专题 08 压轴大题：线段双中模型与数轴动点强化
练（八大类）
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、经典考点：线段双中模型—互不干涉和一半，水乳交融差不半。....................1
二、双中模型的两种情况：关键字眼—直线与线段。........................3
三、线段动点与新定义的融合：紧扣定义，仿照即可。......................6
四、压轴难点：动点与定值的存在性。...................................11
五、中点提升：线段的n等分—仿照中点，准确计算。.....................17
六、综合提升一：线段与数轴的融合。...................................19
七、数轴上的动点—距离与相遇类。.....................................26
八、超难考点：线段的比例关系。.......................................32
九、典例分析.........................................................37
【典例分析】
例1：如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
(1)如图1，若点P是线段AB的中点，且MP=5cm，则线段AB的长_____cm，线段
MN的长_____cm；
(2)如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB=12cm，求线段MN的长；
(3)若点P是直线AB上的任意一点，且AB=a，直接写出线段MN的长．
【答案】(1)20；10
(2)MN=6cm
1
(3)MN= a
2
【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∵MP=5cm，
∴AP=10cm，
∵P为AB的中点，
∴AB=2AP=20cm，AP=BP=10cm，1
∴PN= BP=5cm，
2
∴MN=MP+PN=10cm，
故答案为：20；10；
（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，
即AB=2MN，
∵AB=12cm，
∴MN=6cm；
1
（3）线段MN的长为：MN= a．
2
理由：①当点P在线段AB上时，由（3）得AB=2MN，
②当P点在线段AB延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP−BP=2MP−2PN=2MN，
即AB=2MN，
③当P点在线段BA延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴BP−AP=2PN−2MP=2MN，
即AB=2MN，
综上所述：点P是直线AB上的任意一点时，AB=2MN
∵AB=a，
1
∴MN= a．
2
例2：如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
试卷第2页，共40页(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB=α,∠BOC=60°(60°<α<120°)时，猜想∠MON与α的数量
关系，并说明理由；
(3)如图3，当∠AOB=α,∠BOC=β(α>β,α+β<180°)时，直接写出∠MON的值
为__________．
【答案】(1)45°
1
(2)∠MON= α，见解析
2
1
(3) α
2
【详解】（1）∵∠AOB=90°,∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC=75°,∠NOC= ∠BOC=30°，
2 2
∴∠MON=∠MOC−∠NOC=45°．
1
（2）解：∠MON= α，
2
理由：∵∠AOB=α,∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，
1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= α+30°,∠NOC= ∠BOC=30°，
2 2 2
(1 ) 1
∴∠MON=∠MOC−∠NOC= α+30° −30°= α．
2 2
1
（3）解： α．
2
∵∠AOB=α,∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
1 1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= (α+β),∠NOC= ∠BOC= β，
2 2 2 2
1 1
∴∠AON=∠AOC−∠NOC=α+β− β=α+ β，
2 2
1 1 1
∴∠MON=∠MOC−∠NOC= (α+β)− β= α，
2 2 2
1
即∠MON= α．
2
实战训练
一、经典考点：线段双中模型—互不干涉和一半，水乳交融差
不半。
1．如图，点C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点．
(1)若AB=13，CB=5，求MN的长度；
(2)若AB=a，CB=b，则MN的长度为 ．
【答案】(1)4
1 1
(2) a− b
2 2
【详解】（1）解：∵M是AB的中点，N是CB的中点，AB=13，CB=5，
1 1
∴BM= AB=6.5，BN= BC=2.5，
2 2
∴MN=BM−BN=6.5−2.5=4．
（2）∵M是AB的中点，N是CB的中点，AB=a，CB=b，
1 1 1 1
∴BM= AB= a，BN= BC= b，
2 2 2 2
1 1 1 1
∴MN= AB− BC= a− b．
2 2 2 2
1 1
故答案为： a− b．
2 2
1 1
2．如图，线段BD= AB= CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且
3 4
试卷第4页，共40页MN=20cm，求AC的长．
【答案】48cm
1 1
【详解】解：∵BD= AB= CD，
3 4
∴ AB=3BD，CD=4BD．
∵点M、N分别是线段AB、CD的中点，
1 3 1
AM=BM= AB= BD，DN=CN= CD=2BD．
2 2 2
∵BN=DN−BD=2BD−BD=BD，BC=CD−BD=4BD−BD=3BD，
3 5
∴MN=BM+BN= BD+BD= BD=20．
2 2
解得BD=8．
∴AC=AB+BC=3BD+3BD=6BD=48(cm)．
3．（1）如图1，已知线段AB的长为6cm，点P是线段AB上的任一点，且C、D分
别是PA、PB的中点，求线段CD的长．
（2）若点P在线段AB或线段BA的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是PA、
PB的中点，则线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等了吗？请分别就图2和
图3的情况进行说明．
【答案】（1）3cm；（2）相等，理由见解析
【详解】解：（1）∵C、D分别是PA、PB的中点，
1 1
∴PC= PA，PD= PB，
2 2
1 1 1 1
∴CD=PC+PD= PA+ PB= (PA+PB)= AB，
2 2 2 2
∵AB=6cm，
1
∴CD= ×6=3cm；
2（2）线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等，理由：
①当点P在线段AB的延长线上时，
∵C、D分别是PA、PB的中点，
1 1
∴PC= PA，PD= PB，
2 2
1 1 1 1
∴CD=PC−PD= PA− PB= (PA−PB)= AB，
2 2 2 2
∵AB=6cm，
1
∴CD= ×6=3cm，
2
②当点P在线段BA的延长线上时，
∵C、D分别是PA、PB的中点，
1 1
∴PC= PA，PD= PB，
2 2
1 1 1 1
∴CD=PD−PC= PB− PA= (PB−PA)= AB，
2 2 2 2
∵AB=6cm，
1
∴CD= ×6=3cm，
2
综上，线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等，均等于3cm．
1 1
4．已知，点B和点D是线段AC上的两点，且BD= AB= DC，E、F分别线段
3 4
AB、CD的中点，EF=10，求线段AB，CD的长．
【答案】AB=12；CD=16
1 1
【详解】解：由BD= AB= DC，得
3 4
AB=3BD，CD=4BD．
由线段的和差，得
AD=AB-BD=2BD，AC=AD+CD=2BD+4BD=6BD．
由线段AB、CD的中点E、F，得
试卷第6页，共40页1 3 1 4
AE= AB= BD,FC= CD= BD=2BD．
2 2 2 2
3
由线段的和差，得EF=AC-AE-FC=6BD- BD-2BD=10
2
解得 BD=4，
AB=3BD=3×4=12．
1 1
CD= AB×4＝ ×12×4＝16．
3 3
二、双中模型的两种情况：关键字眼—直线与线段。
5．已知点A，B，C在同一条直线上，点M、N分别是AB、AC的中点，如果
AB=10cm，AC=8cm，那么线段MN的长度为（ ）
A．6cm B．9cm C．3cm或6cm D．1cm或9cm
【答案】D
【详解】解：当点C在线段AB上，如图：
点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，
