文档文本内容
2012 年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分）
1．（2012•天津）i 是虚数单位，复数
=（ ）
A．1
i
﹣ B．﹣1+i C．1+i D．﹣1
i
﹣
2．（2012•天津）设变量x，y 满足约束条件
则目标函数z=3x
2y
﹣
的最小值为（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3
3．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）
A．8 B．18 C．26 D．80
4．（2012•天津）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
5．（2012•天津）设x R
∈，则“x＞”是“2x2+x
1
﹣＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（ ）
A．y=cos2x，x R
∈ B．y=log2|x|，x R
∈
且x≠0 C．y=
D．y=x3+1，x R
∈
7．（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移
个单位长度，所得图象经过点
，则ω 的
最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．
（2012•天津）在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q 满足
，
，λ R
∈．若
=2，则λ=（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共30 分）
9．（2012•天津）集合A={x R||x
2|≤5}
∈
﹣
中的最小整数为
_________
．
10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为
_________
m3．
11．（2012•天津）已知双曲线C1：
与双曲线C：
（a＞0，b＞0）有相同的渐近
线，且C1的右焦点为F（
，0）．则a=
_________
，b=
_________
．
12．（2012•天津）设m，n R
∈，若直线l：mx+ny
1=0
﹣
与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B，且l 与圆x2+y2=4 相交所
得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为
_________
．
13．（2012•天津）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D，过点C 作BD
的平行线与圆相交于点E，与AB 相交于点F，AF=3，FB=1，EF= ，则线段CD 的长为
_________
．
14．（2012•天津）已知函数y=
的图象与函数y=kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是
_________
．
三、解答题（本大题共6 小题，共80 分）
15．（2012•天津）某地区有小学21 所，中学14 所，大学7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6 所学校对学
生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6 所学校中随机抽取2 所学校做进一步数据分析．
（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求抽取的2 所学校均为小学的概率．
16．（2012•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=
，cosA=﹣
．
（1）求sinC 和b 的值；
（2）求cos（2A+
）的值．
17．（2012•天津）如图，在四棱锥P
ABCD
﹣
中，底面ABCD 是矩形，AD PD
⊥
，BC=1，PC=2
，PD=CD=2．
（1）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；
（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．
18．（2012•天津）已知{an}是等差数列，其前n 项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4
b
﹣4=10．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn=anb1+an
1
﹣b2+…+a1bn，n N
∈
*，证明：Tn
8=a
﹣
n
1
﹣bn+1（n N
∈
*，n≥2）．
19．（2012•天津）已知椭圆
，点P（
）在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ 的斜率的值．
20．（2012•天津）已知函数f（x）= x3+
x2
ax
a
﹣
﹣，x R
∈，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；
（3）当a=1 时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在
区间[
3
﹣，﹣1]上的最小值．
2012 年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分）
1．（2012•天津）i 是虚数单位，复数
=（ ）
A．1
i
﹣ B．﹣1+i C．1+i D．﹣1
i
﹣
考点：复数代数形式的乘除运算。
专题：计算题。
分析：进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果．
解答：
解：
=
=
=1+i
故选C．
点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．
2．（2012•天津）设变量x，y 满足约束条件
则目标函数z=3x
2y
﹣
的最小值为（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3
考点：简单线性规划。
专题：计算题。
分析：先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值
解答：解：画出可行域如图阴影区域：
目标函数z=3x
2y
﹣
可看做y= x﹣z，即斜率为，截距为﹣z 的动直线，
数形结合可知，当动直线过点A 时，z 最小
由
得A（0，2）
∴目标函数z=3x
2y
﹣
的最小值为z=3×0
2×2=
4
﹣
﹣
故选 B
点评：本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属
基础题
3．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）
A．8 B．18 C．26 D．80
考点：数列的求和；循环结构。
专题：计算题。
分析：根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n 已为4，故可得答案．
解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0 时，S1=0+31
3
﹣0=2；
同理可求n=2，S1=2 时，S2=8；
n=3，S2=8 时，S3=26；执行完后n 已为4，
故输出的结果为26．
故选C．
点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．
4．（2012•天津）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
考点：不等式比较大小。
专题：计算题。
分析：由函数y=2x在R 上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c 的大小关系
解答：解：由于函数y=2x在R 上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，
a
∴＞b＞20=1．
再由c=2log52=log54＜log55=1，
可得 a＞b＞c，
故选A．
