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2011 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（5 分）（2011•浙江）若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（ ）
A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q
D．Q⊆∁RP
【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】集合．
【分析】利用集合的补集的定义求出P 的补集；利用子集的定义判断出Q⊆CRP．
【解答】解：∵P={x|x＜1}，
C
∴
RP={x|x≥1}，
Q={x|x
∵
＞1}，
Q
∴⊆CRP，
故选D．
【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的
定义判断集合的包含关系．
2．（5 分）（2011•浙江）若复数z=1+i，i 为虚数单位，则（1+z）•z=（ ）
A．1+3i B．3+3i C．3
i
﹣
D．3
【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用两个复数代数形式的乘法法则，把（1+z）•z 化简到最简形式．
【解答】解：∵复数z=1+i，i 为虚数单位，则（1+z）•z=（2+i）（1+i）=1+3i
故选 A．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位的幂运算性质．
3．（5 分）（2011•浙江）若实数x，y 满足不等式组
，则3x+4y 的最小值是
（ ）
A．13
B．15
C．20
D．28
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】我画出满足不等式组
的平面区域，求出平面区域中各角点的坐标，然
后利用角点法，将各个点的坐标逐一代入目标函数，比较后即可得到3x+4y 的最小值．
【解答】解：满足约束条件
的平面区域如下图所示：
1
由图可知，当x=3，y=1 时
3x+4y 取最小值13
故选A
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关
键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，
并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标
函数的最优解．
4．（5 分）（2011•浙江）若直线l 不平行于平面α，且l⊄α，则（ ）
A．α 内存在直线与l 异面
B．α 内存在与l 平行的直线
C．α 内存在唯一的直线与l 平行D．α 内的直线与l 都相交
【考点】直线与平面平行的性质；平面的基本性质及推论．菁优网版权所有
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l 不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l
与α 的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．
【解答】解：直线l 不平行于平面α，且l⊄α，
则l 与α 相交
l 与α 内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
故B，C，D 错误
故选A
【点评】本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用
已知判断出直线l 与α 的关系是解答本题的关键．
5．（5 分）（2011•浙江）在△ABC 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则
sinAcosA+cos2B=（ ）
A．﹣
B．C．﹣1
D．1
【考点】余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
【专题】解三角形．
【分析】利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入要求的
式子，利用三角函数的平方关系求出值．
【解答】解：∵acosA=bsinB
由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB
2
sinAcosA+cos
∴
2B=sin2B+cos2B=1
故选D
【点评】本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理、三角函数的平方关系．
6．（5 分）（2011•浙江）若a，b 为实数，则“0＜ab＜1”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1”⇒“
”与“
”⇒“0＜ab＜1”的
真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案．
【解答】解：若“0＜ab＜1”
当a，b 均小于0 时，
即“0＜ab＜1”⇒“
”为假命题
若“
”
当a＜0 时，ab＞1
即“
”⇒“0＜ab＜1”为假命题
综上“0＜ab＜1”是“
”的既不充分也不必要条件
故选D．
【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中
根据不等式的性质判断“0＜ab＜1”⇒“
”与“
”⇒“0＜ab＜1”的真假，是解答本
题的关键．
7．（5 分）（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】空间几何体的直观图；简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
3
【专题】立体几何．
【分析】A、C 选项中正视图不符合，D 答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．
【解答】解：A、C 选项中正视图不符合，A 的正视图为
，
C 的正视图为
D 答案中侧视图不符合．D 答案中侧视图为
故选B
【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．
8．（5 分）（2011•浙江）从已有3 个红球、2 个白球的袋中任取3 个球，则所取的3 个球中至少
有1 个白球的概率是（ ）
A．
B．
C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】用间接法，首先分析从5 个球中任取3 个球的情况数目，再求出所取的3 个球中没有
白球即全部红球的情况数目，计算可得没有白球的概率，而“没有白球”与“3 个球中至少
有1 个白球”为对立事件，由对立事件的概率公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，首先分析从5 个球中任取3 个球，共C5
3=10 种取法，
所取的3 个球中没有白球即全部红球的情况有C3