1 1
MA= AB=5cm，AN= AC=4cm，
2 2
MN=MA−AN=5−4=1cm；
当点C在线段AB的反向延长线上，如图：
点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，
1 1
MA= AB=5cm，AN= AC=4cm，
2 2
MN=MA+AN=5+4=9cm．
故选：D．
6．直线l上的线段AB、BC分别长4cm,8cm，M、N分别是AB,BC的中点，则
MN= cm．
【答案】2或6/6或2
【详解】解：①当点C在线段BA延长线上时，N与A点重合，
∵M、N分别是AB、BC的中点，线段AB、BC分别长4cm,8cm，1 1
∴AM= AB=2,BN= BC=4，
2 2
∴MN=BN−AM=4−2=2(cm)；
②当点C在线段AB延长线上时，
∵M、N分别是AB、BC的中点，线段AB、BC分别长4cm,8cm，
1 1
∴AM= AB=2,BN= BC=4，
2 2
∴MN=AM+BN=4+2=6(cm)，
∴.MN的值为2cm或6cm．
故答案为2或6．
7．点A，B，P在同一条直线上，AB=3BP，点C，D分别是AB，BP的中点．
若AB=12，则CD的长是 ．
【答案】4或8
【详解】解：当P在AB的延长线上时，如图，
∵AB=3BP，AB=12，
∴BP=4，
∵点C，D分别是AB，BP的中点，
1 1
∴BC= AB=6，BD= PB=2，
2 2
∴CD=BC+BD=6+2=8；
当P在线段AB上时，如图，
∵AB=3BP，AB=12，
∴BP=4，
∵点C，D分别是AB，BP的中点，
1 1
∴BC= AB=6，BD= PB=2，
2 2
∴CD=BC−BD=6−2=4；
故答案为：4或8．
8．已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8cm，D，E分别是AC，AB的中
点，则DE的长为 cm．
试卷第8页，共40页【答案】4
【详解】解：如图所示，
∵AC=12cm，CB=8cm，
∴AB=AC+BC=20cm，
∵D，E分别是AC，AB的中点，
1 1
∴AD= AC=6cm，AE= AB=10cm，
2 2
∴DE=AE−AD=4cm，
故答案为：4．
三、线段动点与新定义的融合：紧扣定义，仿照即可。
9．如图①，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB,AC和BC，若其中有一条线
段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
②若线段AB=m，C是线段AB的“巧点”，则BC=_________．（用含m的代数式表
示出所有可能的结果）
(2)如图②， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．动
点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每
秒3cm的速度沿BA向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运
动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的“巧点”．
2 1 1
【答案】(1)①是；② m或 m或 m
3 3 2
180 180
(2)15或 或
13 11
【详解】（1）解：① 根据题意得：这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，
∴一条线段的中点是这条线段的“巧点”；
故答案为：是
②线段AB=m，C是线段AB的“巧点”，
2 2
∴当BC=2AC时，BC= AB= m；
3 31 1
当AC=2BC时，BC= AB= m；
3 3
1 1
当AB=2AC=2BC时，BC= AB= m；
2 2
2 1 1
综上所述，BC= m或 m或 m；
3 3 2
2 1 1
故答案为： m或 m或 m
3 3 2
（2）解：∵点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20，
∴AB=60cm，
根据题意得：点P所对应的数为2t−40，点Q所对应的数为20−3t，
60
当t= =12时，点P，Q相遇，
2+3
根据题干信息：点Q恰好是线段AP的“巧点”
当故点P在点Q的左侧时，则点Q不在线段AP上，故舍去；
当点P在点Q的右侧时，AP=2tcm,AQ=(60−3t)cm，
PQ=2t−3t−60=(5t−60)cm，此时12<t≤20，
若AP=2PQ=2AQ，则有60−3t=5t−60，解得：t=15；
180
若AQ=2PQ，则有60−3t=2(5t−60)，解得：t= ；
13
180
若PQ=2AQ，则有2(60−3t)=5t−60，解得：t= ；
11
180 180
综上所述，当t为15或 或 时，点Q恰好是线段AP的“巧点”．
13 11
10．如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的
长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是−20和40，点C是线段AB
的巧点，求点C在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点
试卷第10页，共40页B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当
其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另
外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间t(s)的所有可能值．
【答案】(1)是
(2)10或0或20
15 60 90 45
(3)t= ；t=6；t= ；t=12；t= ；t=
2 7 7 4
【详解】（1）∵原线段是中点分成的短线段的2倍，
∴线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20,BC=40−x,AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC时，有60=2(x+20)，解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40−x=2(x+20)，解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2(40−x)，解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得AP=2t,AQ=60−4t,PQ=¿，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
15
①当AQ=2AP时，60−4t=2×2t，解得，t= ，
2
②当PQ=2AP时，60−6t=2×2t，解得，t=6；
60
③当AP=2PQ时，2t=2(60−6t)，解得，t= ；
7
15 60
综上，运动时间t(s)的所有可能值有t= ；t=6；t= ；
2 7
（ii）、若10<t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×(60−4t)，解得，t=12；
90
②当PQ=2AQ时，6t−60=2×(60−4t)，解得，t= ；
7
45
③当AQ=2PQ时，60−4t=2(6t−60)，解得，t= ．
4
90 45
综上，运动时间t(s)的所有可能值有：t=12；t= ；t= ．
7 4
15 60 90 45
故，运动时间t(s)的所有可能值有：t= ;t=6;t= ;t=12;t= ;t= ．
2 7 7 4
11．已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2．(1)求线段AC，CB的长；
(2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm．
①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长；
②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为
“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值．
【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm；
1
(2)①当点P在线段AC上时，PC=（9-m）cm，MC=（9- m）cm；当点P在线段BC
2
1
上时，PC=（m-9）cm，MC=（9- m）cm；
2
②m的值为6或12．
【详解】（1）解：∵线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2，
3 2
∴AC=15× =9cm，CB=15× =6cm；
5 5
（2）解：①当点P在线段AC上时，
PC=AC-AP=（9-m）cm，
1 1
MC=AC-AM=AC- AP=（9- m）cm；
2 2
当点P在线段BC上时，
PC=AP-AC=（m-9）cm，
1
MC=AC-AM=（9- m）cm；
2
②当点P在线段AC上时，
则MP=PC，
1
∴ m＝9−m，
2
解得：m=6，
当点P在线段BC上时，
则MC=PC，
1
