专题16 平面向量数量积及其应用
十年大数据*全景展示
年
份
题号
考
点
考查内容
2011[
来源:Z§xx§k.Com]
课标[来
源:Z,xx,k.Com]
理10
平面向量的综合应用
利用平面向量数量积计算向量夹角与模问题及命题
真假的判定[来源:Zxxk.Com]
文13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积处理向量垂直问题
2012
课标
理13
文15
平面向量数量积性质的应用
平面向量的定义及利用平面向量数量积处理向量模
问题
2013
卷1
理13
文13
平面向量数量积的概念及其
几何意义
平面向量数量积的概念及运算法则
卷2
理13
文14
平面向量数量积的概念及其
几何意义
平面向量数量积的运算法则
2014
卷1
理15
平面向量数量积的概念及其
几何意义
中点公式的向量形式及向量的夹角的概念
卷2
文4
理3
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积处理向量模问题
2015
卷1
理5
平面向量的综合应用
主要与双曲线结合考查平面向量数量积的坐标运算
卷2
文4
平面向量数量积的概念及其
几何意义
平面向量的坐标运算、平面向量数量积
2016
卷1
理13
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及平面向量模公式
卷2
理3
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂
直问题
卷3
理3 文3
平面向量数量积的概念及其
几何意义
平面向量的数量积的坐标运算及利用平面向量数量
积求夹角
卷1
文13
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂
直问题
2017
卷1
理13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积计算模
理2
理12
平面向量的综合应用
与平面图形有关的平面向量数量积的最值问题
卷1
文13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积的坐标运算及利用向量数量积
处理垂直问题
卷2
文4
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积的模
卷3
理12
平面向量的综合应用
向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质
卷3
文13
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理
垂直问题
2018
卷2
理4 文4
平面向量数量积的概念、几
何意义及其运算律
平面向量的数量积及其运算律
2019
卷1
理7
文8
平面向量数量积性质的应用
平面向量数量积处理垂直与夹角问题
卷2
理3
平面向量的综合应用
平面向量的减法运算、模公式、平面向量数量积
卷3
理13
平面向量的综合应用
平面向量数量积处理模与夹角问题
卷3
理13
平面向量数量积性质的应用
平面向量坐标的模公式及夹角公式
2020
卷1
理14
平面向量数量积及其运算
向量模长的计算
文14
平面向量数量积的应用
平面向量垂直充要条件的坐标形式，平面向量数量积
的应用
卷2
理13
平面向量数量积的应用
向量夹角公式，应用向量数量积处理垂直问题
文15
平面向量数量积定义及性质
平面向量数量积的定义和运算性质，应用平面向量数
量积处理向量垂直
卷3
理6
平面向量数量积及其运算
平面向量夹角公式，平面向量数量积的计算以及向量
模长的计算
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点51 平面向量数量积的概念及其
几何意义
7/24
2021 年高考仍将重点单独或与平面图形等知识结合
重点平面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数
量积计算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中
档题或难题，题型为选择或填空．
考点52 平面向量数量积性质的应用
9/24
考点53 平面向量的综合应用
8/24
十年试题分类*探求规律
考点51 平面向量数量积的概念、其几何意义及其运算律
1．(2020 全国Ⅲ理6)已知向量
,
a b 满足
5 ,
6 ,
6
a
b
a b
，则cos
,
a a
b
(
)
A．
35
31
B．
35
19
C．35
17
D．35
19
【答案】D
【思路导引】计算出
a
a
b
、a
b
的值，利用平面向量数量积可计算出cos
,a a
b
的值．
【解析】
5
a
，
6
b
，
6
a b
，
2
2
5
6
19
a
a
b
a
a b
．
2
2
2
2
25
2 6
36
7
a
b
a
b
a
a b
b
，因此
19
19
cos
,
5 7
35
a
a
b
a a
b
a
a
b
．故选D．
2．(2020 山东7)已知P 是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB
的取值范围是
(
)
A．( 2 , 6)
B．( 6 , 2)
C．( 2 , 4)
D．( 4 , 6)
【答案】A
【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP
在AB
方向上的投影的取值范围是
( 1,3)
，利用向量数量积的定义式，求得结果．
【解析】解法一：AB
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP
在AB
方向上的投影的取值范围是
( 1,3)
，结合向量数量积的定义式，可知AP AB
等于AB
的模与AP
在AB
方向上的投影的乘积，所以
AP AB
的取值范围是(
)
2,6
，故选：A．
解法二：如图，建立平面直角坐标系A
xy
，由题意知
(0,0)
A
，(2,0)
B
，(3, 3)
C
，( 1, 3)
F
，设
( , )
P x y ，
则1
3
x
，∵
( , ) (2,0)
2
AP AB
x y
x
，∴2
2
6
x
，∴AP AB
的取值范围是( 2, 6)
．
3．(2018•新课标Ⅱ，理4)已知向量a，b
满足|
| 1
a
，
1
a b
，则
(2
)
(
a
a
b
)
A．4
B．3
C．2
D．0
【答案】B
【解析】向量a，b
满足|
| 1
a
，
1
a b
，则
2
(2
)
2
2
1
3
a
a
b
a
a b
，故选B ．
4．(2016 新课标，理3)已知向量
1
3
( ,
)
2
2
BA
uuv
，
3 1
(
, ),
2
2
BC
uuuv
则ABC=
(A)300
(B)
450
(C) 600
(D)1200
【答案】A
【解析】由题意，得
1
3
3
1
3
2
2
2
2
cos
1 1
2
|
||
|
BA BC
ABC
BA BC
，所以
30
ABC
，故选A．
5．(2017 北京)设m ，n为非零向量，则“存在负数，使得
m
n ”是“
0
m n
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为
,
m n 为非零向量，所以
|
||
| cos
,
0
m n
m
n
m n
的充要条件是cos
,
0
m n
．因为
0
，则由
m
n 可知
,
m n 的方向相反，
,
180
m n
，所以cos
,
0
m n
，所以“存在负数，
使得
m
n ”可推出“
0
m n
”；而
0
m n
可推出cos
,
0
m n
，但不一定推出
,
m n 的方向相反，
从而不一定推得“存在负数，使得
m
n ”，所以“存在负数，使得
m
n ”是“
0
m n
”的充分而不
必要条件．
6．(2013 湖北)已知点
( 1, 1)
A
、
(1, 2)
B
、
( 2,
1)
C
、
(3, 4)
D
，则向量AB
在CD
方向上的投影为
A．3 2
2
B．3 15
2
C．
3 2
2
D．
3 15
2
【答案】A
【解析】AB =(2，1)，CD =(5，5)，则向量AB 在向量CD 方向上的射影为
2
2
3
2
5
5
1
5
2
5
5
)
5,5
(
)1,2
(
cos
2
2
CD
CD
AB
AB
7．(2011 辽宁)已知向量
(2,1)
a
，
( 1, )
k
b
，
(2
)
0
a
a
b
，则
k
A．
12
B．
6
C．6
D．12
【答案】D
【解析】∵2
(5,2
)
k
a
b
，由
(2
)
0
a
a
b
，得(2,1) (5,2
)
0
k
，∴10
2
0
k
，解得
12
k
．
8．(2015 山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，
60
ABC
，则BD CD
＝
A．
2
3
2 a
B．
2
3
4 a
C．
2
3
4 a
D．
2
3
2 a
【答案】D
【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，
60
ABC
可知
180
60
120
BAD
，
2
2
2
3
(
) (
)
cos120
2
BD CD
AD
AB
AB
AB AD
AB
a a
a
a
．
9．(2015 四川)设四边形ABCD 为平行四边形，
6
AB
，
4
AD
．若点
,
M N 满足
3
BM
MC
，
2
DN
NC
，则AM NM
(
)
A．20
B．15
C．9
D．6
【答案】C
【解析】
3
1
1
,
4
4
3
AM
AB
AD NM
CM
CN
AD
AB
，所以AM NM
= 1
1
(4
3
)
(4
3
)
4
12
AB
AD
AB
AD
=
2
2
1 (16
9
)
48
AB
AD
= 1 (16 36
9 16)
48
=9，选C．
10．(2014 天津)已知菱形ABCD 的边长为2，
120
BAD
Ð
=
，点
,
E F 分别在边
,
BC DC 上，BE
λBC
=
，
DF
μDC
=
．若
1
AE AF
×
=
，
2
3
CE CF
×
= -
，则λ
μ
+
=
A．1
2
B．2
3
C．5
6
D．7
12
【答案】C
【解析】因为
120
BAD
Ð
=
，所以
cos120
2
AB AD
AB
AD
= -
，因为BE
BC
l
=
，所以
AE
AB
AD
l
=
+
，AF
AB
AD
m
=
+
，因为
1
AE AF
×
=
，所以(
) (
)
1
AB
AD
AB
AD
l
m
+
×
+
=
，即
3
2
2
2
l
m
lm
+
-
=
①，同理可得
2
3
lm
l
m
-
-
= -
②，①+②得
5
6
l
m
+
=
．
11．(2012 天津)在△ABC 中，A=90°，AB=1，设点P，Q 满足AP
AB
，
(1
)
AQ
AC
，
R
．若
2
BQ CP
，则(
)
A．1
3
B．2
3
C．4
3
D．2
【答案】B
【解析】如图，设
,
AB
b AC
c
，则
1,
2,
0
b
c
b c
，又BQ
= BA
AQ
=
(1
)
b
c
，
CP
CA
AP
c
b
，
∴
CP
BQ
=
[
(1
) ] (
)
b
c
c
b
=
2
2
(
1) c
b
=4(
1)
2
，即
3
2
,2
3
，选B．
12．(2020 全国Ⅰ文14)设向量
,
,
,
1
1
1 2
4
m
m
a
b
，若
a
b ，则m
．
【答案】5
【思路导引】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果．
【解析】由a
b
r
r
可得
0
a b
，又∵
(1, 1),
(
1,2
4)
a
b
