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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题
1．计算：
2．设
，
是纯虚数，其中i 是虚数单位，则
3．若
，则
4．已知△ABC 的内角A、B、C 所对应边分别为a、b、c，若
，则角C
的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）
5．设常数
，若
的二项展开式中
项的系数为
，则
．
6．方程
的实数解为________
7．在极坐标系中，曲线
与
的公共点到极点的距离为__________
．
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编
号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
9．设AB 是椭圆
的长轴，点C 在
上，且
，若AB=4，
，则
的两个焦
点之间的距离为________
10 ．设非零常数d 是等差数列
的公差，随机变量
等可能地取值
，则方差
11．若
，则
．
12．设
为实常数，
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，若
对一切
成立，则
的取值范围为________
13．在
平面上，将两个半圆弧
和
、两条直线
和
围成的封
闭图形记为D，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成
的几何体为
，过
作
的水平截面，所得截面
面积为
，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱
和一个长方体，得出
的体积值为__________
14．对区间I 上有定义的函数
，记
，已知定义域为
的
函数
有反函数
，且
，若方程
有解
，则
二、选择题
15．设常数
，集合
，若
，则
的取值范围为（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
17 ．在数列
中，
，若一个7 行12 列的矩阵的第i 行第j 列的元素
，（
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个
数为（ ）
(A)18
(B)28
(C)48
(D)63
18．在边长为1 的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为
；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为
.若
分别
为
的最小值、最大值，其中
,
,则
满足（ ）.
(A)
(B)
(C)
(D)
三、解答题
19.（本题满分12 分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1
平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC 的距离.
20．（6 分+8 分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件
要求
），每小时可获得利润是
元.
(1)要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000 元，求x 的取值范围；
(2)要使生产900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利
润.
21．（6 分+8 分）已知函数
，其中常数
；
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
（1）若
在
上单调递增，求
的取值范围；
（2）令
，将函数
的图像向左平移
个单位，再向上平移1 个单位，得到函数
的图像，区间
（
且
）满足：
在
上至少含有30 个
零点，在所有满足上述条件的
中，求
的最小值．
22 ．（3 分+5 分+8 分）如图，已知曲线
，曲线
，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与
都有公
共点，则称P 为“C1—C2型点”．
(1)在正确证明
的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的
直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线
与
有公共点，求证
，进而证明原点不是“C1—
C2型点”；
(3)求证：圆
内的点都不是“C1—C2型点”．
23．（3 分+6 分+9 分）给定常数
，定义函数
，数列
满足
.
（1）若
，求
及
；（2）求证：对任意
，；
（3）是否存在
，使得
成等差数列？若存在，求出所有这样的
，若不存在，
说明理由.
2013 年 上海 高考理科数学（参考答案）
一．
填空题
1.
2. －2 3. 0 4.
5. －2 6.
7.
8.
9.
10. 30d ² 11.
12.
13.
