文档文本内容
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理科）
本试卷共5 页. 150 分.考试时长120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无
效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40 分)
一、选择题共8 小题。每小题5 分.共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的
一项.
1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=
A （-，-1）B （-1，- 2
3
） C （- 2
3
,3）D (3,+)
2．设不等式组
2
0
,2
0
y
x
，表示平面区域为D，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原
点的距离大于2 的概率是
（A）4
（B）
2
2
（C）6
（D）4
4
3．设a，b∈R。“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
A. 2 B .4 C.8 D. 16
5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB 于点D，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( )
A．CE•CB=AD•DB
B．CE•CB=AD•AB
C．AD•AB=CD2
D．CE•EB=CD2
6.从0，2 中选一个数字.从1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为(
)
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
A. 28+6 5 B. 30+6 5 C. 56+ 12 5 D. 60+12 5
8.某棵果树前n 前的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平
均产量最高。m 值为（ ）
A.5 B.7 C.9 D.11
第二部分(非选择题共110 分)
二.填空题共6 小题。每小题5 分。共30 分.
9．直线
t
t
y
t
x
(
1
2
为参数)与曲线
(
sin
3
cos
3
y
x
为参数)的交点个数为______。
10．已知
}
{
na
等差数列
n
S 为其前n 项和。若
2
1
1
a
，
3
2
a
S
，则
2a =_______。
11．在△ABC 中，若a =2，b+c=7，cosB=
4
1
，则b=_______。
12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线
=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A、B 两点.其
中点A 在x 轴上方。若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为
13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则
CB
DE
的值为________，
DC
DE
的最大值为______。
14.已知
)
3
)(
2
(
)
(
m
x
m
x
m
x
f
，
2
2
)
(
x
x
g
，若同时满足条件：
①
R
x
，
0
)
(
x
f
或
0
)
(
x
g
；
②
)
4
,
(
x
,
)
(x
f
0
)
(
x
g
。
则m 的取值范围是_______。
三、解答题公6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13 分）
已知函数
x
x
x
x
x
f
sin
2
sin
)
cos
(sin
)
(
。
（1）求
)
(x
f
的定义域及最小正周期；
（2）求
)
(x
f
的单调递增区间。
16．（本小题共14 分）
如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE=2，
将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A1C⊥CD,如图2.
(I)求证：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M 是A1D 的中点，求CM 与平面A1BE 所成角的大小；
(III)线段BC 上是否存在点P，使平面
A1DP 与平面A1BE 垂直？说明理由
17．（本小题共13 分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他
垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了
该市三类垃圾箱中总计1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”
箱
“可回收物”
箱
“其他垃圾”
箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为
c
b
a
,
,
其中a＞0，
c
b
a
=600。当数据
c
b
a
,
,
的方差
2s 最大时，写出
c
b
a
,
,
的值（结论不要
求证明），并求此时
2s 的值。
（注：
]
)
(
)
(
)
[(
1
2
2
2
2
1
2
x
x
x
x
x
x
n
s
n
，其中x 为数据
nx
x
x
,
,
,
2
1
的平均数）
18．（本小题共13 分）
已知函数
2
( )
1
0
f x
ax
a
，
3
( )
g x
x
bx
.
（1）若曲线
( )
y
f x
与曲线
( )
y
g x
在它们的交点
1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值；
（2）当
2
4
a
b
时，求函数
( )
( )
f x
g x
的单调区间，并求其在区间
, 1
上的最大值.
19．（本小题共14 分）
已知曲线
2
2
: 5
2
8
C
m x
m
y
m
R .
（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；
（2）设
4
m
，曲线C 与y 轴的交点为A ，B（点A 位于点B 的上方），直线
4
y
kx
与
曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线
1
y 与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N
三点共线.