点评：本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
5．（2012•天津）设x R
∈，则“x＞”是“2x2+x
1
﹣＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。
专题：计算题。
分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．
解答：解：由2x2+x
1
﹣＞0，可知x＜﹣1 或x＞；
所以当“x＞” “
⇒
2x2+x
1
﹣＞0”；
但是“2x2+x
1
﹣＞0”推不出“x＞”．
所以“x＞”是“2x2+x
1
﹣＞0”的充分而不必要条件．
故选A．
点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．
6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（ ）
A．y=cos2x，x R
∈ B．y=log2|x|，x R
∈
且x≠0 C．y=
D．y=x3+1，x R
∈
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。
专题：计算题。
分析：利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由“在区间（1，2）内是增函数”可排除A，从而可得答案．
解答：解：对于A，令y=f（x）=cosx，则f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=f（x），为偶函数，
而f（x）=cosx 在[0，π]上单调递减，（1，2）⊂[0，π]，
故f（x）=cosx 在区间（1，2）内是减函数，故排除A；
对于B，令y=f（x）=log2|x|，x R
∈
且x≠0，同理可证f（x）为偶函数，当x∈（1，2）时，y=f（x）=log2|x|=log2x，为增函
数，故B 满足题意；
对于C，令y=f（x）=
，f（﹣x）=
f
﹣（x），为奇函数，故可排除C；
而D，为非奇非偶函数，可排除D；
故选B．
点评：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题
中的作用，属于基础题．
7．（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移
个单位长度，所得图象经过点
，则ω 的
最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
专题：计算题。
分析：图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣
），再由所得图象经过点
可得sinω（
﹣
）=sin（ω
）=0，故ω•
=kπ，由此求得ω 的最小值．
解答：解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣
）．
再由所得图象经过点
可得sinω（
﹣
）=sin（ω
）=0，∴ω•
=kπ，k z
∈．
故ω 的最小值是2，
故选D．
点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，以及由y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数解析式，属于中档题．
8．
（2012•天津）在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q 满足
，
，λ R
∈．若
=2，则λ=（ ）
A． B． C． D．2
考点：平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：由题意可得
=0，根据
=﹣（1
λ
﹣）
﹣λ
=（λ
1
﹣）4
λ×1=2
﹣
，求得λ 的值．
解答：解：由题意可得
=0，
由于
=（
）•（
）=[
﹣
]•[
﹣
]
=﹣（1
λ
﹣）
﹣λ
=（λ
1
﹣）4
λ×1=2
﹣
，
解得 λ=2，
故选D．
点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，
属于中档题．
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共30 分）
9．（2012•天津）集合A={x R||x
2|≤5}
∈
﹣
中的最小整数为 ﹣
3
．
考点：绝对值不等式的解法。
专题：计算题。
分析：由|x
2|≤5
﹣
可解得﹣3≤x≤7，从而可得答案．
解答：解：∵A={x R||x
2|≤5}
∈
﹣
，
∴由|x
2|≤5
﹣
得，
5≤x
2≤5
﹣
﹣
，
3≤x≤7
∴﹣
，
∴集合A={x R||x
2|≤5}
∈
﹣
中的最小整数为﹣3．
故答案为﹣3．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，可根据绝对值不等式|x|≤a（a＞0）的意义直接得到﹣a≤x≤a，也可以两端平方，
去掉绝对值符号解之，属于基础题．
10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为
30
m3．
考点：由三视图求面积、体积。
专题：计算题。
分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
解答：解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3 和4，高为2，
上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2 和1，高为1，棱柱的高为4，
所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是5 边形，
几何体的体积为：（2×3+
）×4=30（m3）．
故答案为：30．
点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力与计算
能力．
11．（2012•天津）已知双曲线C1：
与双曲线C：
（a＞0，b＞0）有相同的渐近
线，且C1的右焦点为F（
，0）．则a=
1
，b=
2
．
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：
双曲线C1：
的渐近线方程为y=± x，右焦点为（c，0），结合已知即可得=2，c=
，列方程即可解得a、b 的值
解答：
解：∵双曲线C：
（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，
∴=2
∵且C1的右焦点为F（
，0）．
c=
∴
，由a2+b2=c2
解得a=1，b=2
故答案为1，2
点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题
12．（2012•天津）设m，n R
∈，若直线l：mx+ny
1=0
﹣
与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B，且l 与圆x2+y2=4 相交所
得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为
3
．
考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程。
专题：计算题。
分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l 被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直
线l 的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l 的距离，两者相等列出关系式，整理后求出
m2+n2的值，再由直线l 与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，由直线l 的解析式分别令x=0 及y=0，得出A 的横
坐标及B 的纵坐标，确定出A 和B 的坐标，得出OA 及OB 的长，根据三角形AOB 为直角三角形，表示出三角
形AOB 的面积，利用基本不等式变形后，将m2+n2的值代入，即可求出三角形AOB 面积的最小值．
解答：解：由圆x2+y2=4 的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
