文档内容
专题 08 压轴大题：线段双中模型与数轴动点强化
练（八大类）
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、经典考点：线段双中模型—互不干涉和一半，水乳交融差不半。....................1
二、双中模型的两种情况：关键字眼—直线与线段。........................3
三、线段动点与新定义的融合：紧扣定义，仿照即可。......................6
四、压轴难点：动点与定值的存在性。...................................11
五、中点提升：线段的n等分—仿照中点，准确计算。.....................17
六、综合提升一：线段与数轴的融合。...................................19
七、数轴上的动点—距离与相遇类。.....................................26
八、超难考点：线段的比例关系。.......................................32
九、典例分析.........................................................37
【典例分析】
例1：如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
(1)如图1，若点P是线段AB的中点，且MP=5cm，则线段AB的长_____cm，线段
MN的长_____cm；
(2)如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB=12cm，求线段MN的长；
(3)若点P是直线AB上的任意一点，且AB=a，直接写出线段MN的长．
【答案】(1)20；10
(2)MN=6cm
1
(3)MN= a
2
【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∵MP=5cm，
∴AP=10cm，
∵P为AB的中点，
∴AB=2AP=20cm，AP=BP=10cm，1
∴PN= BP=5cm，
2
∴MN=MP+PN=10cm，
故答案为：20；10；
（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，
即AB=2MN，
∵AB=12cm，
∴MN=6cm；
1
（3）线段MN的长为：MN= a．
2
理由：①当点P在线段AB上时，由（3）得AB=2MN，
②当P点在线段AB延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP−BP=2MP−2PN=2MN，
即AB=2MN，
③当P点在线段BA延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴BP−AP=2PN−2MP=2MN，
即AB=2MN，
综上所述：点P是直线AB上的任意一点时，AB=2MN
∵AB=a，
1
∴MN= a．
2
例2：如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
试卷第2页，共40页(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB=α,∠BOC=60°(60°<α<120°)时，猜想∠MON与α的数量
关系，并说明理由；
(3)如图3，当∠AOB=α,∠BOC=β(α>β,α+β<180°)时，直接写出∠MON的值
为__________．
【答案】(1)45°
1
(2)∠MON= α，见解析
2
1
(3) α
2
【详解】（1）∵∠AOB=90°,∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC=75°,∠NOC= ∠BOC=30°，
2 2
∴∠MON=∠MOC−∠NOC=45°．
1
（2）解：∠MON= α，
2
理由：∵∠AOB=α,∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，
1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= α+30°,∠NOC= ∠BOC=30°，
2 2 2
(1 ) 1
∴∠MON=∠MOC−∠NOC= α+30° −30°= α．
2 2
1
（3）解： α．
2
∵∠AOB=α,∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
1 1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= (α+β),∠NOC= ∠BOC= β，
2 2 2 2
1 1
∴∠AON=∠AOC−∠NOC=α+β− β=α+ β，
2 2
1 1 1
∴∠MON=∠MOC−∠NOC= (α+β)− β= α，
2 2 2
1
即∠MON= α．
2
实战训练
一、经典考点：线段双中模型—互不干涉和一半，水乳交融差
不半。
1．如图，点C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点．
(1)若AB=13，CB=5，求MN的长度；
(2)若AB=a，CB=b，则MN的长度为 ．
【答案】(1)4
1 1
(2) a− b
2 2
【详解】（1）解：∵M是AB的中点，N是CB的中点，AB=13，CB=5，
