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2011 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（5 分）（2011•重庆）在等差数列{an}中，a2=2，a3=4，则a10=（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
2．（5 分）（2011•重庆）设U=R，M={a|a2
2a
﹣
＞0}，则CUM=（ ）
A．[0，2] B．
（0，2）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0] [2
∪
，+∞）
3．（5 分）（2011•重庆）曲线y=
x
﹣3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（ ）
A．y=3x
1
﹣
B．y=
3x+5
﹣
C．y=3x+5
D．y=2x
4．（5 分）（2011•重庆）从一堆苹果中任取10 只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
5．（5 分）（2011•重庆）已知向量=（1，k），=（2，2），且+ 与共线，那么• 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5 分）（2011•重庆）设a=
，b=
，c=log3 ，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
7．（5 分）（2011•重庆）若函数f（x）=x+
（x＞2），在x=a 处取最小值，则a=（ ）
A．1+
B．1+
C．3 D．4
8．（5 分）（2011•重庆）若△ABC 的内角A，B，C 满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（ ）
A．
B．C．
D．
9．（5 分）（2011•重庆）设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B 两点，左焦点为在以AB 为
直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．（0，
）B．（1，
）C．（
，1）D．（
，+∞）
10．
（5 分）
（2011•重庆）高为
的四棱锥S
ABCD
﹣
的底面是边长为1 的正方形，点S，A，B，
C，D 均在半径为1 的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）
A．
B．
C．D．
1
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分25 分）
11．（5 分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是 ．
12．（5 分）（2011•重庆）若cosα=﹣，且α∈（π，
），则tanα= ．
13．（5 分）（2011•重庆）过原点的直线与圆x2+y2
2x
4y+4=0
﹣
﹣
相交所得的弦长为2，则该直
线的方程为 ．
14．（5 分）（2011•重庆）从甲、乙等10 位同学中任选3 位去参加某项活动，则所选3 位中有甲
但没有乙的概率为 ．
15．（5 分）（2011•重庆）若实数a，b，c 满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c 的最大值是 ．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（13 分）（2011•重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2 的等差数列，求数列{an+bn}的前n 项和Sn．
17．（13 分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C 三个片区，设每位申请人只申请其
中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的4 位申请人中：
（I）没有人申请A 片区房源的概率；
（II）每个片区的房源都有人申请的概率．
18．（13 分）（2011•重庆）设函数f（x）=sinxcosx﹣
cos（x+π）cosx，（x∈R）
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若函数y=f（x）的图象按=（
，
）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在
（0，
]上的最大值．
19．（12 分）（2011•重庆）设f（x）=2x3+ax2+bx+1 的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于
直线x=﹣对称，且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数a，b 的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
20．（12 分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC⊥平面ACD，AB BC
⊥
，
AC=AD=2，BC=CD=1
（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；
（Ⅱ）求二面角C
AB
D
﹣
﹣
的平面角的正切值．
2
21．（12 分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=
，一条准线的方程是x=2
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P 满足：
=
+2
，其中M、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为
﹣，问：是否存在定点F，使得|PF|与点P 到直线l：x=2
的距离之比为定值；若存在，求F
的坐标，若不存在，说明理由．
2011 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
3
1．（5 分）（2011•重庆）在等差数列{an}中，a2=2，a3=4，则a10=（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
【考点】等差数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据所给的等差数列的两项做出等差数列的公差，写出等差数列的第十项的表示式，
用第三项加上七倍的公差，代入数值，求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a2=2，a3=4，
d=a
∴
3
a
﹣2=4
2=2
﹣
，
a
∴10=a3+7d=4+14=18