3=1 种，
则没有白球的概率为
；
则所取的3 个球中至少有1 个白球的概率是
．
故选D．
【点评】本题考查古典概型的计算，注意至多、至少一类的问题，可以选用间接法，即借助对立
事件的概率的性质，先求其对立事件的概率，进而求出其本身的概率．
9．
（5 分）
（2011•浙江）已知椭圆C1：
=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣
=1 有公共的焦
点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B 两点．若C1恰好将线段AB 三等
分，则（ ）
A．a2=
B．a2=3 C．b2=
D．b2=2
4
【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB 为圆的直径且
AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2
b
﹣2=5；设C1与y=2x 在第一象限的交点
的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：
；对称性知直线y=2x 被C1截得的弦长=2
x，根据C1恰好将线段AB 三等分得：2
x=
，从而可解出a2，b2的值，故可得结论．
【解答】解：由题意，C2的焦点为（±
，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB 为
圆的直径且AB=2a
C
∴
1的半焦距c=
，于是得a2
b
﹣2=5 ①
设C1与y=2x 在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：
②，
由对称性知直线y=2x 被C1截得的弦长=2
x，
由题得：2
x=
，所以
③
由②③得a2=11b2 ④
由①④得a2=5.5，b2=0.5
故选C
【点评】本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算
有点烦琐，需要小心谨慎．
10．（5 分）（2011•浙江）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=
1
﹣为函数y=f（x）ex的一个
极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=
1
﹣为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c 之
间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．
【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，
由x=
1
﹣为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1 是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0 的一个根，
所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．
法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣
，且f（﹣1）=2a
b
﹣，f（0）=a．
对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，
对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，
对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣
＞0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0，不矛盾，
5
对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣
＜﹣1⇒b＞2a⇒f（﹣1）＜0 与原图中f（﹣1）＞0 矛盾，
D 不对．
法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D
不成立．
故选：D．
【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值
点代入导数令其等0 即可．可导函数的极值点一定是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定
是极值点．
二、填空题（共7 小题，每小题4 分，满分28 分）
11．（4 分）（2011•浙江）设函数
，若f（a）=2，则实数a= ﹣
1
．
【考点】函数的值．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】将x=a 代入到f（x），得到
=2．再解方程即可得．
【解答】解：由题意，f（a）=
=2，
解得，a=
1
﹣．
故a=
1
﹣．
【点评】本题是对函数值的考查，属于简单题．对这样问题的解答，旨在让学生体会函数，函数
值的意义，从而更好的把握函数概念，进一步研究函数的其他性质．
12．（4 分）（2011•浙江）若直线与直线x
2y+5=0
﹣
与直线2x+my
6=0
﹣
互相垂直，则实数m=
1
．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】直线与圆．
【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m 的值．
【解答】解：直线x
2y+5=0
﹣
的斜率为
直线2x+my
6=0
﹣
的斜率为
∵两直线垂直
∴
解得m=1
故答案为：1
【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为﹣1．
13．（4 分）（2011•浙江）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000 名学生中随机抽取
200 名，并统计这200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根
据频率分布直方图3000 名学生在该次数学考试中成绩小于60 分的学生数是
600
．
6
【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】首先计算成绩小于60 的三个小矩形的面积之和，即成绩小于60 的学生的频率，再乘
以3000 即可．
【解答】解：由频率分布直方图成绩小于60 的学生的频率为10（0.002+0.006+0.012）=0.2，
所以成绩小于60 分的学生数是3000×0，2=600
故答案为：600
【点评】本题考查频率分布直方图和由频率分布直方图估计总体的分布，考查识图能力．
14．（4 分）（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是
5
．
【考点】程序框图．菁优网版权所有
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是
