文档文本内容
2012 年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=（ ）
A．{1，2，3，4，6}
B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，5}
D．{1，2}
2．（2012•浙江）已知i 是虚数单位，则
=（ ）
A．1
2i
﹣
B．2
i
﹣
C．2+i
D．1+2i
3．（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A．1cm3
B．2cm3
C．3cm3
D．6cm3
4．（2012•浙江）设a R
∈，则“a=1”是“直线l1：ax+2y
1=0
﹣
与直线l2：x+2y+4=0 平行的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2012•浙江）设l 是直线，α，β 是两个不同的平面（ ）
A．若l α
∥，l β
∥，则α β
∥
B．若l α
∥，l β
⊥，则α β
⊥
C．若α β
⊥，l α
⊥，则l β
⊥
D．若α β
⊥，l α
∥，则l β
⊥
6．（2012•浙江）把函数y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），然后向左平移
1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是（ ）
A
．
B．
C
．
D
．
7．（2012•浙江）设，是两个非零向量（ ）
A．若| + |=| |
|
﹣
|，则⊥
B．若⊥，则| + |=| |
|
﹣
|
C．若| + |=| |
|
﹣
|，则存在实数λ，使得=λ
D．若存在实数λ，使得=λ ，则| + |=| |
|
﹣
|
8．（2012•浙江）如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点．若M，O，N 将
椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）
A．3
B．2
C．
D．
9．（2012•浙江）若正数x，y 满足x+3y=5xy，则3x+4y 的最小值是（ ）
A．
B．
C．5
D．6
10．（2012•浙江）设a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数（ ）
A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b
B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C．若ea
2a=e
﹣
b
3b
﹣
，则a＞b
D．若ea
2a=e
﹣
b
3b
﹣
，则a＜b
二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分．
11．（2012•浙江）某个年级有男生560 人，女生420 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量
为280 的样本，则此样本中男生人数为
_________
．
12．（2012•浙江）从边长为1 的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为
的概率是
_________
．
13．（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
_________
．
14．（2012•浙江）设z=x+2y，其中实数x，y 满足
则z 的取值范围是
_________
．
15．（2012•浙江）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则
•
=
_________
．
16．（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R 上的周期为2 的偶函数，当x [0
∈
，1]时，f（x）=x+1，则
=
_________
．
17．（2012•浙江）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C1：
y=x2+a 到直线l：y=x 的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2 到直线l：y=x 的距离，则实数a=
_________
．
三、解答题：本大题共5 小题，共72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（2012•浙江）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且bsinA=
acosB．
（1）求角B 的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c 的值．
19．（2012•浙江）已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn=2n2+n，n N
∈
*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n N
∈
*．
（1）求an，bn；
（2）求数列{an•bn}的前n 项和Tn．
20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AD BC
∥
，AD AB
⊥
，AB=
．AD=2，
BC=4，AA1=2，E 是DD1的中点，F 是平面B1C1E 与直线AA1的交点．
（1）证明：
（i）EF A
∥
1D1；
（ii）BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF 所成的角的正弦值．
21．（2012•浙江）已知a R
∈，函数f（x）=4x3
2ax+a
﹣
．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当0≤x≤1 时，f（x）+|2
a|
﹣＞0．
22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy 中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．点M
（t，1）是C 上的定点，A，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．
（1）求p，t 的值．
（2）求△ABP 面积的最大值．
2012 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=（ ）
A．{1，2，3，4，6}
B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，5}
D．{1，2}
考点：交、并、补集的混合运算。
专题：计算题。
分析：由题意，可先由已知条件求出CUQ，然后由交集的定义求出P∩（CUQ）即可得到正确选项
解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，
C
∴