故选D．
【点评】本题考查等差数列的公差求法，考查等差数列的通项公式，这是一个等差数列基本量
的运算，是一个数列中最常出现的基础题．
2．（5 分）（2011•重庆）设U=R，M={a|a2
2a
﹣
＞0}，则CUM=（ ）
A．[0，2] B．
（0，2）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0] [2
∪
，+∞）
【考点】补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据已知中M={a|a2
2a
﹣
＞0}，我们易求出M，再根据集合补集运算即可得到答案．
【解答】解：∵M={a|a2
2a
﹣
＞0}={a|a＜0，或a＞2}，
C
∴
UM={a|0≤a≤2}，
即CUM=[0，2]
故选A
【点评】本题考查的知识点是集合的补集及其运算，在求连续数集的补集时，若子集不包括端
点，则补集一定要包括端点．
3．（5 分）（2011•重庆）曲线y=
x
﹣3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（ ）
A．y=3x
1
﹣
B．y=
3x+5
﹣
C．y=3x+5
D．y=2x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1 处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜
式写出切线方程，化成斜截式即可．
【解答】解：∵y=
x
﹣3+3x2 y'=
3x
∴
﹣
2+6x，
y'|
∴
x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，
∴曲线y=
x
﹣3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y
2=3
﹣
（x
1
﹣），
即y=3x
1
﹣，
故选A．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．
4．（5 分）（2011•重庆）从一堆苹果中任取10 只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【考点】频率分布表．菁优网版权所有
【专题】计算题．
4
【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4 个，利用这个频数除以
样本容量，得到要求的频率．
【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 十个数字中，
样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122 共有四个，
∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为
=0.4，
故选C
【点评】本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题
会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．
5．（5 分）（2011•重庆）已知向量=（1，k），=（2，2），且+ 与共线，那么• 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；
利用向量的数量积公式求出值．
【解答】解：∵
=（3，k+2）
∵
共线
k+2=3k
∴
解得k=1
∴=（1，1）
∴
=1×2+1×2=4
故选D
【点评】本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式．
6．（5 分）（2011•重庆）设a=
，b=
，c=log3 ，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
【考点】对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】可先由对数的运算法则，将a 和c 化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；
再比较b 和c 的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．
【解答】解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A 和C．
因为b=log23
1
﹣，c=log34
1=
﹣
，
因为32＞23，即3＞
，即有log23＞log2
= ＞
，
则（log23）2＞2，所以log23＞
，所以b＞c，排除D
故选B．
5
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．
7．（5 分）（2011•重庆）若函数f（x）=x+
（x＞2），在x=a 处取最小值，则a=（ ）
A．1+
B．1+
C．3 D．4
【考点】基本不等式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x 的取值．
【解答】解：f（x）=x+
=x
2+
﹣
+2≥4
当x
2=1
﹣
时，即x=3 时等号成立．
x=a
∵
处取最小值，
a=3
∴
故选C
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．
8．（5 分）（2011•重庆）若△ABC 的内角A，B，C 满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（ ）
A．
B．C．
D．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由题意利用正弦定理，推出a，b，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosB 的值．
【解答】解：△ABC 的内角A，B，C 满足6sinA=4sinB=3sinC，所以6a=4b=3c，不妨令a=2，
b=3，c=4，
所以由余弦定理：b2=a2+c2
2accosB
﹣
，所以cosB=
，
故选D．
【点评】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
9．（5 分）（2011•重庆）设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B 两点，左焦点为在以AB 为
直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．（0，
）B．（1，
）C．（
，1）D．（
，+∞）
【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B 的坐标；利用圆内的点到圆心距
离小于半径，列出参数a，b，c 满足的不等式，求出离心率的范围．
【解答】解：渐近线y=± x．
准线x=±
，
求得A（
）．B（
），
左焦点为在以AB 为直径的圆内，
