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2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（ ）
A．{1，2}
B．{2，3}
C．{2，4}
D．{1，4}
2．（5 分）函数y=
（x≥0）的反函数为（ ）
A．y=
（x∈R）
B．y=
（x≥0）
C．y=4x2（x∈R）
D．y=4x2（x≥0）
3．（5 分）设向量、满足| |=| |=1，• =﹣
，| +2 |=（ ）
A．.
B．
C．、
D．.
4．（5 分）若变量x、y 满足约束条件
，则z=2x+3y 的最小值为（ ）
A．17
B．14
C．5
D．3
5．（5 分）下面四个条件中，使a＞b 成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b
1
﹣
C．a2＞b2
D．a3＞b3
6．（5 分）设Sn为等差数列{an}的前n 项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2
S
﹣k=24，则k=（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
7．（5 分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移
个单位长度后，所得的图象与原
图象重合，则ω 的最小值等于（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
8．（5 分）已知直二面角α
l
β
﹣﹣，点A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，
AC=BD=1，则CD=（ ）
A．2
B．
C．
D．1
9．（5 分）4 位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1 门，则恰有2 人选修课程甲的不同选法共有（
）
A．12 种
B．24 种
C．30 种
D．36 种
10．（5 分）设f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1
x
﹣），则
=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
11．（5 分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（ ）
A．4
B．
C．8
D．
12．（5 分）已知平面α 截一球面得圆M，过圆心M 且与α 成60°二面角的平面β 截该球面得圆N，若
该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（ ）
A．7π
B．9π
C．11π
D．13π
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）（1
x
﹣）10的二项展开式中，x 的系数与x9的系数之差为： ．
14．（5 分）已知a∈（π，
），tanα=2，则cosα= ．
15．（5 分）已知正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，E 为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值
为 ．
16．
（5 分）已知F1、F2分别为双曲线C：
的左、右焦点，点A∈C，点M 的坐标为（2，0），AM 为
∠F1AF2的平分线，则|AF2|= ．
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）设等比数列{an}的前n 项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．
第1页（共12页）
18．（12 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣
asinC=bsinB，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．
19．
（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保
险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；
（Ⅱ）求该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
20．（12 分）如图，四棱锥S
ABCD
﹣
中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，
CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小．
第2页（共12页）
21．（12 分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3
6a
﹣
）x+12a
4
﹣（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0 处的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a 的取值范围．
22．（12 分）已知O 为坐标原点，F 为椭圆C：
在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为﹣
的
直线l 与C 交于A、B 两点，点P 满足
．
（Ⅰ）证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上．
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2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（ ）
A．{1，2}
B．{2，3}
C．{2，4}
D．{1，4}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．
【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，
故选：D．
【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．
2．（5 分）函数y=
（x≥0）的反函数为（ ）
A．y=
（x∈R）
B．y=
（x≥0）
C．y=4x2（x∈R）
D．y=4x2（x≥0）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原
函数的值域）．
【解答】解：∵y=
（x≥0），
∴x=
，y≥0，
故反函数为y=
（x≥0）．
故选：B．
【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值
域．
3．（5 分）设向量、满足| |=| |=1，• =﹣
，| +2 |=（ ）
A．.
B．
C．、
D．.
【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由| +2 |=
=
，代入已知可求
【解答】解：∵| |=| |=1，• =﹣
，
| +2 |=
=
=
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量的数量积 性质的基本应用，属于基础试题
4．（5 分）若变量x、y 满足约束条件
，则z=2x+3y 的最小值为（ ）
A．17
B．14
C．5
D．3
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】我们先画出满足约束条件
的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再
将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．
第4页（共12页）
【解答】解：约束条件
的平面区域如图所示：
由图可知，当x=1，y=1 时，目标函数z=2x+3y 有最小值为5
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．
5．（5 分）下面四个条件中，使a＞b 成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b
1
﹣
C．a2＞b2
D．a3＞b3
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条
件的定义判断出选项．
【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；
反之，例如a=2，b=1 满足a＞b，但a=b+1 即a＞b 推不出a＞b+1，
故a＞b+1 是a＞b 成立的充分而不必要的条件．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．
6．（5 分）设Sn为等差数列{an}的前n 项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2
S
﹣k=24，则k=（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【考点】85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先由等差数列前n 项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2
S
﹣k=24 转化为关于k 的方程求解．
【解答】解：根据题意：
Sk+2=（k+2）2，Sk=k2
∴Sk+2
S
﹣k=24 转化为：
（k+2）2
k
﹣2=24
∴k=5
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．
7．（5 分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移
个单位长度后，所得的图象与原