UQ={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，
P∩
∴
（CUQ）={1，2}
故选D
点评：本题考查交、并、补的运算，解题的关键是熟练掌握交、并、补的运算规则，准确计算
2．（2012•浙江）已知i 是虚数单位，则
=（ ）
A．1
2i
﹣
B．2
i
﹣
C．2+i
D．1+2i
考点：复数代数形式的乘除运算。
专题：计算题。
分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案
解答：
解：
故选D
点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复
数考查的重要内容，要熟练掌握
3．（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A．1cm3
B．2cm3
C．3cm3
D．6cm3
考点：由三视图求面积、体积。
专题：计算题。
分析：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1 和2 的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底
面垂直，且长度是3，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．
解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm 和2cm 的直角三角形，面积是
cm2，
三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3cm，这是三棱锥的高，
∴三棱锥的体积是
cm3，
故选A．
点评：本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个视
图之间的数据关系，本题是一个基础题．
4．（2012•浙江）设a R
∈，则“a=1”是“直线l1：ax+2y
1=0
﹣
与直线l2：x+2y+4=0 平行的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。
专题：计算题。
分析：利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1=0 与直线l2：A2x+B2y+C2=0 平行的充
要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案．
解答：解：（1）充分性：
当a=1 时，直线l1：x+2y
1=0
﹣
与直线l2：x+2y+4=0 平行；
（2）必要性：
当直线l1：ax+2y
1=0
﹣
与直线l2：x+2y+4=0 平行时有：
a•2=2•1，即：a=1．
“a=1”
∴
是“直线l1：ax+2y
1=0
﹣
与直线l2：x+2y+4=0 平行”充分必要条件．
故选C．
点评：本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到熟练
掌握．
5．（2012•浙江）设l 是直线，α，β 是两个不同的平面（ ）
A．若l α
∥，l β
∥，则α β
∥
B．若l α
∥，l β
⊥，则α β
⊥
C．若α β
⊥，l α
⊥，则l β
⊥
D．若α β
⊥，l α
∥，则l β
⊥
考点：平面与平面之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：利用面面垂直的判定定理可证明B 是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题
解答：解：A，若l α
∥，l β
∥，则满足题意的两平面可能相交，排除A；
B，若l α
∥，l β
⊥，则在平面α 内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B 正确；
C，若α β
⊥，l α
⊥，则l 可能在平面β 内，排除C；
D，若α β
⊥，l α
∥，则l 可能与β 平行，相交，排除D
故选 B
点评：本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理
能力，空间想象能力，属基础题
6．（2012•浙江）把函数y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），然后向左平移
1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
专题：证明题；综合题。
分析：首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线
y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx 进行对照，可得正确答案．
解答：解：将函数y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），
得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，
再将y=cosx+1 图象向左平移1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，
得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），
∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx 左移一个单位而得，
∴曲线y=cos（x+1）经过点（
，0）和（
，0），且在区间（
，
）上函数值小于
0
由此可得，A 选项符合题意．
故选A
点评：本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin
（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．
7．（2012•浙江）设，是两个非零向量（ ）
A．若| + |=| |
|
﹣
|，则⊥
B．若⊥，则| + |=| |
|
﹣
|
C．若| + |=| |
|
﹣
|，则存在实数λ，使得=λ
D．若存在实数λ，使得=λ ，则| + |=| |
|
﹣
|
考点：平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：通过向量特例，判断A 的正误；
利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B 的正误；
通过特例直接判断向量共线，判断正误；
通过反例直接判断结果不正确即可．
解答：解：对于A，
，
，显然| + |=| |
|
﹣
|，但是与不垂直，而是共线，所以
A 不正确；
对于B，若⊥，则| + |=| ﹣|，矩形的对角线长度相等，所以| + |=| |
|
﹣
|不正确；
对于C，若| + |=| |
|
﹣
|，则存在实数λ，使得=λ ，例如
，
，显然=
，所以正确．
对于D，若存在实数λ，使得=λ ，则| + |=| |
|
﹣
|，例如
，显然=
，
但是| + |=| |
|
﹣
|，不正确．
故选C．
