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2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合A={x|x2
x
2
﹣﹣＜0}，B={x|
1
﹣＜x＜1}，则（ ）
A．A⊊B
B．B⊊A
C．A=B
D．A∩B=∅
2．（5 分）复数z=
的共轭复数是（ ）
A．2+i
B．2
i
﹣
C．﹣1+i
D．﹣1
i
﹣
3．
（5 分）在一组样本数据（x1，y1），
（x2，y2），…，
（xn，yn）
（n≥2，x1，x2，…，xn不全相
等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）
（i=1，2，…，n）都在直线y=
x+1 上，则这
组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．﹣1
B．0
C．
D．1
4．（5 分）设F1、F2是椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为直线x=
上
一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）已知正三角形ABC 的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C 在第一象限，若点
（x，y）在△ABC 内部，则z=
x
﹣+y 的取值范围是（ ）
A．（1﹣
，2）B．（0，2）
C．（
﹣1，2）D．（0，1+
）
6．
（5 分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输
出A，B，则（ ）
第1页（共27页）
A．A+B 为a1，a2，…，an的和
B．
为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A 和B 分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A 和B 分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
7．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，
则此几何体的体积为（ ）
A．6
B．9
C．12
D．18
第2页（共27页）
8．（5 分）平面α 截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α 的距离为
，
则此球的体积为（ ）
A．
π
B．4
π
C．4
π
D．6
π
9．（5 分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=
和x=
是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象
的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y2=16x 的准线
交于点A 和点B，|AB|=4
，则C 的实轴长为（ ）
A．
B．
C．4
D．8
11．（5 分）当0＜x≤
时，4x＜logax，则a 的取值范围是（ ）
A．（0，
）
B．（
，1）
C．（1，
）
D．
（
，2）
12．（5 分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n
1
﹣，则{an}的前60 项和为（ ）
A．3690
B．3660
C．1845
D．1830
二．填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．
13．（5 分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 ．
14．（5 分）等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q= ．
15．（5 分）已知向量
夹角为45°，且
，则
= ．
16．（5 分）设函数f（x）=
的最大值为M，最小值为m，则M+m=
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，c=
asinC﹣
ccosA．
（1）求A；
第3页（共27页）
（2）若a=2，△ABC 的面积为
，求b，c．
18．（12 分）某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝
10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n
（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
（i）假设花店在这100 天内每天购进17 枝玫瑰花，求这100 天的日利润（单位：
元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17 枝玫瑰花，以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量
发生的概率，求当天的利润不少于75 元的概率．
19．（12 分）如图，三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
AA1，D 是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
第4页（共27页）
20．
（12 分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于B，D 两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为
，求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A，B，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到m，n 距离的比值．
21．（12 分）设函数f（x）=ex
ax
2
﹣
﹣．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k 为整数，且当x＞0 时，（x
k
﹣）f′（x）+x+1＞0，求k 的最大值．
22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 边AB，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆
于F，G 两点，若CF∥AB，证明：
第5页（共27页）
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
23．选修4
4
﹣；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是
（φ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都
在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，
）．
（1）求点A，B，C，D 的直角坐标；
（2）设P 为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x
2
﹣|
①当a=
3
﹣时，求不等式f（x）≥3 的解集；
②f（x）≤|x
4
﹣|若的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．
第6页（共27页）
2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合A={x|x2
x
2
﹣﹣＜0}，B={x|
1
﹣＜x＜1}，则（ ）
A．A⊊B
B．B⊊A
C．A=B
D．A∩B=∅
【考点】18：集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断
【解答】解：由题意可得，A={x|
1
﹣＜x＜2}，
∵B={x|
1
﹣＜x＜1}，
在集合B 中的元素都属于集合A，但是在集合A 中的元素不一定在集合B 中，例
如x=
∴B⊊A．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．
2．（5 分）复数z=
的共轭复数是（ ）
A．2+i
B．2
i
﹣
C．﹣1+i
D．﹣1
i
﹣
【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi 的形式，然
后求法共轭复数即可．
第7页（共27页）
【解答】解：复数z=
=
=
=
1
﹣+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1
i
﹣．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3．
（5 分）在一组样本数据（x1，y1），
（x2，y2），…，
（xn，yn）
（n≥2，x1，x2，…，xn不全相
等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）
（i=1，2，…，n）都在直线y=
x+1 上，则这
组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．﹣1