1 1
∴BM= AB=6.5，BN= BC=2.5，
2 2
∴MN=BM−BN=6.5−2.5=4．
（2）∵M是AB的中点，N是CB的中点，AB=a，CB=b，
1 1 1 1
∴BM= AB= a，BN= BC= b，
2 2 2 2
1 1 1 1
∴MN= AB− BC= a− b．
2 2 2 2
1 1
故答案为： a− b．
2 2
1 1
2．如图，线段BD= AB= CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且
3 4
试卷第4页，共40页MN=20cm，求AC的长．
【答案】48cm
1 1
【详解】解：∵BD= AB= CD，
3 4
∴ AB=3BD，CD=4BD．
∵点M、N分别是线段AB、CD的中点，
1 3 1
AM=BM= AB= BD，DN=CN= CD=2BD．
2 2 2
∵BN=DN−BD=2BD−BD=BD，BC=CD−BD=4BD−BD=3BD，
3 5
∴MN=BM+BN= BD+BD= BD=20．
2 2
解得BD=8．
∴AC=AB+BC=3BD+3BD=6BD=48(cm)．
3．（1）如图1，已知线段AB的长为6cm，点P是线段AB上的任一点，且C、D分
别是PA、PB的中点，求线段CD的长．
（2）若点P在线段AB或线段BA的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是PA、
PB的中点，则线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等了吗？请分别就图2和
图3的情况进行说明．
【答案】（1）3cm；（2）相等，理由见解析
【详解】解：（1）∵C、D分别是PA、PB的中点，
1 1
∴PC= PA，PD= PB，
2 2
1 1 1 1
∴CD=PC+PD= PA+ PB= (PA+PB)= AB，
2 2 2 2
∵AB=6cm，
1
∴CD= ×6=3cm；
2（2）线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等，理由：
①当点P在线段AB的延长线上时，
∵C、D分别是PA、PB的中点，
1 1
∴PC= PA，PD= PB，
2 2
1 1 1 1
∴CD=PC−PD= PA− PB= (PA−PB)= AB，
2 2 2 2
∵AB=6cm，
1
∴CD= ×6=3cm，
2
②当点P在线段BA的延长线上时，
∵C、D分别是PA、PB的中点，
1 1
∴PC= PA，PD= PB，
2 2
1 1 1 1
∴CD=PD−PC= PB− PA= (PB−PA)= AB，
2 2 2 2
∵AB=6cm，
1
∴CD= ×6=3cm，
2
综上，线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等，均等于3cm．
1 1
4．已知，点B和点D是线段AC上的两点，且BD= AB= DC，E、F分别线段
3 4
AB、CD的中点，EF=10，求线段AB，CD的长．
【答案】AB=12；CD=16
1 1
【详解】解：由BD= AB= DC，得
3 4
AB=3BD，CD=4BD．
由线段的和差，得
AD=AB-BD=2BD，AC=AD+CD=2BD+4BD=6BD．
由线段AB、CD的中点E、F，得
试卷第6页，共40页1 3 1 4
AE= AB= BD,FC= CD= BD=2BD．
2 2 2 2
3
由线段的和差，得EF=AC-AE-FC=6BD- BD-2BD=10
2
解得 BD=4，
AB=3BD=3×4=12．
1 1
CD= AB×4＝ ×12×4＝16．
3 3
二、双中模型的两种情况：关键字眼—直线与线段。
5．已知点A，B，C在同一条直线上，点M、N分别是AB、AC的中点，如果
AB=10cm，AC=8cm，那么线段MN的长度为（ ）
A．6cm B．9cm C．3cm或6cm D．1cm或9cm
【答案】D
【详解】解：当点C在线段AB上，如图：
点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，
1 1
MA= AB=5cm，AN= AC=4cm，
2 2
MN=MA−AN=5−4=1cm；
当点C在线段AB的反向延长线上，如图：
点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，
1 1
MA= AB=5cm，AN= AC=4cm，
2 2
MN=MA+AN=5+4=9cm．
故选：D．
6．直线l上的线段AB、BC分别长4cm,8cm，M、N分别是AB,BC的中点，则
MN= cm．
【答案】2或6/6或2
【详解】解：①当点C在线段BA延长线上时，N与A点重合，
∵M、N分别是AB、BC的中点，线段AB、BC分别长4cm,8cm，1 1
∴AM= AB=2,BN= BC=4，
2 2
∴MN=BN−AM=4−2=2(cm)；
②当点C在线段AB延长线上时，
∵M、N分别是AB、BC的中点，线段AB、BC分别长4cm,8cm，
1 1
∴AM= AB=2,BN= BC=4，
2 2
∴MN=AM+BN=4+2=6(cm)，
∴.MN的值为2cm或6cm．
故答案为2或6．
7．点A，B，P在同一条直线上，AB=3BP，点C，D分别是AB，BP的中点．
若AB=12，则CD的长是 ．
【答案】4或8
【详解】解：当P在AB的延长线上时，如图，
∵AB=3BP，AB=12，
∴BP=4，
