文档文本内容
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4 页.满分150 分.考试用时120 分钟.考试结束后，务必
将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类
填写在答题卡上和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
3.第Ⅱ卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位
置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、
胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
锥体的体积公式：
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高.
如果事件
互斥，那么
；如果事件
独立，那么
.
第I 卷（共60 分）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
（1）若复数
满足
（为虚数单位），则
为
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知全集
，集合
，则
为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设
且
，则“函数
在
上是减函数 ”，是“函数
在
上是增函数”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）采用系统抽样方法从960 人中抽取32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，
960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32 人中，编号落入区
间
的人做问卷
，编号落入区间
的人做问卷
，其余的人做问卷
.则抽
到的人中，做问卷
的人数为
（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15
（5）已知变量
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）执行下面的程序图，如果输入
，那么输出的
的值
为
（A）2 （B）3
（C）4 （D）5
（7）若
，
，则sin
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）定义在
上的函数
满足
.当
时，
，
当
时，
。则
（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012
(9)函数
的图像大致为
（10）已知椭圆
的离心学率为
.双曲线
的渐近线与
椭圆
有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆
的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）现有16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张.从中任取3 张，要求这3
张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张.不同取法的种数为
（A）232 (B)252 (C)472 (D)484
(12)设函数
，若
的图象与
图
象有且仅有两个不同的公共点
,则下列判断正确的是
A.当
时，
B. 当
时，
C. 当
时，
D. 当
时，
第Ⅱ卷（共90 分）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分.
（13）若不等式
的解集为
，则实数
__________.
（14）如图，正方体
的棱长为1，
分别为线段
上的点，则三棱锥
的体积为____________.
（15）设
.若曲线
与直线
所围成封闭图形的面积为
，则
______.
（16）如图，在平面直角坐标系
中，一单位圆的圆心的初始位
置在
，此时圆上一点
的位置在
，圆在
轴上沿正向
滚动。当圆滚动到圆心位于
时，
的坐标为
______________.
三、解答题：本大题共6 小题，共74 分.
（17）（本小题满分12 分）
已知向量
，函数
的最大值
为6.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为
原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象.求
在
上的值域.
（18）（本小题满分12 分）
在如图所示的几何体中，四边形
是等腰梯形，
∥
，
平
面
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
（19）（本小题满分12 分）
先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为
，命中得1 分，没有命中得0
分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为
,每命中一次得2 分，没有命中得0 分.该射手每
次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分
的分布列及数学期望
.
（20）（本小题满分12 分）
在等差数列
中，
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）对任意
，将数列
中落入区间
内的项的个数记为
，求数列
的前
项和
.
（21）（本小题满分13 分）
在平面直角坐标系
中，
是抛物线
的焦点，
是抛物线
上位于
第一象限内的任意一点，过
三点的圆的圆心为
，点
到抛物线
的准线的距离
为
.
（Ⅰ）求抛物线
的方程；
（Ⅱ）是否存在点
，使得直线
与抛物线
相切于点
？若存在，求出点
的坐标；
若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点
的横坐标为
，直线
与抛物线
有两个不同的交点
，与
圆
有两个不同的交点
，求当
时，
的最小值.
22(本小题满分13 分)
已知函数
（
为常数，
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与
轴平行.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的单调区间；
（Ⅲ）设
, 其中
为
的导函数. 证明：对任意
.
