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2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．（5 分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x
y
﹣∈A}，则B 中所含元素的个数为
（ ）
A．3
B．6
C．8
D．10
2．（5 分）将2 名教师，4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组
由1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12 种
B．10 种
C．9 种
D．8 种
3．（5 分）下面是关于复数z=
的四个命题：其中的真命题为（ ），
p1：|z|=2，
p2：z2=2i，
p3：z 的共轭复数为1+i，
p4：z 的虚部为﹣1．
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
4．
（5 分）设F1、F2是椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为直线x=
上一点，△F2PF1是底角
为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=
8
﹣，则a1+a10=（ ）
A．7
B．5
C．﹣5
D．﹣7
6．（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（ ）
A．A+B 为a1，a2，…，an的和
B．
为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A 和B 分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A 和B 分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
7．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积
为（ ）
第1页（共16页）
A．6
B．9
C．12
D．18
8．（5 分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y2=16x 的准线交于点A 和点B，|
AB|=4
，则C 的实轴长为（ ）
A．
B．
C．4
D．8
9．（5 分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+
）在区间[
，π]上单调递减，则实数ω 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．（0，2]
10．（5 分）已知函数f（x）=
，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）已知三棱锥S
ABC
﹣
的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1 的正三角形，SC 为
球O 的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）设点P 在曲线
上，点Q 在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）
A．1
ln2
﹣
B．
C．1+ln2
D．
二．填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．
13．（5 分）已知向量
夹角为45°，且
，则
= ．
14．（5 分）设x，y 满足约束条件：
；则z=x
2y
﹣
的取值范围为 ．
15．（5 分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1 或元件2 正常工作，且元件3 正常工作
则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各
个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为 ．
16．（5 分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n
1
﹣，则{an}的前60 项和为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，acosC+
asinC
b
c=0
﹣﹣
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC 的面积为
；求b，c．
第2页（共16页）
18．（12 分）某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的
函数解析式．
（2）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17 枝？请说明理由．
19．（12 分）如图，直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，AC=BC=
AA1，D 是棱AA1的中点，DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1
BD
C
﹣
﹣
1的大小．
20．（12 分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F
交l 于B，D 两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为
，求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A，B，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m，
n 距离的比值．
21．（12 分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex
1
﹣
f
﹣（0）x+
x2；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若
，求（a+1）b 的最大值．
第3页（共16页）
四、请考生在第22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题
号．
22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 边AB，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F，G 两点，若
CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
23．选修4
4
﹣；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是
（φ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐
标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排
列，点A 的极坐标为（2，
）．
（1）求点A，B，C，D 的直角坐标；
（2）设P 为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x
2
﹣|
①当a=
3
﹣时，求不等式f（x）≥3 的解集；
②f（x）≤|x
4
﹣|若的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．
第4页（共16页）
2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．（5 分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x
y
﹣∈A}，则B 中所含元素的个数为
（ ）
A．3
B．6
C．8
D．10
【考点】12：元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】由题意，根据集合B 中的元素属性对x，y 进行赋值得出B 中所有元素，即可得出B 中所含有
的元素个数，得出正确选项
【解答】解：由题意，x=5 时，y=1，2，3，4，
x=4 时，y=1，2，3，
x=3 时，y=1，2，
x=2 时，y=1
综上知，B 中的元素个数为10 个
故选：D．
【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B 中元素的属性，用
分类列举的方法得出集合B 中的元素的个数．
2．（5 分）将2 名教师，4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组
由1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12 种
B．10 种
C．9 种
D．8 种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步
结果相乘即可得结果
【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有
=2 种选法；
第二步，为甲地选两个学生，有
=6 种选法；
第三步，为乙地选1 名教师和2 名学生，有1 种选法
故不同的安排方案共有2×6×1=12 种
故选：A．
【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本
题的关键，属基础题
3．（5 分）下面是关于复数z=
的四个命题：其中的真命题为（ ），
p1：|z|=2，