20．（本小题共13 分）
设A 是由m n
个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有
数的和为零. 记
,
S m n 为所有这样的数表组成的集合. 对于
,
A
S m n
，记( )
ir A 为A 的
第i 行各数之和（1
i
m
剟
），( )
jc
A 为A 的第j 列各数之和（1
j
n
剟
）；记( )
k A 为
1( )
r A ，
2( )
r A ，…，
( )
mr
A ，
1( )
c A ，
2( )
c
A ，…，
( )
nc
A 中的最小值.
（1）对如下数表A ，求( )
k A 的值；
1
1
0.8
0.1
0.3
1
（2）设数表
2,3
A
S
形如
求( )
k A 的最大值；
（3）给定正整数t ，对于所有的
2,2
1
A
S
t
，求( )
k A 的最大值.
2012 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8 小题．每小题5 分.共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的
一项.
1．（5 分）（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x
3
﹣）＞0}，则A∩B=（
）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣1，
）
C．﹙
，3﹚
D．（3，+∞）
考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．菁优网版权所有
专题：集合．
分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．
解答：解：因为B={x∈R|（x+1）（x
3
﹣）＞0
={x|x
﹜
＜﹣1 或x＞3}，
又集合A={x∈R|3x+2＞0
={x|x
﹜
}，
1
1
c
a
b
1
所以A∩B={x|x
}∩{x|x＜﹣1 或x＞3}={x|x＞3}，
故选：D．
点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．
2．
（5 分）
（2012•北京）设不等式组
，表示的平面区域为D，在区域D 内随机取一个
点，则此点到坐标原点的距离大于2 的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题
中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2 的点构成的区域的面积
后再求它们的比值即可．
解答：解：其构成的区域D 如图所示的边长为2 的正方形，面积为S1=4，
满足到原点的距离大于2 所表示的平面区域是以原点为圆心，以2 为半径的圆外部，
面积为
=4
π
﹣，
∴在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2 的概率P=
故选：D．
点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本
题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．
3．（5 分）（2012•北京）设a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．
解答：解：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi 不一定是纯虚数”．
“复数a+bi 是纯虚数”则“a=0”一定成立．
所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件．
故选B．
点评：本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的掌
握程度．
4．（5 分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
考点：循环结构．菁优网版权所有
专题：算法和程序框图．
分析：列出循环过程中S 与K 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
解答：解：第1 次判断后S=1，k=1，
第2 次判断后S=2，k=2，
第3 次判断后S=8，k=3，
第4 次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选C．
点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．
5．（5 分）（2012•北京）如图，∠ACB=90°，CD AB
⊥
于点D，以BD 为直径的圆与BC 交于点
E．则（ ）
A．CE•CB=AD•DB
B．CE•CB=AD•AB
C．AD•AB=CD2
D．CE•EB=CD2
考点：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
专题：直线与圆．
分析：连接DE，以BD 为直径的圆与BC 交于点E，DE BE
⊥
，由∠ACB=90°，CD AB
⊥
于点D，
△ACD
CBD
△
∽
，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE•CB=AD•BD．
解答：解：连接DE，
∵以BD 为直径的圆与BC 交于点E，
DE BE
∴
⊥
，
ACB=90°
∠
∵
，CD AB
⊥
于点D，
ACD
CBD
∴△
△
∽
，
∴
，
CD
∴
2=AD•BD．
CD
∵
2=CE•CB，
CE•CB=AD•BD
∴
，
故选A．
点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意
三角形相似和切割线定理的灵活运用．
6．（5 分）（2012•北京）从0、2 中选一个数字．从1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三
位数．其中奇数的个数为（ ）
A．24
B．18
C．12
D．6
考点：计数原理的应用．菁优网版权所有
专题：算法和程序框图．
分析：分类讨论：从0、2 中选一个数字0，则0 只能排在十位；从0、2 中选一个数字2，则2 排
在十位或百位，由此可得结论．
解答：解：从0、2 中选一个数字0，则0 只能排在十位，从1、3、5 中选两个数字排在个位与百
位，共有
=6 种；
从0、2 中选一个数字2，则2 排在十位，从1、3、5 中选两个数字排在个位与百位，共有
=6 种；
2 排在百位，从1、3、5 中选两个数字排在个位与十位，共有
=6 种；
故共有3
=18 种
故选B．
点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
7．（5 分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：立体几何．
分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．
解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4 和5 的三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
所以S 底=
=10，
S 后=
，
S 右=
=10，
S 左=
=6
．
几何体的表面积为：S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6
．
故选：B．
点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．
8．（5 分）（2012•北京）某棵果树前n 年的总产量Sn与n 之间的关系如图所示．从目前记录的
结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
考点：函数的图象与图象变化；函数的表示方法．菁优网版权所有
专题：函数的性质及应用．
分析：由已知中图象表示某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系，可分析出平均产量的
几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．
解答：解：若果树前n 年的总产量S 与n 在图中对应P（S，n）点
则前n 年的年平均产量即为直线OP 的斜率
由图易得当n=9 时，直线OP 的斜率最大
即前9 年的年平均产量最高，
故选C
点评：本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产
量的几何意义是解答本题的关键．
二.填空题共6 小题．每小题5 分．共30 分.
