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2011 年浙江省高考数学试卷和答案（理科）
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1、（2011•浙江）设函数f（x）=
，若f（a）=4，则实数a=（ ）
A、﹣4 或﹣2
B、﹣4 或2
C、﹣2 或4
D、﹣2 或2
2、（2011•浙江）把复数z 的共轭复数记作，i 为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）• =（ ）
A、3
i
﹣
B、3+i
C、1+3i
D、3
3、（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、（2011•浙江）下列命题中错误的是（ ）
A、如果平面α⊥平面β，那么平面α 内一定存在直线平行于平面β
B、如果平面α 不垂直于平面β，那么平面
α 内一定不存在直线垂直于平面β
C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D、如果平面α⊥平面β，那么平面α 内所有直
线都垂直于平面β
5、（2011•浙江）设实数x、y 满足不等式组
，若x、y 为整数，则3x+4y 的最小值是（ ）
A、14
B、16
C、17
D、19
6、（2011•浙江）若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）= ，cos（﹣）=
，则cos（α+ ）=（ ）
A、
B、﹣
C、
D、﹣
7、（2011•浙江）若a、b 为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（ ）
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
8、（2011•浙江）已知椭圆
的离心率e= ，则k 的值为（ ）
A、4 或
B、4
C、4 或﹣
D、﹣
9、（2011•浙江）有5 本不同的书，其中语文书2 本，数学书2 本，物理书1 本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，
2
则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）
A、
B、
C、
D、
10、
（2011•浙江）设a，b，c 为实数，f（x）=（x+a）
（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）
（cx2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x R}
∈
，T={x|g
（x）=0，x R}
∈
．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A、{S}=1 且{T}=0
B、{S}=1 且{T}=1
C、{S}=2 且{T}=2
D、{S}=2 且{T}=3
二、填空题（共7 小题，每小题4 分，满分28 分）
11、（2011•浙江）若函数f（x）=x2
|x+a|
﹣
为偶函数，则实数a=
_________
．
12、（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是
_________
．
13、（2011•浙江）若二项式（x﹣
）n（a＞0）的展开式中x 的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a 的值是
_________
．
14、（2011•浙江）若平面向量α，β 满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β 为邻边的平行四边形的面积为，则α 和β 的夹角
θ 的范围是
_________
．
3
15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面
试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试
的公司个数．若P（X=0）=
，则随机变量X 的数学期望E（X）=
_________
．
16、（2011•浙江）设x，y 为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y 的最大值是
_________
．
17、（2011•浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为
_________
．
三、解答题（共5 小题，满分72 分）
18、（2011•浙江）在△ABC 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p R
∈）．且ac= b2．
（Ⅰ）当p= ，b=1 时，求a，c 的值；
（Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围．
19、（2011•浙江）已知公差不为0 的等差数列{an}的首项a1为a（a R
∈）设数列的前n 项和为Sn，且
，，成等比数
列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn；
（Ⅱ）记An=
+
+
+…+
，Bn=
+
+…+
，当a≥2 时，试比较An与Bn的大小．
20、（2011•浙江）如图，在三棱锥P
ABC
﹣
中，AB=AC，D 为BC 的中点，PO⊥平面ABC，垂足O 落在线段AD 上，已知
BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP BC
⊥
；
（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M，使得二面角A
MC
β
﹣
﹣为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．
4
21、（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y
4
﹣）2=1 的圆心为点M
（Ⅰ）求点M 到抛物线C1的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线C1上一点（异于原点），过点P 作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B 两点，若过M，P 两点
的直线l 垂足于AB，求直线l 的方程．
22、（2011•浙江）设函数f（x）=（x
a
﹣）2lnx，a R
∈
（Ⅰ）若x=e 为y=f（x）的极值点，求实数a；
（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x∈（0，3a]，恒有f（x）≤4e2成立．
注：e 为自然对数的底数．
5
答案
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1、（2011•浙江）设函数f（x）=