∴9− m＝m−9，
2
解得：m=12，
综上：m的值为6或12．
12．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，
试卷第12页，共40页我们就称点C是[A,B]的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离
是2，到点B的距离是1，那么点C是[A,B]的美好点；又如，表示0的点D到点A的
距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是[A,B]的美好点，但点D是[B,A]的美
好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为−7，点N所表示的数为2．
(1)点E，F，G表示的数分别是−3，6.5，11，其中是[M,N]美好点的是________；写
出[N,M]美好点H所表示的数是___________．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何
值时，点P恰好为M和N的美好点？
【答案】(1)G，−4或−16
(2)1.5或3或9
【详解】（1）解：根据题意得∶EM=(−3)−(−7)=4,EN=2−(−3)=5，
此时EM≠2EN，故点E不是[M,N]美好点；
FM=6.5−(−7)=13.5,FN=6.5−2=4.5，
此时FM≠2FN，故点F不是[M,N]美好点；
GM=11−(−7)=18,GN=11−2=9，
此时GM=2GN，故点G是[M,N]美好点；
故答案是：G．
设点H所表示的数是x，则HM=|x+7|,HN=|x−2|，
∵点H为[N,M]美好点，
∴HN=2HM，
∴|x−2|=2|x+7|，
解得：x=−4或−16；
故答案是：−4或−16．
（2）解：第一情况：当P为[M,N]的美好点，点P在M，N之间，如图1，
∵MP=2PN，MN=2−(−7)=9，∴PN=3，
3
∴t= =1.5秒；
2
第二种情况，当P为[N,M]的美好点，点P在M，N之间，如图2，
∵2PM=PN，MN=2−(−7)=9，
∴PN=6，
6
∴t= =3秒；
2
第三种情况，P为[N,M]的美好点，点P在M左侧，如图3，
∵PN=2PM=2MN，MN=2−(−7)=9，
∴PN=18，
18
∴t= =9秒；
2
综上所述，t的值为：1.5或3或9．
四、压轴难点：动点与定值的存在性。
13．如图，已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，
动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
t(t>0)秒．
(1)与出数轴上点B表示的数_______；点P表示的数_______（用含t的式子表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速活动，若点P、Q
同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
(3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,Q同
时出发，问点P运动多少秒时追上Q？
(4)若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发
生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN．
【答案】(1)−12，8−5t
试卷第14页，共40页9 11
(2) 秒或 秒
4 4
(3)10秒
(4)线段MN的长度不发生变化，都等于10，见解析
【详解】（1）解：数轴上点B表示的数为8−20=−12；点P表示的数为8−5t；
故答案为：−12，8−5t；
（2）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．
9
根据题意，①点Q在P的左边时，3t+5t=20−2，解得：t= ，
4
11
②点Q在P的右边时，3t+5t=20+2，解得：t= ，
4
9 11
答：若点P、Q同时出发， 秒或 秒时P、Q之间的距离恰好等于2；
4 4
（3）设点P运动t秒时追上Q，
根据题意，AP−BQ=AB，则5t−3t=20，
解得t=10．
答：若点P、Q同时出发，点P运动10秒时追上Q；
（4）线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
1 1 1 1 1
MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB= ×20=10，
2 2 2 2 2
②当点P运动到点B的左侧时：
1 1 1 1 1
MN=MP−NP= AP− BP= (AP−BP)= AB= ×20=10，
2 2 2 2 2
所以线段MN的长度不发生变化，其值为10．
14．如图，已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在
D左侧），若|m−12|+(6−n) 2=0
(1)求线段AB，CD的长．
(2)若点M，N分别为线段AC，BD的中点，且BC=4，求线段MN的长；
(3)当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB延长线上任意一点，则PA+PB
是一个定值，请加以说明．
PC
【答案】(1)AB=12，CD=6
(2)MN=9
(3)见解析．
【详解】（1）解：∵|m−12|+(6−n) 2=0，|m−12|≥0，(6−n) 2≥0，
∴|m−12|=(6−n) 2=0，
∴m−12=0，6−n=0，
∴m=12，n=6，
∴AB=12，CD=6
（2）解：分两种情况讨论：
①当点C在点B右侧时，如图所示：
∵点M，N分别为线段AC，BD的中点，
1 1 1 1
∴AM= AC= (AB+BC)=8，DN= BD= (CD+BC)=5．
2 2 2 2
∴MN=AD−AM−DN=AB+BC+CD−AM−DN=9；
②当点C在点B左侧时，如图所示：
∵点M，N分别为线段AC，BD的中点，
1 1 1 1
∴MC= AC= (AB−BC)=4，BN= BD= (CD−BC)=1，
2 2 2 2
∴MN=MC+CB+BN=9；
综上所述，MN=9；
（3）解：定值为2，说明如下：
点D与点B重合，点P是线段AB延长线上任意一点，如图所示：
∴CD=CB=6，
∵AC=AB−BC=AB−DC=12−6=6，
∴AC=BC，
试卷第16页，共40页PA+PB (PC+AC)+(PC−BC) 2PC
∴ = = =2．
PC PC PC
15．线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且CD=2AB+3．
(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长．
(2)在（1）的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单
位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有BD=8，求t的值．
(3)在（1）的条件下，若线段AB和CD同时开始向左匀速运动，线段AB的速度为m个
单位/秒，线段CD的速度为n个单位/秒，设M为线段AC中点，N为线段BD中点，此
时线段MN的长为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由．
【答案】(1)43；
25 41
(2)t的值为 或 ；
2 2
23
(3)MN的长为定值，MN= ．
2
【详解】（1）∵CD=2AB+3，AB=10，
∴CD=20+3=23，
∵B为线段AC的中点
∵AB=CB=10，
∴AD=AB+BC+CD=10+10+23=43．
（2）由（1）可知，点B表示10，点D表示43，
经过t秒后点B表示10+5t，点D表示43+3t，
∴当BD=8时，(43+3t)−(10+5t)=8或者(10+5t)−(43+3t)=8
25 41
解得t= 或t= ，
2 2
25 41
即t的值为 或 ．
2 2
（3）由（1）可知，点A表示0，点B表示10，点C表示20，点D表示43，
经过t秒后，点A表示−mt，点B表示10−mt，点C表示20−nt，点D表示43−nt，
∵M为线段AC中点，N为线段BD中点，
1 1
∴点M表示 [−mt+(20−nt)]=10− (mt+nt)，
2 2
1 43 1
点N表示 [10−mt+(43−nt)]= − (mt+nt)，
2 2 2[43 1 ] [ 1 ] 43 23
∴MN= − (mt+nt) − 10− (mt+nt) = −10=
2 2 2 2 2
23
即：MN的长为定值，MN= ．
2
16．如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5
个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒，
(1)数轴上点P表示的数为 （用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，AP=2BP？
(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为
定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)9−5t.
