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2011 年全国高等学校招生统一考试
四川卷（理数）
1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上
2．本部分共12 小题，每小题5 分，共60 分．
一、选择题：本大题共l2 小题．每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.有一个容量为66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l
[31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在
[31.5，43.5)的概率约是
(A)
(B)
(C)
（D）
2．复数
=
(A)
（B）
（C）0 （D）
3．
，
，
是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
(A)
，
（B）
，
[来源:Zxxk.Com]
(C)
，
，
共面
（D）
，
，
共点
，
，
共面
4 如图，正六边形ABCDEF 中，
=[来源:Zxxk.Com]
(A)0 (B)
(C)
(D)
5 函数，
在点
处有定义是
在点
处连续的
(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也
不必要的条件
6.在
ABC 中．
.则A 的取值范围是
(A)(0，
] (B)[
，
) (c)(0，
] (D) [
，
)
7．已知
是R 上的奇函数，且当
时，
，则
的反函数的图像大
致是
8.数列
的首项为
，
为等差数列且
.若则
，
，则
[来源:Z§xx§k.Com]
（A）0 （B）3 （C）8 （D）11
9.某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人，有8 辆载重量为10 吨的甲型卡车和7 辆载重量为
6 吨的乙型卡车.某天需运往
地至少72 吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍
用的每吨甲型卡车虚配2 名工人，运送一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车虚配1 名
工人，运送一次可得利润350 元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润
（A）4650 元 （B）4700 元 （C）4900 元 （D）5000 元
10.在抛物线
上取横坐标为
，
的两点，过这两点引一条
割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
相切，则抛物线顶点的
坐标为
（A）
（B）
（C）
（D）
11. 已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
.设
在
上的最大值为
，且
的前
项和为
，则
（A）3 （B）
（C）2 （D）
12.在集合
中任取一个偶数
和一个奇数
构成以原点为起点的向量
.
从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行
四边形的个数为
，其中面积不超过
的平行四边形的个数为
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
注意事项：
1.
必须使用0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可
先用铅笔绘出，确认后再用0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效.
2.
本部分共10 小题，共90 分.
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分.
13.计算
.
14.双曲线
P 到左准线的距离
是 .
15.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求
的表面积与改圆柱的侧面积之差是 .
16.函数
的定义域为A，若
时总有
为单函数.例如，函数
=2x+1（
）是单
函数.下列命题：
①
函数
=
（x
R）是单函数；
②
若
为单函数，
③
若f：A
B 为单函数，则对于任意b
B，它至多有一个原象；
④
函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.
其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数
，x∈R.
(1)求函数的最小正周期和最小值；
(2)已知
，
，
.求证：[f(β)]2－2＝0.
18．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是
每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2 元(不足1 小时的部
分按1 小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不
超过两小时还车的概率分别为
，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
，；
两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ 的分布列及数学期望Eξ.
19．(本小题共l2 分)
如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D 是棱CC1上的一[来源:学+科+网Z+X+X+K]
P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．
(I)求证：CD=C1D：
(II)求二面角A-A1D-B 的平面角的余弦值；
(Ⅲ)求点C 到平面B1DP 的距离．
20．(本小题共12 分)
设d 为非零实数，an =
[C1
n d+2Cn
2d2+…+(n—1)Cn
n-1d n-1+nCn
ndn](n∈N*).
(I)
写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
(II)设bn=ndan (n∈N*)，求数列{bn}的前n 项和Sn．
21．(本小题共l2 分)[来源:学,科,网Z,X,X,K]
椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C、D 两点，并与
x 轴交于点P．直线AC 与直线BD 交于点Q．
(I)当|CD | =
时，求直线l 的方程；
(II)当点P 异于A、B 两点时，求证：OP·OQ 为定值。
22．(本小题共l4 分)
已知函数f(x)=
x +
, h(x)=
．
(I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值；
(Ⅱ)设a∈R，解关于x 的方程log4 [
]=1og2 h(a-x)一log2h (4-x)；
(Ⅲ)试比较
与
的大小.
2011 四川高考数学(理科)参考答案
参考答案
1．B 2．A 3．B 4． D 5．B 6．C 7． A 8．B 9．C 10．A 11． D
12．B
13．答案：－20
.
14．答案：16
15．答案：2πR2
16．答案：②③
17．解：
(1)∵
．
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)由已知得
，
.
两式相加得2cosβcosα＝0.
∵
，∴
.
∴
.
18．解：(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为
，
.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
.
故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为
.
