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2011 年天津高考文科数学试题及答案详细解析（天津卷）
参考公式：
如果事件A，B 互斥，那么
棱柱的体积公式
其中S 表示棱柱的底面面积。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．是虚数单位，复数
=
A．
B．
C．
D．
2．设变量x，y 满足约束条件
则目标函数
的最大值为
A．-4
B．0
C．
D．4
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入
的值为-4，则输出
的值为
A．,0．5
B．1
C．2
D．4
4
．
设
集
合
，
，
则“
”是“
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件
5．已知
则
A．
B．
C．
D．
6．已知双曲线
的左顶点与抛物线
的焦点的距
离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线
的焦距为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，其中
的最小正周期为
，且当
时，
取得最大值，则（ ）
A．
在区间
上是增函数
B．
在区间
上是增函数
C．
在区间
上是减函数
D．
在区间
上是减函数
8 ．对实数
，定义运算“
” ：
设函数
。若函数
的图象与
轴恰有两个公共点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．[-2，-1]
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．已知集合
为整数集，则集合
中所有元素的和等于________
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体
的体积为__________
11．已知
为等差数列，
为其前
项和，
，
若
则
的值为_______
12 ．已知
，则
的最小值为
__________
13．如图已知圆中两条弦
与
相交于点
，
是
延长
线上一点，且
若
与圆相切，则
的长为__________
14．已知直角梯形
中，
//
,
,
,
是腰
上的动点，则
的最小值为____________
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．编号为
的16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；
区间
人数
（Ⅱ）从得分在区间
内的运动员中随机抽取2 人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2 人得分之和大于50 的概率．
16．
在△
中，内角
的对边分别为
，已知
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）
的值．
17．（本小题满分13 分）如图，在四棱锥
中，底面
为
平行四边形，
，
，
为
中点，
平面
，
，
为
中点．
（Ⅰ）证明：
//平面
；
（Ⅱ）证明：
平面
；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正切值．
18．（本小题满分13 分）
设椭圆
的左、右焦点分别为F1 ，F2 。点
满足
（Ⅰ）求椭圆的离心率
；
（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B 两点，若直线PF2与圆
相交
于M，N 两点，且
，求椭圆的方程。
19．（本小题满分14 分）已知函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，求
的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的
在区间
内均存在零点．
20．（本小题满分14 分）
D
C
A
B
P
M
O
已
知
数
列
满
足
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设
，证明
是等比数列；
（Ⅲ）设
为
的前
项和，证明
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分40 分。
1. 【答案】A
【解析】
.
2. 【答案】D
【解析】可行域如图：
联立
解得
当目标直线
移至（2.2）时，
有最
大值4.
3. 【答案】C
【解析】当
时，
；
当
时，
当
时，
，
∴
.
4. 【答案】C
x
y
o
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
x=1
x-3y+4=0
x+y-4=0
【解析】∵
，
，
∴
，或
，又∵
或
，
∴
，即“
”是“
”的充分必要条件.
5. 【答案】B
【解析】∵
，又∵
为单调递增函数，
∴
，
∴
.
6. 【答案】B
【解析】双曲线
的渐近线为
，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线
的交点坐标为（－2，－1）得
，即
，
又∵
，∴
，将（－2，－1）代入
得
，
∴
，即
.
7. 【答案】A
【解析】∵
，∴
.又∵
且
，
∴
当
时
，
，
要
使
递
增
，
须
有
，解之得
，当
时，
，∴
在
上递增.
8. 【答案】B
【解析】
则
的图象如图，
∵函数
的图象与轴恰有两个公共点，
∴函数
与
的图象有两个交点，由图象可得
.
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分30 分。
9.【答案】3
【解析】
.∴
，即
10.【答案】4
【解析】
.
11.【答案】110
【解析】设等差数列的首项为
，公差为
，由题意得，
，解之得
，∴
.
12.【答案】18
【解析】∵
，
∴
，
∴
.
13. 【答案】
【解析】设
，
，
，由
得
，即
.
∴
，
由切割定理得
，
∴
.
14.【答案】5
x
y
o
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
【解析】建立如图所示的坐标系，设
，则
，设
则
，∴
.
三、解答题
（15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公
式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分
13 分。
（Ⅰ）解：4，6，6
（Ⅱ）（i）解：得分在区间
内的运动员编号为
从中随机抽
取2 人，所有可能的抽取结果有：
，
，
共15 种。
（ii）解：“从得分在区间
内的运动员中随机抽取2 人，这2 人得分之和大于
50”
（
记
为
事
件
B
）
的
所
有
可
能
结
果
有
：
，共5 种。
所以
（16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正
弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13 分。
（Ⅰ）解：由
所以
A
B
C
D
o
x
y
（Ⅱ）解：因为
，所以
所以
（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，
考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13 分。
（Ⅰ）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD
的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO。因为
平面ACM，
平面ACM，所
以PB//平面ACM。
（Ⅱ）证明：因为
，且AD=AC=1，
所以
，即
，又PO
平面ABCD，
平面ABCD，
所以
，所以
平面PAC。
（Ⅲ）解：取DO 中点N，连接MN，AN，因为M 为PD 的中点，
所以MN//PO，且
平面ABCD，得
平面ABCD，
所以
是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt DAO
中，
1
1,
2
AD
AO
，
所以
5
2
DO
，从而
，
在
，
即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为
（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直
线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质
及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13 分。
（Ⅰ）解：设
，因为
，
所以
，整理得
（舍）
或
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
，可得椭圆方程为
，直线FF2的方程
为
A，B 两点的坐标满足方程组
2
2
2
3
4
12
,
3(
).
x
y
c
y
x
c
消去
并整理，得
。解
得
，得方程组的解
不妨设
，
，所以
于是
圆心
到直线PF2的距离
因为
，所以
整理得
，得
（舍），或
所以椭圆方程为
（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数
的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14 分。
（Ⅰ）解：当
时，
所以曲线
在点
处的切线方程为
（Ⅱ）解：
，令
，解得
因为
，以下分两种情况讨论：
（1）若
变化时，
的变化情况如下表：
+
-
+
所以，
的单调递增区间是
的单调递减区间是
。
（2）若
，当
变化时，
的变化情况如下表：
+
-
+
所以，
的单调递增区间是
的单调递减区间是
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当
时，
在
内的单调递减，在
内单调
递增，以下分两种情况讨论：
（1）当
时，
在（0，1）内单调递减，
所以对任意
在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当
时，
在
内单调递减，在
内单调递增，若
所以
内存在零点。
若
所以
内存在零点。
所以，对任意
在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意
在区间（0，1）内均存在零点。
（20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、
综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14 分。
（Ⅰ）解：由
，可得
又
，
当
当
（Ⅱ）证明：对任意
①
②
②-①，得
所以
是等比数列。
（Ⅲ）证明：
，由（Ⅱ）知，当
时，
故对任意
由①得
因此，
于是，
故
