文档文本内容
2012 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（5 分）（2012•重庆）命题“若p 则q”的逆命题是（ ）
A
．
若q 则p
B
．
若￢p 则￢q
C
．
若￢q 则￢p
D
．
若p 则￢q
2．（5 分）（2012•重庆）不等式
＜0 的解集为（ ）
A
．
（1，+∞）
B
．
（﹣∞，﹣2）
C
．
（﹣2，1）
D
．
（﹣∞，﹣2）∪
（1，+∞）
3．（5 分）（2012•重庆）设A，B 为直线y=x 与圆x2+y2=1 的两个交点，则|AB|=（ ）
A
．
1
B
．
C
．
D
．
2
4．（5 分）（2012•重庆）（1
3x
﹣
）5的展开式中x3的系数为（ ）
A
．
270
﹣
B
．
90
﹣
C
．
90
D
．
270
5．（5 分）（2012•重庆）
=（ ）
A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
6．（5 分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则| + |=（ ）
A
．
B
．
C
．
2
D
．
10
7．（5 分）（2012•重庆）已知a=log23+log2
，b=
，c=log32 则a，b，c 的大小
关系是（ ）
A
．
a=b＜c
B
．
a=b＞c
C
．
a＜b＜c
D
．
a＞b＞c
8．
（5 分）
（2012•重庆）设函数f（x）在R 上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=
2
﹣处取
得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ）
1
A
．
B
．
C
．
D
．
9．
（5 分）
（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，
和a，且长为a 的棱与长为
的棱异面，则a 的取值范围是（ ）
A
．
（0，
）
B
．
（0，
）
C
．
（1，
）
D
．
（1，
）
10．（5 分）（2012•重庆）设函数f（x）=x2
4x+3
﹣
，g（x）=3x
2
﹣，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，
N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N 为（ ）
A
．
（1，﹢∞）
B
．
（0，1）
C
．
（﹣1，1）
D
．
（﹣∞，1）
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分25 分）
11．（5 分）（2012•重庆）首项为1，公比为2 的等比数列的前4 项和S4= ．
12．（5 分）（2012•重庆）若f（x）=（x+a）（x
4
﹣）为偶函数，则实数a= ．
13．
（5 分）
（2012•重庆）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC= ，
则sinB= ．
14．（5 分）（2012•重庆）设P 为直线y=
x 与双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）左支的交点，F1
是左焦点，PF1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e= ．
15．（5 分）（2012•重庆）某艺校在一天的6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其
它三门艺术课各1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1 节艺术课的概率为
（用数字作答）
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（13 分）（2012•重庆）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（Ⅰ）求{an}的通项公式
2
（Ⅱ）记{an}的前n 项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k 的值．
17．（13 分）（2012•重庆）已知函数f（x）=ax3+bx+c 在点x=2 处取得极值c
16
﹣
．
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[
3
﹣，3]上的最小值．
18．（13 分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，
一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投
篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（Ⅰ）求乙获胜的概率；
（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2 个球的概率．
19．（12 分）（2012•重庆）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=
处
取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=
的值域．
20．（12 分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的
中点．
（Ⅰ）求异面直线CC1和AB 的距离；
（Ⅱ）若AB1 A
⊥
1C，求二面角A1
CD
B
﹣
﹣
1的平面角的余弦值．
3
21．（12 分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为A，左、右焦
点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4 的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q 两点，使PB2 QB
⊥
2，求△PB2Q 的面积．
2012 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（5 分）（2012•重庆）命题“若p 则q”的逆命题是（ ）
A
．
若q 则p
B
．
若￢p 则￢q
C
．
若￢q 则￢p
D
．
若p 则￢q
考点：四种命题．菁优网版权所有
专题：简易逻辑．
分析：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得
解答：解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，