(2)t=2或t=6
(3)答案见解析
【详解】（1）数轴上点A表示的数为9，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运
动，设运动时间为t(t>0)秒，
则数轴上点P表示的数为9−5t
故答案为：9−5t
（2）AP=5t，BP=|9−5t+6|=|15−5t|，
∵AP=2BP，∴5t=2×|15−5t|，∴5t=30−10t或5t=10t−30，
解得t=2或t=6，
∴当t=2或t=6时，AP=2BP；
（3）①当点P在A，B两点之间时，如图1所示.
1 1 1 1 15
MN=MP+NP= AP+ BP= AB= ×15= .
2 2 2 2 2
②当点P运动到点B的左侧时，如图2所示.
1 1 1 1 15
MN=MP−NP= AP− BP= AB= ×15= .
2 2 2 2 2
15
综上可知，当点P在运动过程中，线段MN的长度为定值 .
2
试卷第18页，共40页17．【概念与发现】
当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作
(AC)
d =n．
AB
1 (AC) 1
例如，点C是AB的中点时，即AC= AB，则d = ；
2 AB 2
(AC) 1 1
反之，当d = 时，则有AC= AB．
AB 2 2
(AC)
因此，我们可以这样理解：“d =n”与“AC=nAB”具有相同的含义．
AB
【理解与应用】
(AC)
(1)如图，点C在线段AB上．若AC=3，AB=4，则d =________；
AB
(AC) 2
若d = ，则AC=________AB．
AB 3
【拓展与延伸】
(2)已知线段AB=10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q
以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向
返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：
s）．(AP) (AQ)
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，m⋅d +d 的值是个
AB AB
定值，则m的值等于________；
(AQ) (AP) 1
②t为何值时，d −d = ．
AB AB 5
3 2
【答案】(1) ，
4 3
(2)①3；②2或6
【详解】（1）解：∵AC=3，AB=4，
3
∴AC= AB
4
(AC) 3
∴d = ，
AB 4
(AC) 2
∵d = ，
AB 3
2
∴AC= AB
3
（2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，
(AP) t (AQ) 10−3t
则d = ，d =
AB 10 AB 10
(AP) (AQ)
∵m⋅d +d 的值是个定值，
AB AB
t 10−3t 10+(m−3)t
∴m⋅ + = 的值是个定值，
10 10 10
∴m=3
②当点Q从点B向点A方向运动时，
(AQ) (AP) 1
∵d −d =
AB AB 5
10−3t t 1
∴ − =
10 10 5
∴t=2
当点Q从点A向点B方向运动时，
试卷第20页，共40页(AQ) (AP) 1
∵d −d =
AB AB 5
3t-10 t 1
∴ − =
10 10 5
∴t=6
∴t的值为2或6
五、中点提升：线段的n等分—仿照中点，准确计算。
18．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求
MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN=______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的
条件一般化，并开始深入探究．
设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，
请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．
1 1
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM= AC，BN= BC，求MN
3 3
的长．
1 1
③若M，N分别是AC，BC的n(n≥2)等分点，即AM= AC，BN= BC，则
n n
MN=______．
【答案】(1)3
1 2 n−1
(2)① a；② a；③ a
2 3 n
【详解】（1）解：∵AB=6，AC=2，
∴BC=AB−AC=4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
1 1
∴CM= AC=1，CN= BC=2，
2 2∴MN=CM+CN=3；
故答案为：3；
（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，
1 1
∴CM= AC，CN= BC，
2 2
1 1 1
∴MN= AC+ BC= AB，
2 2 2
∵AB=a，
1
∴MN= a；
2
1
故答案为： a；
2
1 1
②∵AM= AC，BN= BC，
3 3
2 2
∴CM= AC，CN= BC，
3 3
2 2 2
∴MN=CM+CN= AC+ BC= AB，
3 3 3
∵AB=a，
2
∴MN= a；
3
1 1
③∵AM= AC，BN= BC，
n n
n−1 n−1
∴CM= AC，CN= BC，
n n
n−1 n−1 n−1
∴MN=CM+CN= AC+ BC= AB，
n n n
∵AB=a，
n−1
∴MN= a，
n
n−1
故答案为： a．
n
19．根据题意，填空完善解答过程：已知，线段AB=18，C是直线AB上的一点，
M，N分别是线段AC，BC的三等分点，且AM=2CM，BN=2CN．
(1)如图1，当点C在线段AB上时，求MN的长；
(2)如图2，当点C在AB延长线上时，求MN的长；
试卷第22页，共40页(3)当点C在BA延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求MN的长．
【答案】(1)6
(2)6
(3)见解析，6
【详解】（1）解：∵AM=2CM，BN=2CN，
1 1 2 2
∴CM= AC，CN= CB，AM= AC，BN= CB，
3 3 3 3
1 1 1
如图1：当点C在线段AB上时，MN=MC+NC= AC+ BC= AB=6．
3 3 3
（2）解： 如图2：当点C在AB延长线上时，
1 1 1
MN=MC−NC= AC− BC= AB=6．
3 3 3
（3）解：如图：
1 1 1
当点C在BA延长线上时，MN=NC−MC= BC− AC= AB=6．
3 3 3
20．如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，AD=8，BD=2．
(1)求线段AC的长；
(2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长．
【答案】(1)AC=4；
(2)线段DE的长为6或4
【详解】（1）解：∵点B是线段CD的中点，
∴CD=2BD=4，
∴AC=AD−CD=8−4=4；
（2）解：∵AD=8，BD=2，
∴AB=6．
∵点E是线段AB的三等分点，
1 2
∴AE= AB=2或AE= AB=4，
3 3