∵点C，D分别是AB，BP的中点，
1 1
∴BC= AB=6，BD= PB=2，
2 2
∴CD=BC+BD=6+2=8；
当P在线段AB上时，如图，
∵AB=3BP，AB=12，
∴BP=4，
∵点C，D分别是AB，BP的中点，
1 1
∴BC= AB=6，BD= PB=2，
2 2
∴CD=BC−BD=6−2=4；
故答案为：4或8．
8．已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8cm，D，E分别是AC，AB的中
点，则DE的长为 cm．
试卷第8页，共40页【答案】4
【详解】解：如图所示，
∵AC=12cm，CB=8cm，
∴AB=AC+BC=20cm，
∵D，E分别是AC，AB的中点，
1 1
∴AD= AC=6cm，AE= AB=10cm，
2 2
∴DE=AE−AD=4cm，
故答案为：4．
三、线段动点与新定义的融合：紧扣定义，仿照即可。
9．如图①，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB,AC和BC，若其中有一条线
段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
②若线段AB=m，C是线段AB的“巧点”，则BC=_________．（用含m的代数式表
示出所有可能的结果）
(2)如图②， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．动
点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每
秒3cm的速度沿BA向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运
动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的“巧点”．
2 1 1
【答案】(1)①是；② m或 m或 m
3 3 2
180 180
(2)15或 或
13 11
【详解】（1）解：① 根据题意得：这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，
∴一条线段的中点是这条线段的“巧点”；
故答案为：是
②线段AB=m，C是线段AB的“巧点”，
2 2
∴当BC=2AC时，BC= AB= m；
3 31 1
当AC=2BC时，BC= AB= m；
3 3
1 1
当AB=2AC=2BC时，BC= AB= m；
2 2
2 1 1
综上所述，BC= m或 m或 m；
3 3 2
2 1 1
故答案为： m或 m或 m
3 3 2
（2）解：∵点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20，
∴AB=60cm，
根据题意得：点P所对应的数为2t−40，点Q所对应的数为20−3t，
60
当t= =12时，点P，Q相遇，
2+3
根据题干信息：点Q恰好是线段AP的“巧点”
当故点P在点Q的左侧时，则点Q不在线段AP上，故舍去；
当点P在点Q的右侧时，AP=2tcm,AQ=(60−3t)cm，
PQ=2t−3t−60=(5t−60)cm，此时120)秒．
(1)与出数轴上点B表示的数_______；点P表示的数_______（用含t的式子表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速活动，若点P、Q
同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
(3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,Q同
时出发，问点P运动多少秒时追上Q？
(4)若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发
生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN．
【答案】(1)−12，8−5t
试卷第14页，共40页9 11
(2) 秒或 秒
4 4
(3)10秒
(4)线段MN的长度不发生变化，都等于10，见解析
【详解】（1）解：数轴上点B表示的数为8−20=−12；点P表示的数为8−5t；
故答案为：−12，8−5t；
（2）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．
9
根据题意，①点Q在P的左边时，3t+5t=20−2，解得：t= ，
4
11
②点Q在P的右边时，3t+5t=20+2，解得：t= ，
4
9 11
答：若点P、Q同时出发， 秒或 秒时P、Q之间的距离恰好等于2；
4 4
（3）设点P运动t秒时追上Q，
根据题意，AP−BQ=AB，则5t−3t=20，
解得t=10．
答：若点P、Q同时出发，点P运动10秒时追上Q；
（4）线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
1 1 1 1 1
MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB= ×20=10，
2 2 2 2 2
②当点P运动到点B的左侧时：
1 1 1 1 1
MN=MP−NP= AP− BP= (AP−BP)= AB= ×20=10，
2 2 2 2 2
所以线段MN的长度不发生变化，其值为10．
