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2010 年高考浙江卷理科数学试题及答案
源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com
部分（共
选择题
50 分）
参考公式：
如果事件A、B 互斥，那么 柱体的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，表示柱体的高
P(A·B)=P(A)·P(B) 锥体的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P，那么n
次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，表示锥体的高
球的表面积公式
台体的体积公式
球的体积公式
其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积
表示台体的高 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
（1）设
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设
为等比数列
的前项和，
，则
（A）11
（B）5
第1页 共23页
（C）-8
（D）-11
（4）设
，则“
”是“
”的
（A）充分而不必不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）对任意复数
为虚数单位，则下列结论正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是
（A）若
（B）若
（C）若
（D）若
（7）若实数
满足不等式组
且
的最大值为9，
则实数
（A）-2
（B）-1
（C）1
（D）2
（8）设F1，F2分别为双曲线
的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点
P，满足
，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲的渐近
线方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）设函数
，则在下列区间中函数
不存在零点的是
（A）[-4，-2]
（B）[-2，0]
（C）[0，2]
（D）[2，4]
（10）设函数的集合
，平面上点的
集合
，则在同一直角坐标系中，P 中函数
的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是
（A）4
（B）6
（C）8
（D）10
二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分。
第2页 共23页
（11）函数
的最小正周期是 。
（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3.
（13）设抛物线
的焦点为F，点
。若线段FA 的中点B 在抛物线上，则
B 到该抛物线准线的距离为 。
（14）设
=
，将
的最小值记为
，则
其
。
（15）设
为实数，首项为
，公差为的等差数列
的前项和为
，满足
则的取值范围是 。
（16 ）已知平面向量
满足
的夹角为120° 则
。
（17）有4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握
力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上
午不测“握力”项目，下午不测“台阶，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安
排方式共有种 （用数字作答）。
三、解答题：本大题共5 小题，共72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（18）（本题满分14 分）在
中，角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，已知
第3页 共23页
（I）求
的值；
（II）当a=2，
时，求b 及c 的长.
（19）（本题满分14 分）如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上面下落到A 或B 或C，已
知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。 某商家按上述投球方式
进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，
3 等奖.
（I）已知获得1，2，3 等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记
随机变量为获得
等奖的折扣率，求随机变
量的分布列及数学期望
（II）若有3 人次（投入1 球为1 人次）参加促销活动，记随机变
量为获得1 等奖或2 等奖的人次，求P（
）.
（20）（本题满分15 分）如图，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在线段AB，AD 上，AE=EB=AF=
沿直线EF 将
翻折成
使平面
平面BEF.
（I）求二面角
的余弦值；
（II）点M，N 分别在线段FD，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C
与
重合，求线段FM 的长.
第4页 共23页
A
B
C
D
A'
E
F
M
N
（21）（本题满分15 分）已知
，直线
椭圆
分
别为椭圆C 的左、右焦点.
（I）当直线过右焦点F2时，求直线的方程；
（II）设直线与椭圆C 交于A，B 两点，
，
的重心分别为G，H.若原点O 在以线段
GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
（22）（本题满分14 分）已知a 是给定的实常数，
设函数
是
的一个极大值点.
（I）求b 的取值范围;
（II）设
是
的3 个极值点，问是否存在实数b，可找到
，使得
的某种排列
（其中
）依次成等
差数列？若存在，示所有的b 及相应的
若不存在，说明理由.
第5页 共23页
A
B
o
y
x
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5 分，满分50 分。
（1）B
（2）A
（3）D
（4）B
（5）D
（6）B
（7）C
（8）C
（9）A
（10）B
（1）设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱
<4｝，则
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：
，可知B 正确，本题主要考察了集合的基
本运算，属容易题
（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位
（A） k＞4? （B）k＞5?
（C） k＞6? （D）k＞7?