利用循环计算并输出k 值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行
分析，不难得到最终的输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
第一圈 k=3 a=43 b=34
第二圈 k=4 a=44 b=44
7
第三圈 k=5 a=45 b=54
此时a＞b，退出循环，k 值为5
故答案为：5．
【点评】对于流程图处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分
析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格
对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③
解模．
15．（4 分）（2011•浙江）若平面向量α，β 满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β 为邻边的平行四边形
的面积为，则α 和β 的夹角θ 的范围是
[30°
，
150°
]
．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三
角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角．
【解答】解：∵|
||
|sinθ=
sinθ=
∴
，
|
∵
|=1，|
|≤1，
sinθ
∴
，
θ
∵∈[0，π]
θ
∴∈[30°，150°]，
故答案为：[30°，150°]，或[
]，
【点评】本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，
是一个比较简单的综合题目．
16．（4 分）（2011•浙江）若实数x，y 满足x2+y2+xy=1，则x+y 的最大值是
．
【考点】基本不等式．菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用基本不等式，根据xy≤
把题设等式整理成关于x+y 的不等式，求得其
范围，则x+y 的最大值可得．
【解答】解：∵x2+y2+xy=1
∴（x+y）2=1+xy
xy≤
∵
8
∴（x+y）2
1≤
﹣
，整理求得﹣
≤x+y≤
x+y
∴
的最大值是
故答案为：
【点评】本题主要考查了基本不等式．应熟练掌握如均值不等式，柯西不等式等性质．
17．（4 分）（2011•浙江）若数列
中的最大项是第k 项，则k=
4
．
【考点】数列的函数特性．菁优网版权所有
【专题】点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理．
【解答】解：令
，
假设
=
≥1，
则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n2≤10，所以n＜4，
又n 是整数，即n≤3 时，an+1＞an，
当n≥4 时，an+1＜an，
所以a4最大．
故答案为：4．
【点评】本题考查数列的最值问题，利用做差或做商比较法判断数列的单调性是求数列最值
的常用方式．
三、解答题（共5 小题，满分72 分）
18．
（14 分）
（2011•浙江）已知函数
，x∈R，A＞0，
．
y=f（x）的部分图象，如图所示，P、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ 的值；
（Ⅱ）若点R 的坐标为（1，0），
，求A 的值．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
9
【分析】（I）由已知函数
，我们易求出函数的最小正周期，又由
P 的坐标为（1，A），我们易构造出一个关于φ 的三角方程，结合
解三角方程即可
求出φ 值．
（II）根据（I）的结论及R 的坐标，和
，利用余弦定理我们易构造出一个关于A 的
方程，解方程即可得到A 的值．
【解答】解：（I）由题意得，T=
=6
P
∵（1，A）在函数
的图象上
∴
=1
又∵
φ=
∴
（II）由P、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A），结合（I）可知点Q 的坐
标为（4，﹣A）
连接PQ，在△PRQ 中，∠PRQ=
可得，∠QRX=
，作QM X
⊥
轴于M，则QM=A，RM=3，
所以有tan
=
=
=
A=
∴
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，
其中根据已知中条件构造关于参数A，φ 是解答本题的关键．
19．（14 分）（2011•浙江）已知公差不为0 的等差数列{an}的首项a1（a1∈R），且
，
，
成
等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）对n∈N*，试比较
与
的大小．
【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质．菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由
，
，
成等比数列，利用等比数列的性质及等差数列的通项公式列出关
于首项和公差的方程，根据公差d 不为0，解得公差d 与首项相等，然后根据首项和公差写出
数列的通项公式即可；
10
（Ⅱ）设Tn=
与根据（Ⅰ）中求得的通项公式表示出
，然后利用
等比数列的前n 项和的公式求出Tn，即可比较出两者的大小关系．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意可知
=
×
，
即（a1+d）2=a1（a1+3d），从而a1d=d2，
因为d≠0，所以d=a1，
故an=nd=na1；
（Ⅱ）记Tn=
+
+…+
，由an=na1，得
=2na1，
则Tn=
+
+…+
=
（
）
=
（1﹣
），
T
∴
n﹣
=
（1﹣
）﹣
=
（﹣
），
从而，当a1＞0 时，Tn＜
；当a1＜0 时，Tn＞
．
【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，利用运用等比数列的通项公式及前n 项和的公
式化简求值，是一道中档题．
20．（14 分）（2011•浙江）如图，在三棱锥P
ABC
﹣
中，AB=AC，D 为BC 的中点，PO⊥平面
ABC，垂足O 落在线段AD 上．
（Ⅰ）证明：AP BC
⊥
；
（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B
AP
C
﹣
﹣
的大小．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面
角及求法．菁优网版权所有
【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
【分析】（I）由题意．因为PO⊥平面ABC，垂足O 落在线段AD 上所以BC PO
⊥
．有AB=AC，D
为BC 的中点，得到BC AD
⊥
，进而得到线面垂直，即可得到所证；
11