m
m
，
∴
1 (
1)
( 1) (2
4)
0
a b
m
m
，即
5
m
，故答案为：5．
13．(2020 全国Ⅱ理13)已知单位向量
b
a,
的夹角为45°，k
b
a
与a 垂直，则
k
__________．
【答案】
2
2
【思路导引】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值．
【解析】由题意可得：
2
1 1 cos45
2
a b
，由向量垂直的充分必要条件可得：
0
k a b
a
，
即：
2
2
0
2
k
a
a b
k
，解得：
2
2
k
，故答案为：
2
2
．
14．(2020 全国Ⅰ理14)设
,
a b 为单位向量，且
1
a
b
，则
a
b
．
【答案】
3
【思路导引】整理已知可得：
2
a
b
a
b
，再利用,a b
为单位向量即可求得2
1
a b
，对
a
b 变
形可得：
2
2
2
a
b
a
a b
b
，问题得解．
【解析】∵
,
a b 为单位向量，∴
1
a
b
，
∴
2
2
2
2
2
2
1
b
b
a
a
a
a
b
b
b
a
，解得：2
1
a b
，
∴
2
2
2
2
3
b
b
b
a
b
a
a
a
，故答案为：
3 ．
15．(2019•新课标Ⅲ，文13)已知向量
(2,2)
a
，
( 8,6)
b
，则cos
a
，b
．
【答案】
2
10
【解析】由题知，
2 ( 8)
2 6
4
a b
，
2
2
|
|
2
2
2 2
a
，
2
2
|
|
( 8)
6
10
b
，
cos
a
，
4
2
10
2 2
10
b
．
16．(2014 新课标Ⅰ，理15)已知A，B，C 是圆O 上的三点，若
1 (
)
2
AO
AB
AC
，则AB
与AC
的夹角
为
．
【答案】
0
90
【解析】∵
1 (
)
2
AO
AB
AC
，∴O 为线段BC 中点，故BC 为
O
的直径，
∴
0
90
BAC
，∴AB
与AC
的夹角为
0
90 ．
17．(2013新课标Ⅰ，理13文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____．
【答案】2
【解析】b c =
[
(1
) ]
t
t
b
a
b =
2
(1
)
t
t
a b
b = 1
1
2 t
t
=
1
1
2 t
=0，解得t =2 ．
18．(2013 新课标Ⅱ，理13 文14)已知正方形ABC 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD
=
．
【答案】2
【解析】AE BD
=
1
(
) (
)
2
AD
AB
AD
AB
=
2
2
1
|
|
|
|
2
AD
AB
=4-2=2．
19．(2011 江苏)已知
1e ，
2e 是夹角为
3
2
的两个单位向量，
1
2
2
a
e
e ，
1
2
k
b
e
e ，若
0
a b
，则k
的值为
．
【答案】5
4
【解析】由题意知
1
2
1
2
(
2
)(
)
0
k
a b
e
e
e
e
，即
2
2
1
1 2
1 2
2
2
2
0
k
k
e
e e
e e
e
，即
2
2
cos
2 cos
2
0
3
3
k
k
，化简可求得
5
4
k
．
20．(2017 天津)在
ABC
△
中，
60
A
∠
，
3
AB
，
2
AC
．若
2
BD
DC
，
AE
AC
AB
(
)
R ，且
4
AD AE
，则的值为___________．
【答案】3
11
【
解
析
】
0
3 2 cos60
3
AB AC
，
1
2
3
3
AD
AB
AC
，
则
AD AE
= 1
2
(
)(
)
3
3
AB
AC
AC
AB
=
2
1
2
3
4
9
3
4
3
3
3
3
，解得
3
11
．
21．(2014 天津)已知菱形ABCD 的边长为2 ，
120
BAD
，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，
3
BC
BE
，
DC
DF
．若
1
AE AF
，则的值为________．
【答案】2
【解析】因为
120
BAD
Ð
=
，菱形的边长为
2 ，所以
2
AB AD
×
= -
．因为
1
1
3
AE AF
AB
AD
AD
AB
×
=
+
×
+
，由
1
AE AF
×
=
，所以4
4
1
2(1
)
1
3
3
，解得
2
．
考点52 平面向量数量积性质的应用
1．(2020 全国Ⅱ文5)已知单位向量,
a b的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是
(
)
A．
b
a
2
B．
b
a
2
C．
b
a
2
D．
b
a
2
【答案】D
【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断
即可．
【解析】由已知可得：
1
1
cos60
1 1 2
2
a b
a b
．
A：∵
2
1
5
(
2 )
2
2 1
0
2
2
a
b
b
a b
b
，∴本选项不符合题意；
B：∵
2
1
(2
)
2
2
1
2
0
2
a
b
b
a b
b
，∴本选项不符合题意；
C：∵
2
1
3
(
2 )
2
2 1
0
2
2
a
b
b
a b
b
，∴本选项不符合题意；
D：∵
2
1
(2
)
2
2
1
0
2
b
b
b
a b
b
，∴本选项符合题意．故选D．
2．(2019•新课标Ⅰ，理7 文8)已知非零向量a，b
满足|
| 2|
|
a
b
，且(
)
a
b
b
，则a与b
的夹角为(
)
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
【答案】B
【解析】(
)
a
b
b
，
2
(
)
a
b b
a b
b
2
|
||
|cos
,
0
a b
a b
b
，
2
|
|
cos
,
|
||
|
b
a b
a b
2
2
|
|
1
2
2|
|
b
b
，
,
[0, ]
a b
，
,
3
a b
，故选B ．
3．(2017•新课标Ⅱ，文4)设非零向量a，b
满足|
| |
|
a
b
a
b
则(
)
A．a
b
B．|
| |
|
a
b
C．
/ /
a
b
D．|
| |
|
a
b
【答案】A
【解析】非零向量a，b
满足|
| |
|
a
b
a
b
，
2
2
(
)
(
)
a
b
a
b
，即
2
2
2
2
2
2
a
b
ab
a
b
ab
，∴
0
a b
，a
b
，故选A ．
4．(2016 新课标，理3)已知向量
(1,
)
(3, 2)
m
，=
a
b
，且(
)
a + b
b ，则m=(
)
(A)－8
(B)－6
(C)6
(D)8
【答案】D
【解析】由题知a+b=
)
2
,4
(
m
，所以(
)
a + b
b =
)
2
(
2
3
4
m
=0，解得
8
m
，故选D．
5．(2014 新课标Ⅱ，理3 文4)设向量
b
a
,
满足
10
|
|
b
a
，
6
|
|
b
a
，则
b
a
(
)
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】A
【解析】∵
10
a
b
，
6
a
b
，∴
2
(
)
10
a
b
……①，
2
(
)
6
a
b
……②．
由①②得：
1
=
a b
，故选A．
6．(2018 北京)设a ，b 均为单位向量，则“
3
3
a
b
a
b ”是“a ⊥b ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵
3
3
a
b
a
b ，∴
2
2
(
3 )
(3
)
a
b
a
b
，∴
2
2
6
9
a
a b
b
2
2
9
6
a
a b
b ，又|
| |
| 1
a
b
，∴
0
a b
，∴
a
b；反之也成立，故选C．
7．(2016 年山东)已知非零向量m,n 满足4 |
3|
m |
n | ，
1
cos
,
3
m n
．若
(
)
t
n
m
n ，则实数t 的值
为(
)
A．4
B．–4
C．9
4
D．– 9
4
【答案】B
【
解
析
】
由
(
)
t
n
m
n
可
得
(
)
0
t
n
m
n
，
即
2
0
t
m n
n
，
所
以
2
2
2
1
|
cos
|
3
|
|
t
|
|
|
<
, >
|
|
|
n
n
n
m n
m
n
m n
m
n
|
|
4
3
3
4
|
|
3
n
m
．故选B．
8．(2015 重庆)若非零向量a ，b 满足
2 2
3
a
b ，且(
)
(3
2 )
a
b
a
b ，则a 与b 的夹角为(
)
A．4
B．2
C．3
4
D．
【答案】A
【解析】由题意
2
2
(
) (3
2 )
3
2
0
a
b
a
b
a
a b
b
，即
2
2
3
cos
2
0
a
a b
b
，所以
2
2 2
2 2
3 (
)
cos
2
0
3
3
，
2
cos
2
，
4
，选A．
9．(2015 陕西)对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是
A．|
| |
||
|
≤
a b
a b
B．|
| ||
|
|
||
≤
a
b
a
b
C．
2
2
(
)
|
|
a
b
a
b
D．
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b
【答案】B
【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为，∵|
| |
||
| cos
||
|
≤|
a b
a b
a b ，∴A 选项正确；对于B
选项，∵当向量a 、b 反向时，|
| ||
|
|
||
≥
a
b
a
b
，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量
模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出
2
2
(
) (
)
a
b
a
b
a
b ，故
D 选项正确，综上选B．
10．(2015 安徽) ΑΒC
是边长为2 的等边三角形，已知向量a ，b 满足
2
ΑΒ
a ，
2
ΑC
a
b ，则下列
结论正确的是( )
A．
1
b
B．
a
b
C．
1
a b
D．
4
ΒC
a
b
【答案】D
【解析】如图由题意，
(2
)
2
BC
AC
AB
a
b
a
b
，故|
| 2
b
，故A 错误；| 2 | 2 |
| 2
a
a
，所
以|
| 1
a
，又
2
2
(2
)
4 |
|
2
2 2cos60
2
AB AC
a
a
b
a
ab
，所以
1
a b
，故
,
B C 错误；设
,
B C 中点为D ，则
2
AB
AC
AD
，且AD
BC
，所以
4
C
a
b
，故选D．
11．(2014 山东)已知向量
(1, 3),
(3,
)
m
a
b
．若向量,a b 的夹角为6
，则实数m (
)
A．2 3
B．3
C．0
D．
3
【答案】B
【解析】由题意得
2
3
1 3
3
cos
2
6
2
9
m
m
，两边平方化简得6 3
18
m
，
解得
3
m
，经检验符合题意．
12．(2014 重庆)已知向量
( ,3)
k
a
，
(1,4)
b
，
(2,1)
c
，且(2
3 )
a
b
c ，则实数k
A．
9
2
B．0
C．3
D．15
2
【答案】C
【解析】∵2
3
(2
3, 6)
k
a
b
，(2
3 )
a
b
c ，所以(2
3 )
a
b
c = 2(2
3)
6
0
k
．解得
3
k
，选
C
13．(2012 陕西)设向量a =(1，cos)与b =( 1，2cos)垂直，则cos2等于
A．
2
2
B．1
2
C．0
D．－1
【答案】C
【解析】
2
2
,
0,
1
2cos
0,
cos2
2cos
1
0.