9．（5 分）（2012•北京）直线
（t 为参数）与曲线
（α 为参数）的交点个
数为
2
．
考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．菁优网版权所有
专题：直线与圆．
分析：将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．
解答：
解：直线
（t 为参数）化为普通方程为x+y
1=0
﹣
曲线
（α 为参数）化为普通方程为x2+y2=9
∵圆心（0，0）到直线x+y
1=0
﹣
的距离为d=
∴直线与圆有两个交点
故答案为：2
点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
10．（5 分）（2012•北京）已知﹛an﹜是等差数列，sn为其前n 项和．若a1= ，s2=a3，则a2=
1
．
考点：等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：等差数列与等比数列．
分析：由﹛an﹜是等差数列，a1= ，S2=a3，知
=
，解得d= ，由此能求出a2．
解答：解：∵﹛an﹜是等差数列，a1= ，S2=a3，
∴
=
，
解得d= ，
a2=
=1．
故答案为：1．
点评：本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
11．（5 分）（2012•北京）在△ABC 中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=
4
．
考点：解三角形．菁优网版权所有
专题：解三角形．
分析：根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得
，即可求得b 的值．
解答：解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，
∴
b=4
∴
故答案为：4
点评：本题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于b 的方程，属于基础题．
12．
（5 分）
（2012•北京）在直角坐标系xOy 中．直线l 过抛物线y2=4x 的焦点F．且与该抛物线
相交于A、B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°．则△OAF 的面积为
．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的倾斜角；抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：确定直线l 的方程，代入抛物线方程，确定A 的坐标，从而可求△OAF 的面积．
解答：解：抛物线y2=4x 的焦点F 的坐标为（1，0）
∵直线l 过F，倾斜角为60°
∴直线l 的方程为：
，即
代入抛物线方程，化简可得
y=2
∴
，或y=﹣
A
∵
在x 轴上方
OAF
∴△
的面积为
=
故答案为：
点评：本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定A 的坐标是解题的关
键．
13．（5 分）（2012•北京）己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则
的
值为
1
．
考点：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
专题：平面向量及应用．
分析：直接利用向量转化，求出数量积即可．
解答：解：因为
=
=
=
=1．
故答案为：1
点评：本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．
14．（5 分）（2012•北京）已知f（x）=m（x
2m
﹣
）（x+m+3），g（x）=2x
2
﹣，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0 或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则m 的取值范围是 （﹣
4 ，﹣
2 ）
．
考点：全称命题；二次函数的性质；指数函数综合题．菁优网版权所有
专题：简易逻辑．
分析：①由于g（x）=2x
2≥0
﹣
时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x
2m
﹣
）（x+m+3）＜0 在x＞1 时
成立，根据二次函数的性质可求
②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x
2
﹣＜0，则f（x）=m（x
2m
﹣
）
（x+m+3）＞0 在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求
解答：解：对于①∵g（x）=2x
2
﹣，当x＜1 时，g（x）＜0，
又∵①∀x∈R，f（x）＜0 或g（x）＜0
f
∴（x）=m（x
2m
﹣
）（x+m+3）＜0 在x≥1 时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面
则
4
∴﹣＜m＜0 即①成立的范围为﹣4＜m＜0
又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）=2x
2
﹣＜0 恒成立
f
∴（x）=m（x
2m
﹣
）（x+m+3）＞0 在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4 比x1，x2
中的较小的根大即可，
（i）当﹣1＜m＜0 时，较小的根为﹣m
3
﹣，﹣m
3
﹣＜﹣4 不成立，
（ii）当m=
1
﹣时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，
（iii）当﹣4＜m＜﹣1 时，较小的根为2m，2m＜﹣4 即m＜﹣2 成立．
综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答
本题的关键．
三、解答题公6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）（2012•北京）已知函数f（x）=
．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
考
点：
三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．菁优网版权所有
专
题：
三角函数的图像与性质．
分
析：
通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周
期．
（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．
解
解：
答：
=sin2x
1
cos2x=
﹣﹣
sin（2x﹣
）﹣1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}