，若f（a）=4，则实数a=（ ）
A、﹣4 或﹣2
B、﹣4 或2
C、﹣2 或4
D、﹣2 或2
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。
专题：计算题。
分析：分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0 与a＞0 两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造
关于a 的方程，解方程即可求出满足条件 的a 值．
解答：解：当a≤0 时
若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=
4
﹣
当a＞0 时
若f（a）=4，则a2=4，解得a=2 或a=
2
﹣（舍去）
故实数a=
4
﹣或a=2
故选B
点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：
分段函数的定义域、值域是各段上x、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数
的最大值，是各段上最大值中的最大者．
2、（2011•浙江）把复数z 的共轭复数记作，i 为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）• =（ ）
A、3
i
﹣
B、3+i
C、1+3i
D、3
考点：复数代数形式的混合运算。
专题：计算题。
分析：求出，然后代入（1+z）• ，利用复数的运算法则展开化简为：a+bi（a，b R
∈）的形式，即可得到答案．
解答：解：∵复数z=1+i，i 为虚数单位，=1
i
﹣，则（1+z）• =（2+i）（1
i
﹣）=3
i
﹣
故选 A．
点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数，考查计算能力，是基础题，常考题型．
6
3、（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）
A、
B、
C、
D、
考点：由三视图还原实物图。
分析：根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将
几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．
解答：解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形
故该几何体上部分是一个三棱柱
下部分是三个矩形
故该几何体下部分是一个四棱柱
故选D
点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有
两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和
一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则
该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果
三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．
4、（2011•浙江）下列命题中错误的是（ ）
A、如果平面α⊥平面β，那么平面α 内一定存在直线平行于平面β
B、如果平面α 不垂直于平面β，那么平面
α 内一定不存在直线垂直于平面β
C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D、如果平面α⊥平面β，那么平面α 内所有直
线都垂直于平面β
考点：平面与平面垂直的性质。
专题：常规题型。
分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A 注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B 反
证法即可获得解答；C 利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解
答；D 结合实物举反例即可．
解答：解：由题意可知：
7
A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；
B、假若平面α 内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；
C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β 内作异于l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平
行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l 平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一
条也垂直于平面，故命题成立；
D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．
故选D．
点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定
义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．
5、（2011•浙江）设实数x、y 满足不等式组
，若x、y 为整数，则3x+4y 的最小值是（ ）
A、14
B、16
C、17
D、19
考点：简单线性规划。
专题：计算题。
分析：本题考察的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件
的平面区域，然
后分析平面区域里各个整点，然后将其代入3x+4y 中，求出3x+4y 的最小值．
解答：解：依题意作出可行性区域
如图，目标函数z=3x+4y 在点（4，1）处取到最小值z=16．
故选B．
8
点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域②求出可行域各个角点的
⇒
坐标③将坐标逐一代入目标函数
④验证，求出最优解．
⇒
⇒
6、（2011•浙江）若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）= ，cos（﹣）=
，则cos（α+ ）=（ ）
A、
B、﹣
C、
D、﹣
考点：三角函数的恒等变换及化简求值。
专题：计算题。
分析：先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+ ）=cos[（+α）﹣（﹣
）]通过余弦的两角和公式求得答案．
解答：解：∵0＜a＜，﹣＜β＜0，
9
∴＜+α＜
，＜﹣＜
sin
∴
（+α）=
=
，sin（﹣）=
=
cos
∴
（α+ ）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=
故选C
点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos（α+ ）=cos[（+α）﹣（﹣）]，巧妙利用两