a
b
a b
正确的是C．
14．(2012 浙江)设a ，b 是两个非零向量
A．若|
| |
|
|
|
a
b
a
b ，则
a
b
B．若
a
b ，则|
| |
|
|
|
a
b
a
b
C．若|
| |
|
|
|
a
b
a
b ，则存在实数，使得
b
a
D．若存在实数，使得
b
a ，则|
| |
|
|
|
a
b
a
b
【答案】C
【解析】因为
2
2
2
2
|
| |
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
2|
||
|
|
|
a
b
a
b
a
ab
b
a
a b
b
，
|
||
| 0
ab
a b
，所以,a b 不
垂直，A 不正确，同理B 也不正确；因为
|
||
|
ab
a b ，则cos
,
1
< a b
，所以,a b 共线，故存在实数
，使得
b
a ，C 正确；若
b
a ，则
1
，此时|
| 2 |
0 |
|
|
|
a
b
a |
a
b ，所以D 不正确．
15．(2019•新课标Ⅲ，理13)已知a，b
为单位向量，且
0
a b
，若
2
5
c
a
b
，则cos
a
，c
．
【答案】2
3
【解析】∵
2
(2
5 )
2
5
2
a c
a
a
b
a
a b
，
2
2
2
2
(2
5 )
4
4 5
5
9
c
a
b
a
a b
b
，
|
| 3
c
，
cos
a
，
2
|
||
|
3
a c
c
a c
．
16．(2017•新课标Ⅰ，理13)已知向量a，b
的夹角为60，|
| 2
a
，|
| 1
b
，则|
2 |
a
b
．
【答案】2 3
【解析】向量a，b
的夹角为60，且|
| 2
a
，|
| 1
b
，
2
2
2
(
2 )
4
4
a
b
a
a b
b
2
2
2
4
2 1 cos60
4 1
12
，|
2 | 2 3
a
b
．
17．(2017•新课标Ⅰ，文13)已知向量
( 1,2)
a
，
( ,1)
b
m
，若向量a
b
与a垂直，则m
．
【答案】7
【解析】向量
( 1,2)
a
，
( ,1)
b
m
，
( 1
,3)
a
b
m
，向量a
b
与a垂直，
(
)
( 1
)
( 1)
3 2
0
a
b a
m
，解得
7
m
．
18．(2017•新课标Ⅲ，文13)已知向量
( 2,3)
a
，
(3,
)
b
m
，且a
b
，则m
．
【答案】2
【解析】向量
( 2,3)
a
，
(3,
)
b
m
，且a
b
，
6
3
0
a b
m
，解得
2
m
．
19．(2016 新课标，理13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=
．
【答案】-2
【解析】由|a+b|2=|a|2+|b|2 得，
b
a
=0，所以
0
2
m
，解得
2
m
．
20．(2016•新课标Ⅰ，文13)设向量
( ,
1)
a
x x
，
(1,2)
b
，且a
b
，则x
．
【答案】
2
3
【解析】a
b
，
0
a b
，即
2(
1)
0
x
x
，∴
2
3
x
．
21．(2012 课标，理13)已知向量a ，b 夹角为
0
45 ，且|a |=1，|2
a
b |= 10 ，则|b |=
．
【答案】．3 2
【解析】∵| 2
a
b |= 10 ，平方得
2
2
4
4
10
a
a b+ b
，即
2
2 2
6
0
| b |
| b |
，解得| b |= 3 2 或
2
(舍)
22．(2011 新课标，文13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a + b 与向量ka - b 垂直，
则k =
．
【答案】1
【解析】∵a 与b 为两个不共线的单位向量，∴|a |=1，|b |=1，且a 与b 夹角不为0 也不为，∴cos
1
，
又
∵
向
量
a + b
与
向
量
ka - b
垂
直
，
∴
(
) (
)
k
a + b
a - b =
2
2
(
1)
-
k
k
a +
a b b =
1
(
1)cos
k
k
=(
1)(1
cos )
k
=0，∴
1
k =0，∴k =1．
23．(2017 山东)已知
1e ，
2e 是互相垂直的单位向量，若
1
2
3
e
e 与
1
2
e
e 的夹角为60，则实数的值
是
．
【答案】
3
3
【解析】
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
( 3
) (
)
3
3
3
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
，
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
|
3
|
( 3
)
3
2 3
2
e
e
e
e
e
e e
e
，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
|
|
(
)
2
1
e
e
e
e
e
e e
e
，
2
2
3
2
1
cos60
1
，解得：
3
3
．
24．(2015 湖北)已知向量OA
AB
，|
| 3
OA
，则OA OB
．
【答案】9
【解析】因为OA
AB
，|
| 3
OA
，所以OA OB
9
3
|
|
|
|
)
(
2
2
2
OA
OB
OA
OA
AB
OA
OA
．
25．(2014 四川)平面向量
(1,2)
a
，
(4,2)
b
，
m
c
a
b ( m
R
)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，
则m ____________．
【答案】2
【解析1】
(
4,2
2)
c
m
m
，因为cos
,
|
| |
|
c a
c a
c
a
，cos
,
|
| |
|
c b
c b
c
b
，所以
|
| |
|
|
| |
|
c a
c b
c
a
c
b
，
又|
| 2 |
|
b
a
，所以2c a
c b
，即2[(
4)
2(2
2)]
4(
4)
2(2
2)
m
m
m
m
2
m
26．(2013 北京)已知向量a ，b 夹角为
o
45 ，且|
| 1
a
，| 2
|
10
a
b
，则|
|
b
．
【答案】b
3 2
【解析】
2
2
2
10
(2
)
10
4
4
cos45
10
a
b
a
b
b
b
3 2
b
27．(2012 湖北)已知向量a =(1，0)，b =(1，1)，则
(Ⅰ)与2
a
b 同向的单位向量的坐标表示为____________；
(Ⅱ)向量
3
b
a 与向量a 夹角的余弦值为____________．
【答案】(Ⅰ) 3 10
10
,
10
10
(Ⅱ)
2 5
5
【解析】(Ⅰ)由
1,0 ,
1,1
a =
b =
，得
2
3,1
a
b =
．设与2
a
b 同向的单位向量为
,x y
c =
，则
2
2
1,
3
0,
x
y
y
x
且,
0
x y
，解得
3 10 ,
10
10 .