（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．
（2）由
，k∈Z，
解得
，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，
原函数的单调递增区间为
，k∈Z，
，k∈Z
点
评：
本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，
注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力．
16．
（14 分）
（2012•北京）如图1，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E 分别是AC，AB
上的点，且DE BC
∥
，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A1C CD
⊥
，如图2．
（1）求证：A1C⊥平面BCDE；
（2）若M 是A1D 的中点，求CM 与平面A1BE 所成角的大小；
（3）线段BC 上是否存在点P，使平面A1DP 与平面A1BE 垂直？说明理由．
考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平
面的夹角．菁优网版权所有
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C CD
⊥
，只需证明A1C DE
⊥
，即证明DE⊥平面
A1CD；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE 法向量
，
=（﹣1，0，
），利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平
面A1BE 所成角的大小；
（3）设线段BC 上存在点P，设P 点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP 法向
量为
假设平面A1DP 与平面A1BE 垂直，则
，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
解答：（1）证明：∵CD DE
⊥
，A1D DE
⊥
，CD∩A1D=D，
DE
∴
⊥平面A1CD，
又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C DE
⊥
又A1C CD
⊥
，CD∩DE=D
A
∴
1C⊥平面BCDE
（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2
），B（0，3，0），E（﹣2，2，
0）
∴
，
设平面A1BE 法向量为
则
∴
∴
∴
又∵M（﹣1，0，
），∴
=（﹣1，0，
）
∴
CM
∴
与平面A1BE 所成角的大小45°
（3）解：设线段BC 上存在点P，设P 点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]
∴
，
设平面A1DP 法向量为
则
∴
∴
假设平面A1DP 与平面A1BE 垂直，则
，
3a+12+3a=0
∴
，6a=
12
﹣
，a=
2
﹣
0≤a≤3
∵
∴不存在线段BC 上存在点P，使平面A1DP 与平面A1BE 垂直
点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运
用，要加以体会．
17．（13 分）（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃
圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放
情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，
b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c 的方差s2最大时，写出a，b，c 的值（结论不要求证
明），并求此时s2的值．
（求：S2= [
+
+…+
]，其中为数据x1，
x2，…，xn的平均数）
考
点：
模拟方法估计概率；极差、方差与标准差．菁优网版权所有
专
题：
概率与统计．
分
析：
（1）厨余垃圾600 吨，投放到“厨余垃圾”箱400 吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；
（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；
（3）计算方差可得
=
，因此有当a=600，b=0，c=0 时，有s2=80000．
解
答：
解：
（1）由题意可知：厨余垃圾600 吨，投放到“厨余垃圾”箱400 吨，故厨余垃圾投放正确的概
率为
；
（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为
；
（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c 的平均数为200
∴
=
，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0 时，有s2=80000．
点
评：
本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题．
18．（13 分）（2012•北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b 的值；
（2）当a2=4b 时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．菁优网版权所有
专题：导数的概念及应用．
分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处
的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b 的值；
（2）根据a2=4b，构建函数
，求导函数，
利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣
1）上的最大值．
解答：解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，
k2=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
a+1=1+b
∴
，即a=b，代入①式可得：
．
（2）由题设a2=4b，设
则
，令h'（x）=0，解得：
，
；
a
∵＞0，∴
，
x
（﹣∞，﹣
）
﹣
）
h′（x）
+
﹣
+
h（x）
极大值
极小值
∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在
单调递减，在
）
上单调递增
①若
，即0＜a≤2 时，最大值为
；
②若
＜﹣，即2＜a＜6 时，最大值为