∴DE=AD−AE=8−2=6或DE=AD−AE=8−4=4
∴线段DE的长为6或4．
六、综合提升一：线段与数轴的融合。21．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC
向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿
C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的
时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长
度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3.5
14
(2)t为2或 时，点C为线段PQ的中点
3
(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析
【详解】（1）解：当t=1时，AP=0.5×1=0.5cm，CQ=1×1=1cm，
∵AB=5cm，AC:CB=3:2，
3
∴AC= AB=3cm，
5
∴PQ=AC+CQ−AP=3+1−0.5=3.5cm．
故答案为：3.5．
（2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
3
∴0≤t≤ =6．
0.5
∵AB=5cm，AC:CB=3:2，
2
∴BC= AB=2cm．
5
2
①当Q由C往B第一次运动时，即0≤t≤ =2时，
1
此时AP=0.5tcm，CQ=tcm，
∴CP=AC−AP=(3−0.5t)cm，
∵点C为线段PQ的中点，
∴CP=CQ，即3−0.5t=t，
解得：t=2；
4
②当Q由B往C点第一次返回时，即2<t≤ =4时，
1
试卷第24页，共40页此时CP=(3−0.5t)cm，CQ=(4−t)cm，
∴3−0.5t=4−t，
解得：t=2，不符合题意舍；
③当Q由C往B第二次运动时，即4<t≤6时，
此时CP=(3−0.5t)cm，CQ=(t−4)cm，
∴3−0.5t=t−4，
14
解得：t= ；
3
14
综上可知，t为2或 时，点C为线段PQ的中点；
3
（3）根据（2）可知0≤t≤6．
∵点M是线段CQ的中点，
∴CM=QM．
①当Q由C往B第一次运动时，即0≤t≤2时，
1 1
此时CP=(3−0.5t)cm，CM= CQ= tcm．
2 2
∵PM=CP+CM，
1
∴PM=3−0.5t+ t=3cm，
2
∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．
②当Q由B往C点第一次返回时，即2<t≤4时，
1 1
此时CP=(3−0.5t)cm，CM= CQ=(2− t)cm，
2 2
1
∴PM=3−0.5t+2− t=(5−t)cm，
2
∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；
③当Q由C往B第二次运动时，即4<t≤6时，
1 1
此时CP=(3−0.5t)cm，CM= CQ=( t−2)cm，
2 2
1
∴PM=3−0.5t+ t−2=1cm，
2
∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．
综上可知PM的长度为3cm或1cm．
22．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足
(a−10) 2+|b+6|=0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的
数是____________（用含t的式子表示）；
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、
Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？
【答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5
【详解】解：（1）∵(a−10) 2+|b+6|=0，(a−10) 2≥0，|b+6|≥0，
∴(a−10) 2=0，|b+6|=0，即：a=10，b=-6，
∴A表示的数是10，点B表示的数是-6，
∵动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是：10-8t，
故答案是：10，-6，10-8t；
（2）当点P在点B的左侧运动时，PA=8t，PB=8t-16，
∵M、N分别是PA、PB的中点，
1 1
∴PM= PA=4t，PN= PB=4t-8，
2 2
∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；
（3）设运动t秒，P所在点表示的数为：10-8t，Q所在点表示的数为：-6-4t，
∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．
23．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的
数为b，且|a−b|=14．
(1)若b=−6，则a的值为___________________；
(2)若OA=3OB，求a的值；
(3)点C为数轴上一点，对应的数为c，若点O为AC的中点，OB=3BC，直接写出所
有满足条件的c的值
【答案】(1)8
(2)a的值为−10.5或10.5
(3)c的值为5.6或−5.6或8或−8．
试卷第26页，共40页【详解】（1）∵点A和点B分别位于原点O两侧，b=−6，
∴点A位于原点O右侧，
∵|a−b|=14，
∴|a−(−6)|=14，即|a+6|=14
解得a=8或a=−20（舍去），
∴a=8；
（2）当A点在原点左侧，B点在原点右侧时，即a<0<b时，
∵|a−b|=14，
∴b−a=14，即b=a+14，
∵OA=3OB，
∴0−a=3b，即0−a=3(a+14)，
解得a=−10.5；
当A点在原点右侧，B点在原点左侧时，即b<0<a时，
∵|a−b|=14，
∴a−b=14，即b=a−14，
∵OA=3OB，
∴a=3(0−b)，即a=3[0−(a−14)]，
解得a=10.5；
综上所述，若OA=3OB，a的值为−10.5或10.5；
（3）∵点A对应的数为a，点B对应的数为b，点C对应的数为c，点O为AC的中点，
∴a+c=0，即a=−c，
∵|a−b|=14
∴|−c−b|=14，即|b+c|=14，
∴b+c=14或b+c=−14，
∴b=14−c或b=−c−14，
∵OB=3BC，
∴|b|=|3(b−c)|，即|b|=|3b−3c|，
∴b=3b−3c或b=3c−3b，
∴2b=3c或4b=3c，
①当b=14−c，2b=3c时，
∴2(14−c)=3c，解得c=5.6；
②当b=14−c，4b=3c时，∴4(14−c)=3c，解得c=8；
③当b=−c−14，2b=3c时，
∴2(−c−14)=3c，解得c=−5.6；
④当b=−c−14，4b=3c时，
∴4(−c−14)=3c，解得c=−8；
综上所述，c的值为5.6或−5.6或8或−8．
1
24．点A,B在同一条直线上，点C在线段AB的延长线上，如果BC= AB，那么我们
2
把点C叫做点A关于点B的伴随点．
(1)如下图，在数轴上，点E表示的数是−4，点E关于原点O的伴随点F表示的数是
__________；
(2)在（1）的条件下，点G表示的数是m，若点F关于点G的伴随点是点E，求m的值；
