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2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则z•
z
1=
﹣﹣
（ ）
A．﹣2i
B．﹣i
C．i
D．2i
2．（5 分）函数y=
（x≥0）的反函数为（ ）
A．y=
（x∈R）
B．y=
（x≥0）
C．y=4x2（x∈R）
D．y=4x2（x≥0）
3．（5 分）下面四个条件中，使a＞b 成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b
1
﹣
C．a2＞b2
D．a3＞b3
4．（5 分）设Sn为等差数列{an}的前n 项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2
S
﹣k=24，则k=（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
5．（5 分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移
个单位长度后，
所得的图象与原图象重合，则ω 的最小值等于（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
6．
（5 分）已知直二面角α
l
β
﹣﹣，点A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，
若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．1
7．（5 分）某同学有同样的画册2 本，同样的集邮册3 本，从中取出4 本赠送给4
位朋友，每位朋友1 本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4 种
B．10 种
C．18 种
D．20 种
8．（5 分）曲线y=e
2x
﹣+1 在点（0，2）处的切线与直线y=0 和y=x 围成的三角形的面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
9．
（5 分）设f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1
x
﹣），则
=
（ ）
第1页（共23页）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
10．（5 分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F，直线y=2x
4
﹣与C 交于A，B 两点，则
cos∠AFB=（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）已知平面α 截一球面得圆M，过圆心M 且与α 成60°二面角的平面β
截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（
）
A．7π
B．9π
C．11π
D．13π
12．（5 分）设向量，，满足| |=| |=1，
=﹣
，＜﹣，﹣＞=60°，则|
|的最大值等于（ ）
A．2
B．
C．
D．1
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在题中横线上.（注
意：在试题卷上作答无效）
13．（5 分）
的二项展开式中，x 的系数与x9的系数之差为 ．
14．（5 分）已知α∈（
，π），sinα=
，则tan2α= ．
15．
（5 分）已知F1、F2分别为双曲线C：
的左、右焦点，点A∈C，点M 的坐
标为（2，0），AM 为∠F1AF2的平分线，则|AF2|= ．
16．（5 分）已知E、F 分别在正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，
CF=2FC1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知A
C=
﹣
，a+c=
b，
求C．
第2页（共23页）
18．
（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保
险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；
（Ⅱ）X 表示该地的100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望
19．（12 分）如图，四棱锥S
ABCD
﹣
中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形，
AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小．
20．（12 分）设数列{an}满足a1=0 且
．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设
，记
，证明：Sn＜1．
第3页（共23页）
21．（12 分）已知O 为坐标原点，F 为椭圆C：
在y 轴正半轴上的焦点，过
F 且斜率为﹣
的直线l 与C 交于A、B 两点，点P 满足
．
（Ⅰ）证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上．
22．（12 分）（Ⅰ）设函数
，证明：当x＞0 时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1 到100 的100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式
连续抽取20 次，设抽到的20 个号码互不相同的概率为p ，证明：
．
第4页（共23页）
2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则z•
z
1=
﹣﹣
（ ）
A．﹣2i
B．﹣i
C．i
D．2i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】求出复数z 的共轭复数，代入表达式，求解即可．
【解答】解：=1
i
﹣，所以
=（1+i）（1
i
﹣）﹣1
i
1=
i
﹣﹣
﹣
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．
2．（5 分）函数y=
（x≥0）的反函数为（ ）
A．y=
（x∈R）
B．y=
（x≥0）
C．y=4x2（x∈R）
D．y=4x2（x≥0）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反
函数的定义域（即原函数的值域）．
【解答】解：∵y=
（x≥0），
∴x=
，y≥0，
故反函数为y=
（x≥0）．
故选：B．
【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定
第5页（共23页）
义域是原函数的值域．
3．（5 分）下面四个条件中，使a＞b 成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b
1
﹣
C．a2＞b2
D．a3＞b3
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推
不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．
【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；
反之，例如a=2，b=1 满足a＞b，但a=b+1 即a＞b 推不出a＞b+1，
故a＞b+1 是a＞b 成立的充分而不必要的条件．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．
4．（5 分）设Sn为等差数列{an}的前n 项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2
S
﹣k=24，则k=（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