∵直线l 与圆x2+y2=4 相交所得弦CD=2，
∴圆心到直线l 的距离d=
=
，
∴圆心到直线l：mx+ny
1=0
﹣
的距离d=
=
，
整理得：m2+n2= ，
令直线l 解析式中y=0，解得：x= ，
A
∴（，0），即OA=
，
令x=0，解得：y= ，
B
∴（0，），即OB=
，
m
∵
2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，
|mn|≤
∴
，
又△AOB 为直角三角形，
S
∴
ABC
△
= OA•OB=
≥
=3，
则△AOB 面积的最小值为3．
故答案为：3
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方
程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半
径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题．
13．（2012•天津）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D，过点C 作BD
的平行线与圆相交于点E，与AB 相交于点F，AF=3，FB=1，EF= ，则线段CD 的长为 ．
考点：与圆有关的比例线段。
专题：计算题。
分析：由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD 求解．
解答：解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1= ×FC，FC=2，在△ABD 中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，
BD= ，
设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=
故答案为：
点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．
14．（2012•天津）已知函数y=
的图象与函数y=kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 （
0 ，
1 ）∪
（
1 ，
2 ）
．
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：
函数y=
=
=
，如图所示，可得直线y=kx 与函数
y=
的图象相交于两点时，直线的斜率k 的取值范围．
解答：
解：函数y=
=
=
，如图所示：
故当一次函数y=kx 的斜率k 满足0＜k＜1 或1＜k＜2 时，直线y=kx 与函数y=
的图象相交于两点，
故答案为 （0，1）∪（1，2）．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基
础题．
三、解答题（本大题共6 小题，共80 分）
15．（2012•天津）某地区有小学21 所，中学14 所，大学7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6 所学校对学
生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6 所学校中随机抽取2 所学校做进一步数据分析．
（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求抽取的2 所学校均为小学的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法。
专题：计算题。
分析：（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；
（2）（i）从抽取的6 所学校中随机抽取2 所学校，所有结果共有
=15 种，按规律列举即可；
（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果
解答：解：（I）抽样比为
= ，
故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21× =3，14× =2，7× =1
（II）（i）在抽取到的6 所学校中，3 所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A
则抽取2 所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，A}，{3，a}，
{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15 种
（ii）设B={抽取的2 所学校均为小学}，事件B 的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3 种，
P
∴（B）=
=
点评：本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题
16．（2012•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=
，cosA=﹣
．
（1）求sinC 和b 的值；
（2）求cos（2A+
）的值．
考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。
分析：（1）△ABC 中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC，再由余弦定理求得b=1．
（2）利用二倍角公式求得cos2A 的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+
）=cos2Acos
sin2Asin
﹣
的值．
解答：解：（1）△ABC 中，由cosA=﹣
可得sinA=
．
再由
=
以及a=2、c=
，可得sinC=
．
由a2=b2+c2
2bc•cosA
﹣
可得b2+b
2=0
﹣
，解得b=1．
（2）由cosA=﹣
、sinA=
可得 cos2A=2cos2A
1=
﹣
﹣，sin2A=2sinAcosA=﹣
．
故cos（2A+
）=cos2Acos
sin2Asin
﹣
=
．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的
应用，属于中档题．
17．（2012•天津）如图，在四棱锥P
ABCD
﹣
中，底面ABCD 是矩形，AD PD
⊥
，BC=1，PC=2
，PD=CD=2．
（1）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；
（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定。
专题：计算题；证明题；综合题。
分析：（1）判断∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成角，在Rt
PDA
△
中，求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；
（2）说明AD BC
⊥
，通过AD PD
⊥
，CD∩PD=D，证明AD⊥平面PDC，然后证明平面PDC⊥平面ABCD．
（3）在平面PDC 中，过点P 作PE CD
⊥
于E，连接EB．说明∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成角，求出PE，
PB，在Rt
PEB
△
中，通过sin PBE=
∠
，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．
解答：（1）解：如图，在四棱锥P
ABCD
﹣
中，
因为底面ABCD 是矩形，所以AD=BC，且AD BC
∥
，
又因为AD PD
⊥
，
故∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成角，
在Rt
PDA
△
中，
=2，
所以异面直线PA 与BC 所成角的正切值为：2．
（2）证明：由于底面ABCD 是矩形，故AD BC
⊥
，
由于AD PD
⊥
，CD∩PD=D，
因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．
（3）解：在平面PDC 中，过点P 作PE CD
⊥
于E，连接EB．
由于平面PDC⊥平面ABCD，