(3)如下图，数轴上的三个点P,Q,R分别表示的数是−1,1,4．有一动点M从点Q出发，
以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点N从点R出发，以每
秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点N运动至点P处时，两动点M,N
同时停止运动．设动点M,N的运动时间为t秒，在运动过程中，若P,M,N三个点中，
恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出t的值．
【答案】(1)2
(2)−2
12 9
(3) 或1或
5 4
【详解】（1）解：根据题意：
EO=|0−(−4)|=4，
1 1
∴OF= EO= ×4=2，
2 2
∴点F表示的数是2．
∴点E关于原点O的伴随点F表示的数是2．
1
（2）根据题意：EG= GF，
2
1
即|m−(−4)|= |2−m|，
2
试卷第28页，共40页根据数轴有−4<m<2，
1 1
∴|m−(−4)|= |2−m|可化解为：m+4= (2−m)，
2 2
解得：m=−2．
（3）根据题意得：N点t秒后的位置为：4−2t，
M点t秒后的位置为：1−t，
点P表示的数是−1，
1
①当点P关于点M的伴随点是点N时有：NM= PM，
2
1 1
即|(4−2t)−(1−t)|= |(1−t)−(−1)|，得 |3−t|= |2−t|，
2 2
1
∵0<t<2，则3−t= (2−t)，解得t=4（舍去）；
2
故点P关于点M的伴随点是点N不存在．
1
②当点M关于点P的伴随点是点N时有：PN= PM，
2
1 1
即|(4−2t)−(−1)|= |(1−t)−(−1)|，得|5−2t|= |2−t|，
2 2
5 1 12
∵2≤t< ，则5−2t=− (2−t)，解得t= ；
2 2 5
12
故点M关于点P的伴随点是点N，t= ．
5
1
③当点N关于点M的伴随点是点P时有：PM= NM，
2
1 1
即|(1−t)−(−1)|= |(4−2t)−(1−t)|，得|2−t|= |3−t|，
2 2
1
∵0<t<2，则2−t= (3−t)，解得t=1；
2
故点N关于点M的伴随点是点P，t=1．
1
④当点N关于点P的伴随点是点M时有：PM= PN，
2
1 1
即|(1−t)−(−1)|= |(4−2t)−(−1)|，得|2−t|= |5−2t|，
2 2
5 1 9
∵2≤t< ，则t−2= (5−2t)，解得t= ；
2 2 4
9
故点N关于点P的伴随点是点M，t= ．
4
12 9
综上：t= 或t=1或t= ．
5 425．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为−1，3，点P为数轴上一动点，其表
示的数为x．
(1)若点P为AB的中点，则x的值为 _____；
(2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为 _____；
(3)某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向
右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B
之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数．
【答案】(1)1
(2)5
(3)点P表示的数是−3或−27
【详解】（1）∵数轴上A，B两点表示的数分别为−1，3，点P为AB的中点，其表示
的数为x，
−1+3
∴x= =1；
2
故答案为：1；
（2）∵数轴上A，B两点表示的数分别为−1，3，
∴AB=3−(−1)=4，
∵点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，
∴x−3+x+1=8，
∴x=5，
故答案为：5；
（3）设运动时间为t秒，则运动后点A表示：−1+2t，点B表示3+0.5t，点P表示：
x=1−6t，
∵点A，B之间的距离为3个单位长度，
∴(3+0.5t)−(−1+2t)=±3，
2 14
解得：t= 或 ，
3 3
2 14
∴x=1−6× =−3或x=1−6× =−27；
3 3
答：点P表示的数是−3或−27．
七、数轴上的动点—距离与相遇类。
试卷第30页，共40页26．已知xa+b y20与x10 yb为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a= ______，b= ______，线段AB=______；
3
(2)若数轴上有一点C，使得AC= BC，点M为AB的中点，求MC的长______；
2
(3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B
出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（t<10），
1
点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且¿= GB，在
3
G，H的运动过程中，求DE+DF的值______（用含t的代数式表示）
【答案】(1)−10，20，30
(2)3或75
25 3
(3) − t
2 4
【详解】（1）解：∵xa+b y20与x10 yb为同类项，
∴a+b=10，b=20，
∴a=−10，
∴AB=20−(−10)=30；
（2）分两种情况：
①当点C在AB之间时，如图1，
3
∵ AC= BC，AB=30，
2
∴AC=18，
∵点M为AB的中点，
∴AM=15，
∴CM=18−15=3；
②当点C在B右侧时，如图2，
3
∵ AC= BC，AB=30，
2
∴AC=90，∴CM=90−15=75，
综上，MC的长是3或75．
故答案为：3或75；
（3）由题意得，点G表示得数为：−10+3t，点H表示的数为：20+t，
∵t<10，AB=30，
∴点G在线段AB之间，
∵D为BG中点，
20+(−10+3t) 3
∴点D表示的数为： =5+ t，
2 2
∵F是DH中点，
3
5+ t+20+t
∴点F表示的数为： 2 50+5t，
=
2 4
1
∵BG=20−(−10+3t)=30−3t，EG= BG，
3
30−3t
∴ EG= =10−t，
3
∴点E表示的数为：−10+3t+10−t=2t，
3 50+5t 3 25 3
∴ DE+DF=(5+ t)−2t+ −(5+ t)= − t，
2 4 2 2 4
25 3
∴DE+DF的值为 − t．
2 4
25 3
故答案为： − t．
2 4
27．如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是−2，4．请回答以下问题：
(1)A与B之间距离为___________；
(2)若点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度向右作匀速运动，点Q从B出发，
以每秒3个单位长度的速度向右作匀速运动，P，Q同时运动，设运动的时间为t秒；
①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？
②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？
【答案】(1)6
(2)①3秒；②当点P运动1.5秒或4.5秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度