6
得出
，
，
b＜a，
c2＜2a2
∴
，
故选B．
【点评】本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双曲
线离心率本身要大于1．
10．
（5 分）
（2011•重庆）高为
的四棱锥S
ABCD
﹣
的底面是边长为1 的正方形，点S，A，B，
C，D 均在半径为1 的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）
A．
B．
C．D．
【考点】球内接多面体；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为
，四棱锥的高为
，推出高就是四棱锥的
一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之
间的距离．
【解答】解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为
，四棱锥的高为
，点S，A，B，C，D
均在半径为1 的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最
长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：
=
故选A
【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底
面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分25 分）
11．（5 分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是
240
．
【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x 的指数为4，求出展开式中x4的
系数．
【解答】解：展开式的通项为Tr+1=2rC6
rxr
令r=4 得展开式中x4的系数是24C6
4=240
故答案为：240
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
12．（5 分）（2011•重庆）若cosα=﹣，且α∈（π，
），则tanα= ．
【考点】任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有
7
【专题】三角函数的求值．
【分析】根据α∈（π，
），cosα=﹣，求出sinα，然后求出tanα，即可．
【解答】解：因为α∈（π，
），cosα=﹣，所以sinα=﹣，所以tanα=
=
故答案为：
【点评】本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，注意角所在的象限，三角函数值的符
号，是本题解答的关键．
13．（5 分）（2011•重庆）过原点的直线与圆x2+y2
2x
4y+4=0
﹣
﹣
相交所得的弦长为2，则该直
线的方程为
2x
y=0
﹣
．
【考点】直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】用配方法将圆的方程转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，设直线方程为y=kx，求
出圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可．
【解答】解：直线方程为y=kx，
圆x2+y2
2x
4y+4=0
﹣
﹣
即（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=1
即圆心坐标为（1，2），半径为r=1
因为弦长为2，为直径，故y=kx 过圆心，所以k=2
所以该直线的方程为：y=2x
故答案为：2x
y=0
﹣
【点评】本题考查直线和圆的相交弦长问题，属基础知识的考查．注意弦长和半径的关系．
14．（5 分）（2011•重庆）从甲、乙等10 位同学中任选3 位去参加某项活动，则所选3 位中有甲
但没有乙的概率为
．
【考点】排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据题意，分析可得从10 人中任取3 人参加活动的取法数，进而可得“有甲但没有
乙”的取法相当于“从除甲乙之外的8 人中任取2 人”，可得其情况数目，由等可能事件的
概率公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从10 人中任取3 人参加活动，有C10
3=120 种取法；
分析可得有甲但没有乙的取法即从除甲乙之外的8 人中任取2 人即可，
则所选3 位中有甲但没有乙的情况有C8
2=28 种；
则其概率为
=
；
故答案为：
．
【点评】本题考查排列、组合的运用；涉及等可能事件的概率计算，解题时注意排列、组合是解
决问题的基本思路与突破口．
8
15．（5 分）（2011•重庆）若实数a，b，c 满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c 的最大值是
2﹣
log23
．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由基本不等式得2a+2b≥
，可求出2a+b的范围，
再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．
【解答】解：由基本不等式得2a+2b≥
，即2a+b≥
，所以
2a+b≥4，
令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=
因为t≥4，所以
，即
，所以
故答案为：2
log
﹣
23
【点评】本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（13 分）（2011•重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2 的等差数列，求数列{an+bn}的前n 项和Sn．
【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4 可求得q，
即可求得{an}的通项公式
（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2 的等差数列 可求得bn=1+（n
1
﹣）×2=2n
1
﹣，然后利用等
比数列与等差数列的前n 项和公式即可求得数列{an+bn}的前n 项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列
∴设其公比为q，q＞0
a
∵3=a2+4，a1=2
2×q
∴
2=2×q+4 解得q=2 或q=
1
﹣
q
∵＞0
q=2
∴
{a
∴
n}的通项公式为an=2×2n
1
﹣=2n
（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2 的等差数列
b
∴n=1+（n
1
﹣）×2=2n
1
﹣
∴数列{an+bn}的前n 项和Sn=