【考点】85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先由等差数列前n 项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2
S
﹣k=24 转化为关于k 的方
程求解．
【解答】解：根据题意：
Sk+2=（k+2）2，Sk=k2
∴Sk+2
S
﹣k=24 转化为：
（k+2）2
k
﹣2=24
∴k=5
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思
第6页（共23页）
想，属中档题．
5．（5 分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移
个单位长度后，
所得的图象与原图象重合，则ω 的最小值等于（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】函数图象平移
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平
移整数个周期，容易得到结果．
【解答】解：f（x）的周期T=
，函数图象平移
个单位长度后，所得的图象与原
图象重合，说明函数平移整数个周期，所以
，k∈Z．令k=1，可得ω=6．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，
考查技术能力，常考题型．
6．
（5 分）已知直二面角α
l
β
﹣﹣，点A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，
若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．1
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．
【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D 到平面
ABC 的距离．
【解答】解：由题意画出图形如图：
直二面角α
l
β
﹣﹣，点A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，
第7页（共23页）
若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离转化为三棱锥D
ABC
﹣
的高为h，
所以AD=
，CD=
，BC=
由VB
ACD
﹣
=VD
ABC
﹣
可知
所以，h=
故选C．
【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是
求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．
7．（5 分）某同学有同样的画册2 本，同样的集邮册3 本，从中取出4 本赠送给4
位朋友，每位朋友1 本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4 种
B．10 种
C．18 种
D．20 种
【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分类计数问题，一是3 本集邮册一本画册，让一个人拿一本画
册有4 种，另一种情况是2 本画册2 本集邮册，只要选两个人拿画册C4
2种，根
据分类计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
一是3 本集邮册一本画册，从4 位朋友选一个有4 种，
另一种情况是2 本画册2 本集邮册，只要选两个人拿画册C4
2=6 种，
根据分类计数原理知共10 种，
故选：B．
【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空
中，也可以出现在解答题目的一部分中．
第8页（共23页）
8．（5 分）曲线y=e
2x
﹣+1 在点（0，2）处的切线与直线y=0 和y=x 围成的三角形的面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0 处的导数，从而求出切线的斜
率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y 轴和直线y=x 的交点，
根据三角形的面积公式求出所求即可．
【解答】解：∵y=e
2x
﹣+1∴y'=（﹣2）e
2x
﹣
∴y'|x=0=（﹣2）e
2x
﹣|x=0=
2
﹣
∴曲线y=e
2x
﹣+1 在点（0，2）处的切线方程为y
2=
2
﹣
﹣（x
0
﹣）即2x+y
2=0
﹣
令y=0 解得x=1，令y=x 解得x=y=
∴切线与直线y=0 和y=x 围成的三角形的面积为
×1×
=
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的
应用等有关问题，属于基础题．
9．
（5 分）设f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1
x
﹣），则
=
（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意得
=f（﹣
）=
f
﹣（
），代入已知条件进行运算．
第9页（共23页）
【解答】解：∵f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1
x
﹣），
∴
=f（﹣
）=
f
﹣（
）=
2
﹣×
（1﹣
）=﹣
，
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．
10．（5 分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F，直线y=2x
4
﹣与C 交于A，B 两点，则
cos∠AFB=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x 的焦点为F，直线y=2x
4
﹣与C 交于A，B 两点，
我们可求出点A，B，F 的坐标，进而求出向量
，的坐标，进而利用求向量夹
角余弦值的方法，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线C：y2=4x 的焦点为F，
∴F 点的坐标为（1，0）
又∵直线y=2x
4
﹣与C 交于A，B 两点，
则A，B 两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），
则
=（0，﹣2），
=（3，4），
则cos∠AFB=
=
=﹣
，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向
量法处理是解答本题的重要技巧．
11．（5 分）已知平面α 截一球面得圆M，过圆心M 且与α 成60°二面角的平面β
截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（
）
第10页（共23页）
A．7π
B．9π
C．11π
D．13π
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出求出OM 的长，找出二面角的
平面角，从而求出ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆N 的半径，从而求
出面积．
【解答】解：∵圆M 的面积为4π
∴圆M 的半径为2
根据勾股定理可知OM=
∵过圆心M 且与α 成60°二面角的平面β 截该球面得圆N
∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN 中，ON=
∴圆N 的半径为
则圆的面积为13π
故选：D．
【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象
能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．
12．（5 分）设向量，，满足| |=| |=1，
=﹣
，＜﹣，﹣＞=60°，则|
|的最大值等于（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用向量的数量积求出
的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合
