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2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P 的子集共有（
）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
2．（5 分）复数
=（ ）
A．2
i
﹣
B．1
2i
﹣
C．﹣2+i
D．﹣1+2i
3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y=2x3
B．y=|x|+1
C．y=
x
﹣2+4
D．y=2﹣|x|
4．（5 分）椭圆
=1 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ）
A．120
B．720
C．1440
D．5040
6．（5 分）有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参
加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
第1页（共28页）
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线
y=2x 上，则cos2θ=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
8．（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直．l 与C 交于A，B 两
点，|AB|=12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（ ）
A．18
B．24
C．36
D．48
10．（5 分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x
3
﹣的零点所在的区间为（ ）
A．（
，
）
B．（﹣
，0）
C．（0，
）
D．
（
，）
11．（5 分）设函数，则f（x）=sin（2x+
）+cos（2x+
），则（ ）
A．y=f（x）在（0，
）单调递增，其图象关于直线x=
对称
B．y=f（x）在（0，
）单调递增，其图象关于直线x=
对称
C．y=f（x）在（0，
）单调递减，其图象关于直线x=
对称
D．y=f（x）在（0，
）单调递减，其图象关于直线x=
对称
12．（5 分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[
1
﹣，1]时 f（x）=x2，那么函数y=f
第2页（共28页）
（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（ ）
A．10 个
B．9 个
C．8 个
D．1 个
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量+ 与向量k ﹣
垂直，则k= ．
14．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=x+2y 的最小值为 ．
15．（5 分）△ABC 中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为 ．
16．（5 分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一
个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的
，则这两个圆锥中，体积较小
者的高与体积较大者的高的比值为 ．
三、解答题（共8 小题，满分70 分）
17．（12 分）已知等比数列{an}中，a1=
，公比q=
．
（Ⅰ）Sn为{an}的前n 项和，证明：Sn=
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．
18．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，底面ABCD 为平行四边形．∠DAB=60°，
AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D
PBC
﹣
的高．
第3页（共28页）
19．
（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，
且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A
配方和B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量
指标值，得到下面试验结果：
A 配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B 配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t 的关系
式为y=
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X 的分布列及数
学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标
值落入相应组的概率）
第4页（共28页）
20．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=x2
6x
﹣
+1 与坐标轴的交点都在圆C
上．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线x
y
﹣+a=0 交与A，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值．
21．（12 分）已知函数f（x）=
+
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
x+2y
3=0
﹣
．
（Ⅰ）求a、b 的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1 时，f（x）＞
．
22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重
合．已知AE 的长为m，AC 的长为n，AD，AB 的长是关于x 的方程x2
14x
﹣
+mn=0
的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E 四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E 所在圆的半径．
第5页（共28页）
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（α 为参数）M 是C1
上的动点，P 点满足
=2
，P 点的轨迹为曲线C2
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=
与C1的异于
极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
24．设函数f（x）=|x
a
﹣|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）≥3x+2 的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0 的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值．
第6页（共28页）
2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P 的子集共有（
）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P 的
子集个数．
【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，
∴P=M∩N={1，3}
∴P 的子集共有22=4
故选：B．
【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n 个元素，则其
子集的个数是2n．
2．（5 分）复数
=（ ）
A．2
i
﹣
B．1
2i
﹣
C．﹣2+i
D．﹣1+2i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1 代替即
可．
【解答】解：
=
2
﹣+i
第7页（共28页）
故选：C．
【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y=2x3
B．y=|x|+1
C．y=
x
﹣2+4
D．y=2﹣|x|
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到
既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．
【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=
2x
﹣
3=
f
﹣（x），为奇函数，故排除A；
对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|
x
﹣|+1=f（x），为偶函数，当x＞0 时，y=x+1，是增函
数，故B 正确；
对于C．y=
x
﹣2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0 时为减函数，故排除C；
对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0 时，y=2
x
﹣，为减函数，故排除
D．
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定
义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．
4．（5 分）椭圆
=1 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据椭圆的方程，可得a、b 的值，结合椭圆的性质，可得c 的值，有椭圆的
离心率公式，计算可得答案．
第8页（共28页）
【解答】解：根据椭圆的方程
