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2008 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）（2008•重庆）已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（5 分）（2010•陕西）“a＞0”是“|a|＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5 分）（2008•重庆）曲线C：
（θ 为参数）的普通方程为（ ）
A．（x
1
﹣）2+（y+1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y
1
﹣）2=1 D．（x
1
﹣）2+（y
1
﹣）
2=1
4．（5 分）（2008•重庆）若点P 分有向线段
所成的比为﹣，则点B 分有向线段
所成的比
是（ ）
A．﹣
B．﹣
C．D．3
5．（5 分）（2008•重庆）某交高三年级有男生500 人，女生400 人，为了解该年级学生的健康情
况，从男生中任意抽取25 人，从女生中任意抽取20 人进行调查．这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样法
B．抽签法
C．随机数表法
D．分层抽样法
6．（5 分）（2008•重庆）函数y=
（0＜x≤1）的反函数是（ ）
A．
B．
（x＞
）
C．
（
＜x≤1）D．
（
＜x≤1）
7．（5 分）（2008•重庆）函数f（x）=
的最大值为（ ）
A．
B．C．
D．1
8．（5 分）（2008•重庆）若双曲线
的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p 的
值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
1
9．
（5 分）
（2008•重庆）从编号为1，2，…，10 的10 个大小相同的球中任取4 个，则所取4 个球
的最大号码是6 的概率为（ ）
A．
B．
C．D．
10．（5 分）（2008•重庆）若（x+
）n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的
系数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．（5 分）（2008•重庆）如图，模块①﹣⑤均由4 个棱长为1 的小正方体构成，模块⑥由15 个
棱长为1 的小正方体构成．现从模块①﹣⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个
棱长为3 的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑥D．模块③，④，⑤
12．（5 分）（2008•重庆）函数f（x）=
（0≤x≤2π）的值域是（ ）
A．[﹣
] B．[﹣
] C．[﹣
] D．[﹣
]
二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分16 分）
13．（4 分）（2008•重庆）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，B={4，5}，则A∩（∁UB）=
．
14．（4 分）（2008•重庆）若x＞0，则（
+
）（
﹣
）﹣4x
（x
x
﹣
）= ．
15．（4 分）（2008•重庆）已知圆C：x2+y2+2x+ay
3=0
﹣
（a 为实数）上任意一点关于直线l：x﹣
y+2=0 的对称点都在圆C 上，则a= ．
16．（4 分）（2008•重庆）某人有3 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6
个点A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安
装方法共有 种（用数字作答）．
2
三、解答题（共8 小题，满分74 分）
17．（13 分）（2008•重庆）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知
，求：
（Ⅰ）A 的大小；
（Ⅱ）2sinBcosC
sin
﹣
（B
C
﹣）的值．
18．
（13 分）
（2008•重庆）在每道单项选择题给出的4 个备选答案中，只有一个是正确的．若对
4 道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4 道题中：
（1）恰有两道题答对的概率；
（2）至少答对一道题的概率．
19．（12 分）（2008•重庆）设函数f（x）=x3+ax2
9x
1
﹣
﹣（a＜0）．若曲线y=f（x）的斜率最小的切
线与直线12x+y=6 平行，求：
（Ⅰ）a 的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．
20．（12 分）（2008•重庆）如图，α 和β 为平面，α∩β=l，A∈α，B∈β，AB=5，A，B 在棱l 上的射影
分别为A′，B′，AA′=3，BB′=2．若二面角α
l
β
﹣﹣的大小为
，求：
（Ⅰ）点B 到平面α 的距离；
（Ⅱ）异面直线l 与AB 所成的角（用反三角函数表示）．
21．（12 分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足：||PM|
|
﹣
PN||=2．
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设d 为点P 到直线l：
的距离，若|PM|=2|PN|2，求
的值．
3
22．（12 分）（2008•重庆）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=
an+2（n∈N*）．
（Ⅰ）若a2= ，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；
（Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2
对n≥2 恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式．