第11页（共23页）
图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出
最大值．
【解答】解：∵
，
∴
的夹角为120°，
设
，
则
；
=
如图所示
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠ACB=180°
∴A，O，B，C 四点共圆
∵
∴
∴
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=
当OC 为直径时，模最大，最大为2
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三
角形的正弦定理．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在题中横线上.（注
意：在试题卷上作答无效）
13．（5 分）
的二项展开式中，x 的系数与x9的系数之差为
0
．
第12页（共23页）
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数分别取1，9 求出x 的系
数与x9的系数；求出值．
【解答】解：展开式的通项为
令
得r=2；令
得r=18
∴x 的系数与x9的系数C20
2，C20
18
∴x 的系数与x9的系数之差为C20
2
C
﹣
20
18=0
故答案为：0
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
14．（5 分）已知α∈（
，π），sinα=
，则tan2α= ﹣
．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用题目提供的α 的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后
利用二倍角的正切求得tan2α．
【解答】解：由α∈（
，π），sinα=
，得cosα=﹣
，tanα=
=
∴tan2α=
=﹣
故答案为：﹣
【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．
15．
（5 分）已知F1、F2分别为双曲线C：
的左、右焦点，点A∈C，点M 的坐
标为（2，0），AM 为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=
6
．
第13页（共23页）
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条
焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出
焦半径．
【解答】解：
不妨设A 在双曲线的右支上
∵AM 为∠F1AF2的平分线
∴
=
又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6
解得|AF2|=6
故答案为6
【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双
曲线的定义．
16．（5 分）已知E、F 分别在正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，
CF=2FC1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于
．
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．
【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE 交点为S 连接AS，过B 作BP⊥AS
连接PE，所以面AEF 与面ABC 所成的二面角就是：∠BPE，求出BP 与正方体的
棱长的关系，然后求出面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值．
【解答】解：由题意画出图形如图：
因为E、F 分别在正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，
延长CB、FE 交点为S 连接AS，过B 作BP⊥AS 连接PE，所以面AEF 与面ABC 所成
的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，
第14页（共23页）
所以BE：CF=1：2
所以SB：SC=1：2，
设正方体的棱长为：a，所以AS=
a，BP=
，BE=
，在RT△PBE 中，tan∠EPB=
=
=
，
故答案为：
【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够
作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知A
C=
﹣
，a+c=
b，
求C．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由A
C
﹣等于
得到A 为钝角，根据诱导公式可知sinA 与cosC 相等，然后
利用正弦定理把a+c=
b 化简后，把sinA 换为cosC，利用特殊角的三角函数值
和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除
第15页（共23页）
以
后，根据C 和B 的范围，得到C+
=B 或C+
+B=π，根据A 为钝角，所以
C+
+B=π 不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C 的方程，求
出方程的解即可得到C 的度数．
【解答】解：由A
C=
﹣
，得到A 为钝角且sinA=cosC，
利用正弦定理，a+c=
b 可变为：sinA+sinC=
sinB，
即有sinA+sinC=cosC+sinC=
sin（C+
）=
sinB，
又A，B，C 是△ABC 的内角，
故C+
=B 或C+
+B=π（舍去），
所以A+B+C=（C+
）+（C+
）+C=π，
解得C=
．
【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正
弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理
及角度范围的运用．
18．
（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保
险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；
（Ⅱ）X 表示该地的100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量
的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求
出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种
保险中的1 种的概率即可．
第16页（共23页）
（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X 服
从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．
【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1
0.5
﹣
）=0.3，故P=0.6，
该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1
0.5
﹣
）（1
0.6
﹣
）=0.2，
由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率1
0.2=0.8
﹣
（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）
所以EX=100×0.2=20
【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等
知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．
19．（12 分）如图，四棱锥S
ABCD
﹣
