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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直
接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分．
1．不等式
的解为 ．
2．在等差数列
中，若
，则
．
3．设
，
是纯虚数，其中是虚数单位，则
．
4．若
，
，则y = ．
5．已知
的内角
、、所对的边分别是
，，．若
，则角
的大小是 ．
6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分
别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
7．设常数
．若
的二项展开式中
项的系数为-10，则
．
8．方程
的实数解为 ．
9．若
，则
．
10．已知圆柱
的母线长为，底面半径为
，
是上地面圆心，
、
是下底面圆心上两个
不同的点，
是母线，如图．若直线
与
所成角的大小为
，
则
．
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7 的七个球，从中任意取出两个，则
这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．
12．设
是椭圆
的长轴，点
在
上，且
．若
，
，则
的两个焦点之间的距离为 ．
13．设常数
，若
对一切正实数
成立，则
的取值范围为 ．
14．已知正方形
的边长为1．记以
为起点，其余顶点为终点的向量分别为
、
、
；以
为起点，其余顶点为终点的向量分别为
、
、
．若
且
，则
的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相
应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分．
15．函数
的反函数为
，则
的值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
16．设常数
，集合
，
．若
，则
的取值范围为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
（A）充分条件
（B）必要条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分又非必要条件
18．记椭圆
围成的区域（含边界）为
，当点
分别在
上时，
的最大值分别是
，则
（ ）
（A）0 （B）
(C) 2 (D) 2
三．解答题（本大题共有5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号
的规定区域写出必要的步骤．
19．（本题满分12 分）
如图，正三棱锥
底面边长为
，高为，求
该三棱锥的体积及表面积．
20．（本题满分14 分）本题共有2 个小题．第1 小题满分5 分，
第2 小题满分9 分．
甲厂以
千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条
件要求
），每小时可获得的利润是
元．
（1）求证：生产
千克该产品所获得的利润为
；
（2）要使生产
千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求
此最大利润．
21．（本题满分14 分）本题共有2 个小题．第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分．
已知函数
，其中常数
．
第19题图
O
B
A
C
（1）令
，判断函数
的奇偶性并说明理由；
（2）令
，将函数
的图像向左平移
个单位，再往上平移个单位，得到函数
的图像．对任意的
，求
在区间
上零点个数的所有可能
值．
22．（本题满分16 分）本题共有3 个小题．第1 小题满分3 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满
分8 分．
已知函数
．无穷数列
满足
．
（1）若
，求
，
，
；
（2）若
，且
，
，
成等比数列，求
的值；
（3）是否存在
，使得
，
，
，…，
…成等差数列？若存在，求出所有这样的
；若不
存在，说明理由．
23．（本题满分18 分）本题共有3 个小题．第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分9 分．
如图，已知双曲线
：
，曲线
：
．是平面内一点，若存在
过点
的直线与
、
都有公共点，则称
为“
型点”．
（1）在正确证明
的左焦点是“
型点”时，
要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线
的方程（不要求验证）；
（2）设直线
与
有公共点，求证
，进而
证明原点不是“
型点；
（3）求证：圆
内的点都不是“
型
点”．
2013 年上海高考数学试题（文科）
参考答案
一．填空题
1. 0＜ X＜
2. 15
3. -2
4. 1
5.
6. 78
7. -2
8.
9. -
10.
11.
12.
13.
14.-5
二．选择题
题号
15
16
17
18
代号
A
B
A
D
三．解答题
19.解：由已知条件可知，正三棱锥O-ABC 的底面△ABC 是边长为
2 的正三角形。
经计算得底面△ABC 的面积为
所以该三锥的体积为
设O’是正三角形ABC 的中心
由正三棱锥的性质可知，OO’垂直于平面ABC
延长AO’交BC 于D，得AD=
,O’D=
又因为OO’=1，所以正三棱锥的斜高OD=
故侧面积为
所以该三棱锥的表面积为
因此，所求三棱锥的体积为
，表面积为3
20.解：
（1）生产a 千克该产品，所用的时间是
小时
所获得的利润为100
所以生产a 千克该产品所获得的利润为100a
元
（2）生产900 千克该产品，获得的利润为90000
，
1≤x≤10,记ƒ（x）=
则ƒ（x）=
获得最大利润90000
元。
因此甲厂应以6 千克/小时的速度生产，可获得最大利
润457500 元。
21. 解：（1 ）ƒ （x ）=
F （x ）= ƒ （x ）+ ƒ
所以，F（x）既不是奇函数也不是偶函数。
（2）ƒ（x）=
将y= ƒ（x）的图像向左平移
个单位，再向上平移1 个
单
位
后
得
到
令
因为
上零点个数为21
当
a
不
是
零
时
，
上恰有两个
零点，故在
上有20 个零点。
综上，
22.解：（1）
（2）
①当＜
②当
＞2 时，
综合①②得
（3）假设这样的等差数列存在，那么
由
以下分情况讨论：
①当
＞2 时，由（*）得
＞2 矛盾
②当0＜
≤2 时，有（*）得
=1，从而
所以
是一个的等差数列
③当
≤0 时，则公差
＞0，因此存在
m≧2 使得
＞2.此时
＜0，矛盾
综合①②③可知，当且仅当
23．解：（1）C1的左焦点为
，过F 的直线
与C1交于
，与
C2交于
，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为
；
（2）直线
与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
；
直线
与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
故直线
至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。
（3）显然过圆
内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点
，则
直线与圆
内部有交点，故
化简得，
。。。。。。。。。。。。①
若直线与曲线C1有交点，则
化简得，
。。。。。②
由①②得，
但此时，因为
，即①式不成立；
当
时，①式也不成立
综上，直线若与圆
内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，
即圆
内的点都不是“C1-C2型点” ．
2013 年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（文史类）
考生注意：
1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后
的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
2.本试卷共有23 道试题，满分150 分.考试时间120 分钟.