2008 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）（2008•重庆）已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】等差数列．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】将a2+a8用a1和d 表示，再将a5用a1和d 表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据
等差数列的性质a2+a8=2a5求解．
【解答】解：解法1：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
a
∴2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12；
a
∴1+4d=6；
a
∴5=a1+4d=6．
解法2：∵a2+a8=2a5，a2+a8=12，
2a
∴
5=12，
a
∴5=6，
故选C．
【点评】解法1 用到了基本量a1与d，还用到了整体代入思想；
解法2 应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，
am+an=ap+aq．
特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap．
4
2．（5 分）（2010•陕西）“a＞0”是“|a|＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件．菁优网版权所有
【分析】本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0 就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的
关系即可判断．
【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0 或a＜0 即|a|＞0 不能推出a＞0，
a
∴＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件
故选A
【点评】本题根据充要条件的概念考查充要条件的判断，是基础题．
3．（5 分）（2008•重庆）曲线C：
（θ 为参数）的普通方程为（ ）
A．（x
1
﹣）2+（y+1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y
1
﹣）2=1 D．（x
1
﹣）2+（y
1
﹣）
2=1
【考点】参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】已知曲线C：
化简为
然后两个方程两边平方相加，从而
求解．
【解答】解：∵曲线C：
，
∴
cos
∴
2θ+sin2θ=（x+1）2+（y
1
﹣）2=1，
故选C．
【点评】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择
不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．
4．（5 分）（2008•重庆）若点P 分有向线段
所成的比为﹣，则点B 分有向线段
所成的比
是（ ）
A．﹣
B．﹣
C．D．3
【考点】线段的定比分点．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合．
【分析】本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法一般是，画出满足条件的图象，根
据图象分析分点的位置：是内分点，还是外分点；在线段上，在线段延长线上，还是在线段的
反向延长线上．然后代入定比分点公式进行求解．
5
【解答】解：如图可知，B 点是有向线段PA 的外分点
，
故选A．
【点评】λ 的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段P1P2上时⇔λ＞0；当P 点在线段
P1P2上的延长线上时⇔λ＜﹣1；当P 点在线段P1P2上的延长线上时⇔﹣1＜λ＜0；若点P 分有
向线段P1P2所成的比为λ，则点P 分有向线段P2P1所成的比为
．
5．（5 分）（2008•重庆）某交高三年级有男生500 人，女生400 人，为了解该年级学生的健康情
况，从男生中任意抽取25 人，从女生中任意抽取20 人进行调查．这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样法
B．抽签法
C．随机数表法
D．分层抽样法
【考点】分层抽样方法．菁优网版权所有
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：400=5：4，所抽取的比例也是5：4．
故选D
【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．
6．（5 分）（2008•重庆）函数y=
（0＜x≤1）的反函数是（ ）
A．
B．
（x＞
）
C．
（
＜x≤1）D．
（
＜x≤1）
【考点】反函数．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】本小题主要考查三个层面的知识，一是指数式与对数式的互化，二是反函数的求法，
三是函数的值域的求解．
【解答】解：由
得：x2
1=lgy
﹣
，
即
．又因为0＜x≤1 时，﹣1＜x2
1≤0
﹣
，
从而有
，即原函数值域为
．
所以原函数的反函数为
．
故选D
【点评】本题的一个难点是函数y=10x2
1
﹣（0＜x≤1）的值域的求解，需要据此获得反函数的定
义域，可以利用分析推理法得到．
7．（5 分）（2008•重庆）函数f（x）=
的最大值为（ ）
6
A．
B．C．
D．1
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的值域．菁优网版权所有
【分析】分子、分母同除以分子，出现积定、和的最值，利用基本不等式解得．
【解答】解：①当x=0 时，f（x）=0
②当x＞0 时，
当且仅当
，即x=1 时取等号．
x=1
∴
时，函数的最大值为
故选项为B
【点评】利用基本不等式求最值，注意一正、二定、三相等．
8．（5 分）（2008•重庆）若双曲线
的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p 的
值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先根据双曲线的方程表示出左焦点坐标，再由抛物线的方程表示出准线方程，最后根