③若﹣1≥﹣时，即a≥6 时，最大值为h（﹣）=1
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为
；当a∈（2，+∞）时，最大值为
．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关
键是正确求出导函数．
19．（14 分）（2012•北京）已知曲线C：（5
m
﹣）x2+（m
2
﹣）y2=8（m∈R）
（1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；
（2）设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A，B（点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4 与曲线c 交于
不同的两点M、N，直线y=1 与直线BM 交于点G．求证：A，G，N 三点共线．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．菁优网版权所有
专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，
即可求得m 的取值范围；
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2
3
﹣），解得：
，设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB 方程为：
，
则
，从而可得
，
=（xN，kxN+2），欲证A，
G，N 三点共线，只需证
，
共线，利用韦达定理，可以证明．
解答：
（1）解：原曲线方程可化简得：
由题意，曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得：
，解得：
（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2
3
﹣）＞
0，解得：
由韦达定理得：
①，
，②
设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB 方程为：
，则
，
∴
，
=（xN，kxN+2），
欲证A，G，N 三点共线，只需证
，
共线
即
成立，化简得：（3k+k）xMxN=
6
﹣（xM+xN）
将①②代入可得等式成立，则A，G，N 三点共线得证．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是
直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．
20．（13 分）（2012•北京）设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对
值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，
n），记ri（A）为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为A 的第j 列各数之和（1≤j≤n）；记K
（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A ）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；
1
1
0.8
﹣
0.1
0.3
﹣
1
﹣
（2）设数表A∈S（2，3）形如
1
1
c
a
b
1
﹣
求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．
考点：进行简单的演绎推理；进行简单的合情推理．菁优网版权所有
专题：压轴题；新定义；推理和证明．
分析：（1）根据ri（A），Cj（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K（A）
为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．
（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1 存在即可；
（3）首先构造满足
的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明
是最大值即可．
解答：解：（1）由题意可知r1（A）=1.2，r2（A）=
1.2
﹣
，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=
1.8
﹣
K
∴（A）=0.7
（2）先用反证法证明k（A）≤1：
若k（A）＞1
则|c1（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0
同理可知b＞0，∴a+b＞0
由题目所有数和为0
即a+b+c=
1
﹣
c=
1
a
b
∴
﹣﹣﹣＜﹣1
与题目条件矛盾
k
∴（A）≤1．
易知当a=b=0 时，k（A）=1 存在
k
∴（A）的最大值为1
（3）k（A）的最大值为
．
首先构造满足
的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）：
，
．
经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
，
，
．
下面证明
是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得
．
由k（A）的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1
的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．
由于x＞1，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x
1
﹣．
设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1．
另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．
考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t+1 个负数，
每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x
1
﹣
（即每个负数均不超过1
x
﹣）．因此|r1（A）|=r1（A）≤t•1+（t+1）（1
x
﹣）=2t+1﹣（t+1）
x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，
故A 的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为
．
点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和反证法的应用，同时考查
了分析问题的能力，属于难题．
