2010年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）_高考一二三轮复习_数学_2027年高考数学专项复习更新中_2008年-2026年数学高考真题-G427_2008-2020年高考_2008-2020年_地方卷

绝密★启用前
  2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指
定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律
不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填
写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。
1.不等式2
0
4
x
x



的解集是                。
 
2.若复数
1 2
z
i

（i 为虚数单位），则z z
z


                  。
解析：考查复数基本运算z z
z


i
i
i
i
2
6
2
1
)
2
1
)(
2
1(






3. 动点P 到点
(2,0)
F
的距离与它到直线
2
0
x 

的距离相等，则P 的轨迹方程为  
    
。
4.行列式
cos
sin
3
6
sin
cos
3
6




的值是             。
5. 圆
2
2
:
2
4
4
0
C x
y
x
y





的圆心到直线l:3
4
4
0
x
y



的距离d           。
 
6. 随机变量的概率分布率由下图给出：
则随机变量的均值是            
 
7. 2010 年上海世博会园区每天9:00 开园，20:00 停止入园。在右边的框图中，S 表示上海世
博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1 个小时内入园人数，则空白
的执行框内应填入            
 
    
  。
8.对任意不等于1 的正数a，函数f(x)=log (
3)
a x 
的反函数的图像都经过点P，则点P 的坐标
是                
9．从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取1 张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得
为黑桃”，则概率P（AB）=         （结果用最简分数表示）
10．在n 行n 列矩阵
1
2
3
2
1
2
3
4
1
1
3
4
5
1
2
1
2
3
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

































中，
记位于第i 行第j 列的数为
( ,
1,2
, )
ij
a i j
n


。当
9
n 
时，
11
22
33
99
a
a
a
a



  
。
11. 将直线
2 :
0
l
nx
y
n



、
3 :
0
l
x
ny
n



（
*
n
N

，
2
n 
）x
轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为
n
S ，则lim
n
n
S

            。
 
12．如图所示，在边长为4 的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O,剪去AOB

,将剩余部分
沿OC、OD 折叠，使OA、OB 重合，则以A、（B）、C、D、O 为顶点的四面体的体积为  
13 。如图所示，直线x=2 与双曲线
2
2
:
1
4
y




的渐近线交于
1
E ,
2
E 两点，记
1
1
2
2
,
OE
e OE
e





，任取双曲线上的点P，若
1
2
,
(
)
OP
ae
be a
b
R






、
，则a、b 满足的一
个等式是  
 
14.以集合U=

a
b
c
d
，，，
的子集中选出2 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1）a、b 都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A 和B，必有A
B
B
A


或
，那么共有      种不同的选法。
二．选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分。
15．“


2
4
x
k
k
Z





”是“ tan
1
x 
”成立的          [答]（   ）
（A）充分不必要条件.         （B）必要不充分条件.
（C）充分条件.               （D）既不充分也不必要条件.
 
16.直线l 的参数方程是x=1+2t (
)
y=2-t
t
R




，则l 的方向向量是d
可以是  【答】（ ）
(A)(1,2)      (B)(2,1)     (C)(-2,1)        (D)(1,-2)
 
17.若
0x 是方程
1
3
1
( )
2
x
x

的解，则
0x 属于区间     【答】（ ）
(A)( 2
3 ,1)      (B)( 1
2 , 2
3 )   (C)( 1
3 , 1
2 )    (D)(0, 1
3 )
 
18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为1
1 1
,
,
13 11 5 ，则此人能    【答】（ ）
（A）不能作出这样的三角形            （B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形               （D）作出一个钝角三角形
 
三、解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定
区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12 分）
已知0
2
x



，化简：
2
lg(cos
tan
1 2sin
)
lg[ 2 cos(
)]
lg(1 sin 2 )
2
4
x
x
x
x
x







.
 