（II）有（I）利用面面垂直的判定得到PA⊥平面BMC，再利用二面角的定义得到二面角的平面
角，然后求出即可．
【解答】解：（I）由题意画出图如下：
由AB=AC，D 为BC 的中点，得AD BC
⊥
，
又PO⊥平面ABC，垂足O 落在线段AD 上，得到PO BC
⊥
，
PO∩AD=O BC
∵
∴
⊥平面PAD，故BC PA
⊥
．
（II）如图，在平面PAB 中作BM PA
⊥
于M，连接CM，
BC
PA
∵
⊥
，∴PA⊥平面BMC，∴AP CM
⊥
，故∠BMC 为二面角B
AP
C
﹣
﹣
的平面角，
在直角三角形ADB 中，
；
在直角三角形POD 中，PD2=PO2+OD2，在直角三角形PDB 中，PB2=PD2+BD2，
∴PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6，
在直角三角形POA 中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，
又cos BPA=
∠
，从而
．
故BM=
，
BM
∵
2+MC2=BC2，∴二面角B
AP
C
﹣
﹣
的大小为90°．
【点评】（I）此问考查了线面垂直的判定定理，还考查了线面垂直的性质定理；
（II）此问考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解．
21．（15 分）（2011•浙江）设函数f（x）=a2lnx
x
﹣2+ax，a＞0，且f（1）≥e
1
﹣．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间
（Ⅱ）求所有的实数a，使e
1≤f
﹣
（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．注：e 为自然对数的底数．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）直接利用导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0 时原
函数单调递增，当导函数小于0 时原函数单调递减来求f（x）的单调区间即可．
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论求出f（x）在[1，e]上的最值，把原不等式转化为比较f（x）在[1，e]上
的最值与两端点值之间的关系即可求所有的实数a．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=a2lnx
x
﹣2+ax，其中x＞0．
所以f'（x）=
2x+a=
﹣
﹣
．
由于a＞0，所以f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．
12
（Ⅱ）证明：由题得，f（1）=a
1≥e
1
﹣
﹣，即a≥e，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]内单调递增
要使e
1≤f
﹣
（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a=e．
【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0 时原
函数单调递增，当导函数小于0 时原函数单调递减．
22．（15 分）（2011•浙江）如图，设P 是抛物线C1：x2=y 上的动点．过点P 做圆C2：x2+（y+3）
2=1 的两条切线，交直线l：y=
3
﹣于A，B 两点．
（Ⅰ）求C2的圆心M 到抛物线 C1准线的距离．
（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB 被抛物线C1在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【考点】圆锥曲线的综合；抽象函数及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）先求出抛物线 C1准线的方程，再利用点到直线距离的求法求出C2的圆心M 到
抛物线 C1准线的距离即可．
（Ⅱ）先设抛物线 C1在点P 处的切线交直线l 于点D，线段AB 被抛物线C1在点P 处的切线
平分即为xA+xB=2XD．设出过点P 做圆C2x2+（y+3）2=1 的两条切线PA，PB，与直线y=
3
﹣联
立，分别求出A，B，D 三点的横坐标，代入xA+xB=2XD．看是否能解出点P，即可判断出是否
存在点P，使线段AB 被抛物线C1在点P 处的切线平分．
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线 C1准线的方程为：y=﹣，
所以圆心M 到抛物线 C1准线的距离为：|﹣﹣（﹣3）|=
．
（Ⅱ）设点P 的坐标为（x0，x0
2），抛物线 C1在点P 处的切线交直线l 与点D，
因为：y=x2，所以：y′=2x；
再设A，B，D 的横坐标分别为xA，xB，xD，
∴过点P（x0，x0
2）的抛物线 C1的切线的斜率k=2x0．
过点P（x0，x0
2）的抛物线 C1的切线方程为：y
x
﹣0
2=2x0（x
x
﹣0） ①
当 x0=1 时，过点P（1，1）且与圆C2相切的切线PA 方程为：y
1=
﹣
（x
1
﹣）．可得xA=﹣
，
xB=1，xD=
1
﹣，xA+xB≠2xD．
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当x0=
1
﹣时，过点P（﹣1，1）且与圆C2的相切的切线PB 的方程为：y
1=
﹣
﹣
（x+1）．可得
xA=
1
﹣，xB=
，xD=1，xA+xB≠2xD．
所以x0
2
1≠0
﹣
．设切线PA，PB 的斜率为k1，k2，
则：PA：y
x
﹣0
2=k1（x
x
﹣0） ②
PB：y
x
﹣0
2=k2（x
x
﹣0）．③
将y=
3
﹣分别代入①，②，③得
（x0≠0）；
；
（k1，k2≠0）
从而
．
又
，
即（x0
2
1
﹣）k1
2
2
﹣（x0
2+3）x0k1+（x0
2+3）2
1=0
﹣
，
同理（x0
2
1
﹣）k2
2
2
﹣（x0
2+3）x0k2+（x0
2+3）2
1=0
﹣
，
所以k1，k2是方程（x0
2
1
﹣）k2
2
﹣（x0
2+3）x0k+（x0
2+3）2
1=0
﹣
的两个不等的根，
从而k1+k2=
，k1•k2=
，
因为xA+xB=2XD．．
所以2x0﹣（3+x0
2）（
）=
，即
=
．
从而
，
进而得x0
4=8，
．
综上所述，存在点P 满足题意，点P 的坐标为（
，2
）．
【点评】本题是对椭圆与抛物线，以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查．在圆锥曲线
的三种常见曲线中，抛物线是最容易的，而双曲线是最复杂的，所以一般出大题时，要么是单
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独的椭圆与直线，要么是椭圆与抛物线，直线相结合．这一类型题目，是大题中比较有难度的
题．
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