据双曲线
的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上可得到关系式
，
求出p 的值．
【解答】解：双曲线的左焦点坐标为：
，
抛物线y2=2px 的准线方程为
，所以
，
解得：p=4，
故选C
【点评】本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质．
9．
（5 分）
（2008•重庆）从编号为1，2，…，10 的10 个大小相同的球中任取4 个，则所取4 个球
的最大号码是6 的概率为（ ）
A．
B．
C．D．
【考点】等可能事件．菁优网版权所有
【分析】本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率，从10 个球中取球，每个球被
取到的概率相等，用组合数写出总事件的个数和符合条件的事件的个数，求比值，得结果．
7
【解答】解：从10 个大小相同的球中任取4 个有C10
4种方法，
若所取4 个球的最大号码是6，则有一个球号码是6，
另外三个球要从1、2、3、4、5 号球中取3 个，有C5
3种方法，
∴
，
故选B．
【点评】本题是一个古典概型问题，事件个数可以用组合数来表示，古典概型和几何概型是我
们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就
是几何概型．
10．（5 分）（2008•重庆）若（x+
）n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的
系数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】求出（x+
）n的展开式中前三项的系数Cn
0、
、
，由等差数列知识求出n，再
利用通项公式求出x4项的系数即可．
【解答】解：因为
的展开式中前三项的系数Cn
0、
、
成等差数列，
所以
，即n2
9n+8=0
﹣
，解得：n=8 或n=1（舍）．
．
令8
2r=4
﹣
可得，r=2，所以x4的系数为
，
故选B
【点评】本小题主要考查二项式定理的基础知识：展开式的系数、展开式中的特定项的求解．
属基本题型的考查．
11．（5 分）（2008•重庆）如图，模块①﹣⑤均由4 个棱长为1 的小正方体构成，模块⑥由15 个
棱长为1 的小正方体构成．现从模块①﹣⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个
棱长为3 的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
8
A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑥D．模块③，④，⑤
【考点】简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】压轴题；探究型；分割补形法．
【分析】先补齐中间一层，说明必须用⑤，然后的第三层，可以从余下的组合中选取即可．
【解答】解：先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，
所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其它两块．
故选A．
【点评】本小题主要考查空间想象能力，有难度，是中档题．
12．（5 分）（2008•重庆）函数f（x）=
（0≤x≤2π）的值域是（ ）
A．[﹣
] B．[﹣
] C．[﹣
] D．[﹣
]
【考点】函数的值域；同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】本小题主要考查函数值域的求法，表达式中存在sinx 和cosx 两个不同的三角函数名
需要统一为一个变量．
【解答】解析：令
，则
，
当0≤x≤π 时，
，所以
当且仅当
时取等号．同理可得当π＜x≤2π 时，
，
综上可知f（x）的值域为
，
故选C
9
【点评】sin2x+cos2x=1 在三角部分是恒成立的式子，应用非常广泛，但要注意其范围（sinx 和
cos 均为[
1
﹣，1]）的限制．
二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分16 分）
13．（4 分）（2008•重庆）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，B={4，5}，则A∩（∁UB）=
{2
，
3}
．
【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】欲求两个集合的交集，先得求集合CUB，为了求集合CUB，必须考虑全集U，再根据补
集的定义求解即可．
【解答】解：∵∁UB={1，2，3}，
A∩
∴
（∁UB）={2，3}．
故填：{2，3}．
【点评】这是一个集合的常见题，本小题主要考查集合的简单运算．属于基础题之列．
14．（4 分）（2008•重庆）若x＞0，则（
+
）（
﹣
）﹣4x
（x
x
﹣
）= ﹣
23
．
【考点】有理数指数幂的化简求值．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先根据平方差公式和去括号法则展开，然后按照有理数指数幂的运算法则化简计算．
【解答】解：原式=
2﹣
2
4x
﹣
﹣
+4x﹣
=4
3
﹣3
4
﹣
+4
=4
27
4
﹣
﹣
+4x0
=
27+4
﹣
=
23
﹣
．
故答案为﹣23．
【点评】有理数指数幂的运算法则：
a
①r•as=ar+s（a＞0，r，s 都是有理数），
②（ar）s=ars（a＞0，r，s 都是有理数），
③（a•b）r=arbr（a＞0，b＞0，r 是有理数）．
15．（4 分）（2008•重庆）已知圆C：x2+y2+2x+ay
3=0
﹣
（a 为实数）上任意一点关于直线l：x﹣
y+2=0 的对称点都在圆C 上，则a= ﹣
2
．
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】圆C 上任意一点关于直线l：x
y+2=0
﹣
的对称点都在圆C 上，则直线过圆心，从而解
得a．
10
【解答】解：由已知，直线x
y+2=0
﹣
经过了圆心
，所以
，从而有
a=
2
﹣．
故选A=
2
﹣．
【点评】本小题主要考查圆的一般方程及几何性质，是基础题．
16．（4 分）（2008•重庆）某人有3 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6