角和公式进行求解．
7、（2011•浙江）若a、b 为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（ ）
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式。
专题：计算题。
分析：因为“0＜ab＜1” “a
⇒
＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或
“b＞”的充分而不必要条件．
解答：解：∵a、b 为实数，0＜ab＜1，
10
“0
∴
＜a＜”或“0＞b＞”
“0
∴
＜ab＜1” “a
⇒
＜”或“b＞”．
“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．
故选A．
点评：本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意基本不等式的合理运用．
8、（2011•浙江）已知椭圆
的离心率e= ，则k 的值为（ ）
A、4 或
B、4
C、4 或﹣
D、﹣
考点：椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合。
专题：计算题。
分析：分椭圆的焦点在x 轴时和椭圆的焦点在y 轴时两种情况进行讨论，分别表示出椭圆的离心率求得k．
解答：解：当椭圆的焦点在x 轴时，a2=k+8，b2=9
c
∴2=k
1
﹣，由e= 求得k=4，
当椭圆的焦点在y 轴时，b2=k+8，a2=9
11
c
∴2=1
k
﹣，
= ，求得k=﹣
故选C．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为1+k 与9 的大小关系不定，所以椭
圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．
9、（2011•浙江）有5 本不同的书，其中语文书2 本，数学书2 本，物理书1 本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，
则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）
A、
B、
C、
D、
考点：等可能事件的概率。
专题：计算题。
分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5 本书随机的摆到一个书架上，共有A5
5种结果，满足
条件的事件是同一科目的书都不相邻，共有C2
1A2
2A3
3种结果，得到概率．
解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是把5 本书随机的摆到一个书架上，共有A5
5=120 种结果，
下分类研究同类数不相邻的排法种数
假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4×2×2×2×1=32 种可能；
假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有4×1×2×1×1=8 种可能；
假设第一本是物理书，则有1×4×2×1×1=8 种可能．
∴同一科目的书都不相邻的概率P=
，
故选B．
点评：本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题是浙江卷理科的一道选择题目，这种题目可以作为选择或填
空出现，也可以作为一道解答题目出现．
10、
（2011•浙江）设a，b，c 为实数，f（x）=（x+a）
（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）
（cx2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x R}
∈
，T={x|g
（x）=0，x R}
∈
．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A、{S}=1 且{T}=0
B、{S}=1 且{T}=1
12
C、{S}=2 且{T}=2
D、{S}=2 且{T}=3
考点：集合的包含关系判断及应用。
专题：计算题。
分析：通过给a，b，c 赋特值，得到A，B，C 三个选项有正确的可能，故本题可以通过排除法得到答案．
解答：解：∵f（x）=（x+a）（x2+bx+c），当f（x）=0 时至少有一个根x=
a
﹣
当b2
4c=0
﹣
时，f（x）=0 还有一根
只要b≠
2a
﹣
，f（x）=0 就有2 个根；当b=
2a
﹣
，f（x）=0 是一个根
当b2
4c
﹣
＜0 时，f（x）=0 只有一个根；
当b2
4c
﹣
＞0 时，f（x）=0 只有二个根或三个根
当a=b=c=0 时{S}=1，{T}=0
当a＞0，b=0，c＞0 时，{S}=1 且{T}=1
当a=c=1，b=
2
﹣时，有{S}=2 且{T}=2
故选D
点评：本题考查解决选择题时，常通过举特例，利用排除法将一定不正确的选项排除，从而选出正确选项，排除法是
解决直接求解有困难的选择题的一个好方法，合理恰当的运用，可以提高解题的速度．
二、填空题（共7 小题，每小题4 分，满分28 分）
11、（2011•浙江）若函数f（x）=x2
|x+a|
﹣
为偶函数，则实数a=
0
．
考点：偶函数。
专题：计算题。
分析：根据f（x）为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出a 的值．
解答：解：∵f（x）为偶函数
f
∴（﹣x）=f（x）恒成立
即x2
|x+a|=x
﹣
2
|x
a|
﹣
﹣
恒成立
即|x+a|=|x
a|
﹣
恒成立
所以a=0
故答案为：0
点评：本题考查偶函数的定义：f（x）=f（﹣x）对于定义域内的x 恒成立．
12、（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是
5
．
13
考点：程序框图。
专题：图表型。
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出k 值．
模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．
解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
第一圈 k=3 a=43b=34
第二圈 k=4 a=44b=44
第三圈 k=5 a=45b=54
此时a＞b，退出循环，k 值为5
故答案为：5．
点评：对于流程图处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析
出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）②建立数学模型，根据第一
⇒
步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
13、（2011•浙江）若二项式（x﹣
