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2011 年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标）文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M
，则P 的子集共有
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
2．复数
A．
B．
C．
D．
3．下列函数中，既是偶函数又在
单调递增的函数是
A．
B．
C．
D．
4．椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是
A．120
B．720
C． 1440
D．5040
6．有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个
小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A．
B．
C．
D．
7．已知角
的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线
上，
则
=
A．
B．
C．
D．
8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧
视图可以为
A．
B．
C．
D．
9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A，B 两点，
，P
为C 的准线上一点，则
的面积为
A．18
B．24
C． 36
D． 48
10．在下列区间中，函数
的零点所在的区间为
A．
B．
C．
D．
11．设函数
，则
A．
在
单调递增，其图象关于直线
对称
B．
在
单调递增，其图象关于直线
对称
C．
在
单调递减，其图象关于直线
对称
D．
在
单调递减，其图象关于直线
对称
12．已知函数
的周期为2，当
时
，那么函数
的图象与
函数
的图象的交点共有
A．10 个
B．9 个
C．8 个
D．1 个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题-第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．
第22 题-第24 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．
13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则
k=_____________．
14．若变量x，y 满足约束条件
，则
的最小值是_________．
15．
中，
，则
的面积为_________．
16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底
面面积是这个球面面积的
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的
比值为______________．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12 分）
已知等比数列
中，
，公比
．
（I）
为
的前n 项和，证明：
（II）设
，求数列
的通项公式．
18．（本小题满分12 分）
如图，四棱锥
中，底面ABCD 为平行四边形，
，
，
底面ABCD．
（I）证明：
；
（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．
19．（本小题满分12 分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于
或等于102 的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了
100 件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
A 配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B 配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（I）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（II）已知用B 配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0 的概率，并求用B 配方生产的上述100 件产
品平均一件的利润．
20．（本小题满分12 分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线
与坐标轴的交点都在圆C 上．
（I）求圆C 的方程；
（II）若圆C 与直线
交于A，B 两点，且
求a 的值．
21．（本小题满分12 分）
已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
（I）求a，b 的值；
（II）证明：当x>0，且
时，
．
请考生在第22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是
用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
22．（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E 分别为
的边AB，AC 上的点，且不与
的顶点重合．已知AE 的
长为m，AC 的长为n，AD，AB 的长是关于x 的方程
的两个根．
（I）证明：C，B，D，E 四点共圆；
（II）若
，且
求C，B，D，E 所在圆的半径．
23．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线
的参数方程为
为参数），M 为
上的
动点，P 点满足
，点P 的轨迹为曲线
．
（I）求
的方程；
（II）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与
的异于极点的
交点为A，与
的异于极点的交点为B，求|AB|．
24．（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲
设函数
，其中
．
（I）当a=1 时，求不等式
的解集．
（II）若不等式
的解集为｛x|
，求a 的值．
参考答案
一、选择题
（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A
（7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A
二、填空题
（13）1 （14）-6 （15）
（16）
1．解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。显然P=
，子集数为22=4
故选B
2．解析：本题考查复数的运算，属容易题。
解法一：直接法
5
1 2
i
i
，故选C
解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案。
3．解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题
可以直接判断：A 是奇函数，B 是偶函数，又是
0,的增函数，故选B。
4．解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e=
,故选D。也可以
用公式
故选D。
5.解析：本题考查程序框图，属于容易题。
可设
,
则
输出720.故选B
6.解析：本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为A,B,C.
他们参加情况共一下9 种情况，其中参加同一小组情况共3 中，故概率为
故选A。
7.解析：本题考查三角公式，属于容易题。
易知tan =2，cos =
.由cos2 =2
-1=
3
5
故选B
8.解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。
由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可
选D
9.解析：本题考查抛物线的方程，属于中等题。
易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C。
10.解析：本题考查零点存在定理，属于中等题。只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故
选C。
11. 解析：本题考查三角函数的性质。属于中等题。
解法一：f(x)=
sin(2x+
)=
cos2x.所以f(x) 在（0，2
π）单调递减，其图像关于直线x =
2
π
对称。故选D。
解法二：直接验证 由选项知（0，2
π）不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端
点值，知递减，显然x =
4
π
不会是对称轴
故选D。
12.解析：本题考查函数的图象和性质，属于难题。
本题可用图像法解。易知共10 个交点
13. 解析：本题考查向量的基本运算和性质，属于容易题。
解法一：直接法 (a+b)(ka-b)=0 展开易得k=1.
解法二：凭经验 k=1 时a+b, a-b 数量积为0，易知k=1.
14.解析：本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。
易得z=x+2y 的最小值为-6。
15.解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。
有余弦定理得
所以BC=3，有面积公式得S=
16.解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目。
由圆锥底面面积是这个球面面积的
16
3
得
所以
，则小圆锥的高为
大圆锥的高为
，所以比值为
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）因为
所以
（Ⅱ）
所以
的通项公式为
(18)解：
（Ⅰ）因为
， 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BD
AD
又PD
底面ABCD，可得BD
PD
所以BD
平面PAD. 故 PA
BD
（Ⅱ）如图，作DE
PB，垂足为E。已知PD
底面ABCD，则PD
BC。由（Ⅰ）知BD
AD，又BC//AD，所以BC
BD。
故BC
平面PBD，BC
DE。
则DE
平面PBC。
由题设知，PD=1，则BD=
，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD，得DE=
，
即棱锥D—PBC 的高为
（19）解
（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为
，所以用A 配方
生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为
，所以用B 配方生
产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0 当且仅当其质量指标值t≥94，由
试验结果知，质量指标值t≥94 的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于
0 的概率估计值为0.96.
用B 配方生产的产品平均一件的利润为
（元）
(20）解：
（Ⅰ）曲线
与y 轴的交点为（0 ，1 ），与x 轴的交点为（
故可设C 的圆心为（3，t），则有
解得t=1.
则圆C 的半径为
所以圆C 的方程为
（Ⅱ）设A（
），B（
），其坐标满足方程组：
消去y，得到方程
由已知可得，判别式
因此，
从而
①
由于OA OB
⊥
，可得
又
所以
②
由①，②得
，满足
故
（21）解：
（Ⅰ）
由于直线
的斜率为
，且过点
，故
即
解得
，
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，所以
考虑函数
，则
所以当
时，
故
当
时，
当
时，
从而当
（22）解：
（I）连接DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中，
AD×AB=mn=AE×AC，
即
.又∠DAE= CAB
∠
，从而△ADE
ACB
△
∽
因此∠ADE= ACB
∠
所以C，B，D，E 四点共圆。
（Ⅱ）m=4， n=6 时，方程x2-14x+mn=0 的两根为x1=2，x2=12.
故 AD=2，AB=12.
取CE 的中点G，DB 的中点F，分别过G，F 作AC，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接
DH.因为C，B，D，E 四点共圆，所以C，B，D，E 四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH AB
∥
， HF AC. HF=AG=5
∥
，DF=
(12-2)=5.
故C，B，D，E 四点所在圆的半径为5
（23）解：
（I）设P(x，y)，则由条件知M(
).由于M 点在C1上，所以
即
从而
的参数方程为
（
为参数）
（Ⅱ）曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
。
射线
与
的交点
的极径为
，
射线
与
的交点
的极径为
。
所以
.
（24）解：
（Ⅰ）当
时，
可化为
。
由此可得
或
。
故不等式
的解集为
或
。
(Ⅱ) 由
得
此不等式化为不等式组
或
即
因为
，所以不等式组的解集为
，由题设可得
=
，故
.