p2：z2=2i，
p3：z 的共轭复数为1+i，
p4：z 的虚部为﹣1．
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由z=
=
=
1
i
﹣﹣，知
，
，p3：z 的共轭复数为﹣1+i，
p4：z 的虚部为﹣1，由此能求出结果．
【解答】解：∵z=
=
=
1
i
﹣﹣，
∴
，
第5页（共16页）
，
p3：z 的共轭复数为﹣1+i，
p4：z 的虚部为﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4．
（5 分）设F1、F2是椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为直线x=
上一点，△F2PF1是底角
为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P 为直线x=
上一点，可建
立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P 为直线x=
上一点
∴
∴
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
5．（5 分）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=
8
﹣，则a1+a10=（ ）
A．7
B．5
C．﹣5
D．﹣7
【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=
8
﹣可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即
可
【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=
8
﹣
∴a4=4，a7=
2
﹣或a4=
2
﹣，a7=4
当a4=4，a7=
2
﹣时，
，
∴a1=
8
﹣，a10=1，
∴a1+a10=
7
﹣
当a4=
2
﹣，a7=4 时，q3=
2
﹣，则a10=
8
﹣，a1=1
∴a1+a10=
7
﹣
综上可得，a1+a10=
7
﹣
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．
第6页（共16页）
6．（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（ ）
A．A+B 为a1，a2，…，an的和
B．
为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A 和B 分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A 和B 分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
【考点】E7：循环结构．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出
a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
其中A 为a1，a2，…，an中最大的数，B 为a1，a2，…，an中最小的数
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当
的数学模型，属于中档题．
7．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积
为（ ）
A．6
B．9
C．12
D．18
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．
【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3 的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V=
×6×3×3=9．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．
8．（5 分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y2=16x 的准线交于点A 和点B，|
AB|=4
，则C 的实轴长为（ ）
第7页（共16页）
A．
B．
C．4
D．8
【考点】KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设等轴双曲线C：x2
y
﹣2=a2（a＞0），y2=16x 的准线l：x=
4
﹣，由C 与抛物线y2=16x 的准线交于
A，B 两点，
，能求出C 的实轴长．
【解答】解：设等轴双曲线C：x2
y
﹣2=a2（a＞0），
y2=16x 的准线l：x=
4
﹣，
∵C 与抛物线y2=16x 的准线l：x=
4
﹣交于A，B 两点，
∴A（﹣4，2
），B（﹣4，﹣2
），
将A 点坐标代入双曲线方程得
=4，
∴a=2，2a=4．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，
合理地进行等价转化．
9．（5 分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+
）在区间[
，π]上单调递减，则实数ω 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．（0，2]
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．
法二：可以通过角的范围，直接推导ω 的范围即可．
【解答】解：法一：令：
不合题意 排除（D）
合题意 排除（B）（C）
法二：
，
得：
．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．
10．（5 分）已知函数f（x）=
，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性
质可利用导数加以证明
【解答】解：设
则g′（x）=
∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数
第8页（共16页）
∴g（x）＜g（0）=0
∴f（x）=
＜0
得：x＞0 或﹣1＜x＜0 均有f（x）＜0 排除A，C，
又f（x）=
中，
，能排除D．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解
图象选择题，属基础题
11．（5 分）已知三棱锥S
ABC
﹣
的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1 的正三角形，SC 为
球O 的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC 上的高SD，即可计
算出三棱锥的体积．
【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC 三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1=
=
，
∴OO1=
=
，
∴高SD=2OO1=
，
∵△ABC 是边长为1 的正三角形，
∴S△ABC=
，
∴V 三棱锥S
ABC
﹣
=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S 到面ABC 的距离．
12．（5 分）设点P 在曲线
上，点Q 在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）
A．1
ln2
﹣
B．
C．1+ln2
D．
【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由于函数
与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x 对称，要求|PQ|的最小值，只要
求出函数
上的点
到直线y=x 的距离为
的最小值，
设g（x）=
，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．
【解答】解：∵函数
与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x 对称，
函数
上的点
到直线y=x 的距离为
，
第9页（共16页）
设g（x）=
（x＞0），则
，
由
≥0 可得x≥ln2，
由
＜0 可得0＜x＜ln2，
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，
∴当x=ln2 时，函数g（x）min=1
ln2
﹣
，
，
由图象关于y=x 对称得：|PQ|最小值为
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为
反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好
二．填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．
13．（5 分）已知向量
夹角为45°，且
，则
=
3
．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】由已知可得，
=
，代入|2
|=
=
=
=
可求
【解答】解：∵
，
=1
∴
=
∴|2
|=
=
=
=
解得
故答案为：3
【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质| |=
是求解向量的模常
用的方法
14．（5 分）设x，y 满足约束条件：
；则z=x
2y
﹣
的取值范围为 ．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x