）n（a＞0）的展开式中x 的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a 的值是
2
．
考点：二项式系数的性质。
专题：计算题。
分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数为1，0 求出A，B；列出方程求出a．
解答：解：展开式的通项为
14
令
得r=
所以A=
令
得
所以B=
B=4A
∵
∴
解得a=2
故答案为：2
点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
14、（2011•浙江）若平面向量α，β 满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β 为邻边的平行四边形的面积为，则α 和β 的夹角
θ 的范围是
[30°
，
150°]
．
考点：数量积表示两个向量的夹角。
专题：计算题。
分析：根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示
出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角．
解答：解：∵|
||
|sinθ=
sinθ=
∴
，
15
|
∵
|=1，|
|≤1，
sinθ
∴
，
θ
[0
∵∈
，π]
θ [30°
∴∈
，150°]，
故答案为：[30°，150°]，或[
]，
点评：本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简单的综合
题目．
15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面
试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试
的公司个数．若P（X=0）=
，则随机变量X 的数学期望E（X）= ．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。
专题：计算题。
分析：根据该毕业生得到面试的机会为0 时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X 的可能取值，结
合变量对应的事件写出概率和做出期望．
解答：解：由题意知X 为该毕业生得到面试的公司个数，则X 的可能取值是0，1，2，3，
P
∵（X=0）=
，
∴
，
16
p=
∴
，
p（x=1）=
+
=
P（X=2）=
=
，
p（x=3）=1﹣
=
，
EX=
∴
= ，
故答案为：
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础题
目．
16、（2011•浙江）设x，y 为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y 的最大值是
．
考点：基本不等式。
专题：计算题；转化思想。
分析：设t=2x+y，将已知等式用t 表示，整理成关于x 的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t 的范围，
求出2x+y 的最大值．
解答：解：∵4x2+y2+xy=1
∴（2x+y）2
3xy=1
﹣
令t=2x+y 则y=t
2x
﹣
t
∴2
3
﹣（t
2x
﹣
）x=1
即6x2
3tx+t
﹣
2
1=0
﹣
17
=9t
∴△
2
24
﹣
（t2
1
﹣）=
15t
﹣
2+24≥0
解得
2x+y
∴
的最大值是
故答案为
点评：本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定．
17、（2011•浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为
．
考点：椭圆的简单性质。
专题：计算题。
分析：根据题意分别表示出椭圆的焦距和准线间的距离的三分之一，建立等式求得a 和c 的关系，则椭圆的离心率可
得．
解答：解：∵2c=
×2×
3c
∴
2=a2，
e=
∴
=
故答案为：
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列
含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．
三、解答题（共5 小题，满分72 分）
18、（2011•浙江）在△ABC 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p R
∈）．且ac= b2．
18
（Ⅰ）当p= ，b=1 时，求a，c 的值；
（Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a 和c 的值．
（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b 和c 的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB 的范围确定p2的范围，进而确
定pd 范围．
解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得
故可知a，c 为方程x2﹣x+ =0 的两根，
进而求得a=1，c= 或a= ，b=1
（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2
2accosB=
﹣
（a+c）2
2ac
2accosB=p
﹣
﹣
2b2﹣b2cosB﹣
，
即p2= + cosB，
因为0＜cosB＜1，
所以p2∈（，2），由题设知p＞0，所以
＜p＜
点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．
19
19、（2011•浙江）已知公差不为0 的等差数列{an}的首项a1为a（a R
∈）设数列的前n 项和为Sn，且
，，成等比数
列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn；
（Ⅱ）记An=
+
+
+…+
，Bn=
+
+…+
，当a≥2 时，试比较An与Bn的大小．
考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n 项的和可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的an和Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn，最后对a＞0 和a＜0 两种情
况分情况进行比较．
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由（
）2=
•
，
得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为d≠0，所以d=a1=a
所以an=na，Sn=
（Ⅱ）解：∵
= （﹣
）
A
∴
n=
+
+
+…+
= （1﹣
）
∵
=2n
1
﹣a，所以
20
Bn=
+
+…+
= •
= •（1﹣
）