14. 2
二．
选择题
题号
15
16
17
18
代号
B
B
A
D
三．
解答题
19. 【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故
，
故ABC1D1为平行四边形，故
，显然B 不在平面D1AC 上，于是直线
BC1平行于平面DA1C；
直线BC1到平面D1AC 的距离即为点B 到平面D1AC 的距离设为
考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC 为底面，可得
而
中，
，故
所以，
，即直线BC1到平面D1AC 的距离为
．
20．【解答】(1)根据题意，
又
，可解得
(2)设利润为
元，则
故
时，
元．
21．【解答】(1)因为
，根据题意有
(2)
，
或
，
即
的零点相离间隔依次为
和
，
故若
在
上至少含有30 个零点，则
的最小值为
．
23. 【解答】：（1）C1的左焦点为
，过F 的直线
与C1交于
，
与C2交于
，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以
为
；
（2）直线
与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
；
直线
与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
故直线
至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。
（3）显然过圆
内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点
，则
直线与圆
内部有交点，故
化简得，
。。。。。。。。。。。。①
若直线与曲线C1有交点，则
化简得，
。。。。。②
由①②得，
但此时，因为
，即①式不成立；
当
时，①式也不成立
综上，直线若与圆
内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，
即圆
内的点都不是“C1-C2型点” ．
23. 【解答】：（1）因为
，
，故
，
（2）要证明原命题，只需证明
对任意
都成立，
即只需证明
若
，显然有
成立；
若
，则
显然成立
综上，
恒成立，即对任意的
，
（3）由（2）知，若
为等差数列，则公差
，故n 无限增大时，总有
此时，
即
故
，
即
，
当
时，等式成立，且
时，
，此时
为等差数列，满足题
意；
若
，则
，
此时，
也满足题意；
综上，满足题意的
的取值范围是
．
2013 年上海市秋季高考理科数学
一、填空题
1．计算：
【解答】根据极限运算法则，
．
2．设
，
是纯虚数，其中i 是虚数单位，则
【解答】
．
3．若
，则
【解答】
．
4．已知△ABC 的内角A、B、C 所对应边分别为a、b、c，若
，则角C
的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）
【
解
答
】
，
故
．
5．设常数
，若
的二项展开式中
项的系数为
，则
【解答】
，故
．
6．方程
的实数解为________
【解答】原方程整理后变为
．
7．在极坐标系中，曲线
与
的公共点到极点的距离为__________
【解答】联立方程组得
，又
，故所求为
．
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编
号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
【解答】9 个数5 个奇数，4 个偶数，根据题意所求概率为
．
9．设AB 是椭圆
的长轴，点C 在
上，且
，若AB=4，
，则
的两个焦
点之间的距离为________
【解答】不妨设椭圆
的标准方程为
，于是可算得
，得
．
10 ．设非零常数d 是等差数列
的公差，随机变量
等可能地取值
，则方差
【解答】
，
．
11．若
，则
【解答】
，
，故
．
12．设
为实常数，
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，若
对一切
成立，则
的取值范围为________
【解答】
，故
；当
时，
即
，又
，故
．
13．在
平面上，将两个半圆弧
和
、两条直线
和
围成的封
闭图形记为D，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成
的几何体为
，过
作
的水平截面，所得截面
面积为
，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱
和一个长方体，得出
的体积值为__________
【解答】根据提示，一个半径为1，高为
的圆柱平放，一个
高为2，底面面积
的长方体，这两个几何体与
放在一起，
根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即
的体积值为
．
14．对区间I 上有定义的函数
，记
，已知定义域为
的
函数
有反函数
，且
，若方程
有解
，则
【解答】根据反函数定义，当
时，
；
时，
，而
的定义域为
，故当
时，
的取值应在集合
，故若
，只有
．
二、选择题
15．设常数
，集合
，若
，则
的取值范围为（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，
或
，解答选项为B．
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B．
17 ．在数列
中，
，若一个7 行12 列的矩阵的第i 行第j 列的元素
，（
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个
数为（ ）
(A)18
(B)28
(C)48
(D)63
【解答】
，而
，故不同数值个数为18 个，选
A．
18．在边长为1 的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为
；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为
.若
分别
为
的最小值、最大值，其中
,
,则
满足（ ）.
(A)
(B)
(C)
(D)
【解答】作图知，只有
，其余均有
，故选D．
三、解答题
19.（本题满分12 分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1
平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC 的距离.
【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故
，
故ABC1D1为平行四边形，故
，显然B 不在平面D1AC 上，于
是直线BC1平行于平面DA1C；
直线BC1到平面D1AC 的距离即为点B 到平面D1AC 的距离设
为
考虑三棱锥ABCD1 的体积，以ABC 为底面，可得
而
中，
，故
所以，
，即直线BC1到平面D1AC 的距离为
．
20．（6 分+8 分）甲厂以x
千克/ 小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求
），每小时可获得利润是
元.
(1)要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000 元，求x 的取值范围；
(2)要使生产900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利
润.
