文档文本内容
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
文科数学
第Ⅰ卷(共60 分)
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
(1)若复数z 满足
为虚数单位)，则
为
(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i
(2)已知全集
，集合
，
，则
为
(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}
(3)函数
的定义域为
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据
恰好是A 样本数据都加2 后所得数据，则A，B 两样本的下列数字特征对应相同的是
(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差
(5)设命题p：函数
的最小正周期为
；命题q：函数
的图象关于直线
对称.则下列判断正确的是
(A)p 为真 (B)
为假 (C)
为假 (D)
为真
(6)设变量
满足约束条件
则目标函数
的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)执行右面的程序框图，如果输入
＝4，那么输出的n 的值为
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(8)函数
的最大值与最小值之和为
(A)
(B)0 (C)－1 (D)
(9)圆
与圆
的位置关系为
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
(10)函数
的图象大致为
(11)已知双曲线
：
的离心率为2.若抛物线
的焦
点到双曲线
的渐近线的距离为2，则抛物线
的方程为
(A)
(B)
2
16 3
3
x
y
(C)
(D)
[来源:Z_xx_k.Com]
(12)设函数
，
.若
的图象与
的图象有且仅有两个不
同的公共点
，则下列判断正确的是
(A)
(B)
(C)
(D)
1
2
1
2
0,
0
x
x
y
y
第Ⅱ卷(共90 分)
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分.
(13)如图，正方体
的棱长为1，E 为线段
上的一点，
则三棱锥
的体积为＿＿＿＿＿.
(14)右图是根据部分城市某年6 月份的平均气温(单位：℃)数据得
到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，
26.5］，样本数据的分组为
，
，
，
，
，
.已知样本中平均气温低
于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃
的城市个数为＿＿＿＿.
(15)若函数
在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数
在
上是增函数，则a＝＿＿＿＿.
(16)如图，在平面直角坐标系
中，一单位圆的圆心的初始位
置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正
向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，
的坐标为＿＿＿＿.
三、解答题：本大题共6 小题，共74 分.
(17)(本小题满分12 分)
在△ABC 中，内角
所对的边分别为
，已知
.
(Ⅰ)求证：
成等比数列；
(Ⅱ)若
，求△
的面积S.
(18)(本小题满分12 分)
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为
1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4 的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片
颜色不同且标号之和小于4 的概率.
(19) (本小题满分12 分)
如图，几何体
是四棱锥，△
为正三角形，
.
(Ⅰ)求证：
；
(Ⅱ)若∠
，M 为线段AE 的中点，
求证：
∥平面
.
(20) (本小题满分12 分)
已知等差数列
的前5 项和为105，且
.
(Ⅰ)求数列
的通项公式；
(Ⅱ)对任意
，将数列
中不大于
的项的个数记为
.求数列
的前m 项
和
.
(21) (本小题满分13 分)
如图，椭圆
的离心率为
，直线
和
所围成的矩
形ABCD 的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线
与椭圆M 有两个不同的交
点
与矩形ABCD 有两个不同的交点
.求
的最大值及取得最大值时m 的值.
(22) (本小题满分13 分)
已知函数
为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线
在点
处的切线与x 轴平行.
(Ⅰ)求k 的值；
(Ⅱ)求
的单调区间；
(Ⅲ)设
，其中
为
的导函数.证明：对任意
.[来源:学科网ZXXK]
参考答案：
一、选择题：
(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B
(12)解：设
，则方程
与
同解，故其有且仅有两个不同零
点
.由
得
或
.这样，必须且只须
或
，因为
，故必有
由此得
. 不妨设
，则
. 所以
，比较系数得
，故
.
，由此知
，故答案为B.
二、填空题
(13)
以△
为底面，则易知三棱锥的高为1，故
.[来源:Zxxk.Com]
(14)9 最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面
矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.
(15)
当
时，有
，此时
，此时
为减函数，不合题
意.若
，则
，故
，检验知符合题意.
(16)
三、解答题
(17)(I)由已知得：
，
，
，
再由正弦定理可得：
，
所以
成等比数列.
(II)若
，则
，
∴
，
，
∴△
的面积
.
(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10 种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝
2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之
和小于4 的有3 种情况，故所求的概率为
.
(II)加入一张标号为0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10 种情况外，多
出5 种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15 种情况，其中颜色不同
且标号之和小于4 的有8 种情况，所以概率为
.
(19)(I)设
中点为O，连接OC，OE，则由
知，
，
又已知
，所以
平面OCE.
所以
，即OE 是BD 的垂直平分线，
所以
.
(II)取AB 中点N，连接
，
∵M 是AE 的中点，∴
∥
，
∵△
是等边三角形，∴
.
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即
，
所以ND∥BC，
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.
(20)(I)由已知得：
解得
,
所以通项公式为
.
(II)由
，得
，
即
.
∵
，
∴
是公比为49 的等比数列，
∴
.
(21)(I)
……①
矩形ABCD 面积为8，即
……②
由①②解得：
，
∴椭圆M 的标准方程是
.
(II)
，
设
，则
，
由
得
.
.
当过
点时，
，当过
点时，
.
①当
时，有
，[来源:学科网]
，
其中
，由此知当
，即
时，
取得最大值
.
②由对称性，可知若
，则当
时，
取得最大值
.
③当
时，
，
，
由此知，当
时，
取得最大值
.
综上可知，当
和0 时，
取得最大值
.
(22)(I)
，
由已知，
，∴
.
(II)由(I)知，
.
设
，则
，即
在
上是减函数，
由
知，当
时
，从而
，
当
时
，从而
.
综上可知，
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.
(III)由(II)可知，当
时，
≤0＜1+
，故只需证明
在
时成立.
当
时，
＞1，且
，∴
.
设
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
取得最大值
.
所以
.
综上，对任意
，
.
[来源:学,科,网]