则命题“若p 则q”的逆命题是若q 则p．
故选A．
4
点评：本题考查了命题与逆命题的相互关系的应用，属于基础题．
2．（5 分）（2012•重庆）不等式
＜0 的解集为（ ）
A
．
（1，+∞）
B
．
（﹣∞，﹣2）
C
．
（﹣2，1）
D
．
（﹣∞，﹣2）∪
（1，+∞）
考点：其他不等式的解法．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：直接转化分式不等式为二次不等式求解即可．
解答：解：不等式
＜0 等价于（x
1
﹣）（x+2）＜0，所以表达式的解集为：{x|
2
﹣＜x＜1}．
故选C．
点评：本题考查分式不等式的求法，考查转化思想计算能力．
3．（5 分）（2012•重庆）设A，B 为直线y=x 与圆x2+y2=1 的两个交点，则|AB|=（ ）
A
．
1
B
．
C
．
D
．
2
考点：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x 上，得到AB 为圆的直径，根
据直径等于半径的2 倍，可得出|AB|的长．
解答：解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，
∵圆心（0，0）在直线y=x 上，
∴弦AB 为圆O 的直径，
则|AB|=2r=2．
故选D
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常根据垂
径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾
股定理来解决问题．
4．（5 分）（2012•重庆）（1
3x
﹣
）5的展开式中x3的系数为（ ）
A
．
270
﹣
B
．
90
﹣
C
．
90
D
．
270
考点：二项式系数的性质．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：由（1
3x
﹣
）5的展开式的通项公式Tr+1=
•（﹣3x）r，令r=3 即可求得x3的系数．
解答：解：设（1
3x
﹣
）5的展开式的通项公式为Tr+1，
则Tr+1=
•（﹣3x）r，
令r=3，得x3的系数为：
（﹣3）3•
=
27×10=
270
﹣
﹣
．
故选A．
点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项式（1
3x
﹣
）5的展开式的通项公式的应用，
属于中档题．
5
5．（5 分）（2012•重庆）
=（ ）
A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
考点：两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简
后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
解答：解：
=
=
=sin30°= ．
故选C
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是
解本题的关键．
6．（5 分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则| + |=（ ）
A
．
B
．
C
．
2
D
．
10
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：通过向量的垂直，求出向量，推出
，然后求出模．
解答：解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，
所以x
2=0
﹣
，所以=（2，1），
所以
=（3，﹣1），
所以| + |=
，
故选B．
点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．
7．（5 分）（2012•重庆）已知a=log23+log2
，b=
，c=log32 则a，b，c 的大小
关系是（ ）
A
．
a=b＜c
B
．
a=b＞c
C
．
a＜b＜c
D
．
a＞b＞c
考点：不等式比较大小．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：利用对数的运算性质可求得a=log23
，b=log23
＞1，而0＜c=log32＜1，从而可得
答案．
解答：解：∵a=log23+log2
=log23
，b=
=
=
＞1，
a=b
∴
＞1，又0＜c=log32＜1，
a=b
∴
＞c．
6
故选：B．
点评：本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关
键，属于基础题．
8．
（5 分）
（2012•重庆）设函数f（x）在R 上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=
2
﹣处取
得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：利用函数极小值的意义，可知函数f（x）在x=
2
﹣左侧附近为减函数，在x=
2
﹣右侧附
近为增函数，从而可判断当x＜0 时，函数y=xf′（x）的函数值的正负，从而做出正确选
择．
解答：解：∵函数f（x）在x=
2
﹣处取得极小值，
f′
∴（﹣2）=0，
且函数f（x）在x=
2
﹣左侧附近为减函数，在x=
2
﹣右侧附近为增函数，
即当x＜﹣2 时，f′（x）＜0，当x＞﹣2 时，f′（x）＞0，
从而当x＜﹣2 时，y=xf′（x）＞0，当﹣2＜x＜0 时，y=xf′（x）＜0，
对照选项可知只有C 符合题意．
故选：C．
点评：本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系，函数极值的意义及其与导数的关系，
筛选法解图象选择题，属基础题．
9．
（5 分）
（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，
和a，且长为a 的棱与长为
的棱异面，则a 的取值范围是（ ）
A
．
（0，
）
B
．
（0，
）
C
．
（1，
）
D
．
（1，
）
考点：异面直线的判定；棱锥的结构特征．菁优网版权所有
专题：计算题；压轴题．
分析：先在三角形BCD 中求出a 的范围，再在三角形AED 中求出a 的范围，二者相结合即可
得到答案．
解答：解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=
在三角形BCD 中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1）
取BC 中点E，∵E 是中点，直角三角形ACE 全等于直角DCE，
所以在三角形AED 中，AE=ED=
∵两边之和大于第三边
∴
＜2
得0＜a＜
（负值0 值舍）（2）
由（1）（2）得0＜a＜
