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绝密★启用前 解密时间：2010 年6 月7 日17：00 【考试时间：6 月7 日15：00—17：00】
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理工农医类）解析
数学试题卷（理工农医类）共4 页。满分150 分。考试时间120 分钟。
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目
要求的.
（1）在等比数列
中，
，则公比的值为（ ）
A、2
B、3
C、4
D、8
【命题意图】本题考查等比数列的概念，基础题.
【解析】∵
，∴
，选A.
（2）已知向量
满足
，则
（ ）
A、0
B、
C、4
D、8
【命题意图】本题考查向量的有关概念和基本运算.
【解析】∵
，∴选B.
（3）
（ ）
A、
B、
C、
D、1
【命题意图】本题考查函数极限的概念、运算法则、
型极限的求法以及转化与化归思想.
【解析】
，选B.
（4）设变量
满足约束条件
则
的最大值为（ ）
A、
2
B、4
C、6
D、8
【命题意图】本题考查线性规划的求解问题.作为选择题，要准确快速求解，可利用端点处取得最值（函数的
思想）来求解则更好，从而要求考生对性规划的问题有较深刻的认
识.
【解析】不等式组
表示的平面区域是如
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图所示的
，
当直线
过点
的时，z 取得最大值6，故选C.
（5）函数
的图象（ ）
A、关于原点对称
B、关于直线
对称C、关于轴对称
D、关于
轴对称
【命题意图】本题考查函数的概念和奇偶性、幂的运算性质和计算能力.
【解析】∵
，∴
是偶函数，图像关于y 轴对称，选D
（6）已知函数
（
）
的部分图象如题（6）图所示，则（ ）
A、
B、
C、
D、
【命题意图】本题考查
的图像和性质，数形结合思想等，这是高考的常考题型，但又是学
生的软肋，注意复习，多加训练.
【解析】由图像可知，周期
，∴
，由五点作图法知
，解得
，所
以
，
，选D.
（7）已知
，
，
，
的最小值是（ ）
A、3
B、4
C、
D、
【命题意图】本题考查均值不等式的灵活应用、一元二次不等式的解法以及整体思想.
【解析】由均值不等式，得
，
整理，得
，
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即
，又
，所以
，选B.
（8）直线
与圆心为D 的圆
（
）A、B 两点，则直线AD 与BD 的倾
斜角之和为（ ）
A、
B、
C、
D、
【命题意图】本题考查直线的倾斜角、斜率、方程，圆的标准方程和参数方程，直线与圆的位置关系以及数形
结合的思想方法.
【解析】画出图形，
，
由圆的性质可知
，
故
，选C.
（9）某单位安排7 位员工在10 月1 日至7 日值班，每天
安排1 人，每人值班1 天. 若7 位员工中的甲、乙排在相
邻两天，丙不排在10 月1 日，丁不排在10 月7 日，则不同的安排方案共有（ ）
A、504 种
B、960 种
C、1008 种
D、1108 种
【命题意图】此题是一个排列组合问题.既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生克服困难解
决实际问题的能力和水平.
【解析】分两类：①甲乙排1、2 号或6、7 号，共有
种不同的安排方法；②甲乙排中间，丙排7 号
或不排7 号，共有
种方法，故共有1008 种不同的排法，选C.
（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
（ ）
A、直线
B、椭圆
C、抛物线
D、双曲线
【命题意图】本题考查空间中线与线，线与面的垂直，动点的轨迹的求法，同时考查空间想象力.
【解析】（直接法）记这两直线为
，，异面直线的距离为k，平面
为过
且平行于
的平面，设
上某个
点P 满足条件。
将
正投影到平面
上，其投影记为
，设P 到
及
的距离为，到
的距离为
，则
，即
，这里k 为定值，，分别正是P 到
上两垂直直线
，的距离，而
和
可看作
上的直角
坐标系，由此可知，P 的轨迹就是双曲线.
（排除法）轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B，故选D.
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
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（11）已知复数
则
____________.
【命题意图】本题考查复数概念和基本运算，其中分母实数化是求解的关键.
【解析】
，答案为：
.