20. (本题满分13 分)本题共有2 个小题，第一个小题满分5 分，第2 个小题满分8 分。
已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
5
85
n
n
S
n
a



，
*
n
N

（1）证明：

1
na 
是等比数列；
（2）求数列
n
S
的通项公式，并求出n 为何值时，
n
S 取得最小值，并说明理由。
   （2）
n
S =
1
5
75( )
90
6
n
n



  n=15 取得最小值
 
21、（本大题满分13 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分8 分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4 个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝，骨
架把圆柱底面8 等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01 平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯
笼的底面半径为0.3 米时，求图中两根直线
1
3
A B 与
3
5
A B 所在
异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）
 
22.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满分
10 分。
若实数x 、y 、m 满足x
m
y
m


＞
，则称x 比y 远离m .
（1）若
2
1
x 比1 远离0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：
3
3
a
b

比
2
2
a b
ab

远离2ab ab ；
（3）已知函数
( )
f x 的定义域
k
D=
x|x
+
k
Z
x
R 
2
4
π π
｛
≠
，∈，∈
｝.任取x
D

，( )
f x 等于
sin x 和cos x 中远离0 的那个值.写出函数
( )
f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求
证明）.
 
23（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分9
分.
已知椭圆的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




，点P 的坐标为（-a，b）.
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足
1
PM =
(PA +PB)
2



,求点M 的坐标；
（2 ）设直线
1
1
:
l
y
k x
p


交椭圆于C 、D 两点，交直线
2
2
:
l
y
k x

于点E . 若
2
1
2
2
b
k
k
a


，证明：E 为CD 的中点；
（3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）
（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点
1P 、2P 满足
1
2
PP +PP = PQ


,写出求作点
1P 、2P 的步骤，并求出使
1P 、2P 存在的θ 的取值范围.
 
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填
写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。
1.不等式2
0
4
x
x



的解集是 （
  -4,2
 
 ）        
 
 。
解析：考查分式不等式的解法2
0
4
x
x



等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2
2.若复数
1 2
z
i

（i 为虚数单位），则z z
z


 6-2i
 
           
 
 。
解析：考查复数基本运算z z
z


i
i
i
i
2
6
2
1
)
2
1
)(
2
1(






3. 动点P 到点
(2,0)
F
的距离与它到直线
2
0
x 

的距离相等，则P 的轨迹方程为 
2
8
y
x

。
解析：考查抛物线定义及标准方程
定义知P 的轨迹是以
(2,0)
F
为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为y28x
4.行列式
cos
sin
3
6
sin
cos
3
6




的值是     
 
 0        
 
 。
解析：考查行列式运算法则
cos
sin
3
6
sin
cos
3
6




=
0
2
cos
6
π
sin
3
π
sin
6
π
cos
3
π
cos




5. 圆
2
2
:
2
4
4
0
C x
y
x
y





的圆心到直线l:3
4
4
0
x
y



的距离d     
 
 3      
 
 。
解析：考查点到直线距离公式
圆心（1,2）到直线3
4
4
0
x
y



距离为
3
5
4
2
4
1
3





6. 随机变量的概率分布率由下图给出：
则随机变量的均值是    
 
 8.2
   
解析：考查期望定义式E=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2
7. 2010 年上海世博会园区每天9:00 开园，20:00 停止入园。在右边的框图中，S 表示上海世
博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1 个小时内入园人数，则空白
的执行框内应填入   
  S  

S+a
    
     
  。
8.对任意不等于1 的正数a，函数f(x)=log (
3)
a x 
的反函数的图像都经过点P，则点P 的坐标
是  （
 
 0 ，
  -2
  ）       
 
 
解析：f(x)=log (
3)
a x 
的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）
9．从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取1 张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得
为黑桃”，则概率P（AB）== 7
26 （结果用最简分数表示）
解析：考查互斥事件概率公式  P（AB）=
26
7
52
13
52
1


 10．在n 行n 列矩阵
1
2
3
2
1
2
3
4
1
1
3
4
5
1
2
1
2
3
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

































中，
记位于第i 行第j 列的数为
( ,
1,2
, )
ij
a i j
n


。当
9
n 
时，
11
22
33
99
a
a
a
a



   
  45
    
。
解析：
11
22
33
99
a
a
a
a



1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
11. 将直线
2 :
0
l
nx
y
n



、
3 :
0
l
x
ny
n



（
*
n
N

，
2
n 
）x
轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为
n
S ，则lim
n
n
S

    
 
 1         
 
 。
解析：B
)
1
,
1
(


n
n
n
n
 所以BO⊥AC，
n
S =
1
2
1
2
2
1





n
n
n
n
    所以lim
n
n
S

1
2
12．如图所示，在边长为4 的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O,剪去AOB

,将剩余部分
沿OC、OD 折叠，使OA、OB 重合，则以A、（B）、C、D、O 为顶点的四面体的体积为8 2
3
解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为
2
2
的正三棱锥，
高为
3
6
2
所以该四面体的体积为
3
2
8
3
6
2
2
3
16
2
1
3
1