=1，可得a=4，b=2
，
则c=
=2
；
则椭圆的离心率为e=
=
，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲
线的对应性质的区分．
5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ）
A．120
B．720
C．1440
D．5040
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k 的值，当k＜N 不成立时输出p 的值即
可．
【解答】解：执行程序框图，有
N=6，k=1，p=1
第9页（共28页）
P=1，k＜N 成立，有k=2
P=2，k＜N 成立，有k=3
P=6，k＜N 成立，有k=4
P=24，k＜N 成立，有k=5
P=120，k＜N 成立，有k=6
P=720，k＜N 不成立，输出p 的值为720．
故选：B．
【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．
6．（5 分）有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参
加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3 种结果，满足条件
的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3 种结果，根据古典概型概率公
式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是3×3=9 种结果，
满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，
由于共有三个小组，则有3 种结果，
根据古典概型概率公式得到P=
，
故选：A．
【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验
发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题
目．
第10页（共28页）
7．（5 分）已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线
y=2x 上，则cos2θ=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ 的值，
然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ 的平方，然后根据二倍角的余
弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ 的平方代入即可求出值．
【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，
所以cos2θ=
=
=
，
则cos2θ=2cos2θ
1=2
﹣
×
1=
﹣
﹣
．
故选：B．
【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角
函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
8．（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】13：作图题．
第11页（共28页）
【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱
锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧
视图．
【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选：D．
【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到
余下的三视图，本题是一个基础题．
9．（5 分）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直．l 与C 交于A，B 两
点，|AB|=12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（ ）
A．18
B．24
C．36
D．48
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】44：数形结合法．
【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及
准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP 的面积是|AB|与DP 乘积一半．
【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），
则焦点为F（
，0），对称轴为x 轴，准线为x=﹣
∵直线l 经过抛物线的焦点，A、B 是l 与C 的交点，
又∵AB⊥x 轴
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵点P 在准线上
∴DP=（
+|
|）=p=6
∴S△ABP=
（DP•AB）=
×6×12=36
故选：C．
第12页（共28页）
【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和
圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．
10．（5 分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x
3
﹣的零点所在的区间为（ ）
A．（
，
）
B．（﹣
，0）
C．（0，
）
D．
（
，）
【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】根据导函数判断函数f（x）=ex+4x
3
﹣单调递增，运用零点判定定理，判定
区间．
【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x
3
﹣
∴f′（x）=ex+4
当x＞0 时，f′（x）=ex+4＞0
∴函数f（x）=ex+4x
3
﹣在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0
3=
2
﹣
﹣＜0
f（
）=
1
﹣＞0
f（
）=
2=
﹣
﹣
＜0
∵f（
）•f（
）＜0，
∴函数f（x）=ex+4x
3
﹣的零点所在的区间为（
，
）
故选：A．
【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．
第13页（共28页）
11．（5 分）设函数，则f（x）=sin（2x+
）+cos（2x+
），则（ ）
A．y=f（x）在（0，
）单调递增，其图象关于直线x=
对称
B．y=f（x）在（0，
）单调递增，其图象关于直线x=
对称
C．y=f（x）在（0，
）单调递减，其图象关于直线x=
对称
D．y=f（x）在（0，
）单调递减，其图象关于直线x=
对称
【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的奇偶性和对称性．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+
）+cos
（2x+
），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，
）单调性，即可得到答案．
【解答】解：因为f（x）=sin（2x+
）+cos（2x+
）=
sin（2x+
）=
cos2x．由于
y=cos2x 的对称轴为x=
kπ（k∈Z），所以y=
cos2x 的对称轴方程是：x=
（k∈Z），所以A，C 错误；y=
cos2x 的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），
即
（k∈Z），函数y=f（x）在（0，
）单调递减，所以B 错误，D 正
确．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，
考查计算能力，常考题型．
12．（5 分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[
1
﹣，1]时 f（x）=x2，那么函数y=f
（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（ ）
第14页（共28页）
A．10 个
B．9 个
C．8 个
D．1 个
【考点】3Q：函数的周期性；4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计
算函数值估算即可．
【解答】解：作出两个函数的图象如上
∵函数y=f（x）的周期为2，在[
1
﹣，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数
∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5 次周期性变化，
在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，
在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，
且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，
再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，
且当x=1 时y=0； x=10 时y=1，
再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10 个，
故选：A．
【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于
基本题．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量+ 与向量k ﹣
垂直，则k=
1
．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
第15页（共28页）
【专题】11：计算题．
