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2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一．选择题
1．（5 分）已知集合A={x|x 是平行四边形}，B={x|x 是矩形}，C={x|x 是正方形}，
D={x|x 是菱形}，则（ ）
A．A⊆B
B．C⊆B
C．D⊆C
D．A⊆D
2．（5 分）函数
的反函数是（ ）
A．y=x2
1
﹣（x≥0）B．y=x2
1
﹣（x≥1）
C．y=x2+1（x≥0）
D．y=x2+1（x≥1）
3．（5 分）若函数
是偶函数，则φ=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）已知α 为第二象限角，
，则sin2α=（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=
4
﹣，则该椭圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1 时，Sn=（ ）
A．（
）n
1
﹣
B．2n
1
﹣
C．（
）n
1
﹣
D．（
﹣1）
7．（5 分）6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不
同的演讲次序有（ ）
A．240 种
B．360 种
C．480 种
D．720 种
8．（5 分）已知正四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AB=2，CC1=2
，E 为CC1的中点，则直
线AC1与平面BED 的距离为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
9．（5 分）△ABC 中，AB 边的高为CD，若
= ，= ，• =0，| |=1，| |=2，则
第1页（共25页）
=（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）已知F1、F2为双曲线C：x2
y
﹣2=2 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=2|
PF2|，则cos∠F1PF2=（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）已知x=lnπ，y=log52，
，则（ ）
A．x＜y＜z
B．z＜x＜y
C．z＜y＜x
D．y＜z＜x
12．（5 分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，
．
定点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角
等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共20 分，在试卷上作答无效）
13．（5 分）
的展开式中x2的系数为 ．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
则z=3x
y
﹣的最小值为 ．
15．（5 分）当函数y=sinx﹣
cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ．
16．（5 分）已知正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，E，F 分别为BB1，CC1的中点，那么异面
直线AE 与D1F 所成角的余弦值为 ．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．在试卷上作答无效！
17．
（10 分）△ABC 中，内角A，B，C 成等差数列，其对边a，b，c 满足2b2=3ac，求A．
第2页（共25页）
18．（12 分）已知数列{an}中，a1=1，前n 项和
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
19．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，底面ABCD 为菱形，PA⊥底面ABCD，
，PA=2，E 是PC 上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A
PB
C
﹣
﹣为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．
第3页（共25页）
20．（12 分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10 平前，一方连续发球
2 次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1 分，负方得0 分．
设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1 分的概率为0.6，各次发球的胜负
结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第4 次发球时，甲、乙的比分为1：2 的概率；
（2）求开始第5 次发球时，甲领先得分的概率．
21．（12 分）已知函数
．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l 与x 轴
的交点在曲线y=f（x）上，求a 的值．
22．（12 分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆
（r＞0）有一个
公共点A，且在A 处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m，n 的交点为D，求D 到l
的距离．
第4页（共25页）
2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（5 分）已知集合A={x|x 是平行四边形}，B={x|x 是矩形}，C={x|x 是正方形}，
D={x|x 是菱形}，则（ ）
A．A⊆B
B．C⊆B
C．D⊆C
D．A⊆D
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用四边形的关系，判断选项即可．
【解答】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，
矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，
正方形是矩形，所以C⊆B．