10
x
y
故
3 10
10
,
10
10
c =
．即与2
a
b 同向的单位向量的坐标为
3 10
10
,
10
10
．
(Ⅱ) 由
1,0 ,
1,1
a =
b =
，得
3
2,1
b
a =
．设向量
3
b
a 与向量a 的夹角为，则
3
2,1
1,0
2 5
cos
3
5
5 1
b
a a
b
a a
．
28．(2012 安徽)若平面向量a ，b 满足：2
3
≤
a
b
；则
a b 的最小值是_____ ．
【答案】
9
8
【解析】
2
2
2
3
4
9
4
a
b
a
b
a b
，
∴
2
2
9
4
4
4
9
4
4
8
a
b
a b
a b
a b
a b
a b
29．(2011 安徽)已知向量,a b 满足(
) (
)
a
b
a
b
，且
1
a
，
2
b
，则a 与b 的夹角为
．
【答案】3
【解析】设a 与b 的夹角为，由题意有(
) (
)
a
b
a
b
a
a b
b
cos
，所以
1
cos
2
，因此0
≤≤
，所以
3
．
考点53 平面向量的综合应用
1．(2019•新课标Ⅱ，理3)已知
(2,3)
AB
，
(3, )
AC
t
，|
| 1
BC
，则
(
AB BC
)
A．3
B．2
C．2
D．3
【答案】C
【解析】
(2,3)
AB
，
(3, )
AC
t
，
(1,
3)
BC
AC
AB
t
，|
| 1
BC
，
3
0
t
即
(1,0)
BC
，则
2
AB BC
，故选C ．
2．(2017•新课标Ⅱ，理12)已知ABC
是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
(
)
PA PB
PC
的最小值是(
)
A．2
B．
3
2
C．
4
3
D．1
【答案】B
【解析】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则
(0, 3)
A
，
( 1,0)
B
，
(1,0)
C
，
设
( , )
P x y
，
则
(
, 3
)
PA
x
y
，
( 1
,
)
PB
x
y
，
(1
,
)
PC
x
y
，
则
2
2
2
2
3
3
(
)
2
2 3
2
2[
(
)
]
2
4
PA PB
PC
x
y
y
x
y
，当
0
x
，
3
2
y
时，取得最小值
3
3
2
(
)
4
2
，
故选B ．
3．(2017•新课标Ⅲ，理12)在矩形ABCD 中，
1
AB
，
2
AD
，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆
上．若AP
AB
AD
，则
的最大值为(
)
A．3
B．2 2
C．
5
D．2
【答案】A
【解析】如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，
则
(0,0)
A
，
(1,0)
B
，
(0,2)
D
，
(1,2)
C
，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，
设圆的半径为r ，
2
BC
，
1
CD ，
2
2
2
1
5
BD
，1
1
2
2
BC CD
BD r
，
2
5
r
，
圆的方程为
2
2
4
(
1)
(
2)
5
x
y
，设点P 的坐标为2 5
(
cos
1
5
，2 5 sin
2)
5
，
AP
AB
AD
，
2 5
(
cos
1
5
，2 5 sin
2)
(1
5
，0)
(0
，2)
(
，2 )
，
2 5 cos
1
5
，2 5 sin
2
2
5
，
2 5
5
cos
sin
2
sin(
)
2
5
5
，其中tan
2
，
∵
1
)
sin(
1
，∴
3
1
，故
的最大值为3，故选A ．
4．(2015 新课标Ⅰ，理5)已知M(x0，y0)是双曲线C：
2
2
1
2
x
y
上的一点，F1、F2 是C 上的两个焦点，若
1
MF
2
MF
＜0，则y0 的取值范围是(
)
(A)(-
3
3
，
3
3
)
(B)(-
3
6
，
3
6
)
(C)(
2 2
3
，2 2
3
)
(D)(
2 3
3
，2 3
3
)
【答案】A
【解析】由题知
1
2
(
3,0),
( 3,0)
F
F
，
2
2
0
0
1
2
x
y
，所以
1
2
MF
MF
=
0
0
0
0
(
3
,
) ( 3
,
)
x
y
x
y
=
2
2
2
0
0
0
3
3
1
0
x
y
y
，解得
0
3
3
3
3
y
，故选A．
5．(2011 新课标，理10)已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题
1p ：|
| 1
a
b
∈[0，2
3
)
2p ：|
| 1
a
b
∈( 2
3
，]
3p ：|
| 1
a
b
∈[0，3
)
4p ：|
| 1
a
b
∈( 3
，]
其中真命题是
(A)
1p ，
4p
(B)
1p ，
3p
(C)
2p ，
3p
(D)
3p ，
4p
【答案】A
【解析】由|
| 1
a
b
得，
2
2
1
a + 2a b+ b
，即
a b ＞
1
2
，即cos= | || |
a b
a b
＞
1
2
，
∵∈[0，]，∴∈[0，2
3
)，
由|
| 1
a
b
得，
2
2
-
1
a
2a b+ b
，即
a b ＜1
2
，即cos= | || |
a b
a b
＜1
2
，∵∈[0，]，∴∈( 3
，]，
故选A．
6．(2016 年天津)已知ΔABC 是边长为1 的等边三角形，点
E
D,
分别是边
BC
AB,
的中点，连接DE 并延
长到点F ，使得
EF
DE
2
，则AF BC
的值为
A．
8
5
B．
8
1
C．
4
1
D．
8
11
【答案】B
【解析】设BA
a
，BC
b
，∴
1
1 (
)
2
2
DE
AC
b
a
，
3
3 (
)
2
4
DF
DE
b
a
，
1
3
5
3
(
)
2
4
4
4
AF
AD
DF
a
b
a
a
b
，
∴
2
5
3
5
3
1
4
4
8
4
8
AF BC
a b
b
，故选B．
7．(2014 安徽)设,a b 为非零向量，
2
b
a ，两组向量
1
2
3
4
,
,
,
x x x x
和
1
2
3
4
,
,
,
y y
y y
均由2 个a 和2 个b 排
列而成，若
1
1
2
2
3
3
4
4
x
y
x
y
x
y
x
y
所有可能取值中的最小值为
2
4 a ，则a 与b 的夹角为
A．2
3
B．3
C．6
D．0
【答案】B
【解析】设
1
1
2
2
3
3
4
4
S
x
y
x
y
x
y
x
y
，若S 的表达式中有0 个a b
，则
2
2
2
2
S
a
b
，记为
1S ，
若S 的表达式中有2 个a b
，则
2
2
2
2
2
S
a
b
a b
，记为
2
S ，若S 的表达式中有4 个a b
，则
4
S
a b
，
记为
3S ，又|
| 2 |
|
b
a
，所以
2
2
2
1
3
2
2
4
2(
)
0
S
S
a
b
a b
a
b
，
2
2
2
1
2
2
(
)
0
S
S
a
b
a b
a
b
，
2
2
3
(
)
0
S
S
a
b
，∴
3
2
1
S
S
S
，故
min
3
4
S
S
a b
，设,a b
的夹角为，
则
2
2
min
4
8|
| cos
4|
|
S
a b
a
a
，即
1
cos
2
，又
[0, ]
，所以
3
．
8．(2014 浙江)设为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|
|
t
b
a 是最小值为1
A．若确定，则|
|
a 唯一确定
B．若确定，则|
|
b 唯一确定
C．若|
|
a 确定，则唯一确定
D．若|
|
b 确定，则唯一确定
【答案】B
【解析】由于
2
2
2 2
|
|
2
t
t
t
b
a
b
a b
a
，令
2
2 2
( )
2
f t
t
t
b
a b
a
，而t 是任意实数，所以可得
( )
f t 的最
小值为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
(2
)
4
4
cos
4
sin
1
4
4
4
a b
ab
a b
a b
b
a
a
，
即
2
2
|
| sin
1
b
，则知若确定，则|
|
b 唯一确定．
9．(2013 福建)在四边形ABCD中，
)
2,4
(
),
2,1(
BD
AC
，则该四边形的面积为
A．
5
B．
5
2
C．5
D．10
【答案】C
【解析】
因为
0
2
2
)
4
(
1
BD
AC
，所以
BC
AC
，所以四边形的面积为
5
2
2
)
4
(
2
1
2
|
|
|
|
2
2
2
2
BD
AC
，故选C．
10．(2013 浙江)设ABC
，
0P 是边AB 上一定点，满足
0
1
4
PB
AB
，且对于边AB 上任一点P ，恒有
0
0
PB PC
P B PC
≥
．则
A．
0
90
ABC
B．
0
90
BAC
C．
AC
AB
D．
BC
AC
【答案】D
【解析】由题意，设|
| 4
AB
，则
0
|
| 1
P B
，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，
在AB 上任取一点P ，设
0
HP
a
，则由数量积的几何意义可得，
|
||
| (|
| (
1)) |
|
PB PC
PH
PB
PB
a
PB
，
0
0
0
0
|
||
|
P B PC
P H
P B
a
，
于是
0
0
PB PC
P B PC
≥
恒成立，相当于(|
| (
1)) |
|
PB
a
PB
a
≥
恒成立，
整理得
2
|
|
(
1) |
|
PB
a
PB
a
≥0 恒成立，只需
2
2
(
1)
4
(
1)
0
a
a
a
≤
即可，于是
1
a
，因此我们得到
2
HB
，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC
BC
．
11．(2013 湖南)已知,a b 是单位向量，
0
a b =
．若向量c 满足
1
c
a
b
，则c 的最大值为
A．
2