B．0
C．
D．1
【考点】BS：相关系数．菁优网版权所有
【专题】29：规律型．
【分析】所有样本点（xi，yi）
（i=1，2，…，n）都在直线y=
x+1 上，故这组样本数据完
全正相关，故其相关系数为1．
【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=
x+1 上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，
故选：D．
【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．
4．（5 分）设F1、F2是椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为直线x=
上
一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
第8页（共27页）
【专题】11：计算题．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P 为直线
x=
上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P 为直线x=
上一点
∴
∴
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基
础题．
5．（5 分）已知正三角形ABC 的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C 在第一象限，若点
（x，y）在△ABC 内部，则z=
x
﹣+y 的取值范围是（ ）
A．（1﹣
，2）B．（0，2）
C．（
﹣1，2）D．（0，1+
）
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由A，B 及△ABC 为正三角形可得，可求C 的坐标，然后把三角形的各顶点
第9页（共27页）
代入可求z 的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围
【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）
由A（1，1），B（1，3），及△ABC 为正三角形可得，AB=AC=BC=2
即（a
1
﹣）2+（b
1
﹣）2=（a
1
﹣）2+（b
3
﹣）2=4
∴b=2，a=1+
即C（1+
，2）
则此时直线AB 的方程x=1，AC 的方程为y
1=
﹣
（x
1
﹣），
直线BC 的方程为y
3=
﹣
﹣
（x
1
﹣）
当直线x
y
﹣+z=0 经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+
，2）
时，z=1﹣
∴
故选：A．
【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题
型．
6．
（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输
出A，B，则（ ）
第10页（共27页）
A．A+B 为a1，a2，…，an的和
B．
为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A 和B 分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A 和B 分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
【考点】E7：循环结构．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程
序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
其中A 为a1，a2，…，an中最大的数，B 为a1，a2，…，an中最小的数
故选：C．
第11页（共27页）
【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析
的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．
7．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，
则此几何体的体积为（ ）
A．6
B．9
C．12
D．18
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即
可．
【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3 的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V=
×6×3×3=9．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能
力．
8．（5 分）平面α 截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α 的距离为
，
则此球的体积为（ ）
A．
π
B．4
π
C．4
π
D．6
π
第12页（共27页）
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用平面α 截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α 的距离为
，求出球的半径，然后求解球的体积．
【解答】解：因为平面α 截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α 的距离
为
，
所以球的半径为：
=
．
所以球的体积为：
=4
π．
故选：B．
【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．
9．（5 分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=
和x=
是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象
的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ 的范围，确定φ 的
值即可．
【解答】解：因为直线x=
和x=
是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对
称轴，
所以T=
=2π．所以ω=1，并且sin（
+φ）与sin（
+φ）分别是最
大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=
．
故选：A．
第13页（共27页）
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能
力．
10．（5 分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y2=16x 的准线
交于点A 和点B，|AB|=4
，则C 的实轴长为（ ）
A．
B．
C．4
D．8
【考点】KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设等轴双曲线C：x2
y
﹣2=a2（a＞0），y2=16x 的准线l：x=
4
﹣，由C 与抛物线
y2=16x 的准线交于A，B 两点，
，能求出C 的实轴长．
【解答】解：设等轴双曲线C：x2
y
﹣2=a2（a＞0），
y2=16x 的准线l：x=
4
﹣，
∵C 与抛物线y2=16x 的准线l：x=
4
﹣交于A，B 两点，
∴A（﹣4，2
），B（﹣4，﹣2
），
将A 点坐标代入双曲线方程得
=4，
∴a=2，2a=4．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘
题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
11．（5 分）当0＜x≤
时，4x＜logax，则a 的取值范围是（ ）
A．（0，
）
B．（
，1）
C．（1，
）
D．
（
，2）
【考点】7J：指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成
立问题加以解决即可
第14页（共27页）
【解答】解：∵0＜x≤
时，1＜4x≤2
要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜logax，
∴
即
对0＜x≤
时恒成立
∴
解得
＜a＜1
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题
的一般解法，属基础题
12．（5 分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n
1
﹣，则{an}的前60 项和为（ ）
A．3690
B．3660
C．1845
D．1830
【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
第15页（共27页）
【分析】由题意可得 a2
a
﹣
1=1，a3+a2=3，a4
a
﹣
3=5，a5+a4=7，a6
a
﹣
5=9，a7+a6=11，…a50
a
﹣
49=97，变形可得