．
故选：A．
7
点评：本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形
两边之和大于第三边这一结论．
10．（5 分）（2012•重庆）设函数f（x）=x2
4x+3
﹣
，g（x）=3x
2
﹣，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，
N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N 为（ ）
A
．
（1，﹢∞）
B
．
（0，1）
C
．
（﹣1，1）
D
．
（﹣∞，1）
考点：指、对数不等式的解法；交集及其运算；一元二次不等式的解法．菁优网版权所有
专题：计算题；压轴题．
分析：利用已知求出集合M 中g（x）的范围，结合集合N，求出g（x）的范围，然后求解即可．
解答：解：因为集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，所以（g（x））2
4g
﹣
（x）+3＞0，
解得g（x）＞3，或g（x）＜1．
因为N={x∈R|g（x）＜2}，M∩N={x|g（x）＜1}．
即3x
2
﹣＜1，解得x＜1．
所以M∩N={x|x＜1}．
故选：D．
点评：本题考查集合的求法，交集的运算，考查指、对数不等式的解法，交集及其运算，一元
二次不等式的解法，考查计算能力．
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分25 分）
11．（5 分）（2012•重庆）首项为1，公比为2 的等比数列的前4 项和S4=
15
．
考点：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：把已知的条件直接代入等比数列的前n 项和公式，运算求得结果．
解答：
解：首项为1，公比为2 的等比数列的前4 项和S4=
=15，
故答案为 15．
点评：本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题．
12．（5 分）（2012•重庆）若f（x）=（x+a）（x
4
﹣）为偶函数，则实数a=
4
．
考点：函数奇偶性的性质．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：由题意可得，f（﹣x）=f（x）对于任意的x 都成立，代入整理可得（a
4
﹣）x=0 对于任意的
x 都成立，从而可求a
解答：解：∵f（x）=（x+a）（x
4
﹣）为偶函数
8
f
∴（﹣x）=f（x）对于任意的x 都成立
即（x+a）（x
4
﹣）=（﹣x+a）（﹣x
4
﹣）
x
∴2+（a
4
﹣）x
4a=x
﹣
2+（4
a
﹣）x
4a
﹣
∴（a
4
﹣）x=0
a=4
∴
故答案为：4．
点评：本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题
13．
（5 分）
（2012•重庆）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC= ，
则sinB=
．
考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：由C 为三角形的内角，及cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，
再由a 与b 的值，利用余弦定理列出关于c 的方程，求出方程的解得到c 的值，再由
sinC，c 及b 的值，利用正弦定理即可求出sinB 的值．
解答：解：∵C 为三角形的内角，cosC= ，
sinC=
∴
=
，
又a=1，b=2，
∴由余弦定理c2=a2+b2
2abcosC
﹣
得：c2=1+4
1=4
﹣
，
解得：c=2，
又sinC=
，c=2，b=2，
∴由正弦定理
=
得：sinB=
=
=
．
故答案为：
点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，
熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．
14．（5 分）（2012•重庆）设P 为直线y=
x 与双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）左支的交点，F1
是左焦点，PF1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e=
．
考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：计算题；压轴题．
分析：设F1（﹣c，0），利用F1是左焦点，PF1垂直于x 轴，P 为直线y=
x 上的点，可得（﹣c，
）在双曲线
﹣
=1 上，由此可求双曲线的离心率．
解答：解：设F1（﹣c，0），则
9
F
∵
1是左焦点，PF1垂直于x 轴，P 为直线y=
x 上的点
∴（﹣c，
）在双曲线
﹣
=1 上
∴
∴
∴
=
故答案为：
点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查双曲线的离心率，属于中档题．
15．（5 分）（2012•重庆）某艺校在一天的6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其
它三门艺术课各1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1 节艺术课的概率为
（用数字作答）
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列
有
种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有
种排法，由此可求得在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1 节艺术课的概率．
解答：解：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课
排列有
种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空
中，有
种排法，故所有的排法种数为
．
∴在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1 节艺术课的概率为
．
故答案为：．
点评：本题考查概率的求法，解题的关键是根据具体情况选用插空法，属于基础题．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（13 分）（2012•重庆）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（Ⅰ）求{an}的通项公式