（12）设
，若
，则实数
_________.
【命题意图】此题题型来自于课本习题，考查集合的概念和运算、方程的解法等基础知识.
【解析】∵
，∴ A={0,3}，故
.答案为：
.
（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为
，则该队员
每次罚球的命中率为_____________.
【命题意图】本题考查对立事件的概率、独立事件的概率以及计算能力和推理能力.当有“至少”、“最多”
等字眼时，常从反面入手，化难为易.
【解析】由
，解得
，答案为：
（14）已知以
为焦点的抛物线
上的两点
满足
，则弦
的中点到准线的距离为
___________.
【命题意图】本题考查抛物线的定义、标准方程、几何性质等，灵活应用平面几何知识是解决本题的关键，
向量仅仅是一件外衣，本题是平面几何知识的应用.
【解析】设
，由抛物线的定义，知
，
，
中，
，
，
由相似三角形性质，得
，解得
，
根据梯形中位线定理，得弦
的中点到准线的距离为
，答案为：
.
（15）已知函数
满足：
，
（
），则
__________.
【命题意图】本题考场抽象函数的周期性，函数与数列的关系，研究抽象函数最有效的办法是：特殊值法.
【解析】取x=1， y=0，得
，
法一：通过计算
，寻得周期为6
法二：取x=n ，y=1，有f(n)=f(n+1)+f(n-1)，同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) ，所以T=6 ，故
，答案为：
.
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三、解答题：本大题共6 小题，共75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问7 分，（Ⅱ）小问6 分.）
设函数
，
.
（Ⅰ）求
的值域；
（Ⅱ）记
的内角
的对边长分别为
，若
，求的值.
【命题意图】此题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、和（差）角公式、正弦定理、由余弦定理以
及函数思想和方程思想，同时考查基本运算能力．
【解析】（Ⅰ）
1
cos
sin
2
3
cos
2
1
x
x
x
，因此
的值域为
.
（Ⅱ）由
得
，即
，又因
，
故
.
解法一：由余弦定理
，得
，解得
或.
解法二：由正弦定理
，得
或
.
当
时，
，从而
；
当
时，
，又
，从而
.故的值为1 或2.
（17）（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问5 分，（Ⅱ）小问8 分.）
在甲、乙等6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用
抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.
【命题意图】本小题主要考查等可能事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学
知识与方法解决实际问题的能力.其中第（2）问是课本上常见的类型题.
【解析】（Ⅰ）设A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则
表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可
能性事件的概率计算公式得
.
（Ⅱ）的所有可能值为0，1，2，3，4，且
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，
.
从而知有分布列
0
1
2
3
4
所以，
.
（18）（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问5 分，（Ⅱ）小问8 分.）
已知函数
，其中实数
.
（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若
在
处取得极值，试讨论
的单调性.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决
问题的能力．
【解析】（Ⅰ）
.
当
时，
，而
，
因此曲线
在点
处的切线方程为
即
.
（Ⅱ）
，由（Ⅰ）知
，即
，
解得
.
此时
，其定义域为
，且
，由
得
.当
或
时，
；当
且
时，
.
由以上讨论知，
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数.
（19）（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问5 分，（Ⅱ）小问7 分.）
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y
x
Pz
G
F
答（19 ）图2
C
B
A
D
E
如题（19）图，四棱锥
为矩形，
底面
，
，点
是棱
的中点.
（Ⅰ）求直线
与平面
的距离；
（Ⅱ）若
，求二面角
的平面角的余弦值.
【命题意图】本题考查直线与平面垂直、二面角、三棱锥的性质及体积
等基础知识.求解第（1）问的关键是将点到面的距离转化为三棱锥的高，
等体积法是这类问题的杀手.第（2）问只需用“三垂线”即可找到二面
角的平面角.
【解析】解法一：
（Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形
中，
平面
，
故直线
与平面
的距离为点
到平面
的距离.
因
底面
，故，由
知
为等腰三角
形，又点
是棱
中点，故
.又在矩形
中，
，而
是
在底面
内的射影，由
三垂线定理得
，从而
平面
，故
.从而
平面
，故
之长即为直线
与平面
的距离.