2y
﹣
可得，y=
，则﹣
表示直线x
2y
z=0
﹣
﹣
在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合函数的图形可求z 的最大与最小值，从而可求z 的范围
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域
由z=x
2y
﹣
可得，y=
，则﹣
表示直线x
2y
z=0
﹣
﹣
在y 轴上的截距，截距越大，z 越小
结合函数的图形可知，当直线x
2y
z=0
﹣
﹣
平移到B 时，截距最大，z 最小；当直线x
2y
z=0
﹣
﹣
平移到
A 时，截距最小，z 最大
由
可得B（1，2），由
可得A（3，0）
∴Zmax=3，Zmin=
3
﹣
则z=x
2y
﹣
∈[
3
﹣，3]
故答案为：[
3
﹣，3]
第10页（共16页）
【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区
域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即
可求出答案．
15．（5 分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1 或元件2 正常工作，且元件3 正常工作，
则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各
个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为
．
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率为
，而所求事件
“该部件的使用寿命超过1000 小时”当且仅当“超过1000 小时时，元件1、元件2 至少有一个
正常”和“超过1000 小时时，元件3 正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相
乘即可
【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）
得：三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率为
设A={超过1000 小时时，元件1、元件2 至少有一个正常}，B={超过1000 小时时，元件3 正常}
C={该部件的使用寿命超过1000 小时}
则P（A）=
，P（B）=
P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=
×
=
故答案为
【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基
础知识，属基础题
16．（5 分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n
1
﹣，则{an}的前60 项和为
1830
．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得 a2
a
﹣
1=1，a3+a2=3，a4
a
﹣
3=5，a5+a4=7，a6
a
﹣
5=9，a7+a6=11，…a50
a
﹣
49=97，变形可得
a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特
征，求出{an}的前60 项和
【解答】解：∵an+1+（﹣1）n an=2n
1
﹣，
故有 a2
a
﹣
1=1，a3+a2=3，a4
a
﹣
3=5，a5+a4=7，a6
a
﹣
5=9，a7+a6=11，…a50
a
﹣
49=97．
从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2 个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2 个相邻偶数项的和构
成以8 为首项，以16 为公差的等差数列．
{an}的前60 项和为 15×2+（15×8+
）=1830
【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n 项和，属中档题．
第11页（共16页）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，acosC+
asinC
b
c=0
﹣﹣
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC 的面积为
；求b，c．
【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A
30°
﹣
）=
．即可求出A 的值；
（2）若a=2，由△ABC 的面积为
，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b
和c 的值．
【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+
asinC
b
c=0
﹣﹣
，
即sinAcosC+
sinAsinC=sinB+sinC
∴sinAcosC+
sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
即
sinA
cosA=1
﹣
∴sin（A
30°
﹣
）=
．
∴A
30°=30°
﹣
∴A=60°；
（2）若a=2，△ABC 的面积=
，
∴bc=4．①
再利用余弦定理可得：a2=b2+c2
2bc•cosA
﹣
=（b+c）2
2bc
bc=
﹣
﹣
（b+c）2
3
﹣×4=4，
∴b+c=4．②
结合①②求得b=c=2．
【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．
18．（12 分）某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的
函数解析式．
（2）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17 枝？请说明理由．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5 元，卖不出一枝可得赔本5 元，即可建立分段函数；
（2）（i）X 可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X 的分布列，数学期望及方差；
（ii）求出进17 枝时当天的利润，与购进16 枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．
【解答】解：（1）当n≥16 时，y=16×（10
5
﹣）=80；
当n≤15 时，y=5n
5
﹣（16
n
﹣）=10n
80
﹣
，得：
（2）（i）X 可取60，70，80，当日需求量n=14 时，X=60，n=15 时，X=70，其他情况X=80，
P（X=60）=
=
=0.1，P（X=70）=
0.2，P（X=80）=1
0.1
0.2=0.7
﹣
﹣
，
X 的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76
DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44
（ii）购进17 枝时，当天的利润的期望为y=（14×5
3
﹣×5）×0.1+（15×5
2
﹣×5）×0.2+（16×5﹣
1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4
第12页（共16页）
∵76.4＞76，∴应购进17 枝
【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识
解决实际问题的能力．
19．（12 分）如图，直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，AC=BC=
AA1，D 是棱AA1的中点，DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1
BD
C
﹣
﹣
1的大小．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；
（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC 取A1B1的中点O，过点O 作OH⊥BD 于点H，连接C1O，C1H，可
得点H 与点D 重合且∠C1DO 是二面角A1
BD
C
﹣
﹣
1的平面角，由此可求二面角A1
BD
C
﹣
﹣
1的大小
【解答】（1）证明：在Rt△DAC 中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°
∴DC1⊥DC，DC1⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC1⊥面BCD
∵BC⊂面BCD
∴DC1⊥BC
（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，
∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC
取A1B1的中点O，过点O 作OH⊥BD 于点H，连接C1O，OH
∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，
∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，
∴C1O⊥面A1BD
而BD⊂面A1BD
∴BD⊥C1O，
∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，
∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H 与点D 重合且∠C1DO 是二面角A1
BD
C
﹣
﹣
1的平面角
设AC=a，则
，
，
∴sin∠C1DO=
∴∠C1DO=30°
即二面角A1
BD
C
﹣
﹣
1的大小为30°
【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于
中档题．
20．（12 分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F
交l 于B，D 两点；
第13页（共16页）
（1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为
，求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A，B，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m，
n 距离的比值．
【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1 ）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点A 到准线l 的距离
，由△ABD 的面积S△ABD=
，知
=
，由此能求出圆
F 的方程．
（2 ）由对称性设
，则
点A ，B 关于点F 对称得：
，得：
，由此能求出坐标原点到m，n 距离的
比值．
【解答】解：（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD|=2p
点A 到准线l 的距离
，
∵△ABD 的面积S△ABD=
，
∴
=
，
解得p=2，所以F 坐标为（0，1），
∴圆F 的方程为x2+（y
1
﹣）2=8．
（2）由题设
，则
，
∵A，B，F 三点在同一直线m 上，
又AB 为圆F 的直径，故A，B 关于点F 对称．
由点A，B 关于点F 对称得：
得
：
，
直
线
，
切点
直线
坐标原点到m，n 距离的比值为
．
【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、
导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
21．（12 分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex
1
﹣
f
﹣（0）x+
x2；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若
，求（a+1）b 的最大值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．
【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函
数的单调区间；
（2）由题意
，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0
即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值
【解答】解：（1）f（x）=f'（1）ex
1
﹣
f
﹣（0）x+
⇒f'（x）=f'（1）ex
1
﹣
f
﹣（0）+x
令x=1 得：f（0）=1
第14页（共16页）
∴f（x）=f'（1）ex
1
﹣
x
﹣+
令x=0，得f（0）=f'（1）e
1
﹣=1 解得f'（1）=e
故函数的解析式为f（x）=ex
x
﹣+
令g（x）=f'（x）=ex
1
﹣+x
∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R 上单调递增
当x＞0 时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0 时，有
f'（x）＜f'（0）=0 得：
函数f（x）=ex
x
﹣+
的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）
（2）f（x）≥
﹣（a+1）x
b
﹣≥0 得h′（x）=ex﹣（a+1）
①当a+1≤0 时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R 上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0 矛盾
②当a+1＞0 时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）
得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b
∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）
令F（x）=x2
x
﹣2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1
2lnx
﹣
）
∴F'（x）＞0⇔0＜x＜
当x=
时，F（x）max=
即当a=
时，（a+1）b 的最大值为
【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中
要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系
的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计
算量大，易马虎出错．
四、请考生在第22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题
号．
22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 边AB，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F，G 两点，若
CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据D，E 分别为△ABC 边AB，AC 的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF 是平行四边形
即可得到结论；
（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．
【解答】证明：（1）∵D，E 分别为△ABC 边AB，AC 的中点
∴DF∥BC，AD=DB
∵AB∥CF，∴四边形BDFC 是平行四边形
∴CF∥BD，CF=BD
∴CF∥AD，CF=AD
∴四边形ADCF 是平行四边形
∴AF=CD
∵
，∴BC=AF，∴CD=BC．
（2）由（1）知
，所以
．
所以∠BGD=∠DBC．
因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．
所以△BCD～△GBD．
第15页（共16页）
【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．
23．选修4
4
﹣；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是
（φ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐
标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排
列，点A 的极坐标为（2，
）．
（1）求点A，B，C，D 的直角坐标；
（2）设P 为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）确定点A，B，C，D 的极坐标，即可得点A，B，C，D 的直角坐标；
（2）利用参数方程设出P 的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【解答】解：（1）点A，B，C，D 的极坐标为
点A，B，C，D 的直角坐标为
（2）设P（x0，y0），则
为参数）
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
∵sin2φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x
2
﹣|
①当a=
3
﹣时，求不等式f（x）≥3 的解集；
②f（x）≤|x
4
﹣|若的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．
【分析】①不等式等价于
，或
，或
，求出每个不等式组的解
集，再取并集即得所求．
②原命题等价于﹣2
x
﹣≤a≤2
x
﹣在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a=
3
﹣时，f（x）≥3 即|x
3
﹣|+|x
2
﹣|≥3，即
，可得x≤1；
，可得x∈∅；
，可得x≥4．
取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或x≥4}．
（2）原命题即f（x）≤|x
4
﹣|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2
x
﹣≤4
x
﹣在[1，2]上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2
x
﹣≤a≤2
x
﹣在[1，2]上恒成立．
故当 1≤x≤2 时，﹣2
x
﹣的最大值为﹣2
1=
3
﹣
﹣，2
x
﹣的最小值为0，
故a 的取值范围为[
3
﹣，0]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体
现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
第16页（共16页）