【详解】（1）由图可知：A与B之间距离为：4−（−2）=4+2=6，
故答案为：6；
试卷第32页，共40页（2）①设点P运动t秒时，点P和点Q重合，
根据题意，得
3t+6=5t，
解得t=3(秒)，
答：点P运动3秒时，点P和点Q重合；
②设点P运动t秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度，
P，Q 之间的距离为3个单位长度有两种可能，
当Q在P的右边时，根据题意得
5t−3t=6−3，
t=1.5（秒），
当Q在P的左边时，根据题意得
5t−3t=6+3，
t=4.5（秒），
∴当点P运动1.5秒或4.5秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度．
28．已知数轴上有A，B两点，分别代表−40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B
两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运
动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．
(1)A，B两点间的距离为_______个单位长度；乙到达A点时共运动了______秒．
(2)甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
(3)多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？
(4)若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上
相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)60，15
(2)甲，乙在数轴上的−28点相遇
(3)10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度
(4)甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是−20
【详解】（1）A、B两点的距离为AB=|−40−20|=60，乙到达A点时共运动了
60÷4=15秒；
故答案为：60，15；
（2）设甲，乙经过x秒会相遇，根据题意得
x+4x=60，解得x=12，
−40+x=−28．
答：甲，乙在数轴上的−28点相遇；
（3）两种情况，相遇前，
设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，
根据题意得，y+4 y=60−10，
解得y=10；
相遇后，
设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，
y+4 y−60=10，
解得：y=14，
答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；
（4）乙到达A点需要15秒，甲位于−40+15=−25，
乙追上甲需要25÷(1+4)=5秒，
此时相遇点的数是−25+5=−20，
故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是−20．
29．对于数轴上不同的三点A，B，C，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的
距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“等距点”．例如：数轴上点A，B，C所表
示的数分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距
离是2，所以B是A，C的“等距点”．
2
(1)若点A表示数−2，点B表示的数2，下列各数− ，0，4，6所对应的点分别
3
C ,C ,C ,C ，其中是点A，B的“等距点”的是______．
1 2 3 4
(2)点A表示数−1，点B表示的数3，P为数轴上一个动点，若A、B、P中有一个点恰
好是其它两个点的“等距点”，求此时点P表示的数．
(3)数轴上点A所表示的数为−10，点B所表示的数为20，一只电子蚂蚁P从点B出发，
以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个
单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，P、Q、B三
个点中恰有一个点为其余两点的“等距点”？（直接写出t的值）
【答案】(1)C
1
(2)1或−5或7
(3)6或15
试卷第34页，共40页2 4
【详解】（1）∵AC =− −(−2)= ，
1 3 3
( 2) 8
BC =2− − = ,AC ≠BC ,
1 3 3 1 1
∴C 不是点A,B的“等距点”；
1
∵AC =0−(−2)=2,BC =2−0=2,AC =BC ，
2 2 2 2
∴C 是点A,B的“等距点”；
2
∵AC =4−(−2)=6,BC =4−2=2,AC ≠BC
3 3 3 3
∴C 不是点A,B的“等距点”；
3
∵AC =6−(−2)=8,BC =6−2=4,AC ≠BC ，
4 4 4 4
∴C 不是点A,B的“等距点”；
4
∴是点A,B的“联盟点”的是C ，
2
故答案为：C ；
2
（2）设点P表示的数为x，
当点P是点A和点B的“等距点”时，PA=PB，
∴点P时AB的中点，
−1+3
∴x= =1;
2
当点A是点P和点B的“等距点”时，AP=AB，
∴点A时PB的中点，
x+3
∴−1= ,解得：x=−5;
2
当点B是点P和点A的“等距点”时，BP=BA，
∴点B时AP的中点，
−1+x
∴3= ,解得：x=7,
2
综上所述，若A、B、P中有一个点恰好是其它两个点的“等距点”，此时点P表示的
数为1或−5或7；
（3）点P表示的数为20−2t，点Q表示的数为−10+t，AB=30，
∴PQ=|20−2t−(−10+t)|=|−3t+30|,
PB=20−(20−2t)=2t,BQ=|20−(−10+t)|=|−t+30|，
∴当点P是点B和点Q的“等距点”时，PB=PQ，
∴2t=|−3t+30|,
∴2t=−3t+30或2t=3t−30，∴解得t=6或t=30(舍去)；
∴当点B是点P和点Q的“等距点”时，BP=BQ，
∴2t=|−t+30|，
∴2t=−t+30或2t=t−30，
∴解得t=10(舍去)或t=−30(舍去)；
∴当点Q是点P和点B的“等距点”时，QP=QB，
∴|−3t+30|=|−t+30|，
∴−3t+30=−t+30或−3t+30=t−30，
∴解得t=0(舍去)或t=15；
综上所述，当t=6或15时，P、Q、B三个点中怡有一个点为其余两点的“等距点”．
八、超难考点：线段的比例关系。
30．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．
(1)若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②若点F在线段BC上，且AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；
AD+EC 3 CD
(2)若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式 = ，求 的