【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平
方列出方程，求出k 值．
【解答】解：∵
∴
∵
垂直
∴
即
∴k=1
故答案为：1
【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向
量的平方．
14．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=x+2y 的最小值为 ﹣
6
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目
标函数z=x+2y 变化为y=﹣
x+
，当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增
大，当直线过A 点时，z 取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数
得到最小值．
【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，
得到的图形是一个平行四边形，
目标函数z=x+2y，
变化为y=﹣
x+
，
第16页（共28页）
当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大，
当直线过A 点时，z 取到最小值，
由y=x
9
﹣与2x+y=3 的交点得到A（4，﹣5）
∴z=4+2（﹣5）=
6
﹣
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找
出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．
15．（5 分）△ABC 中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为
．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：由余弦定理可知cosB=
=﹣
，
求得BC=
8
﹣或3（舍负）
∴△ABC 的面积为
•AB•BC•sinB=
×5×3×
=
故答案为：
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利
第17页（共28页）
用两边和夹角来求解是常用的方法．
16．（5 分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一
个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的
，则这两个圆锥中，体积较小
者的高与体积较大者的高的比值为
．
【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面
半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．
【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆
锥的底面半径为：2
；
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可
以构成一个直角三角形
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是
，
所以圆锥体积较小者的高为：4
2=2
﹣
，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；
所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：
．
故答案为：
【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计
算能力，空间想象能力，常考题型．
三、解答题（共8 小题，满分70 分）
17．（12 分）已知等比数列{an}中，a1=
，公比q=
．
（Ⅰ）Sn为{an}的前n 项和，证明：Sn=
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．
第18页（共28页）
【考点】89：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（I）根据数列{an}是等比数列，a1=
，公比q=
，求出通项公式an和前n 项
和Sn，然后经过运算即可证明．
（II）根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式．
【解答】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=
，q=
∴an=
×
=
，
Sn=
又∵
=
=Sn
∴Sn=
（II）∵an=
∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=
log
﹣
33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）
=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和以及对数函数的运算性质．
18．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，底面ABCD 为平行四边形．∠DAB=60°，
AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D
PBC
﹣
的高．
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【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题．
【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=
，利用勾股定理证
明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和
性质定理，可证PA⊥BD；
（II）要求棱锥D
PBC
﹣
的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，
作DE⊥PB 于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE 的长．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=
，
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．
（II）解：作DE⊥PB 于E，已知PD⊥底面ABCD，
则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
则DE⊥平面PBC．
由题设知PD=1，则BD=
，PB=2．
根据DE•PB=PD•BD，得DE=
，
即棱锥D
PBC
﹣
的高为
．
【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距
离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．
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19．
（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，
且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A
配方和B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量
指标值，得到下面试验结果：
A 配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B 配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t 的关系
式为y=
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X 的分布列及数
学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标
值落入相应组的概率）
【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变量的期望
与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题．
【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用
两种配方的产品的优质品率的估计值．
（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变
量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．
【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为
∴用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
第21页（共28页）
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为
∴用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；
（Ⅱ）用B 配方生产的100 件产品中，其质量指标值落入区间
[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，
∴P（X=
2
﹣）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X 的分布列为
X
2
﹣
2
4
P
0.04
0.54
0.42
∴X 的数学期望值EX=
2
﹣×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容
量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题