图象重合，则ω 的最小值等于（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】函数图象平移
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易
得到结果．
【解答】解：f（x）的周期T=
，函数图象平移
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函
数平移整数个周期，所以
，k∈Z．令k=1，可得ω=6．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常
第5页（共12页）
考题型．
8．（5 分）已知直二面角α
l
β
﹣﹣，点A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，
AC=BD=1，则CD=（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB 为直角三角形，利用勾股定理可得BC 的
值；进而在Rt△BCD 中，由勾股定理可得CD 的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，直二面角α
l
β
﹣﹣，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，
则AC⊥CB，△ACB 为Rt△，且AB=2，AC=1，
由勾股定理可得，BC=
；
在Rt△BCD 中，BC=
，BD=1，
由勾股定理可得，CD=
；
故选：C．
【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三
角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．
9．（5 分）4 位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1 门，则恰有2 人选修课程甲的不同选法共有（
）
A．12 种
B．24 种
C．30 种
D．36 种
【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2 人选修课程甲，共有C4
2种结果，余下的两个人各有两种选
法，共有2×2 种结果，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
∵恰有2 人选修课程甲，共有C4
2=6 种结果，
∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4 种结果，
根据分步计数原理知共有6×4=24 种结果
故选：B．
【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一
步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．
10．（5 分）设f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1
x
﹣），则
=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意得
=f（﹣
）=
f
﹣（
），代入已知条件进行运算．
【解答】解：∵f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1
x
﹣），
∴
=f（﹣
）=
f
﹣（
）=
2
﹣×
（1﹣
）=﹣
，
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．
11．（5 分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（ ）
A．4
B．
C．8
D．
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【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a 和b 分别为x2
10x
﹣
+17=0
的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=
•
的值．
【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，
设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），
则有
=|a|，|
=|b|，
故a 和b 分别为（x
4
﹣）2+（x
1
﹣）2=x2 的两个实数根，
即a 和b 分别为x2
10x
﹣
+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，
∴（a
b
﹣）2=（a+b）2
4ab=32
﹣
，∴两圆心的距离|C1C2|=
•
=8，
故选：C．
【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．
12．（5 分）已知平面α 截一球面得圆M，过圆心M 且与α 成60°二面角的平面β 截该球面得圆N，若
该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（ ）
A．7π
B．9π
C．11π
D．13π
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出求出OM 的长，找出二面角的平面角，从而求出
ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆N 的半径，从而求出面积．
【解答】解：∵圆M 的面积为4π
∴圆M 的半径为2
根据勾股定理可知OM=
∵过圆心M 且与α 成60°二面角的平面β 截该球面得圆N
∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN 中，ON=
∴圆N 的半径为
则圆的面积为13π
故选：D．
【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解
决问题的能力，属于基础题．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）（1
x
﹣）10的二项展开式中，x 的系数与x9的系数之差为：
0
．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数分别取1；9 求出展开式的x 的系
数与x9的系数；求出两个系数的差．
【解答】解：展开式的通项为Tr+1=（﹣1）rC10
rxr
所以展开式的x 的系数﹣10
x9的系数﹣10
x 的系数与x9的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0
故答案为：0
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
14．（5 分）已知a∈（π，
），tanα=2，则cosα= ﹣
．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
第7页（共12页）
【专题】11：计算题．
【分析】先利用α 的范围确定cosα 的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα 的值．
【解答】解：∵a∈（π，
），
∴cosα＜0
∴cosα=﹣
=﹣
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角
函数符号．
15．（5 分）已知正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，E 为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值
为
．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．
【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角，解三角形即可求得结果．
【解答】解：连接DE，设AD=2
易知AD∥BC，
∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角，
在△RtADE 中，由于DE=
，AD=2，可得AE=3
∴cos∠DAE=
=
，
故答案为：
．
【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来
解决，体现了数形结合和转化的思想．
16．
（5 分）已知F1、F2分别为双曲线C：
的左、右焦点，点A∈C，点M 的坐标为（2，0），AM 为
∠F1AF2的平分线，则|AF2|=
6
．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利
用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．
【解答】解：
不妨设A 在双曲线的右支上
∵AM 为∠F1AF2的平分线
∴
=
又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6
解得|AF2|=6
故答案为6
【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）设等比数列{an}的前n 项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．
第8页（共12页）
【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项
与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应
的通项公式及前n 项和的公式即可．
【解答】解：设{an}的公比为q，由题意得：
，
解得：
或
，
当a1=3，q=2 时：an=3×2n
1
﹣，Sn=3×（2n
1
﹣）；
当a1=2，q=3 时：an=2×3n
1
﹣，Sn=3n
1
﹣．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．