（Ⅱ）过点D 作
，交CE 于F，过点F 作
，交AC 于
G，则
为所求的二面角的平面角.
由（Ⅰ）知
平面PAB，又
，得
平面
PAB，故
，从而
.
在
中，
. 由
，所以
为等边三角形，故F 为CE 的中点，且
.
因为
平面PBC，故
，又
，知
，从而
，且G 点为AC 的中点.
连接DG，则在
中，
.
所以
.
解法二：
（Ⅰ）如答（19）图2，以A 为坐标原点，射线AB、AD、AP 分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角
坐标系
.
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x
M
题（20 ）图
2l
1l
y
G
E
N
H
O
设
，则
，
.
因此
，
则
，所以
平面PBC.
又由
知
平面PBC，故直线AD 与平面
PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为
.
（Ⅱ）因为
，则
.
设平面AEC 的法向量
，则
.
又
，故
所以
. 可取
，则
.
设平面DEC 的法向量
，则
.
又
，故
所以
. 可取
，则
.
故
.
所以二面角
的平面角的余弦值为
.
（20）（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问5 分，（Ⅱ）小问7 分.）
已知以原点
为中心，
为右焦点的双曲线
的离心率
.
（Ⅰ）求双曲线
的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题（20）图，已知过点
的直线
与过点
（其中
）的
直线
的交点
在双曲线
上，直线
与两条渐近线分别交于
两点，求
的
面积.
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【命题意图】题主要考查双曲线概念、标准方程、几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查解析
几何的基本思想方法和综合解题能力．圆锥曲线问题的求解一般思考方法是合理设元（设点或直线等）、几
何条件代数化、建立恰当的关系式、围绕目标合理处理关系式（包括代入转化与恒等变形等）．
【解析】（Ⅰ）设
的标准方程为
，则由题意
，
因此
，
的标准方程为
.
的渐近线方程为
，即
和
.
（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点
在直线
和
上，因此有
，
，
故点M、N 均在直线
上，因此直线MN 的方程为
.
设G、H 分别是直线MN 与渐近线
及
的交点，
由方程组
及
解得
.
设MN 与x 轴的交点为Q，则在直线
中，令
0
y
得
（易知
. 注意到
，得
.
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解法二：设
，由方程组
解得
，
因
，则直线MN 的斜率
.
故直线MN 的方程为
，
注意到
，因此直线MN 的方程为
.
下同解法一.
（21）（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问5 分，（Ⅱ）小问7 分.）
在数列
中，
，
（
），其中实数
.
（Ⅰ）求
的通项公式；
（Ⅱ）若对一切
有
，求的取值范围.
【命题意图】本题主要考查数列的定义、数列通项公式、数学归纳法、不等式的解法以及方程和函数思想.本
题的实质是：已知递推公式
（
，
为常数）求通项公式.
【解析】（Ⅰ）解法一：由
，
，
，
猜测
.
下用数学归纳法证明.
当
时，等式成立；
假设当
时，等式成立，即
，则当
时，
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，
综上，
对任何
都成立.
解法二：由原式得
.
令
，则
，因此对
有
，
因此
，
.
又当
时上式成立.
因此
.
（Ⅱ）解法一：由
，得
，
因
，所以
.
解此不等式得：对一切
，有
或
，其中
，
.
易知
，
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又由
，知
，
因此由
对一切
成立得
.
又
，易知
单调递增，故
对一切
成立，因此由
对一切
成立得
.
从而的取值范围为
.
解法二：由
，得
，
因
，所以
对
恒成立.
记
，下分三种情况讨论.
（ⅰ）当
即
0
c
或
1
c
时，代入验证可知只有
1
c
满足要求.
（ⅱ）当
时，抛物线
开口向下，因此当正整数充分大时，
不符合题意，此时无解.
（ⅲ）当
即
或
时，抛物线
开口向上，其对称轴
必在直线
的左边. 因此，
在
上是增函数.
所以要使
对
恒成立，只需
即可.
由
解得
或
.
结合
或
得
或
.
综合以上三种情况，的取值范围为
.
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