13 。如图所示，直线x=2 与双曲线
2
2
:
1
4
y




的渐近线交于
1
E ,
2
E 两点，记
1
1
2
2
,
OE
e OE
e





，任取双曲线上的点P，若
1
2
,
(
)
OP
ae
be a
b
R






、
，则a、b 满足的一
个等式是    
 
 4ab=1
 
  
解析：
)1
,2
(
),
1,2
(
2
1

E
E
1
2
OP
ae
be




=
)
,
2
2
(
b
a
b
a


，点P 在双曲线上
1
)
(
4
)
2
2
(
2
2





b
a
b
a
，化简得4ab1
14.以集合U=

a
b
c
d
，，，
的子集中选出2 个不同的子集，需同
时满足以下两个条件：
（1）a、b 都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A 和B，必有A
B
B
A


或
，那么共有  
  36
    
   种不同的选法。
解析：列举法  共有36 种
二．选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分。
15．“


2
4
x
k
k
Z





”是“ tan
1
x 
”成立的          [答]（ A ）
（A）充分不必要条件.         （B）必要不充分条件.
（C）充分条件.               （D）既不充分也不必要条件.
解析：
1
4
tan
)
4
2
tan(






k
，所以充分；
但反之不成立，如
1
4
5
tan


，所以不必要
16.直线l 的参数方程是x=1+2t (
)
y=2-t
t
R




，则l 的方向向量是d
可以是  【答】（C）
(A)(1,2)      (B)(2,1)     (C)(-2,1)        (D)(1,-2)
解析：直线l 的一般方程是
0
5
2



y
x
，
2
1


k
，所以C 正确
17.若
0x 是方程
1
3
1
( )
2
x
x

的解，则
0x 属于区间     【答】（C）
(A)( 2
3 ,1)      (B)( 1
2 , 2
3 )   (C)( 1
3 , 1
2 )    (D)(0, 1
3 )
解析：结合图形
3
1
2
1
3
1
3
1
2
1
2
1
,
3
1
2
1



























，∴
0x 属于区间( 1
3
, 1
2
)
18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为1
1 1
,
,
13 11 5 ，则此人能    【答】（D）
（A）不能作出这样的三角形            （B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形               （D）作出一个钝角三角形
解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知
5
:
11
:
13
:
:
,
5
1
11
1
13
1




c
b
a
c
b
a
由余弦定理得
0
11
5
2
13
11
5
cos
2
2
2






A
，所以角A 为钝角
三、解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定
区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12 分）
已知0
2
x



，化简：
2
lg(cos
tan
1 2sin
)
lg[ 2 cos(
)]
lg(1 sin 2 )
2
4
x
x
x
x
x







.
=0
20. (本题满分13 分)本题共有2 个小题，第一个小题满分5 分，第2 个小题满分8 分。
已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
5
85
n
n
S
n
a



，
*
n
N

（1）证明：

1
na 
是等比数列；
（2）求数列
n
S
的通项公式，并求出n 为何值时，
n
S 取得最小值，并说明理由。
   （2）
n
S =
1
5
75( )
90
6
n
n



  n=15 取得最小值
解析：(1) 当n1 时，a114；当n≥2 时，anSnSn15an5an11，所以
1
5
1
(
1)
6
n
n
a
a 


，
又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；
(2) 由(1)知：
1
5
1
15
6
n
na








，得
1
5
1 15
6
n
na








，从而
1
5
75
90
6
n
n
S
n











(nN*)；
解不等式Sn<Sn1，得
1
5
2
6
5
n







，
5
6
2
log
1
14.9
25
n 

，当n≥15 时，数列{Sn}单调递增；
同理可得，当n≤15 时，数列{Sn}单调递减；故当n15 时，Sn取得最小值．
21、（本大题满分13 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分8 分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4 个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝，骨
架把圆柱底面8 等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01 平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯
笼的底面半径为0.3 米时，求图中两根直线
1
3
A B 与
3
5
A B 所在
异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）
解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0<r<0.6)，
S3(r0.4)20.48，
所以当r0.4 时，S 取得最大值约为1.51 平方米；
(2) 当r0.3 时，l0.6，建立空间直角坐标系，可得
1
3
( 0.3,0.3,0.6)
A B 