（Ⅱ）记{an}的前n 项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k 的值．
考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得
，解得 a1=2，d=2，从
而得到{an}的通项公式．
10
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n 项和为Sn =
=n（n+1），再由
=a1 Sk+2 ，
求得正整数k 的值．
解答：
解：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得
，解得 a1=2，d=2．
{a
∴
n}的通项公式 an =2+（n
1
﹣）2=2n．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n 项和为Sn =
=n（n+1）．
∵若a1，ak，Sk+2成等比数列，∴
=a1 Sk+2 ，
4k
∴
2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=
1
﹣（舍去），故 k=6．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题．
17．（13 分）（2012•重庆）已知函数f（x）=ax3+bx+c 在点x=2 处取得极值c
16
﹣
．
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[
3
﹣，3]上的最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有
专题：综合题；探究型；方程思想；转化思想．
分析：（Ⅰ）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2 处取得极值c
16
﹣
，
可得
解此方程组即可得出a，b 的值；
（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28 建立方程求出参数c 的值，
进而可求出函数f（x）在[
3
﹣，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f
（x）在[
3
﹣，3] 上的最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2 处取得极值c
16
﹣
∴
，即
，化简得
解得a=1，b=
12
﹣
（II）由（I）知f（x）=x3
12x+c
﹣
，f′（x）=3x2
12=3
﹣
（x+2）（x
2
﹣）
令f′（x）=3x2
12=3
﹣
（x+2）（x
2
﹣）=0，解得x1=
2
﹣，x2=2
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）
时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；
由此可知f（x）在x1=
2
﹣处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2 处取得极小值f（2）
=c
16
﹣
，
由题设条件知16+c=28 得，c=12
此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=
9+c=3
﹣
，f（2）=
16+c=
4
﹣
﹣
因此f（x）在[
3
﹣，3]上的最小值f（2）=
4
﹣
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关
键是理解“函数在点x=2 处取得极值c
16”
﹣
，将其转化为x=2 处的导数为0 与函数值
为c
16
﹣
两个等量关系，第二小时解题的关键是根据极大值为28 建立方程求出参数c
的值．本题考查了转化的思想及方程的思想，计算量大，有一定难度，易因为不能正确
转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真，严防出现在失
误．此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视．
11
18．（13 分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，
一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投
篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（Ⅰ）求乙获胜的概率；
（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2 个球的概率．
考点：相互独立事件的概率乘法公式；概率的基本性质．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获
胜的概率，相加即得所求．
（Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2 个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球
甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求．
解答：解：（Ⅰ）∵乙第一次投球获胜的概率等于
= ，乙第二次投球获胜的概率等于
• • = ，乙第三次投球获胜的概率等于
=
，
故 乙获胜的概率等于 + +
=
．
（Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2 个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球
甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了．
故投篮结束时乙只投了2 个球的概率等于
+
×
=
．
点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属
于中档题．
19．（12 分）（2012•重庆）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=
处
取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=
的值域．
考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）通过函数的周期求出ω，求出A，利用函数经过的特殊点求出φ，推出f（x）的解析
式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函数g（x）=