1
B．
2
C．
2
1
D．
2
2
【答案】C
【解析】建立平面直角坐标系，令向量,a b 的坐标
1,0 ,
0,1
a
b
，又设
,x y
c
，代入
1
c
a
b
得
2
2
1
1
1
x
y
，又c 的最大值为圆
2
2
1
1
1
x
y
上的动点到原点的距离的最大值，即
圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即
2
1
．
12．(2013 重庆)在平面上，
1
2
AB
AB
，
1
2
1
OB
OB
，
1
2
AP
AB
AB
．若
1
2
OP
，则OA
的取
值范围是
A．
5
0, 2
B．
5
7
,
2
2
C．
5 ,
2
2
D．
7 ,
2
2
【答案】D
【解析】因为
1
AB
⊥
2
AB
，所以可以A 为原点，分别以
1
AB
，
2
AB
所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐
标系．设B1(a，0)，B2(0，b)，O(x，y)，则AP
＝
1
AB
＋
2
AB
＝(a，b)，即P(a，b)．由|
1
OB
|＝|
2
OB
|＝1，
得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1，所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0，由|OP
|＜1
2
，得(x－a)2＋(y－b)2
＜1
4
，即0≤1－x2＋1－y2＜1
4
，所以7
4
＜x2＋y2≤2，即
2
2
7
2
2
x
y
，所以| OA
|的取值范围是
7 ,
2
2
，故选D．
13．(2018 天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB
BC
，AD
CD
，
120
BAD
，
1
AB
AD
．若点E 为边CD 上的动点，则
uuur uur
AE BE 的最小值为
A．21
16
B．3
2
C．25
16
D．3
【答案】A
【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，
1
AB
AD
，
120
BAD
，所以
(0,0)
A
，
(1,0)
B
，
1
3
(
,
)
2
2
D
，设
(1,
)
C
m ，
( , )
E x y ，所以
3
3
( ,
)
2
2
DC
m
，
1
3
(
,
)
2
2
AD
，因为AD
CD
，所以
3
3
1
3
( ,
) (
,
)
0
2
2
2
2
m
，即
3
1
3
3
(
)
(
)
0
2
2
2
2
m
，解得
3
m
，即
(1, 3)
C
，因为E 在CD 上，所以
3
3
2
y
≤
≤
，由
CE
CD
k
k
，得
3
3
3
2
1
1
1
2
y
x
，即
3
2
x
y
，因为
( , )
AE
x y
，
(
1, )
BE
x
y
，所以
( , ) (
1, )
AE BE
x y
x
y
=
2
2
x
x
y
=
2
2
( 3
2)
3
2
x
y
y
2
4
5 3
6
y
y
，令
2
( )
4
5 3
6
f y
y
y
，
3
[
, 3]
2
y
，因为函数
2
( )
4
5 3
6
f y
y
y
在
3 5 3
[
,
]
2
8
上单调递减，
在5 3
[
, 3]
8
上单调递增，所以
2
min
5 3
5 3
21
( )
4 (
)
5 3
6
8
8
16
f y
．所以
uuur uur
AE BE 的最小值为21
16
，
故选A．
14．(2018 浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3
，向量b 满足
2
4
3
0
b
e b
，则|
|
a
b 的最小值是( )
A．3 1
B．3
1
C．2
D．2
3
【答案】A
【解析】解法一设O 为坐标原点，
OA
a
，
( , )
OB
x y
b
，
= (1,0)
e
，由
2
4
3
0
b
e b
得
2
2
4
3
0
x
y
x
，即
2
2
(
2)
1
x
y
，所以点B 的轨迹是以
(2,0)
C
为圆心，l 为半径的圆．因为a 与
e 的夹角为3
，所以不妨令点A 在射线
3
y
x
(
0
x
) 上，如图，数形结合可知
min
|
|
|
|
|
|
3 1
CA
CB
a
b
．故选A．
解法二
由
2
4
3
0
b
e b
得
2
2
4
3
(
) (
3 )
0
b
e b
e
b
e
b
e
．设
OB
b
，
OE
e
，3
OF
e
，
所以
EB
b
e
，
3
FB
b
e =
，所以
0
EB FB
，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径
的
圆
上
，
如
图
，
设
OA
a
，
作
射
线
OA
，
使
得
3
AOE
，
所
以
|
| | (
2 )
(2
) |
≥
a
b
a
e
e
b
| (
2 ) |
| (2
) |
a
e
e
b
=|
|
|
|
3
1
CA
BC
≥
．故选A．
15．(2017 浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB
BC
，
2
AB
BC
AD
，
3
CD
，AC 与BD
交于点O ，记
1I
OA OB
，
2
·
I
OB OC
＝
，
3
·
I
OC OD
＝
，则
A．
1I <
2I <
3I
B．
1I <
3I <
2I
C．
3I <
1I <
2I
D．
2I <
1I <
3I
【答案】C
【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO
AF
，而
90
AFB
，
∴
AOB
与
COD
为
钝
角
，
AOD
与
BOC
为
锐
角
．
根
据
题
意
1
2
(
)
I
I
OA OB
OB OC
OB OA OC
OB CA
|
||
| cos
0
OB CA
AOB
，∴
1
2
I
I
，同理
2
3
I
I
．做AG
BD
于G ，又AB
AD
．∴OB
BG
GD
OD
，而OA
AF
FC
OC
，∴
|
| |
| |
| |
|
OA
OB
OC
OD
，而cos
cos
0
AOB
COD
，
∴OA OB
OC OD
，即
1
3
I
I
，∴
3
1
2
I
I
I
，选C．
16．(2016 四川)在平面内，定点A，B，C，D 满足DA
= DB
= DC
，DA DB
=
DB DC
= DC DA
= 2，动点P，M 满足AP
=1，PM
= MC
，则
2
BM
的最大值是
A．43
4
B．49
4
C．37
6 3
4
D．37
2 33
4
【答案】B
【解析】由
2
DA
DB
DC
知，D 为ABC
的外心．由DA DB
= DB DC
= DC DA
知D 为ABC
的内心，所以ABC
为正三角形，易知其边长为2 3 ，取AC 的中点E ，因为
M 是PC 的中点，所以
1
1
2
2
EM
AP
，所以
max
1
7
|
|
|
|
2
2
BM
BE
，则
2
max
49
|
|
4
BM
．故选B．
17 ．(2015 福建) 已知AB
AC
，
1
AB
t
，
AC
t
，若点P 是
ABC
所在平面内一点，且
4
AB
AC
AP
AB
AC
，则PB PC
的最大值等于(
)
A．13
B．15
C．19
D．21
【答案】A
【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的
平
面
直
角
坐
标
系
，
所
以
点
(1,4)
P
，
1
( ,0)
B t
，
(0, )
C
t
，
所
以
1
1
(
1, 4)( 1,
4)
(
1) ( 1)
4 (
4)
PB PC
t
t
t
t
=
1
17
4t
t
1
17
2
4t
t
≤
= 13( 当且仅当
1
4t
t
，即
1
2
t =
时取等号)，所以PB PC
的最大值为13．故选A．
18．(2015 湖南)已知点
, ,
A B C 在圆
2
2
1
x
y
上运动，且AB
BC
．若点P 的坐标为(2,0) ，则
PA
PB
PC
的最大值为(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设
)
,
(
n
m
A
，
)
,
(
n
m
C
，
)
,
(
y
x
B
，∴
(
6, )
PA
PB
PC
x
y
，
而
49
12
37
)
6
(
2
2
x
y
x
，∴PA
PB
PC
的最大值为7 ，故选B．
19．(2014 安徽)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,a b ，|
| |
| 1
a
b
，
0
a b
，点Q 满足
2(
)
OQ
a
b ．曲线
{
|
cos
sin ,0
2 }
C
P OP
a
b
≤
≤
，区域
{
| 0
|
|
,
}
P
r
PQ
R r
R
≤
≤
．若C
为两段分离的曲线，则(
)
A．1
3
r
R
B．1
3
r
R
C．
1
3
r
R
D．1
3
r
R
【答案】A
【解析】设
(1,0),
(0,1)
a
b
，则
(cos ,sin )
OP
，
( 2,
2)
OQ
，所以曲线C 是单位元，区域
为圆环(如图)，∵|
| 2
OQ
，∴1
3
r
R
．
20．(2012 广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义
．若平面向量,a b 满足|
| |
| 0
.
a
b
，
a 与b 的夹角
(0,
)
4
，且a b
和b a
都在集合{
|
}
2
n n
Z 中，则a b
=(
)
A．1
2
B．1
C．3
2
D．5
2
【答案】C
【解析】首先观察集合
1
1
3
{
|
}
, 1,
,0,
,1,
,2,
2
2
2
2
n n
Z
，从而分析a b
和b a
的范围如下：因
为
(0,
)
4
，∴
2
cos
1
2
，而
|
| cos
|
|
b a
b
b a
a a
a
，且|
| |
| 0
.