解析：选A，本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的
简
单运算，属容易题
（3）设
为等比数列
的前
项和，
，则
（A）11 （B）5 （C）
（D）
解析：解析：通过
，设公比为，将该式转化为
，解得=-2，带入所
求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，
属中档题
（4）设
，则“
”是“
”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
第6页 共23页
解析：因为0＜x＜
，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x 与xsinx 的取值范围相同，
可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处
理不等关系的能力，属中档题
（5）对任意复数
，为虚数单位，则下列结论正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：可对选项逐个检查，A 项，
，故A 错，B 项，
，故B 错，C
项，
，故C 错，D 项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意
义，属中档题
（6）设，
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是
（A）若
，
，则
（B）若
，
，则
（C）若
，
，则
（D）若
，
，则
解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其
中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题
（7）若实数
，
满足不等式组
且
的最大值为9，则实数
（A）
（B）
（C）1 （D）2
解析：将最大值转化为y 轴上的截距，将m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题
主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档
题
（8）设
、
分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点
，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线
方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可
知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识
第7页 共23页
能力的考察，属中档题
（9）设函数
，则在下列区间中函数
不存在零点的是
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：将
的零点转化为函数
的交点，数形结合可知答案
选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想
和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题
（10）设函数的集合
，平面上点的
集合
，则在同一直角坐标系中，
中函数
的
图象恰好经过
中两个点的函数的个数是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=
,b=0; a=
,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意，故答案选B，本
题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高
要求，体现了对能力的考察，属中档题
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4 分，满分28 分。
（11）
（12）144
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）264
（11）函数
的最小正周期是__________________ .
第8页 共23页
解析：
故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相
关公式，属中档题
（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___________
.
解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中
所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达
示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题
（13）设抛物线
的焦点为
，点
.若线段
的中点
在抛物线上，
则
到该抛物线准线的距离为_____________。
解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为
，B 点坐标为（
）所以点B
到抛物线准线的距离为
，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题
（14）设
，将
的最小值记为
，则
其中
=_____.
解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题
14．
解析：本题考查了二项式定理、函数的单调性
＝
，当n 为偶数时，取k＝
，此时Tn＝0；当n 为奇数时，取k＝n，此时Tn
＝
－
第9页 共23页
观察条件，在
的情况下，当n 为偶数时， Tn＝0；当n 为奇数时， Tn＝
－
．故填
.
（15）设
为实数，首项为
，公差为
的等差数列
的前
项和为
，满足
，则
的取值范围是__________________ .
解析： 2a1
2＋9a1d＋10d2＋1＝0，此方程有解，所以△＝81d2－8(10d2＋1)＞0，得d＞2
或d
＜－2
（16）已知平面向量
满足
，且
与
的夹角为120°，则
的
取值范围是__________________ .
【答案】
【解析】利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，设
，
，如
图，由题意得：∠OAB＝60°，∴0°<∠OBA<120°，∴0<sin∠OBA≤1, 在三角形OAB 中，由正
弦定理：
，即
的取值范围是
。
【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化
能力和数形结合的能力，属中档题。
（17）有4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、
“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测
“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式
共有______________种（用数字作答）.
解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考
察，属较难题
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2010 年高考浙江理数学解析
第10页 共23页
一、选择题
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
答
案
1．B 解析：本题考查了集合的运算、不等式的解法
Q＝(－2，2)，故Q
P
2．A 解析：本题考查了流程图
k＝2，S＝4；k＝3，S＝11；k＝4，S＝26；k＝5，S＝57；
3．D 解析：本题考查了等比数列的通项、前n 项和公式
∵8a2＋a5＝0，∴q＝－2，∴
＝－11
4．B 解析：本题考查了充要条件的判定、不等式
xsinx＜1
xsin2x＜sinx＜1，反之不能，所以为必要不充分条件
5．D 解析：本题考查了复数的运算法则、几何意义
（A）
＝2
；（B）z2＝x2－y2＋2xyi；(C)由(A)知不好比较，故选D
6．B 解析：本题考查了线线关系、线面关系的判定
7．C 解析：本题考查了线性规划
作出可行域，因为有最大值，故m＞0，联立方程组，得交点为(
，
)，(
，
)，(
，
)，由
＋
＝9 得m＝1
8．C 解析：本题考查了双曲线的定义、解三角形
易知PF2＝4b，则4b－2c＝2a，又c2＝a2＋b2，得3b＝4a，故渐近线方程为4x±3y＝0
9．A 解析：本题考查了函数的零点，三角函数的图象与一次函数的交点问题，考查数形结合
能力与分析推理能力。
分别作出函数h（x）=x 与g（x）=4sin（2x+1）的图象，要使函数f（x）在区间中不存在零点，
即两函数h（x）=x 与g（x）=4sin（2x+1）的图象没有交点，故选A；
（10）设函数的集合
，
平面上点的集合
，则在同一直角坐标系中，
中函
第11页 共23页
数
的图象恰好经过
中两个点的函数的个数是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
10．B 本题考查了对数的计算、列举思想
a＝－
时，不符；a＝0 时，y＝log2x 过点(
，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1 符合；
a＝
时，y＝log2(x＋
)过点(0，－1)，(
，0)，此时b＝0，b＝1 符合；
a＝1 时，y＝log2(x＋1)过点(－
，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1 符合；共6 个
二、填空题
11． π 解析：本题考查了三角变换，周期
化简得f(x)＝sin(2x＋
)－
，故周期T＝
＝π
12．144 解析：本题考查了三视图、几何体的体积
由题意知该几何体由一个长方体和一个棱台构成，长方体体积为32，棱台上底边长为4，下
底边长8，高为3，体积为112，所以几何体体积为144
13．
解析：本题考查了中点坐标公式、抛物线的准线方程
由题意得B(
，1)在抛物线上，可知p＝
，B 到准线的距离为
p＝
14．
解析：本题考查了二项式定理、函数的单调性
＝
，当n 为偶数时，取k＝
，此时Tn＝0；当n 为奇数时，取k＝n，此时Tn
＝
－
15． (－∞，－2
∪2
，＋∞) 解析：2a1
2＋9a1d＋10d2＋1＝0，此方程有解，所以△＝
81d2－8(10d2＋1)＞0，得d＞2
或d＜－2
（16）已知平面向量
满足
，且
与
的夹角为120°，则
的
取值范围是__________________ .