故选：B．
【点评】本题考查集合的基本运算，几何图形之间的关系，基础题．
2．（5 分）函数
的反函数是（ ）
A．y=x2
1
﹣（x≥0）B．y=x2
1
﹣（x≥1）C．y=x2+1（x≥0）D．y=x2+1（x≥1）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用反函数的求法求解即可．
【解答】解：因为函数
，解得x=y2
1
﹣，
所以函数
的反函数是y=x2
1
﹣（x≥0）．
故选：A．
【点评】本题考查函数的反函数的求法，考查计算能力．
第5页（共25页）
3．（5 分）若函数
是偶函数，则φ=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其
解析式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用函数是偶函数求出ϕ 的表达式，然后求出ϕ 的值．
【解答】解：因为函数
是偶函数，
所以
，k∈z，所以k=0 时，ϕ=
∈[0，2π]．
故选：C．
【点评】本题考查正弦函数的奇偶性，三角函数的解析式的应用，考查计算能力．
4．（5 分）已知α 为第二象限角，
，则sin2α=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求
解即可．
【解答】解：因为α 为第二象限角，
，
所以cosα=﹣
=﹣
．
所以sin2α=2sinαcosα=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能
第6页（共25页）
力．
5．（5 分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=
4
﹣，则该椭圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】确定椭圆的焦点在x 轴上，根据焦距为4，一条准线为x=
4
﹣，求出几何量，
即可求得椭圆的方程．
【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x 轴上，且
∴c=2，a2=8
∴b2=a2
c
﹣2=4
∴椭圆的方程为
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．
6．（5 分）已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1 时，Sn=（ ）
A．（
）n
1
﹣
B．2n
1
﹣
C．（
）n
1
﹣
D．（
﹣1）
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
第7页（共25页）
【解答】解：∵Sn=2an+1，得Sn=2（Sn+1
S
﹣n），即3Sn=2Sn+1，
由a1=1，所以Sn≠0．则
=
．
∴数列{Sn}为以1 为首项，公比为
的等比数列
∴Sn=
．
故选：A．
【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
7．（5 分）6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不
同的演讲次序有（ ）
A．240 种
B．360 种
C．480 种
D．720 种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接从中间的4 个演讲的位置，选1 个给甲，其余全排列即可．
【解答】解：因为6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，
甲先安排在除开始与结尾的位置还有
个选择，剩余的元素与位置进行全排
列有
，所以甲只能在中间的4 个位置，所以不同的演讲次序有
=480 种．
故选：C．
【点评】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，考查计算能力．
8．（5 分）已知正四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AB=2，CC1=2
，E 为CC1的中点，则直
线AC1与平面BED 的距离为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
第8页（共25页）
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化
为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可
【解答】解：如图：连接AC，交BD 于O，在三角形CC1A 中，易证OE∥C1A，从而
C1A∥平面BDE，
∴直线AC1与平面BED 的距离即为点A 到平面BED 的距离，设为h，
在三棱锥E
ABD
﹣
中，VE
ABD
﹣
=
S△ABD×EC=
×
×2×2×
=
在三棱锥A
BDE
﹣
中，BD=2
，BE=
，DE=
，∴S△EBD=
×2
×
=2
∴VA
BDE
﹣
=
×S△EBD×h=
×2
×h=
∴h=1
故选：D．
【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的
体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题
9．（5 分）△ABC 中，AB 边的高为CD，若
= ，= ，• =0，| |=1，| |=2，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】9Y：平面向量的综合题．菁优网版权所有
【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB 可求AD，进
第9页（共25页）
而可求
，从而可求
与
的关系，进而可求
【解答】解：∵• =0，
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵| |=1，| |=2
∴AB=
由射影定理可得，AC2=AD•AB
∴
∴
∴
=
=
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，
向量的数量积的性质的应用．
10．（5 分）已知F1、F2为双曲线C：x2
y
﹣2=2 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=2|
PF2|，则cos∠F1PF2=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2