个点A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安
装方法共有
12
种（用数字作答）．
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】本题需要用分步计数原理，先安排底面三个顶点，再安排上底面的三个顶点．由分步
计数原理可知所有的安排方法．本题也可以先安排上底面的三个顶点．
【解答】解：先安排底面三个顶点共有A3
3种不同的安排方法，
再安排上底面的三个顶点共有C2
1种不同的安排方法．
由分步计数原理可知，
共有A3
3•C2
1=12 种不同的安排方法．
故答案为：12．
【点评】本小题主要考查排列组合的基本知识．对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每
类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．
三、解答题（共8 小题，满分74 分）
17．（13 分）（2008•重庆）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知
，求：
（Ⅰ）A 的大小；
（Ⅱ）2sinBcosC
sin
﹣
（B
C
﹣）的值．
【考点】余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）把题设中a，b 和c 关系式代入余弦定理中求得cosA 的值，进而求得A．
（Ⅱ）利用两角和公式把sin（B
C
﹣）展开，整理后利用两角和公式化简求得结果为sinA，把
（Ⅰ）中A 的值代入即可求得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理，a2=b2+c2
2bccosA
﹣
，
故
，
11
所以A=
．
（Ⅱ）2sinBcosC
sin
﹣
（B
C
﹣）
=2sinBcosC﹣（sinBcosC
cosBsinC
﹣
）
=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）
=sin（π
A
﹣）
=sinA= ．
【点评】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、余弦定理等基本知识．以及推
理和计算能力．三角函数的化简经常用到降幂、切化弦、和角差角公式的逆向应用．
18．
（13 分）
（2008•重庆）在每道单项选择题给出的4 个备选答案中，只有一个是正确的．若对
4 道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4 道题中：
（1）恰有两道题答对的概率；
（2）至少答对一道题的概率．
【考点】n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意知这是4 次独立重复试验，每次试验中事件发生的概率均为定值．得到本
实验符合独立重复试验，根据独立重复试验的概率计算公式得到结果．
（2）至少有一道题答对包括答对一道题目，答对两道题目，答对三道题目，答对四道题目，这
四种情况是互斥的，根据互斥事件的概率和独立重复试验的概率公式得到结果．
【解答】解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4 次独立重复试验，
且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率均为．
由独立重复试验的概率计算公式得：
（1）恰有两道题答对的概率为
P4（2）=C2
4（）2（）2=
．
（2）至少有一道题答对包括答对一道题目，答对两道题目，
答对三道题目，答对四道题目，这四种情况是互斥的，
∴至少答对一道题的概率C1
4（）（）3+C2
4（）2（）2+C3
4（）3（）+C4
4•（）4•（）0=
+
+
+
=
．
【点评】本题考查独立重复试验，是一个含有”至少“的问题，解题时出来列举出所有的情况，
还可以利用对立事件的概率解至少有一道题答对的结果．
19．（12 分）（2008•重庆）设函数f（x）=x3+ax2
9x
1
﹣
﹣（a＜0）．若曲线y=f（x）的斜率最小的切
线与直线12x+y=6 平行，求：
（Ⅰ）a 的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．
【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定．菁优网版权所有
12
【专题】计算题．
【分析】（1）先求出导函数的最小值，最小值与直线12x+y=6 的斜率相等建立等式关系，求出
a 的值即可；
（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0 和fˊ（x）＜0，解得的区间就是所
求．
【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=x3+ax2
9x
1
﹣
﹣
所以f'（x）=3x2+2ax
9=
﹣
．
即当x=
时，f'（x）取得最小值
．
因斜率最小的切线与12x+y=6 平行，即该切线的斜率为﹣12，
所以
．
解得a=±3，由题设a＜0，所以a=
3
﹣．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=
3
﹣，因此f（x）=x3
3x
﹣
2
9x
1
﹣
﹣，f'（x）=3x2
6x
9=3
﹣
﹣
（x
3
﹣）（x+1），
令f'（x）=0，解得：x1=
1
﹣，x2=3．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数；
当x∈（﹣1，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，3）上为减函数；
当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数．
由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；
单调递减区间为（﹣1，3）．
【点评】本小题主要考查导数的几何意义，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的
解法等基础知识，属于基础题．
20．（12 分）（2008•重庆）如图，α 和β 为平面，α∩β=l，A∈α，B∈β，AB=5，A，B 在棱l 上的射影