【答案】
【解析】利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，
设
，
，如图，由题意得：∠OAB ＝60° ，
∴0°<∠OBA<120° ，∴0<sin∠OBA≤1, 在三角形OAB 中，由正弦定理：
第12页 共23页
，即
的取值范围是
。
【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化
能力和数形结合的能力，属中档题。
17．264【解析】本题考查了排列组合及其应用问题，关键是推理与分析的应用，以及分类讨论
思维等。
先安排4 位同学参加上午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”测试，共
有
种不同安排方式；接下来安排下午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、
“握力”测试，假设A、B、C 同学上午分别安排的是“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活
量”测试，若D 同学选择“握力”测试，安排A、B、C 同学分别交叉测试，有2 种；若D 同学
选择“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试中的1 种，有
种方式，安排A、B、C
同学进行测试有3 种；根据计数原理共有安排方式的种数为
（2+
×3）=264，故填264；
三、解答题：本大题共5 小题，共72 分。
（18）(本题满分l4 分)在△ABC 中,角A、B、C 所对的边分别为a,b,c，已知
(I)求sinC 的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（18）本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分
14 分。
（Ⅰ）解：因为
，及
第13页 共23页
所以
（Ⅱ）解：当
时，
由正弦定理
，得
由
及
得
由余弦定理
，得
解得
所以
（19）（19）(本题满分l4 分)如图，一个小球从M 处投入，通过管道自
上而下落A 或B 或C。已知小球从每个叉口落入左右两个
管道的可能性是相等的．
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落
到A，B，C，则分别设为l，2，3 等奖．
（I）已知获得l，2，3 等奖的折扣率分别为50％，70％，
90％．记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣
第14页 共23页
率，求随机变量的分布列及期望
；
(II)若有3 人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动，记随机
变量为获得1 等奖或2 等奖的人次，求
．
（19）本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时
考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14 分。
（Ⅰ）解：由题意得
的分布列为
50%
70%
90%
P
则
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1 等奖或2 等奖的概率为
由题意得
则
（20）（本题满分15 分）如图， 在矩形
中，点
分别在线段
上，
. 沿直线
将
翻折成
，使平面
.
第15页 共23页
A
B
C
D
A'
E
F
M
N
（Ⅰ）求二面角
的余弦值；
（Ⅱ）点
分别在线段
上，若沿直线
将四边形
向上翻折，使
与
重合，求线段
的长。
（20）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向中量的应用，同时考
查空间想象能力和运算求解能力。满分15 分。
方法一：
（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H，连结
因为
及H 是EF 的中点，
所以
又因为平面
平面BEF，及
平面
所以
平面BEF。
如图建立空间直角坐标系
则
故
设
为平面
的一个法向量
所以
取
又平面BEF 的一个法向量
故
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）解：设
第16页 共23页
A
B
C
D
A'
E
F
M
N
H
x
z
y
因为翻折后，C 与A 重合，所以CM=
故
，得
经检验，此时点N 在线段BG 上,所以
方法二：
（Ⅰ）解：取截段EF 的中点H，AF 的中点G，连结
，NH，GH
因为
及H 是EF 的中点，所以
H//EF。
又因为平面
EF
平面BEF，所以
H`
平面BEF，
又
平面BEF，
故
，
又因为G，H 是AF，EF 的中点，
易知GH//AB，
所以GH
，
于是
面
GH
所以
为二面角
—DF—C 的平面角，
在
中，
所以
故二面角
—DF—C 的余弦值为
。
（Ⅱ）解：设
，
因为翻折后，G 与
重合，所以
，
而
，得
经检验，此时点N 在线段BC 上，所以
第17页 共23页
A
B
C
D
A'
E
F
G
M
N
H
(21) （本题满分15 分）已知m＞1，直线
，椭圆
，
分
别为椭圆
的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点
时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆
交于
两点，
，
的重心分别为
.若原点
在以线段
为直径
的圆内，求实数
的取值范围.