第10页（共25页）
的值．
【解答】解：将双曲线方程x2
y
﹣2=2 化为标准方程
﹣
=1，则a=
，b=
，
c=2，
设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a 可得m=2
，
∴|PF1|=4
，|PF2|=2
，
∵|F1F2|=2c=4，
∴cos∠F1PF2=
=
=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于
中档题．
11．（5 分）已知x=lnπ，y=log52，
，则（ ）
A．x＜y＜z
B．z＜x＜y
C．z＜y＜x
D．y＜z＜x
【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜
，1＞z=
＞
，即可得到答案．
【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，
0＜log52＜log5
=
，即y∈（0，
）；
1=e0＞
=
＞
=
，即z∈（
，1），
∴y＜z＜x．
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题
的关键，属于基础题．
第11页（共25页）
12．（5 分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，
．
定点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角
等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】根据已知中的点E，F 的位置，可知入射角的正切值为
，通过相似三角形
来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．
【解答】解：根据已知中的点E，F 的位置，可知入射角的正切值为
，第一次碰撞
点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第
二次碰撞点为G，在DA，且DG=
，第三次碰撞点为H，在DC 上，且DH=
，第
四次碰撞点为M，在CB 上，且CM=
，第五次碰撞点为N，在DA 上，且AN=
，
第六次回到E 点，AE=
．
故需要碰撞6 次即可．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来
确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，属于难题
第12页（共25页）
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共20 分，在试卷上作答无效）
13．（5 分）
的展开式中x2的系数为
7
．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x2的系数即可．
【解答】解：因为
的展开式的通项公式为：
=
，
当8
2r=2
﹣
，即r=3 时，
的展开式中x2的系数为：
=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，考查计算能力．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
则z=3x
y
﹣的最小值为 ﹣
1
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x
y
﹣可得y=3x
z
﹣，则﹣z 表示直线
3x
y
z=0
﹣﹣
在y 轴上的截距，截距越大z 越小，结合图形可求
【解答】解：作出不等式组
表示的平面区域，如图所示
由z=3x
y
﹣可得y=3x
z
﹣，则﹣z 表示直线3x
y
z=0
﹣﹣
在y 轴上的截距，截距越大z
越小
结合图形可知，当直线z=3x
y
﹣过点C 时z 最小
由
可得C（0，1），此时z=
1
﹣
故答案为：﹣1
第13页（共25页）
【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z 的
几何意义，属于基础试题
15．（5 分）当函数y=sinx﹣
cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=
．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣
cosx 化为y=2sin（x﹣
）
（0≤x＜2π），即可
求得y=sinx﹣
cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x 的值．
【解答】解：∵y=sinx﹣
cosx=2（
sinx﹣
cosx）=2sin（x﹣
）．
∵0≤x＜2π，
∴﹣
≤x﹣
＜
，
∴ymax=2，此时x﹣
=
，
∴x=
．
第14页（共25页）
故答案为：
．
【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公
式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣
cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣
）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．
16．（5 分）已知正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，E，F 分别为BB1，CC1的中点，那么异面
直线AE 与D1F 所成角的余弦值为
．
【考点】L2：棱柱的结构特征；LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1棱长为2，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1为z 轴，
建立空间直角坐标系，则
，
=（0，2，﹣1），由此利用向量法能
够求出异面直线AE 与D1F 所成角的余弦值．
【解答】解：设正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1棱长为2，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1为z
轴，
建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），E（2，2，1）D1（0，0，2），F（0，2，1）
∴
，
=（0，2，﹣1），
设异面直线AE 与D1F 所成角为θ，
则cosθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
．
故答案为：
．
第15页（共25页）
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．解题时要认真审题，
仔细解答，注意向量法的合理运用．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．在试卷上作答无效！
17．
（10 分）△ABC 中，内角A，B，C 成等差数列，其对边a，b，c 满足2b2=3ac，求A．
【考点】8N：数列与三角函数的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；2A：探究型．
【分析】由题设条件，可先由A，B，C 成等差数列，及A+B+C=π 得到B=
，及A+C=
，再由正弦定理将条件2b2=3ac 转化为角的正弦的关系，结合cos（A+C）
=cosAcosC
sinAsinC
﹣
求得cosAcosC=0，从而解出A
【解答】解：由A，B，C 成等差数列，及A+B+C=π 得B=
，故有A+C=
由2b2=3ac 得2sin2B=3sinAsinC=
，
所以sinAsinC=
所以cos（A+C）=cosAcosC
sinAsinC=cosAcosC
﹣
﹣
即cosAcosC﹣
=﹣
，可得cosAcosC=0
第16页（共25页）
所以cosA=0 或cosC=0，即A 是直角或C 是直角
所以A 是直角，或A=
【点评】本题考查数列与三角函数的综合，涉及了三角形的内角和，两角和的余弦
公式，正弦定理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三
角函数的相关公式，本题考查了转化的思想，有一定的探究性及综合性
18．（12 分）已知数列{an}中，a1=1，前n 项和
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）直接利用已知，求出a2，a3；
（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项
公式即可．
【解答】解：（1）数列{an}中，a1=1，前n 项和
，
可知
，得3（a1+a2）=4a2，
解得a2=3a1=3，由
，
得3（a1+a2+a3）=5a3，
解得a3=
=6．
（2）由题意知a1=1，
当n＞1 时，有an=sn
s
﹣n
1
﹣=
，
整理得
，
于是a1=1，
第17页（共25页）
a2=
a1，
a3=
a2，
…，
an
1
﹣=
an
2
﹣，
，
将以上n 个式子两端分别相乘，
整理得：
．
综上{an}的通项公式为
【点评】本题考查数列的项的求法，累积法的应用，考查计算能力．
19．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，底面ABCD 为菱形，PA⊥底面ABCD，
，PA=2，E 是PC 上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A
PB
C
﹣
﹣为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面
的垂直、平行关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
第18页（共25页）
【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（
，b，0），从而写出相关点和相
关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线
面垂直的判定定理证明结论即可；
（II）先求平面PAB 的法向量，再求平面PBC 的法向量，利用两平面垂直的性质，即
可求得b 的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求
得线面角
【解答】解：（I）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A
xyz
﹣
，
设D（
，b，0），则C（2
，0，0），P（0，0，2），E（
，0，），B（
，﹣b，0）
∴
=（2
，0，﹣2），
=（
，b，
），
=（
，﹣b，
）
∴
•
=
﹣
=0，
•
=0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II）
=（0，0，2），
=（
，﹣b，0）
设平面PAB 的法向量为=（x，y，z），则
取=（b，
，0）
设平面PBC 的法向量为=（p，q，r），则
取=（1，﹣
，
）
∵平面PAB⊥平面PBC，∴• =b﹣
=0．故b=
∴=（1，﹣1，
），
=（﹣
，﹣
，2）
∴cos＜
，＞=
=
第19页（共25页）
设PD 与平面PBC 所成角为θ，θ∈[0，
]，则sinθ=
∴θ=30°
∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30°
【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一
般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题
20．（12 分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10 平前，一方连续发球
2 次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1 分，负方得0 分．
设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1 分的概率为0.6，各次发球的胜负
结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第4 次发球时，甲、乙的比分为1：2 的概率；
（2）求开始第5 次发球时，甲领先得分的概率．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n 次独立重复试
验中恰好发生k 次的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）记Ai表示事件：第1 次和第2 次这两次发球，甲共得i 分，i=0，1，2，Bi
表示事件：第3 次和第4 次这两次发球，甲共得i 分，i=0，1，2，A 表示事件：第3
次发球，甲得1 分，B 表示事件：开始第4 次发球时，甲、乙的比分为1 比2，C 表
