K
K