分别为A′，B′，AA′=3，BB′=2．若二面角α
l
β
﹣﹣的大小为
，求：
（Ⅰ）点B 到平面α 的距离；
（Ⅱ）异面直线l 与AB 所成的角（用反三角函数表示）．
【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）先过点B 到作平面α 的垂线，交点为D，∠BB'C 为二面角的平面角，再在直角三
角形BB'D 中求解BD 即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到∠BAC 或其补角为异面直线所成
的角，在三角形BAC 中再利用余弦定理求出此角，再用反三角函数表示即可．
【解答】解：（1）如图，过点B′作直线B′C A′A
∥
且使B′C=A′A．
过点B 作BD CB′
⊥
，交CB′的延长线于D．
由已知AA′ l
⊥，可得DB′ l
⊥，又已知BB′ l
⊥，
故l⊥平面BB′D，
13
得BD l
⊥又因BD CB′
⊥
，从而BD⊥平面α，BD 之长即为点B 到平面α 的距离．
因B′C l
⊥且BB′ l
⊥，故∠BB′C 为二面角α
l
β
﹣﹣的平面角．
由题意，∠BB′C=
．
因此在Rt
BB′D
△
中，BB′=2，∠BB′D=π
BB′C=
﹣∠
，
BD=BB′•sinBB′D=
．
（Ⅱ）连接AC、BC．因B′C A′A
∥
，B′C=A′A，AA′ l
⊥，
知A′ACB′为矩形，
故AC l
∥．
所以∠BAC 或其补角为异面直线l 与AB 所成的角．
在△BB′C 中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=
，
则由余弦定理，
BC=
．
因BD⊥平面α，且DC CA
⊥
，由三垂线定理知AC BC
⊥
．
故在△ABC 中，∠BCA=
，sinBAC=
．
因此，异面直线l 与AB 所成的角为arcsin
【点评】本题主要考查立体几何中的主干知识，如线线角、二面角等基础知识，考查空间想象
能力、逻辑思维能力和运算能力．解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识，本题属中
等题．
21．（12 分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足：||PM|
|
﹣
PN||=2．
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设d 为点P 到直线l：
的距离，若|PM|=2|PN|2，求
的值．
【考点】轨迹方程；双曲线的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
14
【分析】（1）联系双曲线的第一定义，半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=
，
（2）联系双曲线的第二定义，到定点距离比上到对应直线的距离等于常数e（离心率）．
【解答】解：（I）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M、N 为焦点，实轴长2a=2 的双曲线．
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=
，
所以双曲线的方程为
（II）解法一：
由（I）及答（21）图，易知|PN|≥1，因|PM|=2|PN|2，①
知|PM|＞|PN|，故P 为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2．②
将②代入①，得2||PN|2
|PN|
2=0
﹣
﹣
，解得|PN|=
，
所以|PN|=
．
因为双曲线的离心率e= =2，直线l：x= 是双曲线的右准线，故
=e=2，
所以d= |PN|，因此
解法二：
设P（x，y），因|PN|≥1 知
|PM|=2|PN|2≥PN|＞|PN|，
故P 在双曲线右支上，所以x≥由双曲线方程有y2=3x2
3
﹣．
因此
，
．
从而由|PM|=2|PN|2得
2x+1=2（4x2
4x+1
﹣
），即8x2
10x+1=0
﹣
．
所以x=
（舍去
）．
有|PM|=2x+1=
d=x﹣=
．
故
．
15
【点评】本小题主要考查双曲线的第一定义、第二定义，及转化与化归、数形结合的数学思想，
同时考查了学生的运算能力．
22．（12 分）（2008•重庆）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=
an+2（n∈N*）．
（Ⅰ）若a2= ，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；
（Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2
对n≥2 恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式．
【考点】数列的应用．菁优网版权所有
【专题】压轴题；归纳猜想型．
【分析】（Ⅰ）由题意可知
，
由此可猜想|an|的通项
为an=2（﹣2）n
1
﹣（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n 项和，则bn=2Sn．由题设知x1=1 且
；
．由此入手能够求出a2
的值及数列{bn}的通项公式．
【解答】解：（Ⅰ）因a1=2，a2=2
2
﹣，故
，
由此有a1=2（﹣2）0，a2=2（﹣2）2，a3=2（﹣2）2，a4=2（﹣2）3，、
故猜想|an|的通项为an=2（﹣2）n
1
﹣（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n 项和，则bn=2Sn．
由题设知x1=1 且
；①
．②
因②式对n=2 成立，有
．③
下用反证法证明：
．
由①得
．
因此数列|xn+1+2xn|是首项为x2+2，公比为的等比数列．
故
．④
又由①知
，
因此是
是首项为
，公比为﹣2 的等比数列，
所以
．⑤
16
由④﹣⑤得
．⑥
对n 求和得
．
⑦
由题设知
．
．
即不等式22k+1＜
对k∈N*恒成立．但这是不可能的，矛盾．
因此x2≤，结合③式知x2= ，因此a2=2*2=
．
将x2= 代入⑦式得
Sn=2﹣
（n∈N*），
所以bn=
=
（n∈N*）
【点评】本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题．仔细解答，避免出错．
17