a
b
，可得
|
|
0
cos
1
|
|
b
a
，
又∵
b a
{
|
}
2
n n
Z 中，∴|
|
1
cos
|
|
2
b
a
，从而
|
|
1
|
|
2cos
b
a
，∴
2
|
| cos
2cos
|
|
a b
a
a b
b b
b
，
所以1
2
a b
．且a b
也在集合{
|
}
2
n n
Z 中，故有
3
2
a b
．
21．(2011 山东)设
1A ，
2
A ，
3
A ，
4
A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若
1
3
1
2
A A
A A
(∈R )，
1
4
1
2
A A
A A
( μ ∈R )，且1
1
2
，则
称
3
A ，
4
A 调和分割
1A ，
2
A ，已知点
( ,0)
C c
，
( ,0)
D d
，( ,c d ∈R )调和分割
点
(0,0)
A
，
(1,0)
B
，则下面说法正确的是
A．C 可能是线段AB 的中点
B．D 可能是线段AB 的中点
C．C ，D 可能同时在线段AB 上
D．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
【答案】D
【解析】根据已知得( ,0)
(0,0)
[(1,0)
(0,0)]
c
，即( ,0)
(1,0)
c
，从而得
c
；( ,0)
(0,0)
[(1,0)
(0,0)]
d
，即( ,0)
(1,0)
d
，得d
，
根据1
1
2
，得1
1
2
c
d
．线段AB 的方程是
0
y
，
[0,1]
x
．
若C 是线段AB 的中点，则
1
2
c
，代入1
1
2
c
d
，得1
0
d
．
此等式不可能成立，故选项A 的说法不成立；同理选项B 的说法也不成立；
若
,
C D 同时在线段AB 上，则0
1
c
≤，0
1
d
≤，
此时1
1
c ≥，1
1
d ≥
，1
1
2
c
d
≥
，若等号成立，则只能
1
c
d
，
根据定义，
,
C D 是两个不同的点，故矛盾，故选项C 的说法也不正确，
若
,
C D 同时在线段AB 的延长线上，若
1
c ，
1
d
，则1
1
2
c
d
，
与1
1
2
c
d
矛盾，若
0,
0
c
d
，则1
1
c
d
是负值，与1
1
2
c
d
矛盾，
若
1
c ，
0
d
，则1
1
c
，1
0
d
，此时1
1
1
c
d
，与1
1
2
c
d
矛盾，
故选项D 的说法是正确的．
22．(2020 浙江17)设
1e ，
2e 为单位向量，满足
1
2
2
|
2
|
e
e
，
1
2
a
e
e ，
1
2
3
b
e
e ，设a ，b 的夹角为
，则
2
cos 的最小值为
▲
．
【答案】28
29
【思路导引】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得
1
2
3
4
e e
ur ur
，再根据向量夹角公式求
2
cos 函数
关系式，根据函数单调性求最值．
【解析】
2
1
2
1
2
2
2
2
2
e
e
e
e
，解得：
1
2
3
4
e e
，
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
3
cos
3
e
e
e
e
a b
a b
e
e
e
e
1
2
1 2
1 2
4
4
2
2
10
6
e e
e e
e e
，
设1
2
e e
x
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
16
1
16
1
4
1
4
1
4
cos
2
2
2
10
6
12
32
20
3
8
5
3
1
2
1
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
当
3
4
x
时，
2
28 4
cos
,
29 3
，∴
2
cos 的最小值是28
29
，故答案为：28
29
．
23．(2020 北京13)已知正方形ABCD 的边长为2 ，点P 满足
1
2
AP
AB
AC
，则PD
________；
PB PD
__________．
【答案】
5 ，1
【解析】分别以ABAD 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则
(0,0)
A
，
(2,0)
B
，
(2, 2)
C
，
(0,2)
D
．
∵
1 (
)
2
AP
AB
AC
1[(2,0)
(2,2)]
(2,1)
2
，∴
(2,1)
P
，∴
( 2,1)
PD
，
∴
2
2
|
|
( 2)
1
5
PD
，又∵
(0, 1)
PB
，∴
2 0 1 ( 1)
1
PB PD
．
24．(2020 上海12)已知
*
1
2
1
2
,
,
,
,
,
k
a a b b
b
k
N
是平面内两两互不相等的向量，满足
1
2
|
| 1
a
a
且
|
| {1,2}
i
j
a
b
(其中
1,2,
1,2,
,
i
j
k
)，则k 的最大值为
．
【答案】6
【解析】根据条件不妨设
1
0,0
a
，
2
0,1
a
，
,
jb
x y
，
1,2
i
j
a
b
，当
2
2
1
1
1
j
a
b
x
y
，表示圆心为原点，半径为1 的圆；
2
2
1
2
4
j
a
b
x
y
，表示圆心为原点，半径为2 的圆，如图这两个圆用红色线表示；
当
2
2
2
1
1
1
j
a
b
x
y
，表示圆心为
1,0 ，半径为1 的圆；
2
2
2
2
1
4
j
a
b
x
y
，表示圆心为
1,0 ，半径为2 的圆，如图这两个圆用蓝色线表示，
由条件可知点
,x y 既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有6 个交点，即k 是最大值是
6．故答案为：6．
25 ．(2020 天津15) 如图，在四边形ABCD 中，
60 ,
3
B
AB
，
6
BC
，且
3
,
2
AD
BC
AD AB
，则实数的值为_________，若
,
M N 是线段BC 上的动点，且|
| 1
MN
，
则DM DN
的最小值为_________．
【答案】1
6
13
2
【思路导引】可得
120
BAD
，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点B 为坐标原点，BC
所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点
,0
M x
，则点
1,0
N x
(其中0
5
x
)，得出DM DN
关
于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN
的最小值．
【解析】
AD
BC
，
//
AD BC
，
180
120
BAD
B
，
cos120
AB AD
BC AB
BC
AB
1
3
6 3
9
2
2
，解得
1
6
，
以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，
则
5 3 3
,
2
2
D
，设
,0
M x
，则
1,0
N x
(其中0
5
x
)，
5
3 3
,
2
2
DM
x
，
3
3 3
,
2
2
DN
x
，
2
2
2
5
3
3 3
21
13
4
2
2
2
2
2
2
DM DN
x
x
x
x
x
，
所以，当
2
x
时，DM DN
取得最小值13
2
，故答案为：1
6
；13
2
．
26．(2017 浙江)已知向量a ，b 满足|
| 1
a
，|
| 2
b
，则|
|
|
|
a
b
a
b 的最小值是
，
最大值是
．
【答案】4，2 5
【解析】设向量,a b
的夹角为，由余弦定理有：
2
2
1
2
2 1 2 cos
5
4cos
a
b
，
2
2
1
2
2 1 2 cos
5
4cos
a
b
，
则
5
4cos
5
4cos
a
b
a
b
，
令
5
4cos
5
4cos
y
x
x
，则
2
2
10
2 25 16cos
16,20
y
，
据此可得：
max
min
20
2 5,
16
4
a
b
a
b
a
b
a
b
，
即a
b
a
b
的最小值是4，最大值是2 5 ．
27．(2015 浙江)已知
1
2
,
e e 是空间单位向量，
1
2
1
2
e e
，若空间向量b 满足
1
2
b e
，
2
5
2
b e
，且对于
任意
,x y
R
，
1
2
0 1
0
2
0
0
(
)
(
)
1(
,
)
x
y
x
y
x
y
R
≥
b
e
e
b
e
e
，则
0x ____ ，
0y _____ ，
b
_____．
【答案】1
2
2 2
【解析】由题意可令
0 1
0
2
3
x
y
b
e
e
e ，其中
3
,
1,2
i i
e
e
，由
1
2
b e
得
0
0
2
2
y
x
，由
2
5
2
b e
，
得
0
0
5
2
2
x
y
，解得
0
1
x ，
0
2
y
，∴
2
1
2
3
|
|
(
2
)
2 2
e
b
e
e
．
28．(2014 山东)在
ABC
V
中，已知
tan
AB AC
A
uuur uuur
，当
6
A
时，
ABC
V
的面积为
．
【答案】1
6
【解析】∵
cos
AB AC
AB
AC
A
uuur uuur
uuur
uuur
，∴由
cos
tan
AB
AC
A
A
uuur
uuur
，得
2
3
AB
AC
uuur
uuur
，故
ABC
V
的
面积为1
1
|
||
| sin
2
6
6
AB
AC
．
29．(2014 安徽)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x
x
x
x
x
和