点评：本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力．
8．（2012•浙江）如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点．若M，O，N 将
椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）
A．3
B．2
C．
D．
考点：圆锥曲线的共同特征。
专题：计算题。
分析：根据M，N 是双曲线的两顶点，M，O，N 将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2
倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．
解答：解：∵M，N 是双曲线的两顶点，M，O，N 将椭圆长轴四等分
∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2 倍
∵双曲线与椭圆有公共焦点，
∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2
故选B．
点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2 倍．
9．（2012•浙江）若正数x，y 满足x+3y=5xy，则3x+4y 的最小值是（ ）
A．
B．
C．5
D．6
考点：基本不等式在最值问题中的应用。
专题：计算题。
分析：将x+3y=5xy 转化成
=1，然后根据3x+4y=（
）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出
3x+4y 的最小值．
解答：解：∵正数x，y 满足x+3y=5xy，
∴
=1
3x+4y=
∴
（
）（3x+4y）= + +
+
≥
+2
=5
当且仅当
=
时取等号
3x+4y≥5
∴
即3x+4y 的最小值是5
故选C
点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行
“1”的代换，属于基础题．
10．（2012•浙江）设a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数（ ）
A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b
B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C．若ea
2a=e
﹣
b
3b
﹣
，则a＞b
D．若ea
2a=e
﹣
b
3b
﹣
，则a＜b
考点：指数函数综合题。
专题：计算题。
分析：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b 成立，经分析可排除B；对于ea
2a=e
﹣
b
3b
﹣
，若a≥b 成立，经分析可排除C，
D，从而可得答案．
解答：解：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b 成立，则必有ea≤eb，故必有2a≥3b，即有a≥b 这与a≤b 矛盾，故a≤b 成立
不可能成立，故B 不对；
对于ea
2a=e
﹣
b
3b
﹣
，若a≥b 成立，则必有ea≥eb，故必有2a≥3b，即有a≥b，故排除C，D．
故选A．
点评：本题考查指数函数综合题，对于ea+2a=eb+3b 与ea
2a=e
﹣
b
3b
﹣
，根据选项中的条件逆向分析而排除不
适合的选项是关键，也是难点，属于难题．
二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分．
11．（2012•浙江）某个年级有男生560 人，女生420 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量
为280 的样本，则此样本中男生人数为
160
．
考点：分层抽样方法。
专题：计算题。
分析：先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概
率，用男生人数乘以概率，得到结果．
解答：解：∵有男生560 人，女生420 人，
∴年级共有560+420=980
∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280 的样本，
∴每个个体被抽到的概率是
= ，
∴要从男生中抽取560× =160，
故答案为：160
点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依
据，本题是一个基础题．
12．（2012•浙江）从边长为1 的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为
的概率是 ．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率。
专题：计算题。
分析：先求出随机（等可能）取两点的总数，然后求出满足该两点间的距离为
的种数，最后根据古典概型
的概率公式求之即可．
解答：解：从边长为1 的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有
=10 种
其中两点间的距离为
的必选中心，共有4 种可能
故该两点间的距离为
的概率是
=
故答案为：
点评：本题主要考查了古典概型的概率，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．
13．（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
．
考点：循环结构。
专题：计算题。
分析：通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6 时结束循环，输出结果即可．
解答：解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第1 次循环，T= ，i=3，
不满足判断框的条件，第2 次循环，T= ，i=4，
不满足判断框的条件，第3 次循环，T=
，i=5，
不满足判断框的条件，第4 次循环，T=
，i=6，
满足判断框的条件，退出循环，输出结果
．
故答案为：
．
点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的变量的计算，考查计算能力．
14．（2012•浙江）设z=x+2y，其中实数x，y 满足
则z 的取值范围是
[0
，
]
．
考点：简单线性规划。
专题：计算题。
分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z 在目标函数中的几何意义，求出目标函数的
最大值、及最小值，进一步线出目标函数z 的范围．
解答：
解：约束条件
对应的平面区域如图示：
由图易得目标函数z=2y+x 在O（0，0）处取得最小值，此时z=0
在B 处取最大值，由
可得B（
），此时z=
故Z=x+2y 的取值范围为：[0，]
故答案为：[0，]
点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数中z 的几何意义
是关键．