【解答】(1)根据题意，
又
，可解得
(2)设利润为
元，则
故
时，
元．
21．（6 分+8 分）已知函数
，其中常数
；
（1）若
在
上单调递增，求
的取值范围；
（2）令
，将函数
的图像向左平移
个单位，再向上平移1 个单位，得到函数
的图像，区间
（
且
）满足：
在
上至少含有30 个
零点，在所有满足上述条件的
中，求
的最小值．
【解答】(1)因为
，根据题意有
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
(2)
，
或
，
即
的零点相离间隔依次为
和
，
故若
在
上至少含有30 个零点，则
的最小值为
．
22 ．（3 分+5 分+8 分）如图，已知曲线
，曲线
，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与
都有公
共点，则称P 为“C1—C2型点”．
(1)在正确证明
的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的
直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线
与
有公共点，求证
，进而证明原点不是“C1—
C2型点”；
(3)求证：圆
内的点都不是“C1—C2型点”．
【解答】：（1）C1的左焦点为
，过F 的直线
与C1交于
，与C2
交于
，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为
；
（2）直线
与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
；
直线
与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
故直线
至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。
（3）显然过圆
内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点
，则
直线与圆
内部有交点，故
化简得，
。。。。。。。。。。。。①
若直线与曲线C1有交点，则
化简得，
。。。。。②
由①②得，
但此时，因为
，即①式不成立；
当
时，①式也不成立
综上，直线若与圆
内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，
即圆
内的点都不是“C1-C2型点” ．
23．（3 分+6 分+9 分）给定常数
，定义函数
，数列
满足
.
（1）若
，求
及
；（2）求证：对任意
，；
（3）是否存在
，使得
成等差数列？若存在，求出所有这样的
，若不存在，
说明理由.
【解答】：（1）因为
，
，故
，
（2）要证明原命题，只需证明
对任意
都成立，
即只需证明
若
，显然有
成立；
若
，则
显然成立
综上，
恒成立，即对任意的
，
（3）由（2）知，若
为等差数列，则公差
，故n 无限增大时，总有
此时，
即
故
，
即
，
当
时，等式成立，且
时，
，此时
为等差数列，满足题意；
若
，则
，
此时，
也满足题意；
综上，满足题意的
的取值范围是
．
22．（本题满分16 分）本题共有3 个小题．第1 小题满分6 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满
分8 分．
如图，已知双曲线
：
，曲线
：
．
是平面内一点，若存在过
点
的直线与
、
都有公共点，则称
为“
型点”．
（1）在正确证明
的左焦点是“
型点”时，要使
用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不
要求验证）；
（2）设直线
与
有公共点，求证
，进而证明
原点不是“
型点；
（3）求证：圆
内的点都不是“
型点”．
22．解：（1）C1 的左焦点为
，过F 的直线
与C1交于
，与C2交于
，故C1的左焦点为“C1-C2型
点”，且直线可以为
；
（2）直线
与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
；
直线
与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
故直线
至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。
（3）显然过圆
内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点
，则
直线与圆
内部有交点，故
化简得，
。。。。。。。。。。。。①
若直线与曲线C1有交点，则
化简得，
。。。。。②
由①②得，
但此时，因为
，即①式不成立；
当
时，①式也不成立
综上，直线若与圆
内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，
即圆
内的点都不是“C1-C2型点”。
23．（本题满分18 分）本题共有3 个小题．第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分9 分．
给定常数
，定义函数
．数列
，
，
，…满足
．
（1）若
，求
及
；
（2）求证：对任意
，
；
（3）是否存在
，使得
，
，
，…，
…成等差数列？若存在，求出所有这样的
；若不
存在，说明理由．
23．解：（1）因为
，
，故
，
（2）要证明原命题，只需证明
对任意
都成立，
即只需证明
若
，显然有
成立；
若
，则
显然成立
综上，
恒成立，即对任意的
，
（3）由（2）知，若
为等差数列，则公差
，故n 无限增大时，总有
此时，
即
故
，
即
，
当
时，等式成立，且
时，
，此时
为等差数列，满足题意；
若
，则
，
此时，
也满足题意；
综上，满足题意的
的取值范围是
。