中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形，
AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD 垂直于面SAB 中两条相交的直
线SA，SB；在证明SD 与SA，SB 的过程中运用勾股定理即可
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小即利用平面SBC 的法向量
，当
为锐角时，所求的角即为它的余
角；当
为钝角时，所求的角为
【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1
第17页（共23页）
∴AD=
=
∵侧面SAB 为等边三角形，AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD2=SA2+SD2
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB
∴SD⊥平面SAB
（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系
则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S 在底面上的投影M，则由四棱锥S
ABCD
﹣
中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB
为等边三角形知，M 点一定在x 轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=
，从
而解得SM=
，故可得S（
，0，
）
则
设平面SBC 的一个法向量为
则
，
即
取x=0，y=
，z=1
即平面SBC 的一个法向量为
=（0，
，1）
又
=（0，2，0）
第18页（共23页）
cos＜
，＞=
=
=
∴＜
，＞=arccos
即AB 与平面SBC 所成的角的大小为arcsin
【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量
的基本知识，属于中档题．
20．（12 分）设数列{an}满足a1=0 且
．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设
，记
，证明：Sn＜1．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）由
是公差为1 的等差数列，知
，
由此能求出{an}的通项公式．
（Ⅱ）由
=
=
，能够证明Sn＜1．
【解答】解：（Ⅰ）
是公差为1 的等差数列，
第19页（共23页）
，
∴
（n∈N*）．
（Ⅱ）
=
=
，
∴
=1﹣
＜1．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
21．（12 分）已知O 为坐标原点，F 为椭圆C：
在y 轴正半轴上的焦点，过
F 且斜率为﹣
的直线l 与C 交于A、B 两点，点P 满足
．
（Ⅰ）证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．
【分析】（1）要证明点P 在C 上，即证明P 点的坐标满足椭圆C 的方程
，
根据已知中过F 且斜率为﹣
的直线l 与C 交于A、B 两点，点P 满足
，我们求出点P 的坐标，代入验证即可．
（2）若A、P、B、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，
然后将第四点坐标代入验证即可．
第20页（共23页）
【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
椭圆C：
①，则直线AB 的方程为：y=﹣
x+1 ②
联立方程可得4x2
2
﹣
x
1=0
﹣
，
则x1+x2=
，x1×x2=﹣
则y1+y2=﹣
（x1+x2）+2=1
设P（p1，p2），
则有：
=（x1，y1），
=（x2，y2），
=（p1，p2）；
∴
+
=（x1+x2，y1+y2）=（
，1）；
=（p1，p2）=﹣（
+
）=（﹣
，﹣1）
∴p 的坐标为（﹣
，﹣1）代入①方程成立，所以点P 在C 上．
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上．
设线段AB 的中点坐标为（
，
），即（
，
），
则过线段AB 的中点且垂直于AB 的直线方程为：y﹣
=
（x﹣
），即y=
x+
；③
∵P 关于点O 的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ 的中点，
则过线段PQ 的中点且垂直于PQ 的直线方程为：y=﹣
x ④；
③④联立方程组，解之得：x=﹣
，y=
③④的交点就是圆心O1（﹣
，
），
r2=|O1P|2=（﹣
﹣（﹣
））2+（﹣1﹣
）2=
第21页（共23页）
故过P Q 两点圆的方程为：（x+
）2+（y﹣
）2=
…⑤，
把y=﹣
x+1 …②代入⑤，
有x1+x2=
，y1+y2=1
∴A，B 也是在圆⑤上的．
∴A、P、B、Q 四点在同一圆上．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中
判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．
22．（12 分）（Ⅰ）设函数
，证明：当x＞0 时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1 到100 的100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式
连续抽取20 次，设抽到的20 个号码互不相同的概率为p ，证明：
．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0 时，f（x）＞0，由于f（0）=0 利用函数的单调性，只须证
明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于
0 时原函数单调递减即可得到答案．
（Ⅱ）先计算概率P=
，再证明
＜
＜
，即证明
99×98×…×81＜（90）19，最后证明
＜e
2
﹣，即证
＞e2，即证19ln
＞2，即证ln
，而这个结论由（1）所得结论可得
【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=
，
第22页（共23页）
∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，
∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，
∴当x＞0 时，f（x）＞f（0）=0．
即当x＞0 时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1 到100 的100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20
次，则抽得的20 个号码互不相同的概率为P=
，要证P＜
＜
．
先证：P=
＜
，即证
＜
即证99×98×…×81＜（90）19
而99×81=（90+9）×（90
9
﹣）=902
9
﹣
2＜902
98×82=（90+8）×（90
8
﹣）=902
8
﹣
2＜902…
91×89=（90+1）×（90
1
﹣）=902
1
﹣
2＜902
∴99×98×…×81＜（90）19
即P＜
再证：
＜e
2
﹣，即证
＞e2，即证19ln
＞2，即证ln
＞
由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣
，当x＞0 时，f（x）＞0．
令x=
，则ln（1+
）﹣
=ln（1+
）﹣
＞0，即ln
＞
综上有：P＜
＜
【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运
算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导
数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力
第23页（共23页）