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y
y
y
y
y
均
由2 个a 和3 个b 排列而成．记
1
1
2
2
3
3
S
x
y
x
y
x
y
4
4
5
5
x
y
x
y
，
min
S
表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____(写出所有正确命题
的编号)．
①S 有5 个不同的值．
②若
a
b 则
min
S
与|
|
a 无关．
③若∥
a
b 则
min
S
与|
|
b 无关．
④若|
| 4 |
|
b
a ，则
0
min
S
．
⑤若|
| 2 |
|
b
a ，
2
min
8|
|
S
a
，则a 与b 的夹角为4
．
【答案】②④
【解析】S 有下列三种情况：
2
2
2
2
2
1S
a
a
b
b
b
，
2
2
2
2
S
a
a b
a b
b
b
，
2
3
S
a b
a b
a b
a b
b
∵
2
2
2
2
1
2
2
3
2
(
)
|
|
0
S
S
S
S
a
b
a b
a
b
a
b
，
∴
min
3
S
S
，
若a
b
，则
2
min
3
S
S
b
，与|
|
a
无关，②正确；
若a b
，则
2
min
3
4
S
S
a b
b
，与|
|
b
有关，③错误；
若|
| 4 |
|
b
a
，则
2
2
2
2
min
3
4|
| | | cos
| |
4|
| | |
| |
| |
| |
0
S
S
a
b
b
a
b
b
b
b
，④正确；
若
2
min
|
| 2|
|,
8|
|
b
a
S
a
，则
2
2
2
2
min
3
4
8|
| cos
4 |
|
8|
|
S
S
a b
b
a
a
a
∴
1
cos
2
，
∴
3
，⑤错误．
30．(2013 山东)已知向量AB
与AC
的夹角120，且| AB
|=3，| AC
|=2，若
AP
AB
AC
，且AP
BC
，则实数的值为_____．
【答案】7
12
【解析】向量
与
的夹角为
，且
所以
．由
得，
，即
，所以
，即
，解得
．
31．(2013浙江)设
1e ，
2e 为单位向量，非零向量
1
2
x
y
b
e
e ，,x y R ，若
1e ，
2e 的夹角为6
，则|
|
|
|
x
b
的最大值等于________．
【答案】2
【解析】
2
2
2
2
2
1
2
2
|
|
|
|
|
|
1
|
|
(
)
3
3
x
x
x
x
y
x
y
xy
x
y
xy
x
b
e
e
2
2
1
1
3
3
1
( )
1
(
)
2
4
y
y
y
x
x
x
，所以|
|
|
|
x
b
的最大值为2．
32．(2013 天津)在平行四边形ABCD 中，AD = 1，
60
BAD
，E 为CD 的中点．若
·
1
AC BE
，则AB 的
长为
．
【答案】1
2
【解析】因为E 为CD 的中点，所以
1
1
2
2
BE
BC
CE
AD
DC
AD
AB
，
AD
AC
AB
，因为
·
1
AC BE
，
所以
2
2
1
1
1
·
(
) (
)
1
2
2
2
AC BE
AD
AB
AD
AB
AD
AB
AB AD
，即
2
1
1
1
cos60
1
2
2
AB
AB
，所以
2
1
1
0
2
4
AB
AB
，解得
1
2
AB
．
33．(2011 浙江)若平面向量，满足||=1，| |≤1，且以向量，为邻边的
平行四边形的面积为1
2
，则与的夹角的取值范围是
．
【答案】
5
[
,
]
6
6
【解析】如图，向量与在单位圆O 内，因||=1，| |≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面
积为1
2
，故以向量，为边的三角形的面积为1
4
，故的终点在如图的线段AB 上(∥AB ，且圆心O
到AB 的距离为1
2
)，因此夹角的取值范围为
5
[
,
]
6
6
．
34．(2019 江苏12)如图，在
ABC
△
中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于点O ．若
6
AB AC
AO EC
，则AB
AC
的值是
．
【答案】
3
【
解
析
】
设
(
)
2
AD
AB
A
AO
C
，
∴
AO
=
EO
AE
=
EC
AE
=
)
(
AE
AC
AE
=
AC
AE
)
1(
=
AC
AB
3
1
，所以
1
2
3
2
，解得
1
2
1
4
，所以
1
1 (
)
2
4
AO
AD
AB
AC
，
1
3
EC
AC
AE
AB
AC
，
2
2
1
1
3
1
2
6
6
(
) (
)
(
)
4
3
2
3
3
AO EC
AB
AC
AB
AC
AB
AB AC
AC
2
2
1
3
2
2
AB
AB AC
AC
，因为
2
2
1
3
2
2
AB AC
AB
AB AC
AC
，所以
2
2
1
3
2
2
AB
AC
，所
以
2
2
3
AB
AC
，所以
3
AB
AC
．
35 ．(2019 浙江17) 已知正方形ABCD 的边长为1 ，当每个
(
1,2,3,4,5,6)
i i
取遍
1
时，
1
2
3
4
5
6
|
|
AB
BC
CD
DA
AC
BD
的最小值是________，最大值是_______．
【答案】2 5
【解析】正方形ABCD的边长为1，可得AB
AD
AC
，BD
AD
AB
，
0
AB AD
，
1
2
3
4
5
6
|
|
AB
BC
CD
DA
AC
BD
1
2
3
4
5
5
6
6
|
|
AB
AD
AB
AD
AB
AD
AD
AB
1
3
5
6
2
4
5
6
| (
)
(
)
|
AB
AD
2
2
1
3
5
6
2
4
5
6
(
)
(
)
，
由于
(
1,2,3,4,5,6)
i i
?i(i = 1,2，3，4，5，6)取遍1
，可得
1
3
5
6
0
，
2
4
5
6
0
，
可取
5
6
1
3
2
4
1,
1,
1,
1
，可得所求最小值为0；
由
1
3
5
6
4
，
2
4
5
6
4
，可取
2
4
5
6
1
3
1,
1,
1,
1,
1,
可得所求最
大值为2 5 ．
36．(2019 天津理14)在四边形ABCD 中，
,
2 3,
5,
30
AD
BC
AB
AD
A
∥
，点E 在线段CB
的延长线上，且AE
BE
，则BD AE
．
【答案】-1
【解析】因为AB
BE
，
//
AD BC ，
30
A
，所以在等腰三角形ABE 中，
120
BEA
，
又
2 3
AB
，所以
2
AE
，所以
2
5
BE
AD
，因为AE
AB
BE
，所以
2
5
AE
AB
AD
，又
BD
BA
AD
AB
AD
，
所以
2
2
2
7
2
5
5
5
BD AE
AB
AD
AB
AD
AB
AB AD
AD
2
2
7
2
cos
5
5
AB
AB
AD
A
AD
7
3
2
12
5 2 3
25
1
5
2
5
．
37．(2018 上海)在平面直角坐标系中，已知点
( 1 0)
A ，，(2,0)
B
，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|
| 2
EF
，
则AE BF
的最小值为______．
【答案】3
【
解
析
】
设
(0, )
E
t
，
(0,
2)
F
t
，
所
以
(1, ) ( 2,
2)
AE BF
t
t
=
2
(
2)
t t
2
2
2
(
2)
2
2
(
1)
3
t t
t
t
t
，当
1
t
时，AE BF
取得最小值3
．
38．(2017 江苏)在平面直角坐标系xOy 中，
( 12,0)
A
，
(0,6)
B
，点P 在圆O ：
2
2
50
x
y
上，若
20
PA PB
≤
，则点P 的横坐标的取值范围是
．
【答案】[ 5 2,1]
【解析】设
( , )
P x y ，由
20
PA PB
≤
，得2
5
0
x
y
≤
，如图由2
5
0
x
y
≤
可知，P 在
MN 上，由
2
2
2
5
0
50
x
y
x
y
，解得
(1,7)
M
，
( 5, 5)
N
，所以P 点横坐标的取值范围为[ 5 2,1]
．
39．(2016 年浙江)已知向量,a b ，|
| 1
a
，|
| 2
b
，若对任意单位向量e ，均有
|
|
|
|
6
-
ae
be
，则
a b 的最大值是
．
【答案】1
2
【解析】由题意令
(1,0)
e
，
(cos ,sin
)
a
，
(2cos
,2sin
)
b
，则由|
|
|
|
6
-
ae
be
可得
| cos
| 2 | cos
|
6
-
①
，
令
sin
2sin
m
②
，
2
2
①+ ②
得
2
4[|cos
cos
| sin
sin
]
1 m
-
对一切实数
,
恒成立，所以4[| cos
cos
|
sin
sin
]
1
-
．故
2(cos
cos
sin
sin
)
a b
≤
1
2[| cos
cos
|
sin
sin
]
2
-
，故最大值为1
2
．
40．(2015 天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB
DC
∥
，
2
AB
，
1
BC ，
60
ABC
．
动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE
BC
，
1
9
DF
DC
，则AE AF
的最小值为
．
【答案】29
18
【解析】因为
1
9
DF
DC
，
1
2
DC
AB
，∴CF
=
1
9
DF
DC
DC
DC
=1 9
1 9
9
18
DC
AB
，
∴AE
AB
BE
AB
BC
，
1
9
1
9
18
18
AF
AB
BC
CF
AB
BC
AB
AB