(2)ξ 可能取的值有0,2,4,6,8.
；
；
；
；
.
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ 的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
p
所以
.
19．解：法一：(1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD.
∵PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，
∴OD∥PB1.
又AO＝B1O，∴AD＝PD.
又AC∥C1P，∴CD＝C1D.
(2)过A 作AE⊥DA1于点E，连结BE.
∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A，
∴BA⊥平面AA1C1C.
由三垂线定理可知BE⊥DA1.
∴∠BEA 为二面角A－A1D－B 的平面角．
在Rt△A1C1D 中，
.
又
，∴
.
在Rt△BAE 中，
，
∴
.
故二面角A－A1D－B 的平面角的余弦值为
.
(3)由题意知，点C 到平面B1DP 的距离是点C 到平面DB1A 的距离，设此距离为h.
∵VC－DB1A＝VB1－ACD，
∴
.
由已知可得
，
，
，
∴在等腰△AB1P 中，
.
∴
.
又
，∴
.
故C 到平面B1DP 的距离等于
.
法二：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角
坐标系A1－B1C1A，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)．
(1)设C1D＝x，
∵AC∥PC1，∴
.
由此可得D(0,1，x)，P
，
∴
，
，
．
设平面BA1D 的一个法向量为n1＝(a，b，c)，
则
，令c＝－1，则n1＝(1，x，－1)．
∵PB1∥平面BA1D，
∴
.
由此可得
，故CD＝C1D.
(2)由(1)知，平面BA1D 的一个法向量
．
又n2＝(1,0,0)为平面AA1D 的一个法向量，
∴
.
故二面角A－A1D－B 的平面角的余弦值为
.
(3)∵
，
，
设平面B1DP 的一个法向量n3＝(a1，b1，c1)，
则
，令c1＝1，可得
．
又
．
∴C 到平面B1DP 的距离
.
20．解：(1)由已知可得a1＝d，a2＝d(1＋d)，a3＝d(1＋d)2.
当n≥2，k≥1 时，
.
因此
.
由此可见，当d≠－1 时，{an}是以d 为首项，d＋1 为公比的等比数列；
当d＝－1 时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}不是等比数列．
(2)由(1)可知，an＝d(d＋1)n－1，从而bn＝nd2(d＋1)n－1，
Sn＝d2[1＋2(d＋1)＋3(d＋1)2＋…＋(n－1)(d－1)n－2＋n(d＋1)n－1]．①
当d＝－1 时，Sn＝d2＝1.
当d≠－1 时，①式两边同乘d＋1 得
(d＋1)Sn＝d2[(d＋1)＋2(d＋1)2＋…＋(n－1)(d＋1)n－1＋n(d＋1)n]．②
①②式相减可得
化简即得Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1.
综上，Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1.
21．解：(1)因椭圆焦点在y 轴上，
设椭圆的标准方程为
(a>b>0)，
由已知得b＝1，c＝1，所以
，椭圆方程为
.
直线l 垂直于x 轴时与题意不符．
设直线l 的方程为y＝kx＋1，将其代入椭圆方程化简得
(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则
，
，
，
由已知得
，解得
.
所以直线l 的方程为
或
.
(2)证明：直线l 与x 轴垂直时与题意不符．
设直线l 的方程为y＝kx＋1(k≠0 且k≠±1)，
所以P 点坐标为
．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由(1)知
，
.
直线AC 的方程为
，直线BD 的方程为
，
将两直线方程联立，消去y 得
.
因为－1＜x1，x2＜1，所以
与
异号．
.
又
，
∴
与y1y2异号，
与
同号，
，解得x＝－k.
因此Q 点坐标为(－k，y0)．
.
故
为定值．
22．解：(1)由
(x≥0)知，
，令F′
(x)＝0，得
.
当
时，F′(x)＜0；
当
时，F′(x)>0.
故当
时，F(x)是减函数；
当
时，F(x)是增函数．
F(x)在
处有极小值且
.
(2) 原方程可化为
log4(x －1) ＋log2h(4 －x) ＝log2h(a －x) ，即
，
，
.
①当1＜a≤4 时，原方程有一解
；
②当4＜a＜5 时，原方程有
；
③当a＝5 时，原方程有一解x＝3；
④当a≤1 或a>5 时，原方程无解．
(3)由已知得
.
设数列{an}的前n 项和为Sn，且
(n∈N*)，
从而有a1＝S1＝1，
当2≤k≤100 时，
.
又
，
即对任意的2≤k≤100，有ak>.
又因为
，所以
.
故
.