a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利
用
数列的结构特征，求出{an}的前60 项和．
【解答】解：由于数列{an}满足an+1+（﹣1）n an=2n
1
﹣，故有 a2
a
﹣
1=1，a3+a2=3，a4﹣
a3=5，
a5+a4=7，a6
a
﹣
5=9，a7+a6=11，…a50
a
﹣
49=97．
从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，
a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2 个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2 个相邻偶数项的和构成以8 为首项，以16 为公差的等差
数列．
{an}的前60 项和为 15×2+（15×8+
）=1830，
故选：D．
【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结
构特征，属于中档题．
二．填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．
13．（5 分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为
y=4x
3
﹣
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．
【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，
当x=1 时，y′=4，
∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y
1=4
﹣
（x
1
﹣），即y=4x
3
﹣．
故答案为：y=4x
3
﹣．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．
第16页（共27页）
14．（5 分）等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q= ﹣
2
．
【考点】89：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q
【解答】解：由题意可得，q≠1
∵S3+3S2=0
∴
∴q3+3q2
4=0
﹣
∴（q
1
﹣）（q+2）2=0
∵q≠1
∴q=
2
﹣
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q 是否
为1
15．（5 分）已知向量
夹角为45°，且
，则
=
3
．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】由已知可得，
=
，代入|2
|=
=
=
=
可求
【解答】解：∵
，
=1
第17页（共27页）
∴
=
∴|2
|=
=
=
=
解得
故答案为：3
【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质| |=
是求解向量的模常用的方法
16．（5 分）设函数f（x）=
的最大值为M，最小值为m，则M+m=
2
．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】函数可化为f（x）=
=
，令
，则
为奇函数，从而函数
的最大值与最小值的和为
0，由此可得函数f（x）=
的最大值与最小值的和．
【解答】解：函数可化为f（x）=
=
，
令
，则
为奇函数，
∴
的最大值与最小值的和为0．
第18页（共27页）
∴函数f（x）=
的最大值与最小值的和为1+1+0=2．
即M+m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转
化为利用函数的奇偶性解题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，c=
asinC﹣
ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC 的面积为
，求b，c．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）由正弦定理有：
sinAsinC
sinCcosA
sinC=0
﹣
﹣
，可以求出A；
（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．
【解答】解：（1）c=
asinC
ccosA
﹣
，由正弦定理有：
sinAsinC
sinCcosA
sinC=0
﹣
﹣
，即sinC•（
sinA
cosA
1
﹣
﹣）=0，
又，sinC≠0，
所以
sinA
cosA
1=0
﹣
﹣
，即2sin（A﹣
）=1，
所以A=
；
（2）S△ABC=
bcsinA=
，所以bc=4，
a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2
2bccosA
﹣
，即4=b2+c2
bc
﹣
，
即有
，
解得b=c=2．
第19页（共27页）
【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的
综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解
题的关键是熟练掌握基本公式
18．（12 分）某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝
10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n
（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
（i）假设花店在这100 天内每天购进17 枝玫瑰花，求这100 天的日利润（单位：
元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17 枝玫瑰花，以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量
发生的概率，求当天的利润不少于75 元的概率．
【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；CS：概率的
应用．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5 元，卖不出一枝可得赔本5 元，即可建立
分段函数；
（Ⅱ）（i）这100 天的日利润的平均数，利用100 天的销售量除以100 即可得到结
论；
（ii）当天的利润不少于75 元，当且仅当日需求量不少于16 枝，故可求当天的利
润不少于75 元的概率．
【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17 时，利润y=85；当日需求量n＜17 时，利润
y=10n
85
﹣
；（4 分）
∴利润y 关于当天需求量n 的函数解析式
（n∈N*）（6 分）
第20页（共27页）
（Ⅱ）（i）这100 天的日利润的平均数为
元；
（9 分）
（ii）当天的利润不少于75 元，当且仅当日需求量不少于16 枝，故当天的利润不
少于75 元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12 分）
【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际
问题，属于中档题．
19．（12 分）如图，三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
AA1，D 是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．
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【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平
面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B
DACC
﹣
1的体积为V1，AC=1，易求V1=
×
×1×1=
，三棱柱
ABC
A
﹣
1B1C1的体积V=1，于是可得（V
V
﹣
1）：V1=1：1，从而可得答案．
【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
第21页（共27页）
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B
DACC
﹣
1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=
×
×1×1=
，
又三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的体积V=1，
∴（V
V
﹣
1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用
与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．
20．