BC
，
1 9
18
AE AF
AB
BC
AB
BC
2
2
1 9
1 9
1
18
18
AB
BC
AB BC
1
9
19
9
4
2 1 cos120
18
18
2
1
17
2
1
17
29
2
9
2
18
9
2
18
18
当且仅当2
1
9
2
即
2
3
时的最小值为29
18
．
41．(2015 江苏)设向量
(cos
,sin
cos
)
6
6
6
k
k
k
k
a
(
0,1,2,
,12)
k
，则
12
0
1)
(
k
k
k a
a
的值为
．
【答案】9 3
【
解
析
】
1
(
1)
(
1)
(cos
,sin
cos
) (cos
,sin
6
6
6
6
6
k
k
k
k
k
k
k
a
a
(
1)
cos
)
6
k
=
2
(
1)
3 3
2
cos
sin
cos
cos
sin
6
6
6
6
4
6
k
k
k
k
1
(2
1)
cos
2
6
k
，
因
此
11
1
0
3 3
12
9 3
4
k
k
k
a
a
．
42．(2014 湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，
( 1,0), (0, 3),
(3,0),
A
B
C
动点D 满足|
| 1
CD
，则
|
|
OA
OB
OD
的最大值是
．
【答案】1
7
【解析】设
( , )
D x y ，由|
| 1
CD
，得
2
2
(
3)
1
x
y
，向量
OA
OB
OD
(
1,
3)
x
y
，故
2
2
|
|
(
1)
(
3)
OA
OB
OC
x
y
的最大值为圆
2
2
(
3)
1
x
y
上的动点到点(1,
3)
距离的最大值，
其最大值为圆
2
2
(
3)
1
x
y
的圆心(3,0) 到点(1,
3)
的距离加上圆的半径，
即
2
2
(3 1)
(0
3)
1 1
7
．
43．(2012 江苏)如图，在矩形ABCD 中，
2
2
AB
BC
，
，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若
2
AB
AF
，则AE
BF
的值是
．
【答案】
2
【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则
( 2,0)
B
，( 2,1)
E
，
(0,2)
D
，
( 2,2)
C
．设
( ,2)
F x
(0 ≤x ≤
2 ) ，由
2
1
AB AF
x
，∴
(1,2)
F
，
AE
BF
=(
)1,
2
(1
2 ，2)= 2 ．
44．(2012 山东)如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在
1,0
，此时圆上一点P 的
位置在
0,0
，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于
1,2
时，OP 的坐标为
．
【答案】(2
sin 2,1 cos2)
【解析】如图过P 作x 轴的垂线，垂足为E，过C 作y 轴的垂线，垂足为A，根据题意可知圆滚动了2 个单
位的弧长，∴
2
PCD
，可知
2
2
PCB
，此时点P 的坐标为
2
cos(2
)
2
sin 2,
2
P
x
1 sin(2
)
1 cos2,
2
P
y
∴即
)
2
cos
1,2
sin
2
(
OP
．
45．(2017 江苏)已知向量
(cos ,sin )
x
x
a
，
(3,
3)
b
，
[0, ]
x
．
(1)若∥
a
b ，求x 的值；
(2)记
( )
f x
a b ，求
( )
f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
【解析】(1)因为
(cos ,sin )
x
x
a
，
(3,
3)
b
，∥
a
b ，
所以
3cos
3sin
x
x
．
若cos
0
x
，则sin
0
x
，与
2
2
sin
cos
1
x
x
矛盾，故cos
0
x
．
于是
3
tan
3
x
．
又
[0, ]
x
，所以
5
6
x
．
(2)
π
(cos ,sin ) (3,
3)
3cos
3sin
2 3 cos(
( )
)
6
f x
x
x
x
x
x
a b
．
因为
[0, ]
x
，所以
π
π 7π
[
,
]
6
6
6
x
，
从而
π
3
1
cos(
)
6
2
x
．
于是，当
π
π
6
6
x
，即
0
x
时，
( )
f x 取到最大值3；
当
π
6
x
，即
5π
6
x
时，
( )
f x 取到最小值2 3
．
46．(2015 广东)在平面直角坐标系xoy 中，已知向量
2
2
(
,
)
2
2
m
，
(sin ,cos )
x
x
n
，
(0,
)
2
x
．
(1)若
m
n ，求tan x 的值；
(2)若m 与n的夹角为3
，求x 的值．
【解析】(1)∵
m
n ，∴
0
m n
，故
2
2
sin
cos
0
2
2
x
x
，∴tan
1
x= ．
(2)∵m 与n的夹角为3
，∴
2
2
sin
cos
1
2
2
cos
,
1 1
2
x
x
m n
m n
| m || n |
，
故
1
sin(
)
4
2
x
，又
(0,
)
2
x
，∴
(
,
)
4
4 4
x
，
4
6
x
，即
5
12
x
=
．
故x 的值为5
12
．
47．(2014 山东)已知向量
,cos2
,
sin2 ,
m
x
x n
a
b
，函数
f x
a b，且
y
f x
的图像过点
, 3
12
和点2
, 2
3
．
(Ⅰ)求
,
m n 的值；
(Ⅱ)将
y
f x
的图像向左平移
0
个单位后得到函数
y
g x
的图像，若
y
g x
图像上各最高点到点
0,3 的距离的最小值为1，
求
y
g x
的单调递增区间．
【解析】(Ⅰ)已知( )
sin2
cos2
f x
m
x n
x
a b
，
)
(x
f
过点
)
2
,
3
2
(
),
3
,
12
(
，∴
(
)
sin
cos
3
12
6
6
f
m
n
2
3
4
cos
3
4
sin
)
3
2
(
n
m
f
∴
1
3
3
2
2
3
1
2
2
2
m
n
解得
1
3
n
m
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
)
6
2
sin(
2
2
cos
2
sin
3
)
(
x
x
x
x
f
由题意知( )
(
)
2sin(2
2
)
6
g x
f x
x
设
y
g x
的图象上符合题意的最高点为
0
(
,2)
x
由题意知
2
0
1
1
x ．所以
0
0
x
，即到点(0,3) 的距离为1 的最高点为(0,2) ．
将其代入
y
g x
得sin 2
1
6
，
又∵0
，所以
6
，
因此
2sin 2
2cos2
2
g x
x
x
由
2
2
2
,
k
x
k
k
Z
，得
z
k
k
x
k
,
2
∴
(
)
f
x
的单调增区间为[
,
],
2
k
k
k
Z ．
48．(2014 辽宁)在ABC
中，内角
, ,
A B C 的对边, ,
a b c ，且a
c
，已知
2
BA BC
，
1
cos
3
B
，
3
b
，求：
(Ⅰ)a 和c 的值；
(Ⅱ)cos(
)
B
C
的值．
【解析】(Ⅰ)∵
1
cos
,
3,
cos
2
3
3
ac
B
b
BA BC
ca
B
，
且
2
2
2
-
cos
2
a
c b
B
ac
，∴c
6,
5
a
a
c
，∵a
c
，∴解得
3,
2
a
c
．
所以
3,
2
a
c
．
(Ⅱ)∵
1
cos
3
B
，∴
2 2
sin
3
B
，∵
3,
3,
2
a
b
c
，
2
2
2
-c
7
cos
2
9
a
b
C
ab
，
4 2
sin
9
C
，
∴
23
cos( - )
cos
cos
sin
sin
27
B C
B
C
B
C
，故
23
cos( - )
27
B C
．
49．(2013 江苏)已知
(cos
,sin
)
a
，
(cos
,sin
)
b
，0
．
(1) 若|
|
2
a
b
，求证：
a
b ；
(2) 设
(0,1)
c
，若
a
b
c ，求，的值．
【解析】(1)
a
b ＝(cos
cos
,sin
sin
)
，
2
|
|
a
b
＝
2
2
(cos
cos
)
(sin
sin
)
＝2
2(cos
cos
sin
sin
)
2
．
所以，cos
cos
sin
sin
0
，所以，
b
a
．
(2)
蠮
1
sin
sin
蠮
0
cos
cos
，①2＋②2 得：
1
cos(
)
2
．
所以，
＝
3
2
，＝
3
2
＋，
带入②得：sin (
3
2
＋)＋sin ＝2
3 cos ＋1
2 sin ＝sin ( 3
＋)＝1，
所以，3
＋＝2
．所以，＝6
5，＝6
．
50．(2013 辽宁)设向量
3sin ,sin
,
cos ,sinx ,
0,
.
2
x
x
x
x
a
b
(I)若|
| |
|
a
b ，求x 的值；
(II)设函数
( )
f x
a b ，求
( )
f x 的最大值．
【解析】(I)由
2
2
2
2
( 3sin )
(sin )
4sin
a
x
x
x
，
2
2
2
(cos )
(sin )
1
b
x
x
，及
2
,
4sin
1
a
b
x
得
又
1
[0,
],
sin
2
2
x
x
从而
，所以
6
x
．
(II)
2
( )
3sin
cos
sin
f x
a b
x
x
x
=
3
1
1
1
sin 2
cos2
sin(2
)
2
2
2
6
2
x
x
x
．
当
[0.
]
sin 2 -
1.
3
2
6
x
x
时，（
）取最大值
所以
3
( )
.
2
f x 的最大值为