18．（12 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣
asinC=bsinB，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB 的
值，进而求得B．
（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA 的值，进而利用正弦定理分别求得a 和c．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣
ac=b2，
由余弦定理可得b2=a2+c2
2accosB
﹣
，
故cosB=
，B=45°
（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
故a=b×
=
=1+
∴c=b×
=2×
=
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．
19．
（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保
险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；
（Ⅱ）求该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n 次独立重复试验的模型．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1
0.5
﹣
）=0.3，解可
得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．
（II）该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n 次独立重复试验恰好发生k
次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得
到结果．
【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，
根据题意可得p×（1
0.5
﹣
）=0.3，解可得p=0.6，
该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1
0.5
﹣
）（1
0.6
﹣
）=0.2，
由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率1
0.2=0.8
﹣
（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种
保险都不购买的概率P=C3
1×0.2×0.82=0.384．
【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，考查
对立事件的概率公式，是一个综合题目．
第9页（共12页）
20．（12 分）如图，四棱锥S
ABCD
﹣
中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，
CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD 垂直于面SAB 中两条相交的直线SA，SB；在证明
SD 与SA，SB 的过程中运用勾股定理即可
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小即利用平面SBC 的法向量
，当
为锐角时，所求的角即为它的余角；当
为钝角时，所求的角为
【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1
∴AD=
=
∵侧面SAB 为等边三角形，AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD2=SA2+SD2
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB
∴SD⊥平面SAB
（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系
则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S 在底面上的投影M，则由四棱锥S
ABCD
﹣
中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M
点一定在x 轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=
，从而解得SM=
，故可得S（
，0，
）
则
设平面SBC 的一个法向量为
则
，
即
取x=0，y=
，z=1
即平面SBC 的一个法向量为
=（0，
，1）
又
=（0，2，0）
cos＜
，＞=
=
=
∴＜
，＞=arccos
即AB 与平面SBC 所成的角的大小为arcsin
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【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中
档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3
6a
﹣
）x+12a
4
﹣（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0 处的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a 的取值范围．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0 处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方
程；
（Ⅱ）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有
极小值的a 的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a 的不等式，从而得出取
值范围
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3
6a
﹣
由f（0）=12a
4
﹣，f′（0）=3
6a
﹣
，
可得曲线y=f（x）在x=0 处的切线方程为y=（3
6a
﹣
）x+12a
4
﹣，
当x=2 时，y=2（3
6a
﹣
）+12a
4=2
﹣
，可得点（2，2）在切线上
∴曲线y=f（x）在x=0 的切线过点（2，2）
（Ⅱ）由f′（x）=0 得
x2+2ax+1
2a=0…
﹣
（1）
方程（1）的根的判别式
①当
时，函数f（x）没有极小值
②当
或
时，
由f′（x）=0 得
故x0=x2，由题设可知
（i）当
时，不等式
没有实数解；
（ii）当
时，不等式
化为a+1＜
＜a+3，
解得
综合①②，得a 的取值范围是
【点评】将字母a 看成常数，讨论关于x 的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处
理关于a 的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．
22．（12 分）已知O 为坐标原点，F 为椭圆C：
在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为﹣
的
直线l 与C 交于A、B 两点，点P 满足
．
（Ⅰ）证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上．
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【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．
【分析】（1）要证明点P 在C 上，即证明P 点的坐标满足椭圆C 的方程
，根据已知中过F 且
斜率为﹣
的直线l 与C 交于A、B 两点，点P 满足
，我们求出点P 的坐标，代入验证
即可．
（2）若A、P、B、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标
代入验证即可．
【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
椭圆C：
①，则直线AB 的方程为：y=﹣
x+1 ②
联立方程可得4x2
2
﹣
x
1=0
﹣
，
则x1+x2=
，x1×x2=﹣
则y1+y2=﹣
（x1+x2）+2=1
设P（p1，p2），
则有：
=（x1，y1），
=（x2，y2），
=（p1，p2）；
∴
+
=（x1+x2，y1+y2）=（
，1）；
=（p1，p2）=﹣（
+
）=（﹣
，﹣1）
∴p 的坐标为（﹣
，﹣1）代入①方程成立，所以点P 在C 上．
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上．
设线段AB 的中点坐标为（
，
），即（
，
），
则过线段AB 的中点且垂直于AB 的直线方程为：y﹣
=
（x﹣
），即y=
x+
；③
∵P 关于点O 的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ 的中点，
则过线段PQ 的中点且垂直于PQ 的直线方程为：y=﹣
x ④；
③④联立方程组，解之得：x=﹣
，y=
③④的交点就是圆心O1（﹣
，
），
r2=|O1P|2=（﹣
﹣（﹣
））2+（﹣1﹣
）2=
故过P Q 两点圆的方程为：（x+
）2+（y﹣
）2=
…⑤，
把y=﹣
x+1 …②代入⑤，
有x1+x2=
，y1+y2=1
∴A，B 也是在圆⑤上的．
∴A、P、B、Q 四点在同一圆上．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系
时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．
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