15．（2012•浙江）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则
•
= ﹣
16
．
考点：平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：设∠AMB=θ，则∠AMC=π
θ
﹣，再由
=（
﹣
）•（
﹣
）以及两个向量的数量积的定
义求出结果．
解答：解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π
θ
﹣．又
=
﹣
，
=
﹣
，
∴
=（
﹣
）•（
﹣
）=
•
﹣
•
﹣
•
+
，
=
25
5×3cosθ
3×5cos
﹣
﹣
﹣
（π
θ
﹣）+9=
16
﹣
，
故答案为﹣16．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
16．（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R 上的周期为2 的偶函数，当x [0
∈
，1]时，f（x）=x+1，则
=
．
考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值。
专题：计算题。
分析：利用函数的周期性先把
转化成f（
），再利用函数f（x）是定义在R 上的偶函数转化成f（
），代入已知求解即可．
解答：解：∵函数f（x）是定义在R 上的周期为2 的函数，
∴
=f（
+2）=f（
），
又∵函数f（x）是定义在R 上的偶函数，
f
∴（
）=f（），
又∵当x [0
∈
，1]时，f（x）=x+1，
∴有：f（）= +1= ，
则
= ．
故答案为．
点评：本题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握．
17．（2012•浙江）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C1：
y=x2+a 到直线l：y=x 的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2 到直线l：y=x 的距离，则实数a= ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式。
专题：计算题。
分析：先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2 到直线l：y=x 的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a 的切线与直线
y=x 平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．
解答：解：圆x2+（y+4）2=2 的圆心为（0，﹣4），半径为
圆心到直线y=x 的距离为
=2
∴曲线C2：x2+（y+4）2=2 到直线l：y=x 的距离为2
﹣
=
则曲线C1：y=x2+a 到直线l：y=x 的距离等于
令y′=2x=1 解得x= ，故切点为（，+a）
切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x
y
﹣﹣+a=0
由题意可知x
y
﹣﹣+a=0 与直线y=x 的距离为
即
解得a= 或﹣
当a=﹣时直线y=x 与曲线C1：y=x2+a 相交，故不符合题意，舍去
故答案为：
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求
解的能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5 小题，共72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（2012•浙江）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且bsinA=
acosB．
（1）求角B 的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c 的值．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sinA 不为0，等式两边同时除以sinA，再利用同角三角函
数间的基本关系求出tanB 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；
（2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a 与c 的方程，记作①，再由b 及cosB 的值，利用余弦定理
列出关于a 与c 的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a 与c 的值．
解答：解：（1）由bsinA=
acosB 及正弦定理
=
，得：sinBsinA=
sinAcosB，
A
∵
为三角形的内角，∴sinA≠0，
sinB=
∴
cosB，即tanB=
，
又B 为三角形的内角，∴B=
；
（2）由sinC=2sinA 及正弦定理
=
，得：c=2a①，
b=3
∵
，cosB= ，∴由余弦定理b2=a2+c2
2accosB
﹣
得：9=a2+c2
ac
﹣
②，
联立①②解得：a=
，c=2
．
点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特
殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
19．（2012•浙江）已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn=2n2+n，n N
∈
*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n N
∈
*．
（1）求an，bn；
（2）求数列{an•bn}的前n 项和Tn．
考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定。
专题：计算题。
分析：（I）由Sn=2n2+n 可得，当n=1 时，可求a1=，当n≥2 时，由an=sn
s
﹣n
1
﹣可求通项，进而可求bn
（II）由（I）知，
，利用错位相减可求数列的和
解答：解（I）由Sn=2n2+n 可得，当n=1 时，a1=s1=3
当n≥2 时，an=sn
s
﹣n
1
﹣=2n2+n
2
﹣（n
1
﹣）2﹣（n
1
﹣）=4n
1
﹣
而n=1，a1=4
1=3
﹣
适合上式，
故an=4n
1
﹣，
又∵足an=4log2bn+3=4n
1
﹣
∴
（II）由（I）知，
2Tn=3×2+7×22+…+（4n
5
﹣）•2n
1
﹣+（4n
1
﹣）•2n
∴
=（4n
1
﹣）•2n
=（4n
1
﹣）•2n
[3+4
﹣
（2n
2
﹣）]=（4n
5
﹣）•2n+5
点评：
本题主要考查了数列的递推公式
在数列的通项公式求解中的应用，数列求
和的错位相减求和方法的应用．
20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AD BC
∥
，AD AB
⊥
，AB=
．AD=2，
BC=4，AA1=2，E 是DD1的中点，F 是平面B1C1E 与直线AA1的交点．