20．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=x2
6x
﹣
+1 与坐标轴的交点都在圆C
上．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线x
y
﹣+a=0 交与A，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值．
【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆
心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半
径，写出圆的方程；
法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求
出参数，
（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C 与直线x
y
﹣+a=0 的交点A，B 坐标，通过
OA⊥OB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a 的方程，通过解方程
确定出a 的值．
【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2
6x
﹣
+1 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为
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（3+2
，0），（3
2
﹣
，0）．可知圆心在直线x=3 上，故可设该圆的圆心C 为
（3，t），则有32+（t
1
﹣）2=（2
）2+t2，解得t=1，故圆C 的半径为
，
所以圆C 的方程为（x
3
﹣）2+（y
1
﹣）2=9．
法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0
x=0，y=1 有1+E+F=0
y=0，x2
6x
﹣
+1=0 与x2+Dx+F=0 是同一方程，故有D=
6
﹣，F=1，E=
2
﹣，
即圆方程为x2+y2
6x
2y
﹣
﹣
+1=0
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组
，消去y，得到方程2x2+（2a
8
﹣）x+a2
2a
﹣
+1=0，由已知可
得判别式△=56
16a
4a
﹣
﹣
2＞0．
在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4
a
﹣，x1x2=
①，
由于OA⊥OB 可得x1x2+y1y2=0 ，又y1=x1+a ，y2=x2+a ，所以可得2x1x2+a
（x 1+x2）+a2=0 ②
由①②可得a=
1
﹣，满足△=56
16a
4a
﹣
﹣
2＞0．故a=
1
﹣．
【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，
直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思
想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．
21．（12 分）已知函数f（x）=
+
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
x+2y
3=0
﹣
．
（Ⅰ）求a、b 的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1 时，f（x）＞
．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．
【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处
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的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b 的值．
（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出
函数的最值，证得不等式．
【解答】解：（I）
．
由于直线x+2y
3=0
﹣
的斜率为﹣
，且过点（1，1）
所以
解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=
所以
考虑函数
，
则
所以当x≠1 时，h′（x）＜0 而h（1）=0，
当x∈（0，1）时，h（x）＞0 可得
；
当
从而当x＞0 且x≠1 时，
【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过
判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．
22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重
合．已知AE 的长为m，AC 的长为n，AD，AB 的长是关于x 的方程x2
14x
﹣
+mn=0
第24页（共28页）
的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E 四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E 所在圆的半径．
【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE 的长为m，AC 的长为n，AD，AB 的长是关
于x 的方程x2
14x
﹣
+mn=0 的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似
根据相似三角形的对应角相等，得到结论．
（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE 的中点
G，DB 的中点F，分别过G，F 作AC，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH，根
据四点共圆得到半径的大小．
【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中，
AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E 四点共圆．
（Ⅱ）m=4，n=6 时，方程x2
14x
﹣
+mn=0 的两根为x1=2，x2=12．
故AD=2，AB=12．
取CE 的中点G，DB 的中点F，分别过G，F 作AC，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，
连接DH．
∵C，B，D，E 四点共圆，
∴C，B，D，E 四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
第25页（共28页）
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=
（12
2
﹣）=5．
故C，B，D，E 四点所在圆的半径为5
【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，
考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（α 为参数）M 是C1
上的动点，P 点满足
=2
，P 点的轨迹为曲线C2
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=
与C1的异于
极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（I）先设出点P 的坐标，然后根据点P 满足的条件代入曲线C1的方程即可
求出曲线C2的方程；
（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=
与C1的交点A 的极
径为ρ1，以及射线θ=
与C2的交点B 的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2
ρ
﹣
1|求
出所求．
【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（
，）．由于M 点在C1上，
第26页（共28页）
所以
即
从而C2的参数方程为
（α 为参数）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ=
与C1的交点A 的极径为ρ1=4sin
，
射线θ=
与C2的交点B 的极径为ρ2=8sin
．
所以|AB|=|ρ2
ρ
﹣
1|=
．
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的
度量，属于中档题．
24．设函数f（x）=|x
a
﹣|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）≥3x+2 的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0 的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】（Ⅰ）当a=1 时，f（x）≥3x+2 可化为|x
1
﹣|≥2．直接求出不等式f（x）
≥3x+2 的解集即可．
（Ⅱ）由f（x）≤0 得|x
a
﹣|+3x≤0 分x≥a 和x≤a 推出等价不等式组，分别求解，
然后求出a 的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1 时，f（x）≥3x+2 可化为
|x
1
﹣|≥2．
由此可得x≥3 或x≤﹣1．
故不等式f（x）≥3x+2 的解集为
{x|x≥3 或x≤﹣1}．
（Ⅱ）由f（x）≤0 得
第27页（共28页）
|x
a
﹣|+3x≤0
此不等式化为不等式组
或
即
或
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x
}
由题设可得﹣
=
1
﹣，故a=2
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考
查计算能力，常考题型．
第28页（共28页）