14．如图，已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在
D左侧），若|m−12|+(6−n) 2=0
(1)求线段AB，CD的长．
(2)若点M，N分别为线段AC，BD的中点，且BC=4，求线段MN的长；
(3)当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB延长线上任意一点，则PA+PB
是一个定值，请加以说明．
PC
【答案】(1)AB=12，CD=6
(2)MN=9
(3)见解析．
【详解】（1）解：∵|m−12|+(6−n) 2=0，|m−12|≥0，(6−n) 2≥0，
∴|m−12|=(6−n) 2=0，
∴m−12=0，6−n=0，
∴m=12，n=6，
∴AB=12，CD=6
（2）解：分两种情况讨论：
①当点C在点B右侧时，如图所示：
∵点M，N分别为线段AC，BD的中点，
1 1 1 1
∴AM= AC= (AB+BC)=8，DN= BD= (CD+BC)=5．
2 2 2 2
∴MN=AD−AM−DN=AB+BC+CD−AM−DN=9；
②当点C在点B左侧时，如图所示：
∵点M，N分别为线段AC，BD的中点，
1 1 1 1
∴MC= AC= (AB−BC)=4，BN= BD= (CD−BC)=1，
2 2 2 2
∴MN=MC+CB+BN=9；
综上所述，MN=9；
（3）解：定值为2，说明如下：
点D与点B重合，点P是线段AB延长线上任意一点，如图所示：
∴CD=CB=6，
∵AC=AB−BC=AB−DC=12−6=6，
∴AC=BC，
试卷第16页，共40页PA+PB (PC+AC)+(PC−BC) 2PC
∴ = = =2．
PC PC PC
15．线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且CD=2AB+3．
(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长．
(2)在（1）的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单
位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有BD=8，求t的值．
(3)在（1）的条件下，若线段AB和CD同时开始向左匀速运动，线段AB的速度为m个
单位/秒，线段CD的速度为n个单位/秒，设M为线段AC中点，N为线段BD中点，此
时线段MN的长为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由．
【答案】(1)43；
25 41
(2)t的值为 或 ；
2 2
23
(3)MN的长为定值，MN= ．
2
【详解】（1）∵CD=2AB+3，AB=10，
∴CD=20+3=23，
∵B为线段AC的中点
∵AB=CB=10，
∴AD=AB+BC+CD=10+10+23=43．
（2）由（1）可知，点B表示10，点D表示43，
经过t秒后点B表示10+5t，点D表示43+3t，
∴当BD=8时，(43+3t)−(10+5t)=8或者(10+5t)−(43+3t)=8
25 41
解得t= 或t= ，
2 2
25 41
即t的值为 或 ．
2 2
（3）由（1）可知，点A表示0，点B表示10，点C表示20，点D表示43，
经过t秒后，点A表示−mt，点B表示10−mt，点C表示20−nt，点D表示43−nt，
∵M为线段AC中点，N为线段BD中点，
1 1
∴点M表示 [−mt+(20−nt)]=10− (mt+nt)，
2 2
1 43 1
点N表示 [10−mt+(43−nt)]= − (mt+nt)，
2 2 2[43 1 ] [ 1 ] 43 23
∴MN= − (mt+nt) − 10− (mt+nt) = −10=
2 2 2 2 2
23
即：MN的长为定值，MN= ．
2
16．如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5
个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒，
(1)数轴上点P表示的数为 （用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，AP=2BP？
(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为
定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)9−5t.
(2)t=2或t=6
(3)答案见解析
【详解】（1）数轴上点A表示的数为9，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运
动，设运动时间为t(t>0)秒，
则数轴上点P表示的数为9−5t
故答案为：9−5t
（2）AP=5t，BP=|9−5t+6|=|15−5t|，
∵AP=2BP，∴5t=2×|15−5t|，∴5t=30−10t或5t=10t−30，
解得t=2或t=6，
∴当t=2或t=6时，AP=2BP；
（3）①当点P在A，B两点之间时，如图1所示.
1 1 1 1 15
MN=MP+NP= AP+ BP= AB= ×15= .
2 2 2 2 2
②当点P运动到点B的左侧时，如图2所示.
1 1 1 1 15
MN=MP−NP= AP− BP= AB= ×15= .
2 2 2 2 2
15
综上可知，当点P在运动过程中，线段MN的长度为定值 .