+
=2n+1
2+n
﹣
2=2n+1+n2
2
﹣
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列
的前n 项和公式时注意辨析q 是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．
17．（13 分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C 三个片区，设每位申请人只申请其
中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的4 位申请人中：
9
（I）没有人申请A 片区房源的概率；
（II）每个片区的房源都有人申请的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；等可能事件的概率；n 次独立重复试验中恰好发生k 次
的概率．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）解法一：首先分析所有的可能申请方式的情况数目，再分析没有人申请A 片区
房源的即所有的都申请BC 区的申请方式的情况数目，由古典概型概率公式，计算可得答案；
解法二：视为独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的情况，设对每位申请人的观察为一次试
验，这是4 次独立重复试验，记“申请A 片区房源”为事件A，易得P（A），进而由独立重复
试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分析可得所有的可能申请方式的种数；而“每个片区的房源都有人申请”的
申请方式的种数；
由古典概型概率公式，计算可得答案．
【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
解法一：所有的可能申请方式有34种；而“没有人申请A 片区房源的”的申请方式有24种；
记“没有人申请A 片区房源”为事件A，
则P（A）=
=
；
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4 次独立重复试验，
记“申请A 片区房源”为事件A，则P（A）= ；
由独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式知：
“没有人申请A 片区房源”的概率为P4（0）=C3
0•（）0（）4=
；
（Ⅱ）所有的可能申请方式有34种；而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有C4
2•A3
3
种；
记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，
从而有P（B）=
= ．
【点评】本题考查等可能事件的概率，注意解题的格式应该规范，先有“记××为事件×”，进而
又公式进行计算．
18．（13 分）（2011•重庆）设函数f（x）=sinxcosx﹣
cos（x+π）cosx，（x∈R）
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若函数y=f（x）的图象按=（
，
）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在
（0，
]上的最大值．
【考点】三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．
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【专题】计算题；综合题．
【分析】（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期
公式可求得函数的最小正周期．
10
（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范
围，即可的函数g（x）的最大值．
【解答】解：（I）∵f（x）=sinxcosx﹣
cos（x+π）cosx
=sinxcosx+
cosxcosx
= sin2x+
cos2x+
=sin（2x+
）+
f
∴（x）的最小正周期T=
=π
（II）∵函数y=f（x）的图象按=（
，
）平移后得到的函数y=g（x）的图象，
g
∴（x）=sin（2x+
﹣
）+
+
=sin（2x﹣
）+
0
∵＜x≤
∴
＜2x﹣
≤
，
y=g
∴
（x）在（0，
]上的最大值为：
．
【点评】本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的
熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题．
19．（12 分）（2011•重庆）设f（x）=2x3+ax2+bx+1 的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于
直线x=﹣对称，且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数a，b 的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0 即可
求出b
（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0 和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．
【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b
从而f′（x）=6
y=f′（x）关于直线x=﹣对称，
从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3
又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=
12
﹣
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2
12x+1
﹣
f′（x）=6x2+6x
12=6
﹣
（x
1
﹣）（x+2）
令f′（x）=0，得x=1 或x=
2
﹣
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；
当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
从而f（x）在x=
2
﹣处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1 处取到极小值f（1）=
6
﹣．
11
【点评】本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．
20．（12 分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC⊥平面ACD，AB BC
⊥
，
AC=AD=2，BC=CD=1