而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线，
故PE⊥平面ABCD．
由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成角，
在△PDC 中，
由于PD=CD=2，PC=2
，可得∠PCD=30°，
在Rt
PEC
△
中，PE=PCsin30°=
．
由AD BC
∥
，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，
因此BC PC
⊥
．
在Rt
PCB
△
中，PB=
=
．
在Rt
PEB
△
中，sin PBE=
∠
=
．
所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为
．
点评：本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能
力．
18．（2012•天津）已知{an}是等差数列，其前n 项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4
b
﹣4=10．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn=anb1+an
1
﹣b2+…+a1bn，n N
∈
*，证明：Tn
8=a
﹣
n
1
﹣bn+1（n N
∈
*，n≥2）．
考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．
（2）先借助于错位相减法求出Tn的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．
解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，
由a4+b4=27，S4
b
﹣4=10，得方程组
，
解得
，
所以：an=3n
1
﹣，bn=2n．
（2）证明：由第一问得：Tn=anb1+an
1
﹣b2+…+a1bn=2×2+5×22+8×23+…+（3n
1
﹣）×2n； ①；
2Tn=2×22+5×23+…+（3n
4
﹣）×2n+（3n
1
﹣）×2n+1，②．
由①﹣②得，﹣Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n﹣（3n
1
﹣）×2n+1
=
﹣（3n
1
﹣）×2n+1
2
﹣
=﹣（3n
4
﹣）×2n+1
8
﹣．
即Tn
8=
﹣
（3n
4
﹣）×2n+1．
而当n≥2 时，an
1
﹣bn+1=（3n
4
﹣）×2n+1．
T
∴
n
8=a
﹣
n
1
﹣bn+1（n N
∈
*，n≥2）．
点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考
察计算能力．
19．（2012•天津）已知椭圆
，点P（
）在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ 的斜率的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质。
专题：综合题。
分析：
（1）根据点P（
）在椭圆上，可得
，由此可求椭圆的离心率；
（2）设直线OQ 的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q 的坐标为（x0，y0），与椭圆方程联立，
，
根据|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，可求
，由此可求直线OQ 的斜率的值．
解答：
解：（1）因为点P（
）在椭圆上，所以
∴
∴
∴
（2）设直线OQ 的斜率为，则其方程为y=kx
设点Q 的坐标为（x0，y0），由条件得
，消元并整理可得
①
|AQ|=|AO|
∵
，A（﹣a，0），y0=kx0，
∴
∴
x
∵0≠0，∴
代入①，整理得
∵
∴
5k
∴
4
22k
﹣
2
15=0
﹣
k
∴2=5
∴
点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．
20．（2012•天津）已知函数f（x）= x3+
x2
ax
a
﹣
﹣，x R
∈，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；
（3）当a=1 时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在
区间[
3
﹣，﹣1]上的最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。
专题：综合题。
分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；
（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零
点，由此可求a 的取值范围；
（3）a=1 时，f（x）=
，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上
单调递增，再进行分类讨论：①当t [
3
∈﹣，﹣2]时，t+3 [0
∈
，1]，﹣1 [t
∈，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[
1
﹣，
t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较
小者，从而可得g（t）在[
3
﹣，﹣2]上的最小值；②当t [
2
∈﹣，﹣1]时，t+3 [1
∈
，2]，﹣1，1 [t
∈，t+3]，比较f（﹣1），f
（1），f （t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[
3
﹣，﹣1]上的最小值．
解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x
a
﹣），令f′（x）=0，可得x1=
1
﹣，x2=a＞0
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1 或x＞a；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜a
故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a，）
（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零
点，
∴
，∴
，∴0＜a＜
a
∴的取值范围为
；
（3）a=1 时，f（x）=
，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上
单调递增
①当t [
3
∈﹣，﹣2]时，t+3 [0
∈
，1]，﹣1 [t
∈，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[
1
﹣，t+3]上单调递减
因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者
由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t [
3
∈﹣，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）
而f（t）在[
3
﹣，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在[
3
﹣，﹣2]上的最小值为
②当t [
2
∈﹣，﹣1]时，t+3 [1
∈
，2]，﹣1，1 [t
∈，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．
由f（x）在[
2
﹣，﹣1]，[1，2]上单调递增，有
f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）
f
∵（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣
M
∴
（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣
g
∴（t）=M（t）﹣m（t）=
综上，函数g（t）在区间[
3
﹣，﹣1]上的最小值为．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类
讨论是解题的关键．