示事件：开始第5 次发球时，甲得分领先．B=
，由此能求出开始第4
第20页（共25页）
次发球时，甲、乙的比分为1：2 的概率．
（Ⅱ）
，P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，
，
，由C=A1•B2+A2•B1+A2•B2，能求出开始第5 次发球时，甲领
先得分的概率．
【解答】解：（Ⅰ）记Ai表示事件：第1 次和第2 次这两次发球，甲共得i 分，i=0，1，
2，
Bi表示事件：第3 次和第4 次这两次发球，甲共得i 分，i=0，1，2，
A 表示事件：第3 次发球，甲得1 分，
B 表示事件：开始第4 次发球时，甲、乙的比分为1 比2，
C 表示事件：开始第5 次发球时，甲得分领先．
∴B=
，
P（A）=0.4，P（A0）=0.42=0.16，
P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，
P（B）=
=P（A0•A）+P（
）
=
=0.16×0.4+0.48×（1
0.4
﹣
）
=0.352．
答：开始第4 次发球时，甲、乙的比分为1：2 的概率是0.352．
（Ⅱ）
，
P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，
，
，
∵C=A1•B2+A2•B1+A2•B2，
第21页（共25页）
∴P（C）=P（A1•B2+A2B1+A2•B2）
=P（A1•B2）+P（A2•B1）+P（A2•B2）
=P（A1）P（B）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B2）
=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16
=0.3072．
答：开始第5 次发球时，甲领先得分的概率是0.3072．
【点评】本题考查事件的概率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意n 次独
立重复试验的性质和公式的灵活运用．
21．（12 分）已知函数
．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l 与x 轴
的交点在曲线y=f（x）上，求a 的值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；3：解题思想；32：分类讨论．
【分析】（1）先对函数进行求导，通过a 的取值，求出函数的根，然后通过导函数
的值的符号，推出函数的单调性．
（2）根据导函数的根，判断a 的范围，进而解出直线l 的方程，利用l 与x 轴的交点
为（x0，0），可解出a 的值．
【解答】解：（1）f′（x）=x2+2x+a=（x+1）2+a
1
﹣．
①当a≥1 时，f′（x）≥0，
且仅当a=1，x=
1
﹣时，f′（x）=0，
所以f（x）是R 上的增函数；
②当a＜1 时，f′（x）=0，有两个根，
x1=
1
﹣﹣
，x2=
1
﹣+
，
当x∈
时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
当x∈
时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
当x∈
时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
第22页（共25页）
（2）由题意x1，x2，是方程f′（x）=0 的两个根，
故有a＜1，
，
，
因此
=
=
=
=
，
同理
．
因此直线l 的方程为：y=
．
设l 与x 轴的交点为（x0，0）得x0=
，
=
，
由题设知，点（x0，0）在曲线y=f（x）上，故f（x0）=0，
解得a=0，或a=
或a=
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查分类讨论，函数与方程的
思想，考查计算能力．
22．（12 分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆
（r＞0）有一个
公共点A，且在A 处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m，n 的交点为D，求D 到l
的距离．
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【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的
综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l 的斜率，圆心M（1，），求
得MA 的斜率，利用l⊥MA 建立方程，求得A 的坐标，即可求得r 的值；
（Ⅱ）设（t，
（t+1）2）为C 上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）
（x﹣
t），即y=2（t+1）x
t
﹣2+1，若该直线与圆M 相切，则圆心M 到该切线的距离为
，建立方程，求得t 的值，求出相应的切线方程，可得D 的坐标，从而可求D
到l 的距离．
【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），
∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）
∴l 的斜率为k=2（x0+1）
当x0=1 时，不合题意，所以x0≠1
圆心M（1，
），MA 的斜率
．
∵l⊥MA，∴2（x0+1）×
=
1
﹣
∴x0=0，∴A（0，1），
∴r=|MA|=
；
（Ⅱ）设（t，
（t+1）2）为C 上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）
（x﹣
t），即y=2（t+1）x
t
﹣2+1
若该直线与圆M 相切，则圆心M 到该切线的距离为
∴
∴t2（t2
4t
6
﹣
﹣）=0
∴t0=0，或t1=2+
，t2=2﹣
第24页（共25页）
抛物线C 在点（ti，（ti+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为
y=2x+1 ①，y=2（t1+1）x﹣
②，y=2（t2+1）x﹣
③
②﹣③：x=
代入②可得：y=
1
﹣
∴D（2，﹣1），
∴D 到l 的距离为
【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运
用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．
第25页（共25页）