（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；
（Ⅱ）求二面角C
AB
D
﹣
﹣
的平面角的正切值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】综合题；压轴题；转化思想．
【分析】法一：几何法，
（Ⅰ）过D 作DF AC
⊥
，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，由面面垂直的性质，可得DF 是四
面体ABCD 的面ABC 上的高；设G 为边CD 的中点，可得AG CD
⊥
，计算可得AG 与DF 的长，
进而可得S
ABC
△
，由棱锥体积公式，计算可得答案；
（Ⅱ）过F 作FE AB
⊥
，垂足为E，连接DE，分析可得∠DEF 为二面角C
AB
D
﹣
﹣
的平面角，计
算可得EF 的长，由（Ⅰ）中DF 的值，结合正切的定义，可得答案．
法二：向量法，
（Ⅰ）首先建立坐标系，根据题意，设O 是AC 的中点，过O 作OH AC
⊥
，交AB 与H，过O 作
OM AC
⊥
，交AD 与M；易知OH OM
⊥
，因此可以以O 为原点，以射线OH、OC、OM 为x 轴、y
轴、z 轴，建立空间坐标系O
XYZ
﹣
，进而可得B、D 的坐标；从而可得△ACD 边AC 的高即棱
住的高与底面的面积，计算可得答案；
（Ⅱ）设非零向量=（l，m，n）是平面ABD 的法向量，由（Ⅰ）易得向量的坐标，同时易得=
（0，0，1）是平面ABC 的法向量，由向量的夹角公式可得从而cos＜，＞，进而由同角三角
函数的基本关系，可得tan＜，＞，即可得答案．
【解答】解：法一
（Ⅰ）如图：过D 作DF AC
⊥
，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，
可得DF⊥平面ABC，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高；
设G 为边CD 的中点，由AC=AD，可得AG CD
⊥
，
则AG=
=
=
；
由S
ADC
△
= AC•DF= CD•AG 可得，DF=
=
；
在Rt
ABC
△
中，AB=
=
，
S
ABC
△
= AB•BC=
；
故四面体的体积V= ×S
ABC
△
×DF=
；
（Ⅱ）如图，过F 作FE AB
⊥
，垂足为E，连接DE，
由（Ⅰ）知DF⊥平面ABC，由三垂线定理可得DE AB
⊥
，故∠DEF 为二面角C
AB
D
﹣
﹣
的平
面角，
12
在Rt
AFD
△
中，AF=
=
= ；
在Rt
ABC
△
中，EF BC
∥
，从而
，可得EF= ；
在Rt
DEF
△
中，tan DEF=
∠
=
．
则二面角C
AB
D
﹣
﹣
的平面角的正切值为
．
解法二：（Ⅰ）如图（2）
设O 是AC 的中点，过O 作OH AB
⊥
，交AB 与H，过O 作OM AC
⊥
，交AD 与M；
由平面ABC⊥平面ACD，知OH OM
⊥
，
因此以O 为原点，以射线OH、OC、OM 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间坐标系O
XYZ
﹣
，
已知AC=2，故A、C 的坐标分别为A（0，﹣1，0），C（0，1，0）；
设点B 的坐标为（x1，y1，0），由
⊥
，|
|=1；
有
，
解可得
或
（舍）；
即B 的坐标为（
，，0），
又舍D 的坐标为（0，y2，z2），
由|
|=1，|
|=2，有（y2
1
﹣）2+z2
2=1 且（y2+1）2+z2
2=1；
解可得
或
（舍），
则D 的坐标为（0，，
），
从而可得△ACD 边AC 的高为h=|z2|=
又|
|=
，|
|=1；
故四面体的体积V= × ×|
|×|
|h=
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=（
，，0），
=（0，，
），
设非零向量=（l，m，n）是平面ABD 的法向量，则由⊥
可得，
l+ m=0，（1）；
13
由⊥
可得，m+
n=0，（2）；
取m=
1
﹣，由（1）（2）可得，l=
，n=
，即=（
，﹣1，
）
显然=（0，0，1）是平面ABC 的法向量，
从而cos＜，＞=
；
故tan＜，＞=
；
则二面角C
AB
D
﹣
﹣
的平面角的正切值为
．
【点评】本题是立体几何综合题目，此类题目一般有两种思路即几何法与向量法，注意把握两
种思路的特点，进行选择性的运用．
21．（12 分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=
，一条准线的方程是x=2
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P 满足：
=
+2
，其中M、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为
﹣，问：是否存在定点F，使得|PF|与点P 到直线l：x=2
的距离之比为定值；若存在，求F
的坐标，若不存在，说明理由．
【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用；椭圆的定义．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ） 由题意得
=
，
=
=2
，解出a、b 的值，即得椭圆的
标准方程．
（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）． 由向量间的关系得到 x=x1+2x2，y=y1+2y2，据
14
M、N 是椭圆上的点可得 x2+2y2=20+4（x1x2+2y1y2 ）．再根据直线OM 与ON 的斜率之积为﹣
，得到点P 是椭圆
x2+2y2=20 上的点，根据椭圆的第二定义，存在点F（
，0），满足条件．
【解答】解：（Ⅰ） 由题意得
=
，
=
=2
，∴a=2，b=
，
故椭圆的标准方程为
+
=1．
（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）．∵动点P 满足：
=
+2
，
∴（x，y）=（x1+2x2，y1+2y2 ），∴x=x1+2x2，y=y1+2y2，
M
∵
、N 是椭圆上的点，∴x1
2+2y1
2
4=0
﹣
，x2
2+2y2
2
4=0
﹣
．
x
∴2+2y2=（x1+2x2）2+2 （y1+2y2）2=（x1
2+2y1
2 ）+4（x2
2+2y2
2 ）+4（x1x2+2y1y2 ）
=4+4×4+4（x1x2+2y1y2 ）=20+4（x1x2+2y1y2 ）．
∵直线OM 与ON 的斜率之积为﹣，∴
•
=﹣，∴x2+2y2=20，
故点P 是椭圆
=1 上的点，焦点F（
，0），准线l：x=2
，离心率为
，
根据椭圆的第二定义，|PF|与点P 到直线l：x=2
的距离之比为定值
，
故存在点F（
，0），满足|PF|与点P 到直线l：x=2
的距离之比为定值．
【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，两个向量坐标形式的运算，以及椭圆的第
二定义，属于中档题．
15
