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2011 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文）
本试卷共5 页，150 分.考试时间长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么
A．(-∞, -1]
B．[1, +∞）
C．[-1，1]
D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
2．复数
A．i
B．-i
C．
D．
3．如果
那么
A．y< x<1
B．x< y<1
C．1< x<y
D．1<y<x
4．若p 是真命题，q 是假命题，则
A．p q
∧是真命题
B．p q
∨是假命题
C．﹁p 是真命题
D．﹁q 是真命题
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是
A．32
B．16+16
C．48
D．16+32
6．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为
A．2
B．3
C．4
D．5
7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800 元.若每批生产
x 件，则平均仓储时间为
天，且每件产品每天的仓储费用为1 元.为使平均没见产品的生产准
1
备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60 件
B．80 件
C．100 件
D．120 件
8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2 的点C 的个数为
A．4
B．3
C．2
D．1
第二部分 （非选择题 共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9．在
中.若b=5，
，sinA=
，则a=___________________.
10．已知双曲线
（
＞0）的一条渐近线的方程为
，则
= .
11．已知向量a=（
，1），b=（0，-1），c=（k，
）.若a-2b 与c 共线，则k=________________.
12．在等比数列{an}中，a1=
，a4=4，则公比q=______________；a1+a2+…+an= _________________.
13．已知函数
若关于x 的方程f（x）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值
范围是_______
14．设A（0,0）,B（4,0）,C（t+4,3），D（t,3）
（t
R）.记N（t）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点
的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）= N（t）的所有可能取值为
三、解答题6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题共13 分）
已知函数
.
（Ⅰ）求
的最小正周期：
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值.
16．（本小题共13 分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，
在图中以X 表示.
2
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19 的概
率.
（注：方差
其中为
的平均数）
17．（本小题共14 分）
如图，在四面体PABC 中，PC AB
⊥
，PA BC,
⊥
点D,E,F,G 分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.
18．（本小题共13 分）
已知函数
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）求
在区间[0,1]上的最小值.
19．（本小题共14 分）
已知椭圆
的离心率为
，右焦点为（
,0），斜率为I 的直线
3
与椭圆G 交与A、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.
（I）求椭圆G 的方程；
（II）求
的面积.
20．（本小题共13 分）
若数列
满足
，则称
为
数列，记
.
（Ⅰ）写出一个E 数列A5满足
；
（Ⅱ）若
，n=2000，证明：E 数列
是递增数列的充要条件是
=2011；
（Ⅲ）在
的E 数列
中，求使得
=0 成立得n 的最小值.
参考答案
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分）
4
（1）D （2）A （3）D （4）D
（5）B （6）C （7）B （8）A
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共30 分）
（9）
（10）2
（11）1
（12）2
（13）（0，1）
（14）6 6，7，8，
三、解答题（共6 小题，共80 分）
（15）（共13 分）
解：（Ⅰ）因为
所以
的最小正周期为
（Ⅱ）因为
于是，当
时，
取得最大值2；
当
取得最小值—1．
（16）（共13 分）
解（1）当X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为
B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有
可能的结果有16 个，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），
用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4 个，它们是：
（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为
5
（17）（共14 分）
证明：（Ⅰ）因为D，E 分别为AP，AC 的中点，
所以DE//PC。
又因为DE
平面BCP，
所以DE//平面BCP。
（Ⅱ）因为D，E，F，G 分别为
AP，AC，BC，PB 的中点，
所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。
所以四边形DEFG 为平行四边形，
又因为PC AB
⊥
，
所以DE DG
⊥
，
所以四边形DEFG 为矩形。
（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q 为EG 的中点
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=
EG.
分别取PC，AB 的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。
与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q，
且QM=QN=
EG，
所以Q 为满足条件的点.
（18）（共13 分）
解：（Ⅰ）
令
，得
．
与
的情况如下：
x
（
）
（
——
0
+
↗
↗
所以，
的单调递减区间是（
）；单调递增区间是
（Ⅱ）当
，即
时，函数
在[0，1]上单调递增，
所以（x）在区间[0，1]上的最小值为
当
时，
由（Ⅰ）知
上单调递减，在
上单调递增，所以
在区间[0，1]上的
最小值为
；
当
时，函数
在[0，1]上单调递减，
6
所以
在区间[0，1]上的最小值为
（19）（共14 分）
解：（Ⅰ）由已知得
解得
又
所以椭圆G 的方程为
（Ⅱ）设直线l 的方程为
由
得
设A、B 的坐标分别为
AB 中点为E
，
则
因为AB 是等腰△PAB 的底边，
所以PE AB.
⊥
所以PE 的斜率
解得m=2。
此时方程①为
解得
所以
所以|AB|=
.
此时，点P（—3，2）到直线AB：
的距离
所以△PAB 的面积S=
（20）（共13 分）
解：（Ⅰ）0，1，0，1，0 是一具满足条件的E 数列A5.
（答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，
—2，0，±1，0，—1，0 都是满足条件的E 的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E 数列A5是递增数列，
7
所以
．
所以A5是首项为12，公差为1 的等差数列．
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011．
充分性，由于a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—at≤19999，即a2000≤a1+1999．
又因为a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999．
故
是递增数列．
综上，结论得证.
（Ⅲ）对首项为4 的E 数列Ak，由于
……
……
所以
所以对任意的首项为4 的E 数列Am，若
则必有
.
又
的E 数列
所以n 是最小值是9.
8