当n≥2 时，2n=Cn
0+Cn
1+…+Cn
n＞n+1，即1﹣
＜1﹣
所以，当a＞0 时，An＜Bn；当a＜0 时，An＞Bn．
点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查了
基础知识的运用．
20、（2011•浙江）如图，在三棱锥P
ABC
﹣
中，AB=AC，D 为BC 的中点，PO⊥平面ABC，垂足O 落在线段AD 上，已知
BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP BC
⊥
；
（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M，使得二面角A
MC
β
﹣
﹣为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．
考点：直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题。
分析：以O 为原点，以AD 方向为Y 轴正方向，以射线OP 的方向为Z 轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体
中各个顶点的坐标．
（I）我们易求出
，
的坐标，要证明AP BC
⊥
，即证明
•
=0；
（II）要求满足条件使得二面角A
MC
β
﹣
﹣为直二面角的点M，即求平面BMC 和平面APC 的法向量互相垂直，由此求
出M 点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM 的长．
解答：解：以O 为原点，以AD 方向为Y 轴正方向，以射线OP 的方向为Z 轴正方向，建立空间坐标系，
则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）
（I）则
=（0，3，4），
=（﹣8，0，0）
由此可得
•
=0
21
∴
⊥
即AP BC
⊥
（II）设
=λ
，λ≠1，则
=λ（0，﹣3，﹣4）
=
+
=
+λ
=（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）
=（﹣4，5，0），
=（﹣8，0，0）
设平面BMC 的法向量
=（a，b，c）
则
令b=1，则
=（0，1，
）
平面APC 的法向量
=（x，y，z）
则
即
22
令x=5
则
=（5，4，﹣3）
由
=0
得4
3
﹣
=0
解得λ=
故AM=3
综上所述，存在点M 符合题意，此时AM=3
点评：本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，
然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等0 是解答本题的关键．
21、（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y
4
﹣）2=1 的圆心为点M
（Ⅰ）求点M 到抛物线C1的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线C1上一点（异于原点），过点P 作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B 两点，若过M，P 两点
的直线l 垂足于AB，求直线l 的方程．
考点：圆与圆锥曲线的综合。
专题：综合题。
23
分析：
（I）由题意抛物线C1：x2=y，可以知道其准线方程为
，有圆C2：x2+（y
4
﹣）2=1 的方程可以知道圆心坐
标为（0，4），所求易得到所求的点到线的距离；
（II）由于已知点P 是抛物线C1上一点（异于原点），所以可以设出点P 的坐标，利用过点P 作圆C2的两条切线，交抛物
线C1于A，B 两点，也可以设出点A，B 的坐标，再设出过P 的圆C2的切线方程，利用交与抛物线C2两点，联立两个方
程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的MP AB
⊥
，得到方程进而求解．
解答：解：（I）由题意画出简图为：
由于抛物线C1：x2=y，
利用抛物线的标准方程易知其准线方程为：y=﹣，
利用圆C2：x2+（y
4
﹣）2=1 的方程得起圆心M（0，4），
利用点到直线的距离公式可以得到距离为
．
（II）设点P（x0，x0
2），A（x1，x1
2），B（x2，x2
2）；
由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，
设过点P 的圆c2的切线方程为：y
x
﹣0
2=k（x
x
﹣0）即y=kx
kx
﹣
0+x0
2①
则
，即（x0
2
1
﹣）k2+2x0（4
x
﹣0
2）k+（x0
2
4
﹣）2
1=0
﹣
，
设PA，PB 的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，
∴
，
；
代入①得：x2
kx+kx
﹣
0
x
﹣0
2=0 则x1，x2应为此方程的两个根，
故x1=k1
x
﹣0，x2=k2
x
﹣0
24
k
∴AB=x1+x2=k1+k2
2x
﹣
0=
由于MP AB
⊥
，∴kAB•KMP=
1
﹣⇒
故P
∴
．
点评：此题重点考查了抛物线即圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整体
代换，进而解出点的坐标，理应直线与圆相切得到要求的直线方程．
22、（2011•浙江）设函数f（x）=（x
a
﹣）2lnx，a R
∈
（Ⅰ）若x=e 为y=f（x）的极值点，求实数a；
（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x∈（0，3a]，恒有f（x）≤4e2成立．
注：e 为自然对数的底数．
考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用。
专题：计算题。
分析：（I）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e 代入等于0，求出a，再将a 的值代入检验．
（II）对a 分类讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e2，解不等式求出a 的范围．
解答：解：（I）求导得f′（x）=2（x
a
﹣）lnx+
=（x
a
﹣）（2lnx+1﹣），
因为x=e 是f（x）的极值点，
所以f′（e）=0
25
解得a=e 或a=3e．
经检验，符合题意，
所以a=e，或a=3e
（II）①当0＜3a≤1 时，对于任意的实数x∈（0，3a]，恒有f（x）≤0＜4e2成立，即0＜a≤符合题意
②当3a＞1 时即a＞时，由①知，x∈（0，1]时，不等式恒成立，故下研究函数在（1，3a]上的最大值，
首先有f（3a）=（3a
a
﹣）2ln3a=4a2ln3a 此值随着a 的增大而增大，故应有
4a2ln3a≤4e2即a2ln3a≤e2，
故参数的取值范围是0＜a≤或a＞且a2ln3a≤e2，
点评：本题考查函数的极值点的导数值为0、解不等式恒成立的参数范围常转化为求函数的最值．
26
