绝密*启用前
2012 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷
一．
选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
（1）已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x,y)|x
,则B 中所含元素的个数为
（A）3 （B）6 (C) 8 （D）10
(2)将2 名教师，4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1 名教
师和2 名学生组成，不同的安排方案共有
（A）12 种 （B）10 种 (C) 9 种 （D）8 种
（3）下面是关于复数
的四个命题：
P1:|z|=2, P2:z2=2i,
P3:z 的共轭复数为1+i, p4:z 的虚部为-1，
期中的真命题为
（A）p2,p3 (B)P1,P2 (C)P2,P4 (D)P3,P4
（4）设
1
2
F F 是椭圆E：
的左、右焦点，P 为直线
3
2
a
x
上一点，
2
1
F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）
（A）1
2
（B）2
3
（C）3
4
（D）4
5
（5）已知
na
为等比数列，
，
5
6
8
a a ，则
1
10
a
a
（A）7 （B）5 （C）-5 （D）-7
（6 ）如果执行右边的程序框图，输入正整数
(
2)
N N
和实数
1
2
,
,...,
n
a a
a ，输出A,B,则
（A）A+B 为
1
2
,
,...,
n
a a
a 的和
（B）
2
A
B
为
1
2
,
,...,
n
a a
a 的算术平均数
（C）A 和B 分别是
1
2
,
,...,
n
a a
a 中最大的数和最小的数
（D）A 和B 分别是
1
2
,
,...,
n
a a
a 中最小的数和最大的数
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A）6
（B）9
（C）12
（D）18
（8）等轴双曲线C 的中心在原点，
检
点在X 轴上，C 与抛物线
的
准
线交于A，B 两点，|AB|=4
，则C 的
实
轴长为
（A）
（B）2
（C）
4 （D）8
（9）已知w>0,函数f(x)=sin(
x+
)在（
，
π）单调递减。则△t 的取值范围是
(A) [
,
] (B)[
,
] (C)(O,
] (D)(0,2]
(10) 已知函数f(x)=
,则y=f(x)的图像大致为
（11）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的求面上，△ABC 是边长为1 的正三角形，SC 为球O 的直
径，且SC=2,则此棱锥的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）设点P 在曲线y=
ex 上，点Q 在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为
（A） 1-ln2 （B）
(1-ln2)（C）1+ln2 （D）
(1+ln2)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题~第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24
题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。
（13）已知向量a,b 夹角为450 ，且|a|=1，|2a-b|=
,则|b|=
(14) 设x,y 满足约束条件
则z=x-2y 的取值范围为
（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1 或元件2 正常工作，且元件3 正常工作，则部件
正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，
），且各个元件能否
正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为
（16）数列{
}满足
=2n-1，则{
}的前60 项和为
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12 分）
已知a.b.c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边a
(1) 求A
(1)
若a=2,△ABC 的面积为
求b,c
18.（本小题满分12 分）
某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，如
果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（Ｉ）若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，
n
N）的函数解析式。
（ＩＩ）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i）若花店一天购进16 枝玫瑰花，x 表示当天的利润（单位：元），求x 的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17 枝？请说明理由。
（19）（本小题满分12 分）
如图，之三棱柱ABC-
中AC=BC=
，D 是棱
的中点，
(Ｉ)证明：
（ＩＩ）求二面角
的大小
（20）（本小题满分12 分）
设抛物线C:
(P>0)的交点为F，准线为I，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F
交I 于B，D 两点。
（I）若
，
的面积为
求P 的值及圆F 的方程；
（II）若A，B,F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原
点m，n 距离的比值。
（21）（本小题满分12 分）
已知函数f(x)满足满足f(x)=
（I）
求f(x)的解析式及单调区间；
（I）
若f(x)
，求（a+1）b 的最大值
请考生在第22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写
清题号。
（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E 分别为△ABC 边AB，AC 的中点，直线DE 交于△ABC 的外接圆于F，G 两点，若
CF//AB，证明：
（I）
CD=BC；
（II）△BCD∽△GBD
(23)(本小题满分10 分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线
的参数方程是
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，
曲线
的坐标系方程是
，正方形ABCD 的顶点都在
上，且A、B、C、D 依逆时针次序排列，点A 的
极坐标为（2，
）
（I）
求点A、B、C、D 的直角坐标；
（II）
设P 为
上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
（24）（本小题满分10 分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x) = |x + a| + |x - 2|.