（21）本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查
解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15 分
（Ⅰ）解：因为直线
经过
所以
又因为
所以
故直线的方程为
（Ⅱ）解：设
，
由
消去
得
则由
，
知
且有
第18页 共23页
A
B
o
y
x
A
B
o
y
x
由于
故O 为F1F2的中点，
由
，可知
设M 是GH 的中点，则
由题意可知，
好
即
而
所以
即
又因为
所以
所以
的取值范围是（1，2）。
第19页 共23页
(22)(本题满分14 分)已知
是给定的实常数，设函数
，
，
是
的一个极大值点．
(Ⅰ)求
的取值范围；
(Ⅱ)设
是
的3 个极值点，问是否存在实数
，可找到
，使得
的某种排列
(其中
=
)依次成等差数列?若存
在，求所有的
及相应的
；若不存在，说明理由．
（22）本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列基础知识，同时考
查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识，满分14 分。
（Ⅰ）解：
令
则
于是可设
是( )
0
g x
的两实根，且
（1）当
时，则
不是
的极值点，此时不合题意
（2）当
时，由于
是
的极大值点，
故
即
即
第20页 共23页
所以
所以
的取值范围是（-∞，
）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了
及
满足题意，则
（1）当
时，则
于是
即
此时
或
（2）当
时，则
①若
于是
即
于是
此时
②若
于是
即
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于是
此时
综上所述，存在
满足题意
当
当
当
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学理点评
今年的高考数学试题“题目新，难度大，综合程度强，能力要求高”。总体上还是比较稳
定，试题严格遵循浙江省普通高考考试说明，立意新，起步低，情景朴实，选题源于教材而又
高于教材，宽角度、高视点、多层次考查了数学理性思维。
总体稳定：体现了多题把关的命题特点
今年的数学试卷仍然采用前几年的一贯风格，设计为主观试题78 分、客观试题72 分的
题型和分值结构，保持了题量、题型和分值的相对稳定。
试卷以基础知识、基本方法为命题出发点，全面覆盖了数学的基本内容，重点内容常考
常新。很多题目都从简洁中体现常规，突出考查通性通法，淡化技巧。试题，继续保持多年来
多角度、多层次的考察方式，沿续往年的分布设问，分散难点的方法，体现了多题把关的命题
特点，选择题、填空题、解答题都有把关题。
体现创新：注重强调学生的数学理解能力
今年的数学试卷中还出现了很多新题，注重强调学生的数学理解能力，提高对数学阅读
能力的要求。今年的数学试卷，恰当地考查了学生的应用能力。第19 题概率统计题由往年的
摸球，简单的概率模型变化为今年的实际问题，而且情景具有公平性，这类问题考察学生对
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所提供的信息资料进行归纳、整理和分析，将实际问题抽象为数学问题，并能用数学语言正
确地表述，建立数学模型，应用相关的数学方法解决问题。
凸显能力：融入了新课程、新大纲理念
今年的数学试卷，很多题目融入了新课程、新大纲的理念，选材寓于教材又高于教材。每
道题都是新题，可谓题型出新，道道经典。解答题入手容易，但要深入则比较难。
挑战心态：考的还是一个战术技巧
今年的数学试卷在题型、题量、结构、内容分布、重点知识略有提高的基础上，在试题的
选材、情景、设问、编排等方面作了很大改进，尤其是在深化能力立意、突出数学内涵方面更
是迈出了新的步伐。试卷对学生面对新题及困难时的心态调整和战胜困难的数学素养，以及
意志品质等非智力因素提出了新的要求，也为今后数学的教与学提出了新的挑战。
考生答题时有两点很重要，一个是策略问题，一个是技巧问题。考试如同打仗一样，在战
略上要藐视敌人，在战术上又要重视敌人。在策略上，学生要树立信心。技巧方面，就是答题
要先易后难。今年的考题，难点比较分散，在选择填空部分，考生可能就遇到了不少难点，卡
壳几次，心态就会比较差，因此对考生的心理素质是个巨大的考验。比如选择题第4，9，10，
填空题第15，16，17，解答题第20，22 的第2 小题都是难点，答题时，要先解决相对容易的
题目，再集中精力突破难点，考试时间相对紧张，因此合理分配答题时间很重要。
源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com
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