（12 分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于B，D 两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为
，求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A，B，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到m，n 距离的比值．
【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点A 到准线l 的距
离
，由△ABD 的面积S△ABD=
，知
=
，由此能求出圆F 的方程．
（2）由对称性设
，则
点A，B 关于点F 对称得：
，得：
，由此能求出坐标原
第22页（共27页）
点到m，n 距离的比值．
【解答】解：（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD|=2p
点A 到准线l 的距离
，
∵△ABD 的面积S△ABD=
，
∴
=
，
解得p=2，所以F 坐标为（0，1），
∴圆F 的方程为x2+（y
1
﹣）2=8．
（2）由题设
，则
，
∵A，B，F 三点在同一直线m 上，
又AB 为圆F 的直径，故A，B 关于点F 对称．
由点A，B 关于点F 对称得：
得
：
，
直
线
，
切点
直线
坐标原点到m，n 距离的比值为
．
【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简
单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进
行等价转化．
21．（12 分）设函数f（x）=ex
ax
2
﹣
﹣．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k 为整数，且当x＞0 时，（x
k
﹣）f′（x）+x+1＞0，求k 的最大值．
第23页（共27页）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．
【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，
故应按a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；
（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x
k
﹣） f´（x）+x+1＞0 在x＞0 时成立转化为
k＜
（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=
在x＞0 上的最小值
问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k 的最大值；
【解答】解：（I）函数f（x）=ex
ax
2
﹣
﹣的定义域是R，f′（x）=ex
a
﹣，
若a≤0，则f′（x）=ex
a
﹣≥0，所以函数f（x）=ex
ax
2
﹣
﹣在（﹣∞，+∞）上单调递增．
若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex
a
﹣＜0；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex
a
﹣＞0；
所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（II）由于a=1，所以，（x
k
﹣） f´（x）+x+1=（x
k
﹣） （ex
1
﹣）+x+1
故当x＞0 时，（x
k
﹣） f´（x）+x+1＞0 等价于k＜
（x＞0）①
令g（x）=
，则g′（x）=
由（I）知，当a=1 时，函数h（x）=ex
x
2
﹣﹣在（0，+∞）上单调递增，
而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）=ex
x
2
﹣﹣在（0，+∞）上存在唯一的零点，
故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）
当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．
又由g′（α）=0，可得eα=α+2 所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等价于k＜g（α），故整数k 的最大值为2．
【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的
关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最
小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判
断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．
第24页（共27页）
22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 边AB，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆
于F，G 两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据D，E 分别为△ABC 边AB，AC 的中点，可得DE∥BC，证明四边形
ADCF 是平行四边形，即可得到结论；
（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．
【解答】证明：（1）∵D，E 分别为△ABC 边AB，AC 的中点
∴DF∥BC，AD=DB
∵AB∥CF，∴四边形BDFC 是平行四边形
∴CF∥BD，CF=BD
∴CF∥AD，CF=AD
∴四边形ADCF 是平行四边形
∴AF=CD
∵
，∴BC=AF，∴CD=BC．
（2）由（1）知
，所以
．
所以∠BGD=∠DBC．
因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．
所以△BCD～△GBD．
第25页（共27页）
【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属
于基础题．
23．选修4
4
﹣；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是
（φ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都
在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，
）．
（1）求点A，B，C，D 的直角坐标；
（2）设P 为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆
的参数方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）确定点A，B，C，D 的极坐标，即可得点A，B，C，D 的直角坐标；
（2）利用参数方程设出P 的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|
2+|PD|2的取值范围．
【解答】解：（1 ）点
A ，B ，C ，D
的极坐标为
点A，B，C，D 的直角坐标为
（2）设P（x0，y0），则
为参数）
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
第26页（共27页）
∵sin2φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档
题．
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x
2
﹣|
①当a=
3
﹣时，求不等式f（x）≥3 的解集；
②f（x）≤|x
4
﹣|若的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．
【分析】①不等式等价于
，或
，或
，求出
每个不等式组的解集，再取并集即得所求．
②原命题等价于﹣2
x
﹣≤a≤2
x
﹣在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a=
3
﹣时，f（x）≥3 即|x
3
﹣|+|x
2
﹣|≥3，即
，可得x≤1；
，可得x∈∅；
，可得x≥4．
取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或x≥4}．
（2）原命题即f（x）≤|x
4
﹣|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2
x
﹣≤4
x
﹣在[1，2]
上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2
x
﹣≤a≤2
x
﹣在[1，2]上恒成立．
故当 1≤x≤2 时，﹣2
x
﹣的最大值为﹣2
1=
3
﹣
﹣，2
x
﹣的最小值为0，
故a 的取值范围为[
3
﹣，0]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的
不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
第27页（共27页）