BE 2 AB
值．
【答案】(1)①7；②5
17 11
(2) 或
42 6
【详解】（1）解：①AC=2BC，AB=18，DE=8，
∴BC=6，AC=12，
如图，
∵E为BC中点，
∴CE=3，
∴CD=5，
∴AD=AB−DB=18−11=7；
②如图，
试卷第36页，共40页∵CE+EF=3，
∴点E在点F的左侧，
∴点F是BC的中点，
∴CF=BF=3，
∴AF=AB−BF=18−3=15，
1
∴AD= AF=5；
3
当点E在点F的右侧，如图
∵AC=12，CE+EF=CF=3，
∴AF=AC−CF=9，
∵AF=3AD，
∴AD=3（不合题意，舍去），
综上所述，AD的长为5；
AD+EC 3
（2）∵AC=2BC，AB=2DE，满足关系式 = ，
BE 2
如图，当E在点C的右侧时：
设CE=x，DC= y，则DE=x+ y，
2 4
∴AB=2(x+ y)，AC= AB= (x+ y)，
3 3
4 1 1 2
∴AD=AC-DC= x+ y，BC= AB= (x+ y)，
3 3 3 3
2 1
∴BE=BC−CE= y− x，
3 3
7 1
∴AD+EC= x+ y，
3 3
∵2(AD＋EC)=3BE，
(7 1 ) (2 1 )
∴2 x+ y =3 y− x ，
3 3 3 3
解得，17x=4 y，CD y y 17
∴ = = =
AB 2(x+ y) ( 4 ) 42；
2 y+ y
17
如图，当E在点C的左侧时：
设CE=x，DC= y，则DE= y−x，
2 4
∴AB=2(y−x)，AC= AB= (y−x)，
3 3
4 1 1 2
∴AD=DC−AC= x− y，BC= AB= (y−x)，
3 3 3 3
2 1
∴BE=BC+CE= y+ x，
3 3
7 1
∴AD+CE= x− y，
3 3
∵2(AD＋EC)=3BE，
(7 1 ) (2 1 )
∴2 x− y =3 y+ x ，
3 3 3 3
解得，11x=8 y，
CD y 11
∴ = = ．
AB 2(y−x) 6
17 11
故答案为是 或 ．
42 6
31．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．
(1)若AB=24，DE=16，线段DE在线段AB上移动，
①当点E是线段BC的中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
AD+EC 3 CD
(2)若AB=2DE，点E在线段AB上移动，且满足关系式 = ，则 = （直
BE 2 AB
接写出结果）．
32
【答案】(1)①4，②
3
17
(2)
42
【详解】（1）解：∵AC=2BC，AB=24，
试卷第38页，共40页∴BC=8，AC=16，
①∵E为BC中点，
∴CE=4，
∵DE=16，
∴CD=12，
∴AD=AC−CD=16−12=4；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝16，
1 16 2 32
∴CE= DE= 或CE= DE= >8=BC（不合题意，舍去），
3 3 3 3
32 16
∴CD=DE−CE=16− = ，
3 3
16 32
∴AD=AC−CD=16− = ；
3 3
（2）解：①当点E在线段BC上，如图，
设BC=x，CE= y，则AC=2BC=2x，
∴AB=3x，
∵AB=2DE，
∴DE=1．5x，
∴AE=2x+ y，BE=x−y，
∴AD=AE−DE=2x+ y−1.5x=0.5x+ y，
AD+EC 3
∵ = ，
BE 2
0.5x+ y+ y 3
∴ = ，
x−y 2
2 2 17
∴y= x，CD=1.5x− x= x，
7 7 14
17
x
∴CD 14 17；
= =
AB 3x 42
如图：当点E在线段AC上时，
设BC=x>0，CE= y>0，则AC=2BC=2x，
∴AB=3x，
∵AB=2DE，∴DE=1．5x，
∴AE=2x−y，BE=x+ y，
∴AD=AC−DE−EC=2x−1.5x−y=0.5x−y，
AD+EC 3
∵ = ，
BE 2
0.5x−y+ y 3
∴ = ，
x+ y 2
3
∴y=− x<0不符题意，
2
∴点E不可能在线段AC上．
CD 17
综上所述 的值为 ．
AB 42
32．已知式子M=(a−16)x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系
数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、
m+n
c，c=−8，规定：数轴上表示数m和n的两个点为端点的线段中点的数为 ．
2
(1)a=________；b=________．
(2)若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长
度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为
BP−AQ
线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，求 的值．
EF
(3)点P、Q分别自C、B同时出发，点P以每秒6个单位长度向右运动，点Q以每秒2
个单位长度向左运动，运动的时间为t秒，若满足PQ−PA=OQ，求此时的时间t值．
【答案】(1)16，20
(2)2
(3)6
【详解】（1）式子M=(a−16)x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项
的系数为b，
所以a−16=0,b=20
解得a=16,b=20．
故答案为：16，20．
试卷第40页，共40页（2）因为点A、B、C分别表示数16，20，-8，点E为线段AP的中点，点F为线段
BQ的中点，
设运动时间为t，则点P表示的数为2t−8，点Q表示的数为3t，点E表示的数为
16+2t−8 20+3t
=t+4，点F表示的数为 ，BP=20−(2t−8)=28−2t，
2 2
AQ=16−3t
20+3t t+12
EF= −(t+4)= ，
2 2
BP−AQ 28−2t−(16−3t) 2
= =(t+12)× =2
所以 EF t+12 (t+12) ．
2
（3）设运动时间为t，则点P表示的数为6t−8，点Q表示的数为20−2t，
BC=20−(−8)=28，OQ=20−2t，
当两点相遇时间为6t+2t=28，
7
解得t= ，
2
当P运动到点A时，6t=16−(−8)=24，
解得t=4，
7
当0≤t＜ 时，PQ=20−2t−(6t−8)=28−8t，PA=16−(6t−8)=24−6t，
2
OQ=20−2t
因为PQ−PA=OQ,
所以28−8t−(24−6t)=4−2t，
所以4−2t=20−2t，
不可能；
7 7
当t= 时，PQ=0，PA=16−(6t−8)=24−6t=24−6× =3，OQ=20−2t=13，
2 2
所以PQ−PA=OQ不成立
不可能；
7
当 ＜t＜4时，PQ=6t−8−(20−2t)=8t−28，PA=16−(6t−8)=24−6t，
2
OQ=20−2t
因为PQ−PA=OQ,
所以8t−28−(24−6t)=20−2t，
9
解得t= ，
2不可能；
当t＞4时，PQ=6t−8−(20−2t)=8t−28，PA=6t−8−16=6t−24，
OQ=20−2t
因为PQ−PA=OQ,
所以8t−28−(6t−24)=20−2t，
解得t=6，
综上所述，此时的时间t为6．
试卷第42页，共40页