2
试卷第18页，共40页17．【概念与发现】
当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作
(AC)
d =n．
AB
1 (AC) 1
例如，点C是AB的中点时，即AC= AB，则d = ；
2 AB 2
(AC) 1 1
反之，当d = 时，则有AC= AB．
AB 2 2
(AC)
因此，我们可以这样理解：“d =n”与“AC=nAB”具有相同的含义．
AB
【理解与应用】
(AC)
(1)如图，点C在线段AB上．若AC=3，AB=4，则d =________；
AB
(AC) 2
若d = ，则AC=________AB．
AB 3
【拓展与延伸】
(2)已知线段AB=10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q
以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向
返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：
s）．(AP) (AQ)
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，m⋅d +d 的值是个
AB AB
定值，则m的值等于________；
(AQ) (AP) 1
②t为何值时，d −d = ．
AB AB 5
3 2
【答案】(1) ，
4 3
(2)①3；②2或6
【详解】（1）解：∵AC=3，AB=4，
3
∴AC= AB
4
(AC) 3
∴d = ，
AB 4
(AC) 2
∵d = ，
AB 3
2
∴AC= AB
3
（2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，
(AP) t (AQ) 10−3t
则d = ，d =
AB 10 AB 10
(AP) (AQ)
∵m⋅d +d 的值是个定值，
AB AB
t 10−3t 10+(m−3)t
∴m⋅ + = 的值是个定值，
10 10 10
∴m=3
②当点Q从点B向点A方向运动时，
(AQ) (AP) 1
∵d −d =
AB AB 5
10−3t t 1
∴ − =
10 10 5
∴t=2
当点Q从点A向点B方向运动时，
试卷第20页，共40页(AQ) (AP) 1
∵d −d =
AB AB 5
3t-10 t 1
∴ − =
10 10 5
∴t=6
∴t的值为2或6
五、中点提升：线段的n等分—仿照中点，准确计算。
18．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求
MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN=______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的
条件一般化，并开始深入探究．
设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，
请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．
1 1
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM= AC，BN= BC，求MN
3 3
的长．
1 1
③若M，N分别是AC，BC的n(n≥2)等分点，即AM= AC，BN= BC，则
n n
MN=______．
【答案】(1)3
1 2 n−1
(2)① a；② a；③ a
2 3 n
【详解】（1）解：∵AB=6，AC=2，
∴BC=AB−AC=4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
1 1
∴CM= AC=1，CN= BC=2，
2 2∴MN=CM+CN=3；
故答案为：3；
（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，
1 1
∴CM= AC，CN= BC，
2 2
1 1 1
∴MN= AC+ BC= AB，
2 2 2
∵AB=a，
1
∴MN= a；
2
1
故答案为： a；
2
1 1
②∵AM= AC，BN= BC，
3 3
2 2
∴CM= AC，CN= BC，
3 3
2 2 2
∴MN=CM+CN= AC+ BC= AB，
3 3 3
∵AB=a，
2
∴MN= a；
3
1 1
③∵AM= AC，BN= BC，
n n
n−1 n−1
∴CM= AC，CN= BC，
n n
n−1 n−1 n−1
∴MN=CM+CN= AC+ BC= AB，
n n n
∵AB=a，
n−1
∴MN= a，
n
n−1
故答案为： a．
n
19．根据题意，填空完善解答过程：已知，线段AB=18，C是直线AB上的一点，
M，N分别是线段AC，BC的三等分点，且AM=2CM，BN=2CN．
(1)如图1，当点C在线段AB上时，求MN的长；
(2)如图2，当点C在AB延长线上时，求MN的长；
试卷第22页，共40页(3)当点C在BA延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求MN的长．
【答案】(1)6
(2)6
(3)见解析，6
【详解】（1）解：∵AM=2CM，BN=2CN，
1 1 2 2
∴CM= AC，CN= CB，AM= AC，BN= CB，
3 3 3 3
1 1 1
如图1：当点C在线段AB上时，MN=MC+NC= AC+ BC= AB=6．
3 3 3
（2）解： 如图2：当点C在AB延长线上时，
1 1 1
MN=MC−NC= AC− BC= AB=6．
3 3 3
（3）解：如图：
1 1 1
当点C在BA延长线上时，MN=NC−MC= BC− AC= AB=6．
3 3 3
20．如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，AD=8，BD=2．
(1)求线段AC的长；
(2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长．
【答案】(1)AC=4；
(2)线段DE的长为6或4
【详解】（1）解：∵点B是线段CD的中点，
∴CD=2BD=4，
∴AC=AD−CD=8−4=4；