的表达式，通过cos2x∈[0，1]，且
，求出g（x）的值域．
12
解答：解：（Ⅰ）由题意可知f（x）的周期为T=π，即
=π，解得ω=2．
因此f（x）在x=
处取得最大值2，所以A=2，从而sin（
）=1，
所以
，又﹣π＜φ≤π，得φ=
，
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+
）；
（Ⅱ）函数g（x）=
=
=
=
=
=
=
因为cos2x∈[0，1]，且
，
故g（x）的值域为
．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考
查计算能力．
20．（12 分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的
中点．
（Ⅰ）求异面直线CC1和AB 的距离；
（Ⅱ）若AB1 A
⊥
1C，求二面角A1
CD
B
﹣
﹣
1的平面角的余弦值．
13
考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
专题：计算题；证明题；压轴题．
分析：（Ⅰ）先根据条件得到CD AB
⊥
以及CC1 CD
⊥
，进而求出C 的长即可；
（Ⅱ）解法一；先根据条件得到∠A1DB1为所求的二面角A1
CD
B
﹣
﹣
1的平面角，再根
据三角形相似求出棱柱的高，进而在三角形A1DB1中求出结论即可；
解法二：过D 作DD1 AA
∥
1交A1B1于D1，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向
量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论．
解答：解：（Ⅰ）解：因为AC=BC，D 为AB 的中点，故CD AB
⊥
，
又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1 CD
⊥
，
所以异面直线CC1和AB 的距离为：CD=
=
．
（Ⅱ）解法一；由CD AB
⊥
，CD BB
⊥
1，故CD⊥平面A1ABB1，
从而CD DA
⊥
1，CD DB
⊥
1，故∠A1DB1为所求的二面角A1
CD
B
﹣
﹣
1的平面角．
因A1D 是A1C 在面A1ABB1上的射影，
又已知AB1 A
⊥
1C，由三垂线定理的逆定理得AB1 A
⊥
1D，
从而∠A1AB1，∠A1DA 都与∠B1AB 互余，
因此∠A1AB1=
A
∠∠
1DA，
所以RT
A
△
1AD RT B
∽
△
1A1A，
因此
=
，得
=AD•A1B1=8，
从而A1D=
=2
，B1D=A1D=2
．
所以在三角形A1DB1中，cos A
∠
1DB1=
= ．
解法二：过D 作DD1 AA
∥
1交A1B1于D1，在直三棱柱中，
由第一问知：DB，DC，DD1两两垂直，以D 为原点，射线DB，DC，DD1分别为X 轴，Y
轴，Z 轴建立空间直角坐标系D
XYZ
﹣
．．
设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h）．B1（2，0，h）．C（0，
，0）
从而
=（4，0，h），
=（2，
，﹣h）．
由AB1 A
⊥
1C 得
•
=0，即8
h
﹣2=0，因此h=2
，
故
=（﹣1，0，2
），
=（2，0，2
），
=（0，
，0）．
设平面A1CD 的法向量为=（x，y，z），则⊥
，⊥
，即
取
14
z=1，得=（
，0，1），
设平面B1CD 的法向量为=（a，b，c），则⊥
，
，即
取c=﹣
1 得=（
，0，﹣1），
所以cos＜，＞=
=
= ．
所以二面角的平面角的余弦值为．
点评：本题主要考察异面直线间的距离计算以及二面角的平面角及求法．在求异面直线间的
距离时，关键是求出异面直线的公垂线．
21．（12 分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为A，左、右焦
点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4 的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q 两点，使PB2 QB
⊥
2，求△PB2Q 的面积．
15
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：综合题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）设椭圆的方程为
，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角
形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而
，利用c2=a2
b
﹣2，可求
，又
S=
|B1B2||OA|=
=4，故可求椭圆标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线
PQ 的方程为x=my
2
﹣，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2
4my
16
0
﹣
﹣
﹣，利用韦达定
理及PB2 QB
⊥
2，利用
可求m 的值，进而可求△PB2Q 的面积．
解答：
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
，F2（c，0）
AB
∵△
1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即
c
∵2=a2
b
﹣2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴
在△AB1B2中，OA B
⊥
1B2，∴S=
|B1B2||OA|=
S=4
∵
，∴b2=4，∴a2=5b2=20
∴椭圆标准方程为
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线
PQ 的方程为x=my
2
﹣
代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2
4my
16=0
﹣
﹣
①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴
，
∵
，
∴
=
PB
∵
2
QB
⊥
2，∴
∴
，∴m=±2
当m=±2 时，①可化为9y2±8y
16
0
﹣
﹣，
|y
∴
1
y
﹣2|=
=
PB
∴△
2Q 的面积S= |B1B2||y1
y
﹣2|= ×4×
=
．
16
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向
量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．
17