，
3
5
( 0.3, 0.3,0.6)
A B 


，
设向量
1
3
A B
与
3
5
A B
的夹角为，则
1
3
3
5
1
3
3
5
2
cos
3
|
| |
|
A B
A B
A B
A B









，
所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为
2
arccos 3
．
22.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满分
10 分。
若实数x 、y 、m 满足x
m
y
m


＞
，则称x 比y 远离m .
（1）若
2
1
x 比1 远离0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：
3
3
a
b

比
2
2
a b
ab

远离2ab ab ；
（3）已知函数
( )
f x 的定义域
k
D=
x|x
+
k
Z
x
R 
2
4
π π
｛
≠
，∈，∈
｝.任取x
D

，( )
f x 等于
sin x 和cos x 中远离0 的那个值.写出函数
( )
f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求
证明）.
解析：(1) 
(
,
2)
( 2.
)
x


；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有
3
3
2
a
b
ab ab


，
2
2
2
a b
ab
ab ab


，
因为
3
3
2
2
2
|
2
|
|
2
| (
)(
)
0
a
b
ab ab
a b
ab
ab ab
a
b a
b









，
所以
3
3
2
2
|
2
| |
2
|
a
b
ab ab
a b
ab
ab ab





，即a3b3比a2bab2远离2ab ab ；
(3) 
3
sin
,
(
,
)
4
4
( )
cos
,
(
,
)
4
4
x
x
k
k
f x
x
x
k
k



















，
性质：1f(x)是偶函数，图像关于y 轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期
2
T


，
3函数f(x)在区间(
,
]
2
4
2
k
k




单调递增，在区间[
,
)
2
2
4
k
k




单调递减，kZ，
4函数f(x)的值域为
2
(
,1]
2
．
23（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分9
分.
已知椭圆的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




，点P 的坐标为（-a，b）.
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足
1
PM =
(PA +PB)
2



,求点M 的坐标；
（2 ）设直线
1
1
:
l
y
k x
p


交椭圆于C 、D 两点，交直线
2
2
:
l
y
k x

于点E . 若
2
1
2
2
b
k
k
a


，证明：E 为CD 的中点；
（3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）
（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点
1P 、2P 满足
1
2
PP +PP = PQ


,写出求作点
1P 、2P 的步骤，并求出使
1P 、2P 存在的θ 的取值范围.
解析：(1) 
( ,
)
2
2
a
b
M

；
(2) 由方程组
1
2
2
2
2
1
y
k x
p
x
y
a
b






，消y 得方程
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
(
)
2
(
)
0
a k
b
x
a k px
a
p
b





，
因为直线
1
1
:
l
y
k x
p


交椭圆于C 、D 两点，
所以>0，即
2
2
2
2
1
0
a k
b
p



，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)，
则
2
1
2
1
0
2
2
2
1
2
0
1
0
2
2
2
1
2
x
x
a k p
x
a k
b
b p
y
k x
p
a k
b














，
由方程组
1
2
y
k x
p
y
k x






，消y 得方程(k2k1)xp，
又因为
2
2
2
1
b
k
a k

，所以
2
1
0
2
2
2
2
1
1
2
2
0
2
2
2
1
a k p
p
x
x
k
k
a k
b
b p
y
k x
y
a k
b














，
故E 为CD 的中点；
(3) 求作点P1、P2的步骤：1求出PQ 的中点
(1
cos )
(1
sin )
(
,
)
2
2
a
b
E





，
2求出直线OE 的斜率
2
(1
sin )
(1
cos )
b
k
a





，
3由
1
2
PP
PP
PQ





知E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率
2
1
2
2
(1
cos )
(1
sin )
b
b
k
a k
a






，
4从而得直线CD 的方程：
(1
sin )
(1
cos )
(1
cos )
(
)
2
(1
sin )
2
b
b
a
y
x
a











，
5将直线CD 与椭圆Γ 的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．
欲使P1、P2存在，必须点E 在椭圆内，
所以
2
2
(1
cos )
(1
sin )
1
4
4





，化简得
1
sin
cos
2




，
2
sin(
)
4
4



，
又0< <，即
3
4
4
4








，所以
2
arcsin
4
4
4







，
故 的取值范围是
2
(0,
arcsin
)
4
4

．