（1）证明：
（i）EF A
∥
1D1；
（ii）BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF 所成的角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定。
专题：综合题。
分析：（1）（i）先由C1B1 A
∥
1D1证明C1B1∥平面ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出C1B1 EF
∥
，证出
EF A
∥
1D1．
（ii）易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1 BA
⊥
1，再由tan A
∠
1B1F=tan AA
∠
1B=
，即
∠A1B1F= AA
∠
1B，得出BA1 B
⊥
1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；
（2）设BA1与B1F 交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H 是BC1与平面
B1C1EF 所成的角．在RT
BHC
△
1中求解即可．
解答：（1）证明（i）∵C1B1 A
∥
1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，
又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面平面ADD1A1=EF，
C
∴
1B1 EF
∥
，∴EF A
∥
1D1；
（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1 B
⊥
1C1，
又∵B1C1 B
⊥
1A1，
B
∴
1C1⊥平面ABB1A1，
B
∴
1C1 BA
⊥
1，
在矩形ABB1A1中，F 是AA1的中点，tan A
∠
1B1F=tan AA
∠
1B=
，即∠A1B1F= AA
∠
1B，故BA1 B
⊥
1F．
所以BA1⊥平面B1C1EF；
（2）解：设BA1与B1F 交点为H，
连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H 是BC1与平面B1C1EF 所成的角．
在矩形AA1B1B 中，AB=
，AA1=2，得BH=
，
在RT
BHC
△
1中，BC1=2
，sin BC
∠
1H=
=
，
所以BC1与平面B1C1EF 所成的角的正弦值是
．
点评：本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计
算能力．
21．（2012•浙江）已知a R
∈，函数f（x）=4x3
2ax+a
﹣
．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当0≤x≤1 时，f（x）+|2
a|
﹣＞0．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。
专题：综合题。
分析：（1）求导函数，再分类讨论：a≤0 时，f′（x）≥0 恒成立；a＞0 时，f′（x）=12x2
2a=12
﹣
（x﹣
）（x+
），
由此可确定f（x）的单调递增区间；单调递增区间；
（2）由于0≤x≤1，故当a≤2 时，f（x）+|2
a|=4x
﹣
3
2ax+2≥4x
﹣
3
4x+2
﹣
；当a＞2 时，f（x）+|2
a|=4x
﹣
3+2a（1
x
﹣）﹣2≥4x3+4（1
x
﹣）﹣2=4x3
4x+2
﹣
，构造函数g（x）=2x3
2x+1
﹣
，0≤x≤1，确定g（x）min=g（
）=1﹣
＞0，即可证得结论．
解答：（1）解：求导函数可得f′（x）=12x2
2a
﹣
a≤0 时，f′（x）≥0 恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）
a＞0 时，f′（x）=12x2
2a=12
﹣
（x﹣
）（x+
）
f
∴（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣
），（
，+∞）；单调递增区间为（﹣
，
）；
（2）证明：由于0≤x≤1，故
当a≤2 时，f（x）+|2
a|=4x
﹣
3
2ax+2≥4x
﹣
3
4x+2
﹣
当a＞2 时，f（x）+|2
a|=4x
﹣
3+2a（1
x
﹣）﹣2≥4x3+4（1
x
﹣）﹣2=4x3
4x+2
﹣
设g（x）=2x3
2x+1
﹣
，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x﹣
）（x+
）
x
0
（0，
）
g′（x）
﹣
+
g（x）
极小值
g
∴（x）min=g（
）=1﹣
＞0
∴当0≤x≤1 时，2x3
2x+1
﹣
＞0
∴当0≤x≤1 时，f（x）+|2
a|
﹣＞0．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．
22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy 中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．点M
（t，1）是C 上的定点，A，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．
（1）求p，t 的值．
（2）求△ABP 面积的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质。
专题：计算题；综合题；转化思想。
分析：（1）通过点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．列出方程，求出p，t 的值即可．
（2）设A（x1，y1）（x2，y2），线段AB 的中点为Q（m，m），设直线AB 的斜率为k，（k≠0），利用
推出AB 的方程y
m=
﹣
．利用弦长公式求出|AB|，设点P 到直线AB 的距离为
d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP 的面积为S，求出S=
=|1
2
﹣（m
m
﹣
2）|
．利用函数的导数求出△ABP 面积的最大值．
解答：
解：（1）由题意可知
得，
．
（2）设A（x1，y1）（x2，y2），线段AB 的中点为Q（m，m），
由题意可知，设直线AB 的斜率为k，（k≠0），
由
得，（y1
y
﹣2）（y1+y2）=x1
x
﹣2，
故k•2m=1，
所以直线AB 方程为y
m=
﹣
．
即△=4m
4m
﹣
2＞0，y1+y2=2m，y1y2=2m2
m
﹣．
从而|AB|=
=
，
设点P 到直线AB 的距离为d，则
d=
，
设△ABP 的面积为S，则
S=
=|1
2
﹣（m
m
﹣
2）|
．
由△=
＞0，得0＜m＜1，
令u=
，
，则S=u（1
2u
﹣
2），
，
则S′（u）=1
6u
﹣
2，S′（u）=0，得u=
，
所以S 最大值=S（
）=
．
故△ABP 面积的最大值为
．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求法，
考查分析问题解决问题的能力．