(I)
当a = -3 时，求不等式f(x) ≥3 的解集；
(II)
若f(x)≤|x - 4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。
第一卷
一．
选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
（1）已知集合
；,则
中所含元素
的个数为（ ）
【解析】选
，
，
，
共10 个
（2）将
名教师，
名学生分成
个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由名教师和
名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
种
种
种
种
【解析】选
甲地由名教师和
名学生：
种
（3）下面是关于复数
的四个命题：其中的真命题为（ ）
的共轭复数为
的虚部为
【解析】选
，
，
的共轭复数为
，
的虚部为
（4）设
1
2
F F 是椭圆
的左、右焦点，
为直线
3
2
a
x
上一点，
2
1
F PF 是底角为30的等腰三角形，则
的离心率为（ ）
【解析】选
2
1
F PF 是底角为30的等腰三角形
（5）已知
na
为等比数列，
，
5
6
8
a a ，则
1
10
a
a
（ ）
【解析】选
，
或
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数
(
2)
N N
和
实数
1
2
,
,...,
n
a a
a ，输出
，则（ ）
为
1
2
,
,...,
n
a a
a 的和
2
A
B
为
1
2
,
,...,
n
a a
a 的算术平均数
和
分别是
1
2
,
,...,
n
a a
a 中最大的数和最小的数
和
分别是
1
2
,
,...,
n
a a
a 中最小的数和最大的数
【解析】选
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
【解析】选
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
此几何体的体积为
（8）等轴双曲线
的中心在原点，焦点在
轴上，
与抛物线
的准线交于
两点，
；则
的实轴长为（ ）
【解析】选
设
交
的准线
于
得：
（9）已知
，函数
在
上单调递减。则
的取值范围是（ ）
【解析】选
不合题意 排除
合题意 排除
另：
，
得：
（10） 已知函数
；则
的图像大致为（ ）
【解析】选
得：
或
均有
排除
（11）已知三棱锥
的所有顶点都在球
的求面上，
是边长为的正三角形，
为球
的直径，且
；则此棱锥的体积为（ ）
【解析】选
的外接圆的半径
，点
到面
的距离
为球
的直径
点
到面
的距离为
此棱锥的体积为
另：
排除
（12）设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
最小值为（ ）
【解析】选
函数
与函数
互为反函数，图象关于
对称
函数
上的点
到直线
的距离为
设函数
由图象关于
对称得：
最小值为
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题~第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24
题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。
（13）已知向量
夹角为
，且
；则
【解析】
(14) 设
满足约束条件：
；则
的取值范围为
【解析】
的取值范围为
约束条件对应四边形
边际及内的区域：
则
（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1 或元件2 正常工作，且元件3
正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从
正态分布
，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命
超过1000 小时的概率为
【解析】使用寿命超过1000 小时的概率为
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
得：三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率为
超过1000 小时时元件1 或元件2 正常工作的概率
那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为
（16）数列
满足
，则
的前
项和为
【解析】
的前
项和为
可证明：
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12 分）
已知
分别为
三个内角
的对边，
（1）求
（2）若
，
的面积为
；求
。
【解析】（1）由正弦定理得：
（2）
解得：
（l fx lby）
18.（本小题满分12 分）
某花店每天以每枝
元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝
元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进
枝玫瑰花，求当天的利润
(单位：元)关于当天需求量
（单位：枝，
）的函数解析式。
（2）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i）若花店一天购进
枝玫瑰花，
表示当天的利润（单位：元），求
的分布列，
数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17 枝？
请说明理由。
【解析】（1）当
时，
当
时，
得：
（2）（i）
可取
，
，
的分布列为
（ii）购进17 枝时，当天的利润为
得：应购进17 枝
（19）（本小题满分12 分）
如图，直三棱柱
中，
，
是棱
的中点，
（1）证明：
（2）求二面角
的大小。
【解析】（1）在
中，
得：
同理：
得：
面
（2）
面
取
的中点
，过点
作
于点
，连接
，面
面
面
得：点
与点
重合
且
是二面角
的平面角
设
，则
，
既二面角
的大小为
（20）（本小题满分12 分）
设抛物线
的焦点为
，准线为，
，已知以
为圆心，
为半径的圆
交于
两点；
（1）若
，
的面积为
；求
的值及圆
的方程；
（2）若
三点在同一直线
上，直线
与
平行，且
与
只有一个公共点，
求坐标原点到
距离的比值。
【解析】（1）由对称性知：
是等腰直角
，斜边
点
到准线的距离
圆
的方程为
（2）由对称性设
，则
点
关于点
对称得：
得：
，直线
切点
直线
坐标原点到
距离的比值为
。（lfx lby）
（21）（本小题满分12 分）
已知函数
满足满足
；
（1）求
的解析式及单调区间；
（2）若
，求
的最大值。
【解析】（1）
令
得：
得：
在
上单调递增
得：
的解析式为
且单调递增区间为
，单调递减区间为
（2）
得
①当
时，
在
上单调递增
时，
与
矛盾
②当
时，
得：当
时，
令
；则
当
时，
当
时，
的最大值为
请考生在第22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，
做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲
如图，
分别为
边
的中点，直线
交
的外接圆于
两点，若
，证明：
（1）
；
（2）
【解析】（1）
，
（2）
（23）本小题满分10 分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线
的参数方程是
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线
的坐标系方程是
，正方形
的顶点都在
上，
且
依逆时针次序排列，点
的极坐标为
（1）求点
的直角坐标；
（2）设
为
上任意一点，求
的取值范围。
【解析】（1）点
的极坐标为
点
的直角坐标为
（2）设
；则
（lfxlby）
（24）（本小题满分10 分）选修
：不等式选讲
已知函数
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
的解集包含
，求
的取值范围。
【解析】（1）当
时，
或
或
或
（2）原命题
在
上恒成立
在
上恒成立
在
上恒成立