一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得4 分，否则一律得零分.
1.不等式
＜0 的解为
.
【答案】
【解析】
2.在等差数列
中，若a1+ a2+ a3+ a4=30，则a2+ a3=
15
.
【答案】 15
【解析】
3.设m∈R,m2+m-2+( m2-1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m= .
【答案】 -2
【解析】
4.已知
=0，
=1，则y= 1
.
【答案】 1
【解析】
5.已知
ABC 的内角A、B、C 所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C 的大小是
.
【答案】
【解析】
6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别
是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为
78
.
【答案】 78
【解析】
7.设常数a∈R.若
的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= -2 .
【答案】 -2
【解析】
8.方程
的实数解为
.
【答案】
【解析】
9.若cosxcosy+sinxsiny=
，则cos(2x-2y)=
.
【答案】
【解析】
10.已知圆柱
的母线长为l，底面半径为r,O 是上底面圆心，A、B 是下底面圆周上的两个不
同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为
，则
=
.
【答案】
【解析】
11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之
积为偶数的概率是
（结果用最简分数表示）.
【答案】
【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。
12.设AB 是椭圆
的长轴，点C 在
上，且
.若AB=4，BC=
，则
的两个焦点之
间的距离为
.
D
B
A
C
【答案】
【解析】 如右图所示。
13.设常数a＞0.若
对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为
.
【答案】
【解析】 考查均值不等式的应用。
14.已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为
、
、
；
以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为
、
、
.若i,j,k,l∈
且
i≠j,k≠l，则
·
的最小值是 -5 .
【答案】 -5
【解析】 根据对称性，
。
二、选择题（本大题共有4 小题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.
15.函数
（x≥0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（ A ）
（A）
（B）－
（C）1+
（D）1－
【答案】 A
【解析】
选A
16.设常数a∈R，集合A=
，B=
.若A∪B=R，则a 的取值范围
为（ B ）
（A）（－∞，2） （B）（－∞，2] （C）（2，+∞） （D）[2，+∞）
【答案】 B
【解析】 方法：代值法，排除法。当a=1 时，A=R，符合题意；当a=2 时，
综上，选B
标准解法如下:
.
选B
17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
【答案】 A
【解析】
选A
当点（x,y）分别在
，
，…上时，x+y 的最大值分别是M1,M2,…，则
=( D )
（A）0 （B）
（C）2 （D）
【答案】 D
【解析】
选D
三、解答题（本大题共有5 下题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12 分）
如图，正三棱锥O-ABC 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。
【答案】
【解析】
所以，
20.（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分9 分.
甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利
润是100
元.
（1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a
元；
（2）要使生产900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最
大利润.
【答案】 （1） 见下
（2）当生产速度为6 千克/小时，这时获得最大利润为457500 元。
【解析】 （1）证明：由题知，生产a 千克该产品所需要的时间
小时，
所获得的利润
所以，生产a 千克该产品所获得的利润为100a
元；（证毕）
（2） 由（1）知，生产900 千克该产品即a=900 千克时，获得的利润
由二次函数的知识可知，当
=
，即x=6 时，
所以，当生产速度为6 千克/小时，这时获得最大利润为457500 元。
21.（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
已知函数
，其中常数ω＞0.
（1）令ω=1，判断函数
的奇偶性，并说明理由；
（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移
个单位，再向上平移1 个单位，得到函数y=g(x)
的图像.对任意a∈R，求y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值.
【答案】 （1）
（2） 20,21
【解析】 （1）
（2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移
个单位，再向上平移1 个单位，得到函数y=g(x):
.
所以y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为10 个周期上，零点个数可以取20,21 个
22.(本题满分16 分)本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满
分8 分.
已知函数
，无穷数列
满足an+1=f(an),n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说
明理由.
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）
（2）
分情况讨论如何：
（
3
）
讨论如下:
23.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分9 分.
如图，已知双曲线C1:
，曲线C2:
.P 是平面内一点.若存在过点P 的直
线与C1、C2都有共同点，则称P 为“C1-C2型点”.
（1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这
样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx 与C2有公共点，求证
＞1，进而证明圆点不是“C1-C2型点”；
（3）求证：圆
内的点都不是“C1-C2型点”.
【答案】 （1）
【解析】 （1）
显然，由双曲线
的几何图像性质可知，过
.从曲线
图像上取点P(0,1),则直线
。这时直线方程为
（2） 先证明“若直线y=kx 与
有公共点，则
＞1”.
双曲线
.
.
所以直线y=kx 与
有公共点，则
＞1 . （证毕）
。
所以原点不是“C1-C2型点”；（完）
（3）设直线过圆
内一点，则直线斜率不存在时与曲线
无交点。
设直线方程为：y = kx + m，则：
假设直线与曲线
相交上方，则