（2）解：∵AD=8，BD=2，
∴AB=6．
∵点E是线段AB的三等分点，
1 2
∴AE= AB=2或AE= AB=4，
3 3
∴DE=AD−AE=8−2=6或DE=AD−AE=8−4=4
∴线段DE的长为6或4．
六、综合提升一：线段与数轴的融合。21．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC
向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿
C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的
时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长
度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3.5
14
(2)t为2或 时，点C为线段PQ的中点
3
(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析
【详解】（1）解：当t=1时，AP=0.5×1=0.5cm，CQ=1×1=1cm，
∵AB=5cm，AC:CB=3:2，
3
∴AC= AB=3cm，
5
∴PQ=AC+CQ−AP=3+1−0.5=3.5cm．
故答案为：3.5．
（2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
3
∴0≤t≤ =6．
0.5
∵AB=5cm，AC:CB=3:2，
2
∴BC= AB=2cm．
5
2
①当Q由C往B第一次运动时，即0≤t≤ =2时，
1
此时AP=0.5tcm，CQ=tcm，
∴CP=AC−AP=(3−0.5t)cm，
∵点C为线段PQ的中点，
∴CP=CQ，即3−0.5t=t，
解得：t=2；
4
②当Q由B往C点第一次返回时，即28=BC（不合题意，舍去），
3 3 3 3
32 16
∴CD=DE−CE=16− = ，
3 3
16 32
∴AD=AC−CD=16− = ；
3 3
（2）解：①当点E在线段BC上，如图，
设BC=x，CE= y，则AC=2BC=2x，
∴AB=3x，
∵AB=2DE，
∴DE=1．5x，
∴AE=2x+ y，BE=x−y，
∴AD=AE−DE=2x+ y−1.5x=0.5x+ y，
AD+EC 3
∵ = ，
BE 2
0.5x+ y+ y 3
∴ = ，
x−y 2
2 2 17
∴y= x，CD=1.5x− x= x，
7 7 14
17
x
∴CD 14 17；
= =
AB 3x 42
如图：当点E在线段AC上时，
设BC=x>0，CE= y>0，则AC=2BC=2x，
∴AB=3x，
∵AB=2DE，∴DE=1．5x，
∴AE=2x−y，BE=x+ y，
∴AD=AC−DE−EC=2x−1.5x−y=0.5x−y，
AD+EC 3
∵ = ，
BE 2
0.5x−y+ y 3
∴ = ，
x+ y 2
3
∴y=− x<0不符题意，
2
∴点E不可能在线段AC上．
CD 17
综上所述 的值为 ．
AB 42
32．已知式子M=(a−16)x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系
数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、
m+n
c，c=−8，规定：数轴上表示数m和n的两个点为端点的线段中点的数为 ．
2
(1)a=________；b=________．
(2)若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长
度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为
BP−AQ
线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，求 的值．
EF
(3)点P、Q分别自C、B同时出发，点P以每秒6个单位长度向右运动，点Q以每秒2
个单位长度向左运动，运动的时间为t秒，若满足PQ−PA=OQ，求此时的时间t值．
【答案】(1)16，20
(2)2
(3)6
【详解】（1）式子M=(a−16)x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项
的系数为b，
所以a−16=0,b=20
解得a=16,b=20．
故答案为：16，20．
试卷第40页，共40页（2）因为点A、B、C分别表示数16，20，-8，点E为线段AP的中点，点F为线段
BQ的中点，
设运动时间为t，则点P表示的数为2t−8，点Q表示的数为3t，点E表示的数为
16+2t−8 20+3t
=t+4，点F表示的数为 ，BP=20−(2t−8)=28−2t，
2 2
AQ=16−3t
20+3t t+12
EF= −(t+4)= ，
2 2
BP−AQ 28−2t−(16−3t) 2
= =(t+12)× =2
所以 EF t+12 (t+12) ．
2
（3）设运动时间为t，则点P表示的数为6t−8，点Q表示的数为20−2t，
BC=20−(−8)=28，OQ=20−2t，
当两点相遇时间为6t+2t=28，
7
解得t= ，
2
当P运动到点A时，6t=16−(−8)=24，
解得t=4，
7
当0≤t＜ 时，PQ=20−2t−(6t−8)=28−8t，PA=16−(6t−8)=24−6t，
2
OQ=20−2t
因为PQ−PA=OQ,
所以28−8t−(24−6t)=4−2t，
所以4−2t=20−2t，
不可能；
7 7
当t= 时，PQ=0，PA=16−(6t−8)=24−6t=24−6× =3，OQ=20−2t=13，
2 2
所以PQ−PA=OQ不成立
不可能；
7
当 ＜t＜4时，PQ=6t−8−(20−2t)=8t−28，PA=16−(6t−8)=24−6t，
2
OQ=20−2t
因为PQ−PA=OQ,
所以8t−28−(24−6t)=20−2t，
9
解得t= ，
2不可能；
当t＞4时，PQ=6t−8−(20−2t)=8t−28，PA=6t−8−16=6t−24，
OQ=20−2t
因为PQ−PA=OQ,
所以8t−28−(6t−24)=20−2t，
解得t=6，
综上所述，此时的时间t为6．
试卷第42页，共40页
